Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội
2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn
Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung


MỤC LỤC
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

3

Chƣơng 1:

7

Một số kiến thức cơ sở

7


1.1 Không gian metric

7

1.2 Không gian định chuẩn

9

1.3 Không gian Hilbert
1.4 Không gian
1.5 Không gian

16

C[a;b ]

22

Lp [a ;b ]

25

Chƣơng 2:

30

Toán tử tích phân

30


2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục

30

2.2 Toán Tử tích phân với hạch bình phương khả tích

32

2.3 Toán tử tích phân trong không gian
2.4 Toán tử tích phân trong không gian

C[a;b ]

33

Lp [a ;b ]

35

2.5 Toán tử tích phân Fredholm

43

Chƣơng 3:

45

Ứng dụng giải phương trình tích phân


45

3.1 Khái niệm về phương trình tích phân tuyến tình

45

3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính

47

3.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần. Hạch lặp

47

3.2.2 Phương pháp nhân suy biến

57


3.2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến

65

Kết luận

76

Tài liệu tham khảo

77



LỜI MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài.

Lý thuyết hàm và Giải tích hàm là một
bộ môn lý thuyết được ra đời và phát triển từ
những năm đầu của thế kỷ XX đã tích lũy
được những nội dung hết sức phong phú,
những phương pháp và kết quả hết sức mẫu
mực, Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả
các ngành toán học có liên quan và sử dụng
đến những công cụ giải tích. Vì lẽ đó Giải tích
hàm trở thành nơi gặp gỡ của nhiều ngành
khoa học lý thuyết và ứng dụng như: lý thuyết
phương trình vi phân_tích phân, điều khiển tối
ưu, lý thuyết các bài toán cực trị.
Phương pháp của Giải tích hàm là tiền
đề hóa những tính chất đặc trưng của tập hợp
số thực thành các không gian tương ứng và
mở rộng các vấn đề cơ bản của giải tích cổ
điển vào những không gian đó.
Vì vậy, việc học và nắm vững môn học
này là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên khoa
toán. Tuy nhiên kiến thức trên lớp với thời
lượng eo hẹp, cùng với sự mới mẻ và cái khó
của môn học này đã làm cho việc tiếp thu
những kiến thức của Giải tích hàm trở nên

không dễ dàng với mỗi sinh viên khoa toán.
Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của
Giải tích hàm, đồng thời quyết tâm đi vào
nghiên cứu khoa học, được sự hướng dẫn tận


tình

của

thầy

giáo

Ts.Nguyễn Văn Hùng,
em đã chọn đề tài: “
Toán tử tích phân và
ứng dụng giải phƣơng
trình tích phân ” để
làm

khóa

luận

tốt

nghiệp.
2.


Mục đích nghiên
cứu.
Bước

đầu

làm

quen với công việc
nghiên cứu khoa học và
tìm hiểu sâu hơn về
Giải tích hàm, đặc biệt
là lý thuyết toán tử.
3.

Nhiệm vụ nghiên
cứu.
Nghiên cứu một

số cơ sở lý thuyết liên
quan đến toán tử tích
phân, tính

chất

của

toán tử tích phân, ứng
dụng của toán tử tích
phân vào giải phương

trình tích phân.


4.

Phƣơng pháp nghiên cứu.
Phương pháp đọc sách.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Phương pháp phân tích sản phẩm.

5.

Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.
Chương 2: Toán tử tích phân.
Chương 3: Ứng dụng giải phương trình tích phân.


Chƣơng
1
1.1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1
Không gian metric là một tập hợp Χ khác rỗng cùng với

một ánh xạ

d từ tích Descartes Χ

vào tập hợp số thực

 , thỏa mãn các tiên đề sau:

×
Χ
1) (∀x, y ∈ Χ ) d

( x, y)

≥ 0, (tiên đề đồng nhất)

d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y

(∀x, y
∈Χ)
2)

d ( x, y ) = d ( y, x )
⇔ x= y

(∀x, y, z
∈Χ )
3)

( x, y ) ≤ d (

z ) + d ( z, y )
d

Ánh xạ d gọi là metric trên
Χ , số

(tiên đề đối xứng)

x,

(tiên đề tam giác)

d ( x,

gọi là khoảng cách giữa

y)

hai phần tử x và y . Các phần tử của Χ gọi là điểm, các tiên đề
1), 2), 3) gọi là tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu Μ

=

( Χ,

d

)


.

