Câu 1.

[1D4-1] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

lim un = +∞

lim un = +∞
, thì
.
lim un = 0
lim un = 0
C. Nếu
, thì
.
A. Nếu

lim un = +∞

lim un = −∞
, thì
.
lim un = a
lim un = − a
D. Nếu
, thì
.
Lời giải
B. Nếu

Chọn C.
Theo nội dung định lý.

Câu 2.

[1D4-2] Cho dãy số
sau:
1
4
A. .

( un )

un =
với

B.

1
2

n
4n

và

un +1 1
<
un
2

. Chọn giá trị đúng của


0
C. .
Lời giải

.

lim un

1
D. .

Chọn C.
n ≤ 2n , ∀n ∈ ¥

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có
n

n
n
1
n 1
n ≤ 2 ⇔ n ≤1⇔ n n ≤ n ⇔ n ≤  ÷
2
2 .2
2
4 2
n

Nên ta có :


n

Suy ra :

Câu 3.

1
0 < un ≤  ÷
2

n

, mà

1
lim  ÷ = 0 ⇒ lim un = 0
2
n cos 2n 

lim  5 − 2
÷
n +1 


[1D4-2] Kết quả đúng của
A. 4.
B. 5.

.


là:
C. –4.

Lời giải
Chọn B.

−

n
n cos 2n
n
≤ 2
≤ 2
n +1
n +1
n +1
2

lim −
Ta có

n
1
1
n
= lim − .
= 0 lim− 2
=0
2

⇒
n +1
n 1+1/ n
n +1
;
2

D.

1
4

.

trong các số


n cos 2n 
 n cos 2n 

⇒ lim  2
÷ = 0 ⇒ lim  5 − 2
÷= 5
n +1 
 n +1 


Câu 4.

2 − 5n − 2

lim n
3 + 2.5n

[1D4-1] Kết quả đúng của
5
1
−
−
2
50
A.
.
B.
.

.

là:

5
2

−

C. .
Lời giải

D.

25

2

Chọn B.

2 1
1
−
0−
n
2 − 5n − 2
25 = − 1
lim n
= lim 5 n 25 =
n
3 + 2.5
0+2
50
 3
 ÷ + 2.
5
− n 2 + 2n + 1

lim
Câu 5.

3n 4 + 2

[1D4-2] Kết quả đúng của
−


A.

3
3

−
.

B.

.

2
3

là

−
.

C.
Lời giải

1
2

.

D.


1
2

.

Chọn A.
lim

Câu 6.

− n 2 + 2n + 1
3n 4 + 2

( −1 + 2 / n + 1/ n ) = −1 + 0 + 0 = −
= lim
2

[1D4-1] Giới hạn dãy số

A.

−∞

.

3+ 0

3 + 2 / n2

( un )


B.

un =
với

+∞

3n − n 4
4n − 5

3n − n 4
3 / n3 − 1
= lim n3
= −∞
4n − 5
4−5/ n

lim n3 = +∞; lim
Vì

3 / n3 − 1
1
=−
4−5/ n
4

là:

C. .

Lời giải

Chọn A.
lim un = lim

.

3
4

.

.

.

3
3

D.

0

.

.


lim
Câu 7.


[1D4-1]
+∞
A.
.

3n − 4.2n −1 − 3
3.2n + 4n

bằng:
−∞
B.
.

0
C. .
Lời giải

1
D. .

Chọn C.
n
n

2
1 
3 1 − 4.  ÷ − 3.  ÷ ÷

3

3 ÷
3n − 4.2n −1 − 3
3n − 2.2n − 3


lim
= lim
= lim
n
n
n
n
n
3.2 + 4
3.2 + 4
 2

4n  3.  ÷ + 1÷
 4
÷


n

n
n

2
1 
1

−
4.
−
3.
 ÷
 ÷÷
n 

3
 3 ÷
3 
 =0
= lim  ÷
n
 2

4
 3.  ÷ + 1÷
÷
 4


n3 − 2n + 5
3 + 5n

lim
Câu 8.

.


[1D4-2] Chọn kết quả đúng của
2
5
5
A. .
B. .

:

C.
Lời giải

−∞

.

D.

+∞

Chọn D.
n 3 − 2n + 5
lim
= lim n .
3 + 5n

lim n = +∞;lim

( 1− 2 / n
2


+ 5 / n3 )

3/ n +5
lim

Câu 9.

+ 5 / n3 )

3/ n+5

( 1− 2 / n

Vì

2

(

= +∞

.
=

1
5

.


n 2 − 1 − 3n 2 + 2

[1D4-2] Giá trị đúng của
−∞
+∞
A.
.
B.
.

)

là:
0

1
D. .

C. .
Lời giải

Chọn B.
lim

(

)

n 2 − 1 − 3n 2 + 2 = lim n


(

)

1 − 1/ n2 − 3 + 2 / n 2 = −∞

.

.


lim n = +∞; lim

Vì
Câu 10.

)

(

1 − 1/ n 2 − 3 + 2 / n2 = 1 − 3 < 0
lim ( 3n − 5n )

[1D4-1] Giá trị đúng của
−∞
+∞
A.
.
B.
.


