TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

BÙI THỊ CHANG

BÀI TOÁN ĐẶT CỰC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

HÀ NỘI -


BÙI THỊ CHANG

BÀI TOÁN ĐẶT CỰC VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
TS. HÀ BÌNH MINH


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh,
người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em những kiến thức
nền tảng để em hoàn thành bài khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa

Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đã trực tiếp
giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người đã rất
nhiệt tình giúp đỡ chỉ bảo và hướng dẫn em trong quá trình gõ Tex,
học sử dụng Matlab và hoàn thành khóa luận.
Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện
cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học
cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì
vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các
bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
BÙI THỊ CHANG


Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô
giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ
Hà Bình Minh.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Bài toán đặt cực và ổn
định hóa trong lý thuyết điều khiển ” không có sự trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, Tháng 5 năm 2013
Sinh viên
BÙI THỊ CHANG


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Nội dung chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
.
Chương 1: Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển
phản hồi
1
1.1
1.2

1.3

Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Điều khiển phản hồi trạng thái . . . . . . . .
1.2.2 Điều khiển phản hồi tín hiệu ra . . . . . . . .
Phân biệt điều khiển phản hồi và điều khiển vòng hở

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài
toán đặt cực cho hệ điều khiển được
2.1
2.2

11

Phản hồi trạng thái tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bài toán đặt cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chương 3: Ổn định hóa
3.1
3.2
Kết
Tài
.

1
3

4
5
6

Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
28
29
33
35


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đây
khi sự thực hiện điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phân
tích một cách chính xác qua mô hình toán học. Hiện nay lý thuyết
điều khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là một
lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Lý thuyết điều khiển tuyến tính là phần nền tảng cơ bản và quan
trọng của lý thuyết điều khiển nói chung. Ngày nay vai trò của
toán học cũng được áp dụng nhiều trong lĩnh vực đời sống. Một
vấn đề đặt ra là: làm thế nào để chuyển bài toán thực tế về mô
hình toán học.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Bài toán đặt cực là phần nền tảng cơ bản và quan trọng của lý

thuyết điều khiển nói chung: các phát triển mới về khái niệm điều
khiển nâng cao đều có sự gợi ý về tư tưởng từ lý thuyết điều khiển
tuyến tính.
Trong khóa luận này em trình bày về bài toán đặt cực và ổn
định hóa trong lý thuyết điều khiển.
Khóa luận này gồm có ba chương:
(a) Chương 1: Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi.
(b) Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cực
cho hệ điều khiển được.
i
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán


MỤC LỤC

(c) Chương 3: Ổn định hóa.
3. Mục đích- Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định
hướng của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học.
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng
dụng, ...).
• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình.
4. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán đặt cực và ổn định hóa trong lý thuyết điều khiển.
5. Phạm vi
• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm.
• Thời gian thực hiện khóa luận.
• Nơi thực tập khóa luận (những khó khăn và thuận lợi tại nơi
thực tập).


ii
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Bài toán đặt cực và ổn định hóa trong lý thuyết điều khiển.
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 3 chương:
• Chương 1: Sơ lược về điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi.
• Chương 2: Phản hồi trạng thái tuyến tính và bài toán đặt cực
cho hệ điều khiển được.
• Chương 3: Ổn định hóa.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Sử dụng phương pháp nghiên cứu của lý thuyết điều khiển.
• Phương pháp quan sát, đọc sách.

iii
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán


Chương 1

Sơ lược về điều khiển vòng hở
và điều khiển phản hồi
Chương này giới thiệu khái quát về bài toán điều khiển, hai dạng điều
khiển cơ bản là điều khiển vòng hở và điều khiển phản hồi cũng như
tính quan trọng của việc phân biệt chúng trong ứng dụng thực tế.