• Sự hội tụ trong không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2

= (Χ, d ) , dãy điểm
⊂ Χ , điểm

Cho không gian metric Μ

(

xn )


x0 ∈ Χ . Dãy
điểm

(

xn )

gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian

Μ

khi n →
nếu:

(

(
∀ε >

∞,

)

*

)(

) (

)

0 ∃n0 ∈ Ν d xn , x0 < ε
∀n
≥ n0

Kí hiệu: lim x = hay
xn →
n

x0

x0 ( n → ∞ ) .

n→∞

Điểm


x0 còn gọi là giới hạn của dãy

)

( xn

trong không gian
Μ .


Nhận xét: Nếu hai dãy điểm

( xn ) ,

hội tụ tương ứng tới x và

( yn )
y khi n →∞ thì :
lim

n →∞

d (xn , yn ) = d (x, y )

• Không gian metric đầy.
Định nghĩa 1.1.3

= (Χ, d ) . Dãy điểm
⊂ Χ gọi là dãy


Cho không gian metric Μ

(

cơ bản trong Μ ,
nếu:

(
)(



*

xn )

)(

∀ε > 0 ∃n0 ∈∀n,
m ≥ n0
hay

) (

)

d xn , xm < ε

lim d ( x , xm ) = 0 .


n
m,n→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm (xn ) ⊂ Χ hội tụ trong

Μ đều là dãy cơ bản. Điều khẳng định ngược lai không
đúng.
Định nghĩa 1.1.4
Không gian metric

Μ =

(Χ,

d ) gọi là không gian

đầy nếu mọi dãy cơ
bản trong không gian này đều hội tụ.
• Nguyên lý Banach về ánh xạ co.
Định nghĩa 1.1.5
Cho hai không gian metric

Μ1 = ( Χ, d1 ) ,


Μ2 =

( Υ,


d2 ) . Ánh

xạ A từ
không gian

Μ1

vào không gian

Μ2

( ∃α

gọi là ánh xạ co, nếu:

∈[ 0,1) ) ( ∀x, x ' ∈Χ ) d 2

Ax') ≤ αd1 ( x, x ') .
Định lý 1.1.1(nguyên lý Banach về ánh xạ co).

(

Ax,


Mọi ánh xạ co A ánh xạ từ không gian metric đầy Μ

(Χ
,d)


vào

=

_

_

chính nó đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x

∈ Χ thỏa

thức:

mãn hệ
_

_

Ax = x
• Định lý Axcoli

.

Giả sử Χ là không gian metric
compact. Gọi

C (Χ) là tập hợp
tất cả


các hàm liên tục trên Χ (với giá trị thực hay
phức). Nếu họ mãn các điều kiện:

A
thỏa
⊂ C

( Χ)

a) A là bị chặn tại từng điểm trên Χ
b) A là đồng liên tục trên Χ
thì A là một tập hợp compact tương đối trong
1.2

C

Không gian định chuẩn.

( Χ)

.

Định nghĩa 1.2.1
Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là
một không gian tuyến tính Χ trên trường Ρ ( Ρ =  hoặc

Ρ= 

) cùng với một ánh xạ từ tập Χ vào  , kí hiệu là


⋅ và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

1) (∀x

∈Χ )

x
≥ 0,
x

= 0
⇔
x= θ

(kí hiệu phần tử không là

θ

);


2) (∀x

α

x =

α

⋅ x ;


∈ Χ ) (∀

α

∈Ρ )

(∀x, y
∈Χ )
3)

Số

x
+ y
≤

x+ y ;

x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng kí hiệu không gian

định chuẩn là Χ . Các tiên đề 1), 2), 3) gọi lả hệ tiên đề chuẩn.