.

là:
2
C. .
Lời giải

D.

−2

.

Chọn B.
lim ( 3 − 5
n

n

)

  3 n 
= lim 5   ÷ − 1÷ = −∞
 5 
÷


n


  3 n 
lim 5 = +∞; lim   ÷ − 1÷ = −1
 5 
÷



.

n

Vì

Câu 11.

[1D4-2]
+∞
A.
.

nπ


lim  n 2 sin
− 2n3 ÷
5



B.


0

.

bằng:

.

C.
Lời giải

−2

.

D.

−∞

.

Chọn C.
nπ


 sin 5
÷
nπ
 2

3
3
lim  n sin
− 2n ÷ = lim n 
− 2 ÷ = −∞
5


 n
÷



Vì

nπ


sin

3
5 − 2 ÷ = −2
lim n = +∞;lim 
÷
 n
÷


nπ
nπ



sin

1
1
5 ≤ ;lim = 0 ⇒ lim
5 − 2 ÷ = −2

÷
n
n
n
 n
÷



sin

Câu 12.

lim  n


[1D4-2] Giá trị đúng của
0
−1
A.
.

B. .

(

.

)

n + 1 − n −1 


là:

1
C. .
Lời giải

D.

+∞

.


Chọn C.
lim  n


Câu 13.


(

 n ( n + 1 − n + 1) 
n + 1 − n − 1  = lim 
 = lim

n
 n + 1 + n − 1 

)

[1D4-3] Cho dãy số
−∞
A.
.

un

un = ( n − 1)
với
B.

0

(

2 n
1 + 1/ n + 1 − 1/ n

2n + 2

n + n2 − 1

lim un

4

. Chọn kết quả đúng của
1
+∞
C. .
D.
.

.
Lời giải

Chọn B.

2n + 2
n + n2 −1

lim un = lim ( n − 1)

4

Ta có:

( n − 1) ( 2n + 2 )
2


= lim
= lim

n4 + n2 − 1
2n3 − 2n 2 − 2n + 2
n4 + n2 − 1

`
2 2 2 2
− 2− 3+ 4
= lim n n n n = 0.
1 1
1+ 2 − 4
n n

lim
Câu 14.

[1D4-3]
+∞
A.
.

5n − 1
3n + 1

bằng :
1
B. .


C.

0

D.

−∞

.

Lời giải
Chọn A.
n

Ta có:

)

1
1−  ÷
n
5 −1
5
lim n
= lim
n
n
3 +1
3 1
 ÷ + ÷

5 5

n
n
n
n
  1 n 
3 1
*
lim 1 −  ÷ ÷ = 1 > 0 lim  3  +  1  = 0
+
 ÷  ÷
 ÷  ÷ > 0 ∀n ∈ ¥
 5 ÷
5 5
5 5


Nhưng
,
và
5n − 1
lim n
= +∞
3 +1
Nên
.

=1
.


là:


lim

Câu 15.

[1D4-2]
+∞
A.
.

10
n + n2 + 1
4

bằng :
10
B. .

0
C. .

D.

−∞

.


Lời giải
Chọn C.
10

lim

n4 + n2 + 1

10
1 1
1+ 2 + 4
n n

= lim
n2

Ta có:

lim 1 +
Nhưng
lim

Nên
Câu 16.

[1D4-2]
0
A. .

1 1

+
=1
n2 n4

10
n 4 + n2 + 1

lim

và

10
=0
n2

= 0.

lim 5 200 − 3n5 + 2 n 2

bằng :

1
B. .

C.

+∞

.


D.

−∞

.

Lời giải
Chọn D.

lim 5 200 − 3n5 + 2n 2 = lim n 5
Ta có:

lim 5
Nhưng
Nên

Câu 17.

200
2
− 3 + 3 = 5 −3 < 0
5
n
n

200
2
−3+ 3
5
n

n

và

lim n = +∞

lim 5 200 − 3n5 + 2 n 2 = −∞

[1D4-3] Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
lim un

1

u1 = 2

un +1 = 1 , n ≥ 1
2 − un


. Tìm kết quả đúng của

.

0
A. .

1
B. .

C.

Lời giải

Chọn B.

−1

.

D.

1
2


Ta có:

1
2
3
4
5
u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = .;...
2
3
4
5
6
un =

Dự đoán


n
n +1

với

n ∈ ¥*

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
lim un = lim

Từ đó

Câu 18.

n
1
= lim
=1
1
n +1
1+
n

[1D4-3] Tìm giá trị đúng của

2 +1

A.


.

B.

2

.

1
 1 1 1

S = 2 1 + + + + ... + n + ....... ÷
2
 2 4 8


.

C.

2 2

.

.

D.

1
2


.

Lời giải
Chọn C.

Ta có:

1
1
 1 1 1

S = 2 1 + + + + ... + n + ....... ÷ = 2.
=2 2
1
2
 2 4 8

1−
2

lim 4
Câu 19.

[1D4-3]

A.

0


4n + 2n+1
3n + 4 n+ 2

.

bằng :
1
2
B. .