1.1

Hệ động lực

Hệ động lực có thể hiểu tổng quát là một thực thể hệ thống mà trạng
thái đặc trưng của nó thay đổi theo thời gian, trong đó trạng thái tại
mỗi thời điểm được xác định bởi cấu trúc của hệ thống, bởi trạng thái
của nó trong quá khứ và tác động bên ngoài lên hệ thống. Phương pháp
mô hình toán học là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của
hệ động lực và xây dựng các tác động lên hệ một cách tốt nhất theo
các mục tiêu nào đó. Ví dụ: mô hình toán học miêu tả dao động của
con lắc đồng hồ, dòng chảy của nước trong đường ống, và số lượng cá
mỗi mùa xuân trong một hồ.
Với một hệ động lực cụ thể, để có được trạng thái hệ thống hay
đầu ra mong muốn, chúng ta phải có các tác động thích hợp vào hệ
thống. Đây là nội dung căn bản của bài toán điều khiển hệ thống.

9
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán


CHƯƠNG 1.
HỒI

SƠ LƯỢC VỀ ĐIỀU KHIỂN VÒNG HỞ VÀ ĐIỀU KHIỂN PHẢN

Định nghĩa 1.1.1. Bài toán điều khiển hệ thống
Điều khiển hệ thống được hiểu là bài toán can thiệp vào đối tượng
điều khiển để hiệu chỉnh, biến đổi sao cho nó có được chất lượng mong
muốn.

Các bước cơ bản khi thực hiện một bài toán điều khiển gồm:
1. Xác định khả năng can thiệp từ bên ngoài vào đối tượng. Vì đối
tượng cần điều khiển giao tiếp với môi trường bên ngoài bằng tín
hiệu vào-ra nên chỉ thông qua tín hiệu vào-ra này ta mới có thể can
thiệp vào đối tượng. Để làm được điều này ta phải hiểu rõ bản chất
của đối tượng.
2. Xây dựng mô hình toán học mô tả đối tượng.
3. Phân tích hệ thống thông qua mô hình toán học.
4. Tiến hành can thiệp vào đối tượng.
5. Đáng giá chất lượng của can thiệp, có thể phải quay lại bước đầu
tiên nếu chất lượng can thiệp không đảm bảo.

Hình 1.1: Trình tự các bước thực hiện một bài toán điều khiển.


Định nghĩa 1.1.2. Một hệ động lực tuyến tính liên tục với tham
số bất biến được mô tả qua hai phương trình :
dx

= Ax(t) + Bu(t),
dt
y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.1)
(1.2)

trong đó:
x(t) là vectơ n chiều được gọi là trạng thái của hệ,
u(t) là vectơ m chiều được gọi là đầu vào của hệ,
y(t) là vectơ r chiều được gọi là đầu ra của hệ.

A, B, C và D là các ma trận thực, có số chiều lần lượt là n × n, n ×
m, r × n, r × m.
Phương trình (1.1) gọi là phương trình trạng thái,
Phương trình (1.2) gọi là phương trình đầu ra.
Phần tiếp theo chúng ta xét hai dạng điều khiển cơ bản:
1.2

Điều khiển phản hồi

Trong điều khiển phản hồi, giá trị của các đầu vào điều khiển được
chọn không phải là một hàm hiện theo thời gian nhưng dựa trên cơ sở
của một số lượng quan sát. Cụ thể, chúng ta xem xét các hệ động lực
(1.1), (1.2) và giả định rằng trạng thái x được quan sát. Sau đó, giá trị
của điều khiển sẽ dựa vào hệ thống quỹ đạo quan sát được. Như
vậy,quy tắc điều khiển có thể được coi như một ánh xạ liên quan đến
quan sát quỹ đạo trạng thái x : R → Rn điều khiển tín hiệu vào u :
R → Rm Biểu thị ánh xạ này bởi F. Tuy nhiên, F (x)(t) sẽ chỉ phụ
thuộc vào các giá trị cho bởi x(tr) với tr ≤ t.
Việc sử dụng phản hồi rất cần thiết cho mục tiêu nâng cao độ chính
xác của hệ thống điều khiển. Chúng ta có thể thấy các hệ thống trong
tự nhiên như các hệ thống sinh học và sinh lý đều là các hệ thống phản


hồi, ví dụ như hệ thống điều khiển nhịp tim của con người.
Điều khiển phản hồi chia thành hai dạng
• Điều khiển phản hồi trạng thái
• Điều khiển phản hồi tín hiệu ra
1.2.1

