TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

NGUYEN TH± HONG UYEN

TOÁN TU COMPACT
TRONG KHÔNG GIAN
BANACH

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI
H6C
Chuyên ngành: GIÃI TÍCH

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc Th.s HOÀNG NGOC
TUAN

Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Đe hoàn thành đưoc khóa lu¾n này, trưóc het em xin bày tó lòng
biet ơn sâu sac đen các thay cô giáo trong to Giái tích, khoa Toán, trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quá
trình làm khóa lu¾n.
Đ¾c bi¾t, em xin chân thành cám ơn thay giáo hưóng dan – Th.S
Hoàng Ngoc Tuan đã tao đieu ki¾n tot nhat và chí báo t¾n tình đe em có
the hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p này.
Do thòi gian và kien thúc có han nên nhung van đe trình bày trong
khóa lu¾n không tránh khói nhung thieu sót. Vì v¾y, em rat mong
nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cúa các thay cô và các ban.

Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Nguyen Th% Hong Uyen


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu. Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cúa các thay cô giáo
trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cúa Th.S Hoàng
Ngoc Tuan. Đây là đe tài đ®c l¾p không trùng l¾p vói đe tài cúa các tác
giá khác.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bài khóa lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa các thay cô cùng các
ban đe khóa lu¾n đưoc hoàn thi¾n hơn.
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên

Nguyen Th% Hong Uyen


Mnc lnc
Mé đau....................................................................................................1
Chương 1. Kien thNc chuan b%..................................................................3
1.1. Không gian Metric.........................................................................3
1.2. Không gian đ%nh chuan...............................................................4

1.3. Không gian Hilbert........................................................................8
Chương 2. Toán tN compact trong không gian Banach.....................12
2.1. Đ%nh lý Schauder và Đ%nh lý thay phiên Fredholm...............12
2.2. Lý thuyet pho...............................................................................21
2.3. Toán tú tn liên hop......................................................................29
Ket lu¾n................................................................................................42
Tài li¾u tham kháo...............................................................................43


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài

Lý thuyet hàm và giái tích hàm có tam quan trong đ¾c bi¾t đoi vói
toán hoc cơ bán và toán hoc úng dnng. N®i dung cúa nó rat phong phú,
đa dang. Do kien thúc trên lóp vói lưong thòi gian eo hep nên khó có the
đi sâu nghiên cúu m®t van đe nào đó cúa giái tích hàm. Vói mong muon
đưoc tìm hieu sâu hơn ve b® môn này, dưói góc đ® m®t sinh viên sư
pham Toán và trong pham vi cúa m®t khóa lu¾n tot nghi¾p cùng vói
sn giúp đõ cúa thay giáo – Th.S Hoàng Ngoc Tuan em xin manh dan trình
bày nhung kien thúc cúa mình ve đe tài “Toán tN compact trong không
gian Banach”.

2. Mnc đích nghiên cNu
Mnc đích nghiên cúu cúa bài khóa lu¾n này là tìm hieu ve toán tú
com- pact trong không gian Banach.

3. Đoi tưeng pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve toán tú compact trong không gian Banach bao gom
các đ%nh nghĩa và tính chat cúa nó.


4. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo. Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các
khái ni¾m, tính chat.
5


5. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khóa
lu¾n gom 2 chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%.
Chương 2: Toán tú compact trong không gian Banach.
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên
Nguyen Th% Hong Uyen