1
4

C. .
Lời giải

Chọn B.
lim 4
Ta có:

4n + 2n+1
3n + 4n+ 2

.

1 + 21− n

= lim
4


n

3
2
 ÷ +4
4
n

1
1 + 2.  ÷
2 = 1
= lim 4
n
2
 3
2
 ÷ +4
 4

.

D.

+∞

.


n


Vì

n

1
3
lim  ÷ = 0; lim  ÷ = 0.
2
4

n +1 − 4
n +1 + n

lim
Câu 20.

[1D4-3] Tính giới hạn:

0
B. .

1
A. .

C.

−1

D.


1
2

.

Lời giải
Chọn B.

Ta có:

1 1 4
+ 2 −
n +1 − 4
n = 0 =0
lim
= lim n n
1
n +1 + n
1 1
+ 2 +1
n n

lim
Câu 21.

[1D4-3] Tính giới hạn:

1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)
3n 2 + 4
1

3

0
A. .

.

2
3

B. .

C. .

1
D. .

Lời giải
Chọn B.
lim
Ta có:

Câu 22.

1 + 3 + 5 + .... + ( 2n + 1)
n2
1
1
=
lim

= lim
= .
2
2
4
3n + 4
3n + 4
3+ 2 3
n

[1D4-3] Tính giới hạn:

A.

0

 1
1
1 
lim 
+
+ .... +

n ( n + 1) 
1.2 2.3
3
2

1
B. .


C. .
Lời giải

Chọn B.
Đặt :

A=

1
1
1
+
+ .... +
1.2 2.3
n ( n + 1)

= 1−

1 1 1
1
1
+ − + ... + −
2 2 3
n n +1

= 1−

1
n

=
n +1 n +1

D. Không có giới hạn.


 1
1
1 
n
1
⇒ lim  +
+ .... +
= lim
=1
 = lim
1
1.2
2.3
n
n
+
1
n
+
1
(
)



1+
n

Câu 23.

[1D4-3] Tính giới hạn:

 1

1
1
lim  +
+ .... +

n ( 2n + 1) 
1.3 3.5
2
3

0
B. .

1
A. .

C. .

2
D. .


Lời giải
Chọn B.
Đặt
A=

1
1
1
+
+ .... +
1.3 3.5
n ( 2n + 1)

⇒ 2A =

2
2
2
+
+ .... +
1.3 3.5
n ( 2n + 1)

1 1 1 1 1
1
1
⇒ 2 A = 1 − + − + − + ... + −
3 3 5 5 7
n 2n + 1
1

2n
⇒ 2A =1−
=
2n + 1 2n + 1
n
⇒ A=
2n + 1

Nên

Câu 24.

 1

1
1
n
1
1
lim  +
+ .... +
= lim
= .
 = lim
1
n ( 2n + 1) 
2n + 1
2
1.3 3.5
2+

n
 1

1
1
lim  +
+ .... +

n ( n + 2) 
1.3 2.4

[1D4-3] Tính giới hạn:
3
4
1
A. .
B. .

0
C. .
Lời giải

Chọn A.

Ta có :

 1


1

1
1 2
2
2
lim  +
+ .... +
+ .... +
 = lim  +

n ( n + 2) 
2 1.3 2.4
n ( n + 2) 
1.3 2.4

1 1 1 1 1 1
1
1 
= lim  1 − + − + − ... + −
÷
2 3 2 4 3 5
n n+2

D.

2
3

.



1 1
1  3
= lim  1 + −
÷= .
2 2 n+2 4

Câu 25.

 1
1
1 
lim  +
+ ... +
n( n + 3) 
1.4 2.5

[1D3-3] Tính giới hạn:
11
18
2
A.
.
B. .

.

1
C. .
Lời giải


D.

3
2

.

Chọn A.
Cách 1:
 1
1
1 
1  1 1 1 1 1
1
1 
lim  +
+ ... +
= lim  1 − + − + − + ... + −
÷

n(n + 3) 
n n + 3  
3  4 2 5 3 6
1.4 2.5
1  1 1
1
1
1 
= lim  1 + + −
−

−
÷
 3  2 3 n + 1 n + 2 n + 3 
=

 3n 2 + 12n + 11  11
11
− lim 
=
18
n
+
1
n
+
2
n
+
3
(
)
(
)
(
)

 18
100

.

1

∑ x ( x + 3)
1

Cách 2: Bấm máy tính như sau:
hoặc lớn hơn).

Câu 26.

[1D3-3] Tính giới hạn:
1
A. .

và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn


1 
1 
1 
lim  1 − 2 ÷1 − 2 ÷...  1 − 2 ÷
 2   3   n  

B.

1
2

.


1
4

C. .
Lời giải

.

D.

3
2

.

Chọn B.
Cách 1:

1 
1 
1 
 1  1   1  1   1   1  
lim 1 − 2 ÷1 − 2 ÷... 1 − 2 ÷ = lim 1 − ÷1 + ÷1 − ÷1 + ÷... 1 − ÷1 + ÷
 2  3   n  
 2  2   3  3   n   n  
 1 3 2 4 n −1 n + 1
1 n +1 1
= lim  . . . ...
.
= lim .