Điều khiển phản hồi trạng thái


Ở đối tượng điều khiển, vectơ trạng thái của hệ thống x(t) là thành
phần chứa đựng đầy đủ nhất thông tin chất lượng động học của hệ
thống. Nó phản ánh nhanh nhất sự ảnh hưởng của các tác động bên
ngoài vào hệ thống. Để có được hệ động học chất lượng tốt cần tác
động đầu vào u(t) phản ứng kịp với thay đổi trạng thái của đối tượng.

Hình 1.2: Điều khiển phản hồi trạng thái.

Ví dụ 1.2.1. Xét đối tượng điều khiển là xe đạp còn bộ điều khiển là
người lái xe. Trạng thái hệ thống là tốc độ và vị trí của xe. Nhiệm vụ
của bộ điều khiển là giữ cho tốc độ xe ổn định và vị trí xe luôn nằm
trong làn đường cho phép. Như vậy bộ điều khiển đã:
• Dựa vào khoảng cách xe với vạch phân cách (một trạng thái của
hệ thống) đưa ra quyết định điều chỉnh tay lái.


• Dựa vào tốc độ hiện tại và môi trường bên ngoài (đường sá, xe
cộ, thời tiết) điều chỉnh bàn đạp.
1.2.2

Điều khiển phản hồi tín hiệu ra

Do không phải mọi trạng thái của đối tượng là đo được trực tiếp nên
trong nhiều trường hợp chúng ta phải thay bộ điều khiển phản hồi trạng
thái bằng bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra. Điều khiển vòng hở còn

Hình 1.3: Điều khiển phản hồi tín hiệu ra.

gọi là điều khiển không phản hồi, là một loại điều khiển mà u(t) được

chọn như hàm hiện của thời gian t. Nói cách khác một hàm phụ thuộc
thời gian u : R → R được chọn sao cho đạt được mục đích cụ thể,
chẳng hạn chuyển trạng thái hệ thống từ x0 đến trạng thái x1.
Một đặc tính của bộ điều khiển vòng hở là nó không sử dụng hồi tiếp
để xác định liệu đầu ra của nó có đạt được mục đích mong muốn của
đầu vào hay không. Điều này có nghĩa là hệ thống này không giám sát
đầu ra của quá trình mà nó điều khiển.Ví dụ, một hệ thống thủy lợi,
được lập trình để được bật tại khoảng thời gian đặt trước có lẽ là một ví
dụ của hệ thống vòng hở nếu nó không đo lường độ ẩm của đất để phản
hồi trở lại. Ngay cả nếu mưa xuống, hệ thống thủy lợi vẫn làm việc theo
lịch, làm lãng phí nước.


Điều khiển vòng hở được sử dụng cho các hệ thống được xác định rõ
ràng, nơi mà mối quan hệ giữa đầu vào và trạng thái kết quả có thể được
mô tả bởi một công thức toán học. Ví dụ, việc xác định điện áp để cung
cấp cho một động cơ điện mà chỉ mang một tải cố định, để đạt được
tốc độ mong muốn có lẽ là một ứng dụng tốt của điều khiển vòng hở.
Nếu tải không đoán trước được, mặt khác, tốc độ động cơ có thể biến
đổi như một hàm số của tải cũng giống như điện áp, một bộ điều khiển
vòng hở do đó không đủ khả năng để đảm bảo điều khiển vận tốc lặp đi
lặp lại nữa.
Một ví dụ của điều này là một hệ thống băng chuyền, yêu cầu di
chuyển với vận tốc không đổi. Với một điện áp không đổi, băng
chuyền sẽ di chuyển với vận tốc khác nhau phụ thuộc vào tải trọng đặt
vào động cơ (ở đây là trọng lượng của các vật đặt trên băng
chuyền). Để băng chuyền chạy với tốc độ không đổi, điện áp đưa vào
động cơ phải được điều chỉnh theo tải. Trong trường hợp này, một hệ
thống điều khiển vòng kín cần được sử dụng.
1.3