CHƯƠNG 1

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian Metric
Đ%nh nghĩa 1.1. Ta goi là không gian metric m®t t¾p hop X ƒ= cùng vói
0/
m®t ánh xa d tù tích Đe - các X × X vào t¾p hop so thnc R thóa mãn các
tiên đe sau đây:
(i) (∀x, y ∈ X ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đe đong nhat);
(ii) (∀x, y ∈ X ) d(x, y) = (y, x), (tiên đe đoi xúng);
(iii) (∀x, y, z ∈ X )d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đe tam giác).
Ánh xa d đưoc goi là metric trong X, so d(x, y) goi là khoáng cách

giua hai phan tú x và y. Các phan tú cúa X goi là các điem.
Không gian metric đưoc kí hi¾u là M = (X, d).
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho không gian metric M = (X, d), dãy điem (xn) ⊂
X, điem x0 ∈ X. Dãy điem (xn) goi là h®i tn tói điem x0 trong không gian
Mkhi n → ∞ neu (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N ∗ )(∀n ≥ n0) d(xn, x0) < ε, kí hi¾u :
lim xn = x0 hay xn
n→∞

→

x0(n

→

∞).

Điem x0 còn goi là giói han cúa dãy (xn) trong không gian M.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho không gian metric M = (X, d). Ta goi là lân c¾n
cúa điem x ∈ X trong không gian M moi hình cau mó tâm x, bán kính r >
0 nào đay.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho không gian metric M = (X, d) và t¾p A ⊂ X. T¾p
A


goi là t¾p mó trong không gian M, neu moi điem thu®c A đeu là điem
trong


cúa A, hay nói cách khác, neu điem x ∈ A thì ton tai m®t lân c¾n cúa x
bao

hàm trong A.
T¾p A goi là t¾p đóng trong không gian M, neu moi điem không
thu®c A đeu là điem ngoài cúa A, hay nói cách khác, neu điem x ∈/ A thì
ton tai m®t lân c¾n cúa x không chúa điem nào thu®c t¾p A.
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho không gian metric M = (X, d). T¾p K ⊂ X goi là
t¾p compact trong không gian M, neu moi dãy vô han các phan tú thu®c
K đeu chúa dãy con h®i tn tói phan tú thu®c t¾p K. T¾p K goi là t¾p
compact tương đoi trong không gian M, neu moi dãy vô han các phan tú
thu®c K đeu chúa dãy con h®i tn (tói phan tú thu®c X).
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho không gian metric M = (X, d). Không gian M goi
là không gian compact, neu t¾p X là t¾p compact trong M.
Đ%nh lý 1.1. (Azela - Ascoli) Cho X là m®t không gian metric compact và
Y là m®t không gian metric. Khi đó m®t t¾p hop con F cúa C(X,Y ) là
compact khi và chí khi nó liên tnc đong b¾c, b% ch¾n tùng điem và đóng.
Trong đó C(X,Y ) là không gian metric vói phan tú là tat cá các
hàm liên tnc tù X tói Y và metric đưoc xác đ%nh bói công thúc:
d( f , g) = max d ( f (x), g(x))
X

T¾p con F đưoc goi là b% ch¾n tùng điem neu vói moi x ∈ X t¾p hop
{ f (x) : f ∈ F} là b% ch¾n trong Y .
T¾p F đưoc goi là liên tnc đong b¾c trên X neu:
∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0
∀ f ∈ F, ∀x ∈ X : d(x, x0) < δ ⇒ d( f (x), f (x0)) < ε.

1.2. Không gian đ%nh chuan
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho X là không gian vectơ trên trưòng K (K=R ho¾c C).
Ánh xa "." : X → R đưoc goi là chuan trên X neu



(i) "x" ≥ 0 vói moi x ∈ X ;
(ii) ["x" = 0 khi và chí khi x = 0;
(iii) "λ x" = |λ | "x" vói moi x ∈ X vói moi λ ∈ K;
M®t không gian vectơ vói m®t chuan (X, ".") đưoc goi là không
gian tuyen tính đ%nh chuan (hay là m®t không gian đ%nh chuan).
Đ%nh lý 1.2. Cho (X, "."). Đ¾t d(x, y) = "x − y" ∀x, y ∈ X. Khi đó, d
là metric trên X.
Tù đ%nh lý trên suy ra m®t không gian đ%nh chuan có the tró thành
không gian metric (vói metric đ%nh nghĩa như trong đ%nh lý). Do đó
nhung khái ni¾m và tính chat đã có trong không gian metric thì cũng có
trong không gian đ%nh chuan.
M®t không gian Banach là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan
(X, ".")
là đú trong metric chính tac đưoc xác đ%nh bói d(x, y) = "x − y" vói x, y
∈ X.
M¾nh đe 1.1. Cho Y là không gian con cúa không gian Banach X. Y là
m®t không gian Banach khi và chí khi Y là đóng trong X.
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho p ∈ [1,∞). Không gian