=

n
n 
2 2 3 3
2 n
2


100

Cách 2: Bấm máy tính như sau:
hoặc lớn hơn).



1 
2 ÷


∏ 1 − x
2

lim 3 +
Câu 27.

[1D3-2] Chọn kết quả đúng của

A.


4

.

B.

3

và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn

n2 − 1 1
−
3 + n2 2n

.

2
C. .
Lời giải

.

D.

1
2

.

Chọn C.

1
n2 − 1
= lim 3 +
2
n −1 1
3
2n = 3 + 1 − 0 = 2
lim 3 +
−
+
1
n2
1
3 + n 2 2n
1−

BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ.

5
x →∞ 3 x + 2

lim
Câu 28.

[1D3-1]

A.

0


.

bằng:

5
3

1
B. .

C. .
Lời giải

D.

+∞

.

Chọn A.

Cách 1:

5
5
lim
= lim x = 0
x →∞ 3 x + 2
x →∞
2

3+
x

Cách 2: Bấm máy tính như sau:
Plus)

5
3x + 2

+ CACL +

x = 109

và so đáp án (với máy casio 570 VN

lim
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:

5
3 x + 2 x → 109

x2 + 2x + 1
x →−1 2 x 3 + 2

và so đáp án.

lim

Câu 29.


[1D3-2] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
1
0
2
−∞
A.
.
B. .
C. .
Lời giải

là:

D.

+∞

.


Chọn B.

( x + 1)
x +1
x 2 + 2 x + 1 = lim
= lim
=0
2
2
lim

x
→−
1
x
→−
1
2 ( x + 1) ( x − x + 1)
2 ( x − x + 1)
x →−1 2 x 3 + 2
2

Cách 1:

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

x2 + 2 x + 1
2 x3 + 2

+ CACL +

x = −1 + 10−9

lim

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
đáp án.

và so đáp án.

x2 + 2 x + 1

2 x3 + 2 x → −1 + 10−9

x3 + 2 x 2 + 1
x →−1
2 x5 + 1

và so

lim

Câu 30.

[1D3-1] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
1
1
−
2
2
−2
A.
.
B.
.
C. .
Lời giải
Chọn A.

D.

Cách 2: Bấm máy tính như sau:


x3 + 2 x 2 + 1
2 x5 + 1

+ CACL +

x = −1 + 10 −9

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
đáp án.
x→0

[1D3-4] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
0
1
A. Không tồn tại.
B. .
C. .
Lời giải
Chọn B.
2
2
0 ≤ cos
≤ 1 ⇔ 0 ≤ x 2 cos
≤ x2
nx
nx
Cách 1:

lim x 2 cos


lim x 2 = 0
x →0

x →0

nên

2
=0
nx

và so đáp án.

x3 + 2 x 2 + 1
2 x 5 + 1 x → −1 + 10−9

lim x 2 cos

Mà

.

2

lim

Câu 31.

2


x3 + 2 x 2 + 1 ( −1) + 2. ( −1) + 1
lim
=
= −2
5
x →−1
2 x5 + 1
2 ( −1) + 1
3

Cách 1:

là:

2
nx

là:
D.

+∞

.

và so


x 2 cos
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +

n = 10
và so đáp án.
2x2 −1
x →∞ 3 − x 2

2
nx

+ CACL +

x = 10 −9

+

lim
Câu 32.

[1D3-1]

A.

−2

bằng:

−
.

B.


1
3

1
3

.

C. .
Lời giải

D.

2

.

Chọn D.
1
x2 = 2
= lim
2
2 x − 1 x →∞ 3
lim
−1
x →∞ 3 − x 2
x2
2−

Cách 1:


2x2 − 1
3 − x2

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

+ CACL +

x = 109

và so đáp án.

lim

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
f ( x) =
Câu 33.

[1D3-1] Cho hàm số

A.

5
9

.

B.

4 x 2 − 3x

( 2 x − 1) ( x3 − 2 )
5
3

.

2x2 −1
3 − x 2 x → 109

và so đáp án.

lim f ( x)

. Chọn kết quả đúng của

C.
Lời giải

5
9

.

x →2

D.

:
2
9


.

Chọn B.
lim
x →2

Cách 1:

4 x2 − 3x
=
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

4.2 2 − 3.2
5
=
3
( 2.2 − 1) ( 2 − 2 ) 3
4 x 2 − 3x
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

+ CACL +
lim

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
so đáp án.

x = 2 + 10−9


và so đáp án.

4 x 2 − 3x
( 2 x − 1) ( x3 − 2 )

x → 2 + 10 −9

và


x2 + 1
2x4 + x2 − 3

f ( x) =
Câu 34.

[1D3-2] Cho hàm số

A.

1
2

.

B.

2
2


lim f ( x )

. Chọn kết quả đúng của

x →+∞

0
C. .
Lời giải

.

D.

:
+∞

.