hở

Phân biệt điều khiển phản hồi và điều khiển vòng

Việc phân biệt điều khiển phản hồi và điều khiển vòng hở là một yêu
cầu quan trọng để xây dựng hệ điều khiển phù hợp trong các bài toán
thực tế.
Ta sẽ xét các ví dụ giúp cân nhắc sự khác biệt giữa điều khiển vòng
hở và điều khiển phản hồi.
Ví dụ 1.3.1. Giả sử bạn sắp sửa đi lên một cầu thang. Bạn có thể quyết
định mở hoặc khép mắt. Giả sử mắt là cơ quan duy nhất tiếp nhận
thông tin từ bên ngoài, trong trường hợp mắt khép trước khi đi lên bạn
cẩn thận nhìn các bậc cầu thang và lan can đếm số lượng các bước, quy
trình trong đầu của bạn một kế hoạch chuyển động và thực hiện nó.
Đó là điều khiển vòng hở. Trong điều khiển phản hồi, bạn phải giữ cho
mắt


của bạn mở. Bằng việc quan sát vào mỗi khoảnh khắc ở đầu chân các
bạn với những bước, nơi mà bàn tay bạn đối với lan can,..v..v..., bạn
liên tục lập kế hoạch và điều chỉnh chuyển động của bạn. Nó phải
rõ ràng từ ví dụ điều khiển thông tin phản hồi sẽ nói chung thực sự
dẫn đến hiệu suất cao. Sự kiện bất ngờ có thể được xem xét bằng cách
điều khiển thông tin phản hồi, nhưng không phải cách điều khiển vòng
hở.
Điều khiển phản hồi sẽ dẫn đến làm ẩn đi nguyên nhân và kết quả.
Trong hệ (1.1), (1.2) quỹ đạo đầu vào u là nguyên nhân và hệ
thống quỹ đạo x là kết quả. Tuy nhiên quy tắc điều khiển F : x → u
sử dụng
hệ thống quỹ đạo để quyết định quỹ đạo điều khiển. Thông tin phản

hồi dẫn đến các phương trình ẩn đặc trưng cho toán học của điều khiển
phản hồi.
Trạng thái điều khiển thông tin phản hồi có thể minh họa bằng đồ thị
dòng tín hiệu. Điều này thể hiện trong hình sau

Hình 1.4


Ví dụ 1.3.2. Một ví dụ cho thấy sự khác biệt giữa điều khiển vòng hở
và điều khiển thông tin phản hồi là một đứa trẻ trên xích đu (xem hình
1.5.)


Hình 1.5: Một đứa trẻ chơi xích đu

Bằng cách đứng lên xích đu khi di chuyển lên và ngồi khi nó di
chuyển xuống, đứa trẻ liên tục chuyển trọng tâm của các lực hấp dẫn
của xích đu lên và xuống. Với cách này nó điều khiển để làm tăng lên
biên độ dao động.
Ta có được các phương trình chuyển động cho xích đu. Cho ϕ biểu thị
góc trên của trục con lắc với trục thẳng đứng. Đứa trẻ như là một khối
lượng điểm có khối lượng M và kí hiệu L là khoảng cách của đứa trẻ
với trục quay. Bây giờ, bỏ qua khối lượng của xích đu (so với trẻ) kết
quả
cho động năng của ϕ, ϕ˙ , với thay đổi tỉ lệ của ϕ, L, và L˙ , thay đổi
của
L, có biểu thức sau
M
T (ϕ, ϕ˙ , L, L˙ ) = (L2(ϕ˙ )2 + (L˙ )2).
(1.3)

2
và cho thế
năng

U (ϕ, ϕ˙ , L, L˙ ) = −MgLcosϕ.