p

đưoc xác đ%nh không gian

An
vectơ Kn n – chieu, vói chuan kí hi¾u vói x = (x1 , ..., xn) ∈ pAn
"x"p =

.

n


∑ |xi|

p

.

1
p

i=1

M¾nh đe 1.2. (Riesz) Cho X là m®t không gian đ%nh chuan. Neu Y là
m®t không gian con đóng thnc sn cúa X thì vói moi ε > 0 ton tai x ∈
SX := {x ∈ X : "x" = 1} sao cho dist(x,Y ) ≥ 1 − ε.
Đ%nh lý 1.3. Cho X là m®t không gian đ%nh chuan. X là huu han chieu
khi và chí khi hình cau đơn v% BX cúa X là compact.


Đ%nh nghĩa 1.9. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng K (K
là trưòng so thnc R ho¾c trưòng so phúc C). M®t ánh xa T : X → Y đưoc
goi


là tuyen tính, neu
(i) ∀x, xr ∈ X : T (x + xr ) = Tx + T xr ;
(ii) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x.
Ta thưòng goi ánh xa tuyen tính là toán tú tuyen tính. Khi Y = K thì toán tú
T thưòng goi là phiem hàm tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.10. Cho X, Y là không gian đ%nh chuan, và cho T là m®t

ánh xa tuyen tính tù X vào Y . T đưoc goi là toán tú tuyen tính b% ch¾n
neu T (BX ) b% ch¾n trong Y .
Ta xác đ%nh chuan cúa T là: "T " = sup {"T (x)"Y ; x ∈ BX }.
Kí hi¾u B(X,Y ) là không gian cúa các toán tú tuyen tính tù X vào Y
. Trong trưòng hop X = Y , ta đ¾t B(X ) = B(X, X ).
Đ%nh lý 1.4. Cho T : X → Y là toán tú tuyen tính ánh xa không gian đ
%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Khi đó, T liên tnc khi và chí
khi T b% ch¾n.
Do đó, ta dùng các thu¾t ngu liên tnc và b% ch¾n thay the cho nhau
khi nói ve các toán tú tuyen tính.
Đ%nh lý 1.5. Cho Y là không gian con cúa không gian Banach X. Neu
dim(Y ) = n, thì ton tai m®t phép chieu P cúa X vào Y sao cho "P" ≤ n.
Đ%nh nghĩa 1.11. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ) –
không gian các toán tú tuyen tính liên tnc tù T : X → Y . Ta đ%nh nghĩa
toán tú đoi ngau (hay đưoc goi là liên hop) T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) vói f ∈
Y ∗ , T ∗ ( f ) : x ›→ f (T (x)).
M¾nh đe 1.3. Cho A, B là t¾p hop compact trong không gian Banach X.
Khi đó, A + B là compact.
M¾nh đe 1.4. B(A2) chúa m®t t¾p con đang cn vói A∞ và do đó nó
không tách đưoc.