• Liên hệ giữa không gian định chuẩn và không gian metric.
Định lý 1.2.1

ta đặt:

Cho không gian định chuẩn Χ . Đối với hai

vectơ bất kỳ

d (x, y ) = x
−
y

x, y
∈
Χ,
(1.2.1)

Khi đó d là một metric trên Χ .
Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric.
• Không gian con.
Cho không gian định chuẩn
Χ và tập hợp

Χ0
Χ≠
∈
Χ ,
0

φ

.

Nếu Χ là một không gian tuyến tính con của Χ và
0
chuẩn xác định

trên Χ là chuẩn xác định trên
0

Χ , thì

Χ0 được gọi là không gian
định

chuẩn con của không gian định chuẩn Χ .
• Không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.2
Dãy điểm
nếu:

)

( xn

trong không gian định chuẩn Χ gọi là dãy
cơ bản,

lim x − x = 0
n
m

n,m→∞

Định nghĩa 1.2.3



Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian Banach, nếu
mọi dãy cơ bản trong Χ đều hội tụ.
• Sự hội tụ trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.4
Cho không gian đinh chuẩn
Χ ,

x ∈Χ .


Tập

U=

{y

(
x) −
f

∈Χ:

( <ε,
y) ε > 0
f

cho trước , f ∈ gọi

Χ


}

là lân cận yếu của điểm x .
Định nghĩa 1.2.5
Cho không gian định chuẩn Χ . Dãy ( xn

) ∈Χ
phần tử

gọi là hội tụ yếu tới

∗

x ∈Χ , nếu với mọi lân cận yếu U của n0 ∈
x , tìm được số

sao cho ∀n

≥ n0

thì xn ∈U .
yêu

Kí hiệu : xn →

x

(n →

∞)


Định nghĩa 1.2.6
Dãy

)

( xn

trong không gian định chuẩn Χ gọi là hội tụ
mạnh tới

x0 ∈
Χ nếu:
(∀ε >

)(∃

∈ Ν
(∀
≥
0
n0

)

)−x x

*

n


n0

n

<

ε

.

0

• Toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.2.7
Cho các không gian tuyến tính Χ và Υ trên trường
hoặc
Ρ (Ρ = 


Ρ =  ). Ánh xạ A từ không gian Χ vào không gian

Υ gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn điều kiện:

(∀x,
' ∈Χ )
1)

x


(∀x ∈
Χ ) ( ∀α
∈Ρ )
2)

A ( x + x ') = Ax + Ax '
A(α x ) =

α

Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất.


Khi Υ = Ρ thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm
tính. hàm tuyến
Định nghĩa 1.2.8
Cho hai không gian định chuẩn Χ và Υ . Toán tử
tuyến tính A từ
không gian Χ vào không gian Υ gọi là bị chặn (giới nội),
nếu tồn tại hằng
số

C

≥ 0 , sao
cho:


Khi đó
toán tử A .

Ax ≤ C
x ,

A = inf

x∈ Χ

≤ C

{C ≥

0:
∀x ∈Χ : Ax

x}

gọi là chuẩn của

Từ định nghĩa ta dễ dàng có các tính chất sau:

(∀x
∈ Χ)
1)

2)


Ax ≤

Ax ;

(∃x ( A
(∀ε ε ∈Χ ) − ε
> 0)

< Aε ;

) xε

Định lý 1.2.2 (định lý ba mệnh đề tương đương).
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

Χ vào không gian định chuẩn Υ . Ba mệnh đề sau tương
đương:
1)

A liên tục.

2)

A liên tục tại điểm

3)

A bị chặn.



x0 nào đó thuộc Χ .
• Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.
Cho hai không gian định chuẩn Χ và

Υ . Kí hiệu

L

( Χ,
Υ)

là tập

hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn
Χ vào
không gian định chuẩn Υ . Ta L(Χ, Υ)
hai phép toán:
đưa vào


+) Tổng của hai toán tử A, B ∈

là toán tử, kí hiệu

L ( Χ,

xác định bằng hệ thức:

A


+B ,

Υ)

( A + B )x

∀x ∈Χ

= Ax + Bx ,
+) Tích vô hướng của

α ∈Ρ

( Ρ =  hoặc

Ρ =  ) với toán tử

A ∈ L(Χ, Υ) là toán tử, kí hiệu là αA , xác định bằng hệ
thức:

(α A)

x=

α (

Dễ dàng kiểm tra A + B ∈

L(Χ,
Υ) ,


α

Ax)
A∈

với hai phép

L ( Χ,
Υ)

toán trên thỏa mãn hệ tiên đề không gian tuyến tính. Do đó tập hợp

L(Χ
, Υ)

cùng với hai phép toán trên trở thành không gian tuyến tính trên trường
Ρ.
Với mỗi toán tử bất kỳ

A∈ L(Χ, Υ) , ta đặt:

A = sup Ax
x =1

(1.2.2)

Dễ thấy (1.2.2) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến tính

L ( Χ trên trường Ρ trở thành không gian định chuẩn.

, Υ)


Định lý 1.2.3
Nếu Υ là không gian
Banach thì

L(Χ, Υ) là không gian
Banach.

• Không gian liên hợp và phản xạ
Định nghĩa 1.2.9
Cho không gian định chuẩn Χ trên trường
hoặc Ρ =  ).
Ta gọi không gian

Ρ (Ρ= 

các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không
L(
Χ,

Ρ)

gian Χ là không gian liên hợp(hay không gian đối ngẫu) của
không gian

Χ và kí
hiệu là


Χ

∗

kí hiệu

( thay cho L(Χ, Ρ)).


Không gian liên hợp của không gian

∗

Χ

gọi là không gian liên

hợp thứ
hai của không gian Χ và
kí hiệu là

Χ

∗∗

.

Định lý 1.2.4
Nếu không gian liên hợp


Χ

∗

của không gian định chuẩn

Χ là tách
được thì không gian Χ là tách được.
Định lý 1.2.5
Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn
Χ vào
không gian liên hợp thứ hai
Định nghĩa 1.2.10

Χ

∗∗

của không gian Χ .

Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian
phản xạ nếu
Định lý 1.2.6

Χ=
∗∗

Χ
.


Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản
xạ.
• Toán tử compact
Giả sử Χ , Υ là hai
không gian Banach Toán tử tuyến tính:

A: Χ →

Υ

gọi là compact, nếu ánh xạ A hình cầu đơn vị đóng của Χ thành
một tập hợp compact tương đối trong Υ .
Từ các tính chất của các tập hợp bị chặn và các tập hợp tương đối, ta
suy ra:


o

Toán tử compact A ánh xạ mọi tập hợp bị chặn trong

Χ thành một tập compact tương đối
trong Υ . o
compact là liên tục.

Toán tử


Như vậy tính compact của một toán tử tuyến tính mạnh hơn tính liên
tục, do đó người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn liên
tục.

Định lý 1.2.7
Nếu

A: Χ →Υ là một toán tử compact của
không gian định chuẩn

Χ vào không gian định chuẩn Υ , thì ánh xạ A ánh xạ mọi
dãy hội tụ yếu trong Χ thành dãy hội tụ (mạnh) trong Υ .
Định lý 1.2.8
Giả sử Χ là không gian Banach phản xạ và Υ là một
không gian định chuẩn tùy ý. Nếu toán tử tuyến tính:

A:Χ → Υ
ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong Χ thành dãy hội tụ (mạnh) trong
Υ thì A
là một toán tử compact.
Định lý 1.2.9
Giả sử Χ là một không gian định chuẩn tùy ý và Υ là
một không gian
Banach. Nếu A
n∈

L ( Χ,
Υ)
trong L(Χ, Υ)
đến toán tử

(n =
1,2...)


là một dãy toán tử compact, hội tụ

A ∈ L(Χ, Υ) , tức là:
lim A − A = 0
n

n→∞

thì A là một toán tử compact.
Định lý 1.2.10


a) Nếu Χ và Υ là hai không gian định
chuẩn và

toán tử compact, thì toán tử liên hợp

∗

A :Υ
→
∗
Χ

∗

A : Χ là một
→
Υ
cũng là compact.


∗

b) Ngược lại, nếu toán tử A là compact và giả thiết thêm rằng

Υ là một không gian Banach, thì A là một toán tử compact.