Chọn C.

lim

x →+∞

Cách 1:

x2 + 1
2x4 + x2 − 3


= lim

x →+∞

1
1
+ 4
2
x
x
=0
1 3
2+ 2 − 4
x
x

x2 + 1
2x4 + x2 − 3

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

+ CACL +

x = 109

và so đáp án.

x2 + 1
2x4 + x2 − 3


lim
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:
án.
lim

x →−∞

Câu 35.

[1D3-3]
−

A.

3 2
2

.

x → 109

và so đáp

1 + 3x
2x2 + 3

bằng:

B.


2
2

.

C.
Lời giải

3 2
2

−

.

D.

2
2

.

Chọn A.

Cách 1:

1
+3
2

1 + 3x
3 2
lim
= lim x
=−
2
x →−∞
x →+∞
2
3
2x + 3
− 2+ 2
x
1 + 3x

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

2 x2 + 3

+ CACL +

x = −109

lim

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus:

lim

Câu 36.


x →−∞

[1D3-4] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

và so đáp án.

1 + 3x
2 x 2 + 3 x → −109

cos 5 x
2x

là:

và so đáp án.


A.

−∞

.

B.

0

1
2


.

C. .
Lời giải

D.

+∞

.

Chọn B.
0 ≤ cos 5 x ≤ 1 ⇒ 0 ≤

cos 5 x
1
≤
, ∀x ≠ 0
2x
2x

Cách 1:

lim

x →−∞

1
=0

2x

lim

x →−∞

nên

Mà

cos 5 x
=0
2x

Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad +
đáp án.

cos 5 x
2x

+ CACL +

x = −109

và so

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
lim

cos 5 x

2 x x → −109

và so đáp án.
lim

Câu 37.

x →3

[1D4-2] Giá tri đúng của
A. Không tồn tại.

B.

0

x−3
x−3
1
C. .
Lời giải

.

D.

+∞

.


Chọn A.

x−3
=1 
x−3
x−3
x →3 x − 3
x →3 x − 3

≠ lim−
 ⇒ xlim
+
→3 x − 3
x →3 x − 3
x −3
−x + 3
lim−
= lim−
= −1

x →3 x − 3
x →3 x − 3
lim+

x−3

= lim+

Vậy không tồn tại giới hạn trên.


3 x − 5sin 2 x + cos 2 x
x →+∞
x2 + 2
lim

Câu 38.

[1D4-3]
−∞
A.
.

B.

0

.

bằng:

3
C. .
Lời giải

Chọn B.
3 x − 5sin 2 x + cos 2 x
3x
5sin 2 x
cos 2 x
lim

= lim 2
− lim 2
+ lim 2
x →+∞
x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
x2 + 2

D.

+∞

.


3
3x
A1 = lim 2
= lim x = 0
x + 2 x →+∞ 1 + 2
x →+∞
x2

−5
5sin 2 x
5
= 0 ≤ A2 = lim 2
≤ lim 2
= 0 ⇒ A2 = 0

x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
lim

2

0
cos 2 x
1
=
0
≤
A
=
lim
≤ lim 2
= 0 ⇒ A3 = 0
3
2
2
x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
x →+∞ x + 2
lim

Vậy

3 x − 5sin 2 x + cos 2 x
lim

=0
x →+∞
x2 + 2

.
x4 + 8x
x →+∞ x 3 + 2 x 2 + x + 2
lim

Câu 39.

[1D4-3] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
21
21
24
−
−
5
5
5
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải

D.


là:
24
5

.

Chọn C.
x4 + 8x
x →+∞ x 3 + 2 x 2 + x + 2
lim

x4 + 8x
x →−2 x 3 + 2 x 2 + x + 2
lim

thành

x ( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
x ( x2 − 2x + 4)
x4 + 8x
24
lim
= lim
= lim
=− .
2
2
x →−2 x 3 + 2 x 2 + x + 2
x →−2
x

→−
2
5
( x + 2 ) ( x + 1)
( x + 1)

lim+

x →1

Câu 40.

[1D4-3]
−1
A.
.

x3 − x2
x −1 +1 − x

bằng:
0
B. .

1
C. .
Lời giải

D.


+∞

.

Chọn C.

x3 − x 2
lim+
= lim
x →1
x − 1 + 1 − x x →1+

lim+

Câu 41.

[1D4-2]
A. –∞.

x →1

x2 − x + 1
x2 −1

x 2 ( x − 1)
x −1 −

bằng:
B. –1.


( x − 1)

2

= lim+
x →1

x x −1

(

x −1 1 − x −1

C. 1.

)

= lim+
x →1

( 1−

x
x −1

D. +∞.

)

= 1.

.


Lời giải
Chọn D.
lim+

x →1

Câu 42.

x2 − x + 1
= +∞
x2 −1

lim ( x 2 − x + 1) = 1 > 0

vì

x →1+

lim+ ( x 2 − 1) = 0; x 2 − 1 > 0
và

x →1

.

lim ( 4 x 5 − 3x 3 + x + 1)


x →−∞

[1D4-2] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
0
−∞
4
A.
.
B. .
C. .
Lời giải

là:
+∞
D.
.