Đ%nh nghĩa 1.12. M®t không gian con Y cúa không gian Banach X đưoc
goi là bù đưoc trong X neu ton tai m®t phép chieu tuyen tính b% ch¾n
cúa X lên Y .
M¾nh đe 1.5. Cho Y là không gian con đóng cúa không gian Banach. Y là
bù đưoc trong X khi và chí khi ton tai phan bù tôpô cúa Y trong X.
Đ%nh nghĩa 1.13. Dãy {xn} trong không gian Banach X goi là :
(i) B% ch¾n dưói neu inf "xn" > 0
(ii) B% ch¾n trên neu sup "xn" < ∞

(iii) Chuan hóa neu "xn" = 1 vói moi n.
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho không gian tuyen tính X và "."1, "."2 là hai chuan
trên X. Hai chuan "."1 và "."2 đưoc goi là tương đương neu ton tai hai
so dương α, β sao cho:
α"x"1 ≤ "x"2 ≤ β "x"1 ∀x ∈ X.
Đ%nh lý 1.6. Neu "."1, "."2 là tương đương thì cùng xác đ%nh m®t sn h®i
tn
vói m®t dãy bat kì, nghĩa là: lim "x − xn " = 0 ⇔
1
"x − xn "2 = 0.
n→∞ lim
n→∞

Đ%nh nghĩa 1.15.
1. T¾p E ⊂ X đưoc goi là trù m¾t trong X neu E = X.
2. Không gian đ%nh chuan X goi là không gian tách đưoc neu ton tai
m®t t¾p đem đưoc, trù m¾t trong X.
Đ%nh lý 1.7. (Hahn - Banach) Cho X là m®t không gian vectơ và p là
m®t hàm giá tr% thnc trên X thóa mãn:∀x, y ∈ X, ∀a, b ∈ C, |a| + |b|
=1
⇒ p(ax + by) ≤ |a| p(x) + |b| p(y).
Lay λ là m®t phiem hàm tuyen tính trên không gian con Y cúa X và
giá sú λ thóa mãn ∀x ∈ Y, |λ (x)| ≤ p(x). Khi đó, ton tai m®t phiem hàm
tuyen tính ϕ trên X sao cho: ∀x ∈ X, |ϕ(x)| ≤ p(x) và ∀x ∈ Y, ϕ(x) = λ
(x).


Đ%nh lý 1.8. (Nguyên lí b% ch¾n đeu) Cho X là m®t không gian Banach và
Y
là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan. Lay {T γ}γ∈Γ là m®t ho các toán

tú
tuyen tính b% ch¾n ánh xa X vào Y . Khi đó (∀x ∈ X ; sup Tγ
(x)

< ∞) ⇒
Y

γ∈Γ

sup Tγ <
∞.
Đ%nh lý 1.9. (Nguyên lí ánh xa mó) Cho T : X → Y là m®t toán tú tuyen
tính b% ch¾n tù không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó:
T (U ) = {T (x) : x ∈ U} là t¾p mó trong Y khi U là t¾p mó trong X.
Đ%nh lý 1.10. (Nguyên lí ánh xa ngưoc) M®t song ánh liên tnc T : X → Y
ánh xa không gian Banach X lên không gian Banach Y có song ánh ngưoc
T −1 : Y → X.
Ví dn Giá sú E ⊂ R. Vói 1 ≤ p < ∞, kí hi¾u:

L(P)(E) =  f : E → C :


¸



p
| f (x)| dx < ∞



E

.
thì L (E) là không gian Banach vói chuan " f "Lp = | f
p

¸

p

.1
dx

p

(x)|

E

1.3. Không gian Hilbert
Đ%nh nghĩa 1.16. Cho không gian tuyen tính X trên trưòng F. Ta goi là
tích vô hưóng trên không gian X moi ánh xa tù tích Đecác X × X vào F, kí
hi¾u (., .) thóa mãn tiên đe:


(i) (∀x, y ∈ X ) (y, x) = (x, y);
(ii) (∀x, y, z ∈ X ) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;
(iii) (∀x ∈ X ) (x, x) > 0 neu x ƒ= θ (θ là kí hi¾u phan tú không)
(x, x) = 0 neu x = θ.
Neu (x, y) = 0 thì x, y đưoc goi là trnc giao. Khi đó ta viet x⊥y.