(1.4)


Ở đó, g biểu thị hằng số hấp dẫn. Phương trình Euler-Lagrage của cơ


học mang lại phương trình vi phân sau cho chuyển động của ϕ
d ∂
∂
(T − U ) +
(T − U ) = 0.
dt ∂ϕ˙
∂ϕ

(1.5)

Kết quả thu được là
d

ML 2 d + MgLsinϕ = 0.
∂dt
dt

(1.6)


Phương trình này gọi là phương trình biểu diễn cho biến L và ϕ
Làm thế nào chúng ta giải thích rằng một đứa trẻ có thể đưa lên
chuyển động của xích đu? Giả sử chọn L là một hàm tuần hoàn của
t. Thật vậy, nó có thể được hiển thị bằng cách chọn L : R → R một
hàm tuần hoàn thích hợp do đó (1.5) sẽ không ổn định dẫn đến sự gia
tăng trong biên độ của xích đu. Sự không ổn định này gọi là tham số
cộng hưởng. Bởi vì nó đòi hỏi biên độ của L "tham số" được lựa chọn
trong cộng hưởng với tần số tự nhiên của hệ.
Tham số cộng hưởng thực sự là cách thích hợp giải thích cách đưa
một đứa trẻ lên chuyển động của xích đu? Câu trả lời là không.
Tham số cộng hưởng có nghĩa là chiều dài L của xích đu được chọn là
một hàm của thời gian. Nó gợi ý rằng đứa trẻ có thể quan sát đồng hồ
để quyết định ngồi xổm hoặc đứng lên tại thời điểm t, hoặc đứa trẻ di
chuyển lên và xuống được xác định trong một hàm tuần hoàn. Tất
dφ
nhiên, sự lựa chọn của L sẽ được thực hiện như một dhàm của φ và
.
t
Thông thường,
L sẽ được chọn là lớn nếu φ và
d ngược dấu và nhỏ nếu cùng dấu.
dφ

t

Giải thích cộng hưởng tham số của xích đu cho thấy điều khiển vòng
lặp mở được sử dụng: quyết định ngồi xổm hay đứng lên là một hàm
của thời gian. Giải thích, quyết định này phụ thuộc vào các giá trị
quan sát

của φ và d cho điều khiển phản hồi. Trong tất cả các ứng dụng cơ bản
dφ

t


của điều khiển thông tin phản hồi vào trong cách này hoặc cách
khác. Phản hồi, chứ không phải quỹ đạo lập kế hoạch, là ý tưởng cơ
bản nhất trong lý thuyết điều khiển. Tuy nhiên, quỹ đạo lập kế hoạch có
ứng dụng


đặc biệt

21
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán


Chương 2

Phản hồi trạng thái tuyến tính
và bài toán đặt cực cho hệ
điều khiển được
2.1

Phản hồi trạng thái tuyến tính

Một quy tắc điều khiển tuyến tính không nhớ cho hệ động lực (1.1),
(1.2) được xác định bởi
u = Nx.

(2.1)
Ma trận N ∈ Rm×n được gọi là ma trận thông tin phản hồi.
Quy tắc điều khiển (2.1) như sau. Cho x1, x2, · · · , xn là tọa độ của
vectơ trạng thái x; cho u1, u2, · · · , um là tọa độ vector điều khiển u và
N11, N12, · · · , Nmn là các ma trận thành phần của ma trận thông tin
phản hồi. Giải thiết tại thời điểm t các thành phần của vector trạng thái
quan sát được là x1(t), x2(t), · · · , xn(t). (2.1) cho chúng ta biết rằng tại
thời điểm t điều khiển tín hiệu vào với u1(t), u2(t), · · · , um(t) với
ukt = Σnk= Nklxl(t).

(2.2)

0

sẽ được áp dụng. Khi giá trị của x thay đổi thì giá trị điều khiển sẽ thay
đổi một cách thích hợp theo (2.2).

22
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán


CHƯƠNG 2.

Bây giờ kết

PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN ĐẶT CỰC CHO
HỆ
ĐIỀU
KHIỂN
ĐƯỢC

hợp (2.1) với (1.1) ta được

dx
dt

= (A + BN )x; u = Nx.