Chọn A.
3 1 1

lim ( 4 x 5 − 3x3 + x + 1) = lim x 5  4 − 2 + 4 + 5 ÷ = −∞.
x →−∞
x →−∞
x
x
x 


.


lim

Câu 43.

[1D4-2] Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
0
−∞
1
A.
.
B. .
C. .
Lời giải

x →+∞

x 4 − x3 + x 2 − x

D.

là:
+∞

.

Chọn D.

x 4 − x 3 + x 2 − x = lim

lim


x →+∞

x →+∞

lim+

x →1

Câu 44.

3

.

x2 − x + 3
2 x −1

[1D4-2]

A.

 1 1 1
x 4 1 − + 2 − 3 ÷ = +∞.
x 
 x x

.

bằng:

1
2
B. .

1
C. .
Lời giải

D.

+∞

.

Chọn A.
1 3
1 3
1 3
x 1− + 2
x 1− + 2
1− + 2
x − x+3
x x = lim
x x = lim
x x = 3.
= lim+
+
+
x →1
x →1

x →1
1
1
2 x −1
2x −1


x2− ÷
2− ÷
x
x


2

lim

x →1+

f ( x ) = ( x + 2)
Câu 45.

[1D4-3] Cho hàm số

x −1
x + x2 + 1

.

lim f ( x )


4

. Chọn kết quả đúng của

x →+∞

:


A.

0

.

B.

1
2

1
C. .
Lời giải

.

D. Không tồn tại.

Chọn A.

x −1
= lim
x + x 2 + 1 x→+∞

lim f ( x ) = lim ( x + 2 )

x →+∞

Câu 46.

x4 + x2 + 1

4

x →+∞

[1D4-2] Cho hàm số
−1
A.
.

( x − 1) ( x + 2 )

 x 2 − 3 khi x ≥ 2
f ( x) = 
 x − 1 khi x < 2
B.

0


= lim

x →+∞

1 1 2
+ −
x 2 x3 x 4 = 0
1 1
1+ 2 + 4
x
x

.

lim f ( x )
x→2

. Chọn kết quả đúng của
:
1
C. .
D. Không tồn tại.
Lời giải

.

Chọn C.

lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 − 3 ) = 1


Ta có

x→2

x→2

lim f ( x ) = lim− ( x − 1) = 1

x → 2−

x →2

lim f ( x ) = lim− f ( x ) = 1

Vì

Câu 47.

x → 2+

x→2

[1D4-3] Chọn kết quả đúng của
0
−∞
A.
.
B. .
Chọn C.
 1 2

 x−2
lim−  2 − 3 ÷ = lim−  3 ÷
x→0  x
x  x →0  x 

lim ( x − 2 ) = −2 < 0

x →0−

Khi

x → 0− ⇒ x < 0 ⇒ x3 < 0

 x−2
lim  3 ÷ = +∞
 x 

x →0−

Vậy

.

lim f ( x ) = 1
nên

x →2

 1 2
lim−  2 − 3 ÷

x →0  x
x 

.

:

C.
Lời giải

+∞

.

D. Không tồn tại.


Câu 48.

[1D4-2] Cho hàm số

A.

−∞

1
1
lim f ( x )
−
x →1+

x − 1 x − 1 . Chọn kết quả đúng của
:
2
2
−
3
3
+∞
B.
.
C. .
D.
.
Lời giải

f ( x) =

.

3

Chọn A.

 − x2 − x 
lim+ f ( x ) = lim+  3
÷
x →1
x →1
 x −1 
lim ( − x 2 − x ) = −2


x →1+

Khi

x → 1+ ⇒ x > 1 ⇒ x3 − 1 > 0

lim f ( x ) = −∞

Vậy
Câu 49.

x →1+

.

[1D4-1] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I ) f ( x)
cho

[ a; b]

liên tục trên đoạn

A. Chỉ
C. Cả

( I)


( I)

liên tục trên đoạn
.
và

( II )

( a; b ]

đúng.
x −3
x2 − 9

[1D4-2] Cho hàm số
−∞.

và trên

.

B.

0.

.

Chọn B

lim


x →3+

= lim+
x →3

x −3
x2 − 9

( x − 3)
( x − 3) ( x + 3)
2

= lim+

( x − 3)
( x + 3)

[ a; b )

nhưng không liên tục

B. Chỉ

f ( x) =

A.

thì tồn tại ít nhất một số


f ( c) = 0

( II ) f ( x )

Câu 50.

và

f ( a) . f ( b) > 0

x →3

=0
.

.

( II )

( I)

D. Cả
Hướng dẫn giải.

.

và

( II )


( a; c )

sai.

lim f ( x )

. Giá trị đúng của
6.
C.
.
Lời giải

x →3+

là:
D.

+∞.

c ∈ ( a; b )

sao


4 x3 − 1
x →−2 3 x 2 + x + 2
lim

Câu 51.


[1D4-2]
A

−∞.

.

bằng:
11
− .
4
B.
.

C.

11
.
4

.

D.

+∞.

Lời giải
Chọn B
4 x3 − 1
11

lim 2
=−
x →−2 3 x + x + 2
4

.
x4 + 7
x →+∞ x 4 + 1
lim

Câu 52.