Neu x ∈ X, ta đ¾t "x" = ,(x, x) thì công thúc này xác đ%nh m®t
chuan
trên X.
Đ%nh nghĩa 1.17. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không
gian Hilbert X và không gian Hilbert Y . Toán tú B ánh xa không gian
Y vào không gian X goi là toán tú liên hop vói toán tú A neu:
(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tú liên hop B thưòng kí hi¾u là A∗.
Đ%nh nghĩa 1.18. Ta goi m®t t¾p H ƒ= gom nhung phan tú x, y, z, ...
nào
0/
đó là không gian Hilbert neu t¾p H thóa mãn các đieu ki¾n:
(i) H là không gian tuyen tính trên trưòng F
(ii) H đưoc trang b% m®t tích vô hưóng
(iii) H là không gian Banach vói chuan "x" = ,(x, x), x ∈ H.
Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cúa không gian Hilbert là
không gian Hilbert con cúa không gian Hilbert H.
Đ%nh nghĩa 1.19. Cho F là không gian con cúa không gian Hilbert H.
T¾p hop F ⊥ = {h ∈ H; h⊥F} đưoc goi là phan bù trnc giao cúa F
trong H.
Đ%nh lý 1.11. Cho F là không gian con cúa không gian Hilbert H. Neu F
là đóng thì F + F ⊥ = H. Do đó, T : F ⊕ F ⊥ → H đưoc đ%nh nghĩa bói T
(x, y)
= x + y là m®t phép đang cau cúa F ⊕ F ⊥ lên H.
Đ%nh nghĩa 1.20. Cho H là không gian Hilbert và S ⊂ H. S đưoc goi là
t¾p hop trnc chuan neu (s1, s2) = 0 vói bat kì s1 ƒ= s2 ∈ S và (s, s) =
1 vói moi s ∈ S.



T¾p hop trnc chuan lón nhat trong H đưoc goi là m®t cơ só trnc
chuan cúa H.
Đ%nh lý 1.12. Moi không gian Hilbert đeu có m®t cơ só trnc chuan.


Đ%nh lý 1.13. Moi không gian Hilbert H vô han chieu tách đưoc đeu có
∞
m®t cơ só trnc chuan
{ei
.
}i=1
∞
Hơn nua, neu {ei}i=1 là m®t cơ só trnc chuan cúa H, thì vói moi x ∈ H
∞

x=

∑ (x, ei)ei

i=1

So (x, ei) đưoc goi là h¾ so Fourier và x = ∑ (x, ei)ei đưoc goi là
khai trien Fourier cúa x ho¾c chuoi Fourier vói x.
∞

M¾nh đe 1.6. Cho {ei }i=1 là m®t t¾p hop trnc chuan trong không gian
Hilbert ∞H và x ∈ H

(i) ∑ |(x, ei)|2 ≤

"x"
i=1

2

(Bat đang thúc Bessel)

∞

2

(ii) Neu {ei}i=1 là m®t cơ só trnc chuan cúa H, thì "x"

∞

2

= ∑ |(x, ei)|

(Bat đang thúc Parseval)
(iii)Neu bat đang thúc Parserval luôn đúng vói moi x ∈ H thì {ei

i=1

∞

}i=1

là m®t cơ só trnc chuan cúa H
(iv) Neu span({ei}


∞

i=1 )

= H, thì {e}
i

∞

là m®t cơ só trnc chuan cúa H.