(2.3)

Phương trình (2.3) cho chúng ta biết quỹ đạo trạng thái của (1.1) sẽ
tiến triển như thế nào khi quy tắc điều khiển (2.1) áp dụng. Các phương
trình này là phương trình vòng khép kín. Có thể thấy rằng (2.3) và (1.2)
là một hệ động học tự động.
Vấn đề điều khiển hệ động lực (1.1), (1.2) bởi quy tắc (2.1) dẫn đến
một bài toán trong lý thuyết ma trận. Đó là việc lựa chọn cặp ma trận
(A, B) trong (1.1), ma trận N trong (2.1) để cặp ma trận (A + BN, N
) trong (2.3) có các tính chất mong muốn. Ví dụ, câu hỏi có thể là lựa
chọn
N mà tất cả các nghiệm x của (2.3) thỏa mãn x(t) → 0 khi t → ∞ (và
do đó u(t) → 0 khi t → ∞ ) đây là bài toán ổn định phản hồi, hoặc
câu hỏi
∞
có thể lựa chọn N mà giá trị trung bình của
¸ (" U (t) "2 + " x(t)
0
"2)dt
nhỏ nhất có thể. Đó lại là một bài toán của điều khiển tối ưu.
2.2

Bài toán đặt cực


Định nghĩa 2.2.1. Xét hệ động lực động lực tuyến tính
dx

= Ax(t) + Bu(t),
dt
y(t) = Cx(t) + Du(t).

(2.4)
(2.5)

Các trị riêng của ma trận A được gọi là các điểm cực của hệ động lực.
Chất lượng của hệ điều khiển phụ thuộc vào vị trí các điểm cực. Để
hệ có được chất lượng mong muốn người ta can thiệp một bộ điều khiển
vào hệ thống sao cho với sự can thiệp đó thì hệ đạt được chất lượng
mong muốn với các cực là các giá trị cho trước. Một cách hoàn toàn


CHƯƠNG 2.

tương tự, Các
của hệ động

PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN ĐẶT CỰC CHO
HỆ
ĐIỀU
KHIỂN
ĐƯỢC
trị riêng của ma trận A + BN được gọi là các điểm cực



lực mô tả bởi

dx

= (A + BN )x(t), u(t) = Nx(t)
dt
y(t) = Cx(t) + Du(t).

(2.6)
(2.7)

Để phân biệt chúng ta coi các trị riêng của A là các điểm cực mở còn
các trị riêng của A + BN là các điểm cực đóng. Bài toán đặt cực được
pháp biểu như sau: Những vị trí nào của điểm cực đóng có thể đạt
được bởi việc chọn ma trận phản hồi N?
Do các điểm cực của hệ (2.6), (2.7) là nghiệm của đa thức đặc trưng
của ma trận A + BN , bài toán đặt cực được pháp biểu lại như sau:
Cho trước các ma trận A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m. χM là ký hiệu cho đa
thức đặc
trưng của ma trận M. Xác định tập hợp các đa thức χA+BN có thể đạt
được bằng cách chọn ma trận N ∈ Rm×n.
Trong phạm vi của khóa luận, chúng ta chỉ xét bài toán đặt cực cho hệ
điều khiển được.
Định nghĩa 2.2.2. Hệ điều khiển được Hệ động lực động lực
tuyến tính
dx
= Ax(t) + Bu(t),
(2.8)
dt

y(t) = Cx(t) + Du(t),
(2.9)
được gọi là điều khiển được nếu tồn tại ít nhất một tín hiệu điều khiển
đưa nó từ một điểm trạng thái ban đầu x0 (tùy ý) về được gốc tọa độ
0 trong khoảng thời gian hữu hạn.
Ta thừa nhận không chứng minh định lý sau.
Định lý 2.2.3. Tiêu chuẩn Kalman
Hệ (1.1), (1.2) là điều khiển khi và chỉ khi ma trận [B, AB, . . . , An−1B]
có hạng bằng n.
Một kết quả quan trọng.
25
Bùi Thị Chang - K35-CN Toán