[1D4-1] Giá trị đúng của
−1.
1.
A.
.
B. .

là:
C.

7.

.

D.

+∞.


Lời giải
Chọn B
7
x +7
x4 = 1
lim 4
= lim
x →+∞ x + 1
x →+∞
1
1+ 4
x
1+

4

.

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC.

Câu 53.

[1D4-2] Cho hàm số
x=2
tục tại
là:
3
A.
.


x2 − 1
f ( x) =
x +1

B.

− 3

và

f ( 2 ) = m2 − 2

.

C.

với

± 3

.

x≠2

. Giá trị của

D.

Lời giải
Chọn C


x=2

⇔ lim f ( x ) = f ( 2 )
x→2

Hàm số liên tục tại
x2 −1
lim
= lim ( x − 1) = 1
x →2 x + 1
x →2
Ta có
.
m = 3
m2 − 2 = 1 ⇔ 
 m = − 3
Vậy
.
Câu 54.

[1D4-2] Cho hàm số
(I)
(II)

f ( x)

liên tục tại

f ( x)


f ( x ) = x2 − 4

x=2

gián đoạn tại

.

x=2

.

.

. Chọn câu đúng trong các câu sau:

m

±3

để

f ( x)

liên


(III)


f ( x)

( I)

A. Chỉ

[ −2; 2]

liên tục trên đoạn
và

( III )

.

B. Chỉ

.

( I)

.

C. Chỉ

( II )

.

D. Chỉ


( II )

và

( III )

Lời giải
Chọn B.
D = ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ )
Ta có:
.
lim f ( x ) = lim x 2 − 4 = 0
x→2

x →2

f ( 2) = 0

.

.

Vậy hàm số liên tục tại

Câu 55.

[1D4-2] Cho hàm số

A.


3

x=2

.

x2 + 1
 3
f ( x) =  x − x + 6

b + 3

.

B.

− 3

x ≠ 3; x ≠ 2
x = 3; b ∈ ¡

.

C.

2 3
3

. Tìm


b

để

.

f ( x)

D.

liên tục tại
2 3
−
.
3

x=3

.

Lời giải
Chọn D.

x = 3 ⇔ lim f ( x ) = f ( 3)
x →3

Hàm số liên tục tại
x +1
1

=
x − x+6
3

.

2

lim
x →3

3

f ( 3) = b + 3
b+ 3 =
Vậy:

.

.
1
1
−2
⇔b=− 3+
=
3
3
3
f ( x) =


Câu 56.

[1D4-2] Cho hàm số

( I ) f ( x)

gián đoạn tại

( II ) f ( x )

liên tục tại

x −1
x −1

.

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

x = 1.

x = 1.

1
lim
f
x
=
(
)

III
( ) x→1
2

A. Chỉ

( I)

.

B. Chỉ

( I)

.

C. Chỉ

( I)

và

( III )

.

D. Chỉ

( II )


và

( III ) .


Lời giải
Chọn C.
D = ¡ \ { 1}
x −1
1
1
= lim
=
x →1
x −1
x +1 2

lim
x →1

Hàm số không xác định tại

Câu 57.

[1D4-2] Cho hàm số
định sau:
( I ) lim+ f ( x ) = 0
x →−2

( II ) f ( x )


A. Chỉ

x = 1.

Nên hàm số gián đoạn tại

 2x + 8 − 2

f ( x) = 
x+2
0


.

x > −2
x = −2
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng

.

liên tục tại

( III ) f ( x )
( I)

x = 1.

x = −2.


gián đoạn tại
và

( III )

.

x = −2.

B. Chỉ

( I)

và

( II )

.
C. Chỉ
Lời giải

( I)

.

D. Chỉ

( I)


Chọn B.
2x + 8 − 2
= lim+
x →−2
x+2

lim+

x →−2

(

2x + 8 − 4
2x + 8 + 2

)

x+2

= lim+
x →−2

(

2 x+2
2x + 8 + 2

)

=0


lim f ( x ) = f ( −2 )

x = −2.
nên hàm số liên tục tại
.
 4 − x 2 − 2 ≤ x ≤ 2
f ( x) = 
x>2
1
[1D4-2] Cho hàm số
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:.
( I ) f ( x)
x = 3.
không xác định tại
Vậy

Câu 58.

.

x →−2+

( II ) f ( x )
( III )

liên tục tại

x = −2.


lim f ( x ) = 2
x→2

A. Chỉ
C. Chỉ

( I)
( I)

.
và

( III )

B. Chỉ
.

D. Cả

( I)

( II )

và
.
( I ) ; ( II ) ; ( III )

đều sai.



Lời giải
Chọn B.
D = [ −2; 2]

f ( x)

không xác định tại

lim 4 − x 2 = 0

f ( −2 ) = 0

x = −2.
. Vậy hàm số liên tục tại
lim f ( x ) = lim− 4 − x 2 = 0 lim+ f ( x ) = 1
x → 2.
x → 2−
x →2
x →2
;
. Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi
.
[1D4-2] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
1
f ( x) =
( I)
x2 −1
¡
liên tục trên .

x →−2

Câu 59.

x = 3.