M¾nh đe 1.7. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ). Neu có δ
>0
sao cho "T (x)" ≥ δ "x" vói moi x ∈ X, thì T (X ) là đóng trong Y .
Hơn nua, T là m®t phép đang cau tù X vào Y .
M¾nh đe 1.8. Cho Y là không gian con đóng cúa không gian Banach X.
Neu
x0 ∈/ Y, thì có f ∈ SX ∗ sao cho f (x) = 0 vói moi x ∈ Y, và f (x0 ) =
dist(x0 ,Y ).
Đ%nh lý 1.14. Cho H là không gian Hilbert. Vói moi f ∈ H ∗ , ton tai duy
nhat a ∈ H, sao cho f (x) = 0 vói moi x ∈ H. Ánh xa f ›→ a là liên hop
tuyen tính đang cn cúa H∗ vào trong H.
Ví dn


1. L p (E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hưóng đưoc xác đ
%nh
bói ( f , g) =E f (x)g(x) dx
¸


Khi p ƒ= 2 thì Lp (E) không là không gian Hilbert.


2. p = 2 thì A p là không gian Hilbert vói tích vô hưóng
((an), (bn)) =

∞

∑ anbn
n=1

p ƒ= 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert.
Đ%nh nghĩa 1.21. Cho {xn} là m®t dãy trong không gian Hilbert H
(i) {xn} là dãy trnc giao neu (xn, xm) = 0 khi m ƒ= n
(ii)

{xn} là dãy trnc chuan neu (xm, xn) = δmn, nghĩa là, {xn} trnc

giao
và "x" = 1 vói moi n
(iii)

∞

{xn} là cơ só cúa H neu ∀x ∈ H đeu có the viet x =

∑ cn xn vói
n=1


cách chon các vô hưóng cn là duy nhat
(iv)

Dãy {xn} cơ só trnc chuan neu nó vùa là dãy trnc chuan vùa là

cơ só. Trong trưòng hop này, sn bieu dien duy nhat cúa x ∈ H theo cơ só
này là x = ∑ (x, xn) xn.
∞

Ví dn Lay H = A2 và xác đ%nh dãy en = (δmnm=
) = (0, . . . ,0, 1, 0. . . )
1
trong
đó so 1 ó v% trí thú n. Khi đó {en} là cơ só trnc chuan cúa A2, thưòng goi
là
cơ só chính tac.
Đ%nh lý 1.15. Không gian Hilbert H có cơ só trnc chuan khi và chí khi
không gian đó là tách đưoc.
Đ%nh nghĩa 1.22. Cho S là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không
gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tú S∗ ánh xa không gian
Y vào không gian X goi là toán tú liên hop cúa toán tú S neu:
(Sx, y) = (x, S∗ y) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.


CHƯƠNG 2

Toán tN compact trong
không gian Banach
2.1. Đ%nh lý Schauder và Đ%nh lý thay phiên
Fred- holm.

Đ%nh nghĩa 2.1. Cho X và Y là không gian Banach. T ∈ B(X,Y ) đưoc
goi là m®t toán tú compact neu T (BX ) là compact trong Y .
Không gian cúa tat cá các toán tú compact tù X vào Y vói chuan đưoc
tao thành tù B(X,Y ) đưoc kí hi¾u là κ(X,Y ). Neu X = Y , thì viet κ(X )
thay cho κ(X, X ).
T ∈ B(X,Y ) đưoc goi là m®t toán tú có hang huu han ho¾c m®t toán tú
huu
han chieu neu dim(T (x)) < ∞.
Bói F(X,Y ) ta kí hi¾u không gian cúa tat cá các toán tú huu han chieu tù
X
vào Y vói chuan đưoc tao thành tù B(X,Y ).
Neu f ∈ SX∗ và f không đat đưoc chuan cúa nó trên BX thì
f (BX ) = (-1,1). Do đó ta có f ∈ κ(X ,R), nhưng f (BX ) không phái
là compact. Bói v¾y, bao đóng T (BX ) trong đ%nh nghĩa cúa toán tú
compact không the bó đưoc.
M¾nh đe 2.1. Cho X, Y là không gian Banach. Khi đó F(X,Y ) là không
gian con cúa κ(X,Y ). κ(X,Y ) là không gian con đóng cúa B(X,Y ), và
đó là m®t không gian Banach.


Chúng minh. Vì (T1 + T2)(X ) ⊂ T1(X ) + T2(X ), F(X,Y ) là không
gian con
cúa B(X,Y ). Neu T là m®t toán tú có hang huu han, thì T (BX ) là t¾p
hop b% ch¾n trong không gian đóng huu han chieu T (X ), và do đó T
(BX ) là compact.
Đoi vói T1, T2 ta có
(αT1 + β T2)(BX ) ⊂ αT1 (BX ) + β T2(BX ) ⊂ αT1 (BX ) + β T2(BX )
và neu Ti compact, ve phái là t¾p hop compact (M¾nh đe 1.3). Do đó,
κ(X,Y )
là không gian con cúa B(X,Y ). Ta se chúng tó nó là đóng.

Xét Tn ∈ κ(X,Y ) sao cho lim(Tn) = T trong κ(X,Y ). Đe chúng tó
rang T là toán tú compact, cho ε > 0, ta tìm m®t ε - lưói huu han vói T
(BX ). Đau tiên, chú
→ ý rang Tn

T trong B(X,Y ) có nghĩa là lim (Tn(x))

= T (x) không

n→∞

đoi vói x ∈ BX . Do đó, ton tai n0 sao cho "Tn(x) −T (x)" < ε/2 đe x ∈ BX
và
n ≥ n0. Vì Tn0 (BX ) b% ch¾n hoàn toàn trong Y nên ε/2 – lưói huu han
F trong Tn0 (BX ). Ta có ε huu han trong T (BX ). Th¾t v¾y, cho x ∈ BX ,
ta tìm đưoc y ∈ F sao cho Tn0 (x) −y < ε/2. Khi đó "T (x) − y" ≤
T (x) − Tn0 (x) +
Tn0 (x) −y < ε. Bói v¾y, T là toán tú compact.
Chú ý rang neu X là vô han chieu, thì không có phép đang cau tù X
vào Y là toán tú compact theo Đ%nh lý 1.3. Đ¾c bi¾t, toán tú đong nhat
IX trong không gian Banach vô han chieu X không bao giò là compact.
Bo đe 2.1. Cho X, Y là không gian Banach và T , T1, T2... ∈ B(X,Y ).
Neu lim(Tn (x)) = T (x) vói moi x ∈ X, thì vói moi t¾p hop compact K
trong X ta có Tn(x) → T (x) đeu trên K.
Chúng minh. Ngưoc lai, giá sú có m®t t¾p hop compact K trong X , ε >
0, m®t dãy con cúa {Tn} (kí hi¾u {Tn}) và xn ∈ K sao cho "Tn (xn ) −T


(xn)" ≥ ε. Vì {xn} ⊂ K nên ta giá sú xn → x vói x ∈ K. Theo nguyên lí b
% ch¾n đeu



ta có M = sup{"T ", "T1" , "T2" , ...} < ∞. Do đó
"(Tn −T )(xn)" ≤ "(Tn −T )(x)" + "(Tn −T )(xn − x)"
≤ "(Tn −T )(xn)" + "Tn −T"."x n − x"
≤ "(Tn −T )(x)" + 2M. "xn − x" → 0,
mâu thuan vói "Tn (xn ) −T (xn)" ≥ ε.
Đ%nh nghĩa 2.2. Cho X là m®t không gian tuyen tính đ%nh chuan vô han
∞
chieu. M®t dãy {ei} i=1 trong X đưoc goi là m®t cơ só Schauder cúa X neu
∞
vói moi x ∈ X thì ton tai dãy vô hưóng (ai)i=1 đưoc goi là toa đ® cúa x sao

cho x
=

∞

∑ ai ei.
i=1

M¾nh đe 2.2. ([6]) Cho X là không gian Banach vói cơ só Schauder. The
thì

B(X )

F(X )

= κ(X ).