;

sin x
f
x
=
(
)
II
( )
x

( III ) f ( x ) =
A. Chỉ

( I)

có giới hạn khi

x → 0.

[ −3;3]

9 − x2


và

( II )

.

liên tục trên đoạn
.
( II ) ( III )
( II )
B. Chỉ
và
. C. Chỉ
.
Lời giải

D. Chỉ

( III )

.

Chọn B.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.
Hàm số:
Nên

f ( x ) = 9 − x2


f ( x) = 9 − x

liên tục trên khoảng

( −3;3)

. Liên tục phải tại

3

và liên tục trái tại

cho

liên tục trên đoạn

f ( c) = 0

.

.

[ −3;3]

2

liên tục trên đoạn
.
 sin 5 x
x≠0


f ( x ) =  5x
a + 2
f ( x)
x=0
x = 0.
a
Câu 60. [1D4-2] Cho hàm số
. Tìm để
liên tục tại
2.
1
−1
−2
A. .
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn B.
sin 5 x
lim
= 1 f ( 0) = a + 2
x →0
5x
Ta có:
;
.

x=0
a + 2 = 1 ⇔ a = −1
Vậy để hàm số liên tục tại
thì
.
Câu 61. [1D4-1] Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I ) f ( x)

−3

[ a; b ]

và

f ( a) . f ( b) > 0

thì tồn tại ít nhất một số

c ∈ ( a; b )

sao


( II ) f ( x )
A. Chỉ
C. Cả

( I)
( I)


liên tục trên đoạn
.
và

( a; b ]

và trên

[ b; c )

nhưng không liên tục

B. Chỉ

( II )

đúng.

D. Cả

( II )
( I)

.

và

( II )


( a; c )

sai.

Lời giải
Chọn D.
KĐ 1 sai.
KĐ 2 sai.
Câu 62.

[1D4-1]Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I.

[ a; b]

f ( x)

f ( a) . f ( b) < 0

f ( x) = 0

liên tục trên đoạn
và
thì phương trình
có nghiệm.
f ( x)
f ( a) . f ( b) ≥ 0
f ( x) = 0
[ a; b ]
II.

không liên tục trên
và
thì phương trình
vô
nghiệm.
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng.
D. Cả I và II sai.
Lời giải
Chọn A.
Câu 63.

[1D4-2]Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I)

x +1
x −1

f ( x) =

.

( II )

( III )

f ( x ) = sin x


.

f ( x) =
.

A. Chỉ

( I)

x
x

liên tục với mọi
liên tục trên

liên tục tại

đúng.

¡

x =1

B. Chỉ

x ≠1

.

.


.

( I)

và

( II )

. C. Chỉ
Lời giải

( I)

và

( III )

.

D. Chỉ

( II )

Chọn D.
( II )
Ta có
đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
x
, khi x ≥ 0

x  x
f ( x) = = 
x  x
− , khi x < 0
( III )
 x
Ta có
đúng vì
.
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 1) = 1
Khi đó

x →1

x →1

y = f ( x) =
Vậy hàm số

.
x
x

liên tục tại

x =1

.

và


( III )

.


Câu 64.

 x2 − 3
,x≠ 3

f ( x) =  x − 3
2 3
,x= 3


[1D4-2]Cho hàm số
sau:
( I ) f ( x)
x= 3
.
liên tục tại
.
( II ) f ( x )
x= 3
.
gián đoạn tại
.
( III ) f ( x )
¡

.
liên tục trên .
( I ) ( II )
A. Chỉ
và
.
( I ) ( III )
C. Chỉ
và
.

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định

B. Chỉ
D. Cả
Lời giải

( II )
( I)

,

và
( II )

( III )
,

.


( III )

đều đúng.

Chọn C.
x≠ 3

Với

ta có hàm số

x= 3

Với

f
ta có

x= 3

x2 − 3
f ( x) =
x− 3

( 3) = 2

liên tục trên khoảng

x→ 3


x→

và

và

x −3
=2 3= f
3 x− 3

lim f ( x ) = lim

3

( −∞; 3 )

2

(

3; +∞

)

,

( 1)

.


( 3)
nên hàm số liên

( 2)

tục tại
,
( 1) ( 2 )
¡
Từ
và
ta có hàm số liên tục trên .
Câu 65.

[1D4-2]Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( I)

f ( x ) = x5 – x 2 + 1

.

( II )
( III )

f ( x) =

.
.


A. Chỉ

¡

.

1
x2 −1

f ( x) = x − 2

( I)

liên tục trên

đúng.

liên tục trên khoảng

( –1;1)

.

[ 2; +∞ )

liên tục trên đoạn
.
( I ) ( II )
( II ) ( III )
( I ) ( III )

B. Chỉ
và
. C. Chỉ
và
. D. Chỉ
và
.
Lời giải

Chọn D.
f ( x ) = x5 − x 2 + 1
( I)
¡
Ta có
đúng vì
là hàm đa thức nên liên tục trên .