Chúng minh. Giá sú Pn là phép chieu chính tac đưoc liên ket vói cơ só
Schauder {ei }. Vói moi x ∈ X , ta có lim(Pn (x)) = x = IX (x), khi đó
IX là toán tú đong nhat trong X . Cho T ∈ κ(X ), ta thay rang có có các
toán tú huu han chieu Pn ◦ T h®i tn đen T trong B(X ). Tiep theo, ta phái
chúng tó rang (Pn − IX )(T (x)) h®i tn đeu đen 0 trong BX ; túc là, (Pn
− IX ) h®i tn đeu đen 0
trong T (BX ). Đieu này đưoc suy ra tù Bo đe 2.1 vì T (BX ) là compact.
Không phái moi không gian đeu có tính chat này. Vì không gian cúa
toán tú compact là đóng nên ta có F(X,Y ) ⊂ κ(X,Y ) vói X , Y là các
không gian Banach. Không gian Banach Y đưoc goi là có tính chat xap
xí (A.P) neu trong moi không gian Banach X ta có F(X,Y ) = κ(X,Y ).
M®t thay đoi nhó trong chúng minh đ%nh lí trưóc chúng tó rang c0 và
A p , p ∈ [1,∞), có A.P.
M¾nh đe 2.3. Cho X là không gian Banach vói cơ só Schauder. Neu X ∗ là
tách đưoc, thì κ(X,Y ) là tách đưoc.


Chúng minh. Đau tiên, ta chúng tó rang t¾p các toán tú m®t chieu là
t¾p hop con trong κ(X ). Chon m®t t¾p hop trù m¾t đem đưoc{ fi}
trong X ∗ và m®t t¾p hop trù m¾t đem đưoc {xn} trong X . Khi đó dãy
các toán tú Ti,n : x ›→ fi(x)xn là trù m¾t trong t¾p hop các toán tú m®t
chieu trên X .
Th¾t v¾y, giá sú T là m®t toán tú m®t chieu không tam thưòng trên
X có dang T (x) = f (x) e, khi đó f ∈ X ∗ , e ∈ X. Cho ε > 0, chon fi
sao cho " f − f i" ≤ ε/"e" và xn sao cho "e − xn " < ε/(" f " + ε/"e").
Vói "x" ≤ 1,
ta có
" f (x)e − fi(x)xn" ≤ "e" . " f − f i" . "x" + " f i" . "e − xn " . "x"
ε + (" f " ε
ε

≤
)
< 2ε.
"e"
"e +
"f"+
"e"
Do đó "Ti,n − T " < 2ε. "
ε/"e"
Vì không gian sinh bói các toán tú m®t chieu là F(X ), không gian này
là tách đưoc. Tù K(X ) = F(X ) ta có κ(X ) là tách đưoc.
Ta đã có B(A2) là không tách đưoc (M¾nh đe 1.4).
w

M¾nh đe 2.4. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ κ(X,Y ). Neu xn→
x
trong X, thì T (xn) → T (x) trong Y .

M®t toán tú thóa mãn ket lu¾n cúa M¾nh đe 2.4 đưoc goi là toán tú
liên tnc đay đú. Do đó, moi toán tú compact là liên tnc đay đú. Ví dn cúa
toán tú đong nhat trên A1 chúng tó rang chieu ngưoc lai cúa đ%nh lí
không đúng trong trưòng hop tong quát.
w

Chúng minh. Neu xn → x thì {xn} yeu và do đó chuan b% ch¾n, và ta giá
sú

w

x, xn ∈ BX . Ta có T (xn) → T (x) bói tính w - w - liên tnc cúa T .

Tuy nhiên, T (BX ) là không gian compact trong tôpô chuan, nên tôpô yeu
là yeu hơn và Hausdorff; tù đó hai tôpô này trùng nhau trên T (BX ).
Do đó, T (xn) → T (x).