Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Bùi Kiên Cường

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong trường Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã dạy dỗ tôi qua 4 năm Đại học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy
giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ
bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Phan Thị Thủy

Phan Thị Thủy

K35G- SP Toán


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân trong quá trình học tập
nghiên cứu ở bậc đại học, bên cạnh đó tôi cũng nhận được sự quan tâm,
giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán đặc biệt thầy
giáo hướng dẫn, tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Vì vậy tôi xin khẳng định kết quả của đề tài:“Toán tử chiếu và
toán tử unita” không có sự trùng lặp với các đề tài khác, nếu sai tôi xin
hoàn thành chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm2013
Sinh viên

Phan Thị Thủy


MỤC LỤC
Lời nói đầu...............................................................................................1
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................ 2
1.1. Không gian Hilbert............................................................................. 2
1.1.1.Không gian định chuẩn...............................................................2
1.1.2.Tích vô hướng............................................................................ 3
1.1.3.Không gian Hilbert..................................................................... 5
1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert..........................8
1.2.1.Các định nghĩa............................................................................ 8
1.2.2.Ví dụ.........................................................................................10
CHƯƠNG 2. TOÁN TỬ CHIẾU.......................................................... 12
2.1. Định nghĩa toán tử chiếu................................................................... 12
2.2. Tính chất và các phép toán của toán tử chiếu...................................14
2.2.1. Định lí 2.2.1.............................................................................14
2.2.2. Định lí 2.2.2.............................................................................15
2.2.3. Định lí 2.2.3.............................................................................15
2.2.4. Phép toán trên các toán tử chiếu.............................................. 17
2.2.5. Dãy đơn điệu của toán tử chiếu...............................................20
2.2.6. Khẩu độ của hai đa tạp tuyến tính............................................ 22
CHƯƠNG 3. TOÁN TỬ UNITA.......................................................... 26
3.1. Định nghĩa toán tử unita...................................................................26
3.2. Tính chất của unita............................................................................27
Kết luận................................................................................................... 32
Tài liệu tham khảo................................................................................... 33



MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết hàm và Giải tích hàm được ra đời và phát triển vào
những năm đầu thế kỉ 20, nó có nhiều tầm quan trọng và ứng dụng trong
các nghành của toán học, vì thế giải tích hàm là một môn quan trọng,
việc học và nắm vững môn này là cần thiết đối với sinh viên khoa Toán.
Nội dung của giải tích hàm rất phong phú, đa giạng kiến thức
trong lớp với lượng thời gian eo hẹp cùng với sự mới mẻ và cái khó của
môn này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức của giải tích hàm trở
nên không dễ dàng với sinh viên khoa Toán. Do đó để nắm vững các
kiến thức cơ bản của Giải tích hàm đồng thới với quyết tâm bước đầu đi
vào nghiên cứu khoa học, để tự tin trong việc dạy và học sau khi ra
trường, chúng tôi đã chọn đề tài: “Toán tử chiếu và toán tử unita
trong không gian Hilbert” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về Giải tích hàm đặc biệt là lí thuyết toán tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về toán tử chiếu, các tính chất của toán tử chiếu, toán
tử unita và các tính chất của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Nội dung chính gồm ba chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Toán tử chiếu.
Chương 3: Toán tử unita.


CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian Hilbert
1.1.1. Không gian định
chuẩn Định nghĩa
1.1.1.
Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trên
trường P  P □ hoặc P  □  với một ánh xạ từ X vào tập số thưc □ , kí
hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
1)  x  X  , x

 0, x  0  x   .

2) x  X  ,    P  ,  x   x .
3)x, y  X  ,

xy  x  y.

Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X . Các tiên đề 1),2),3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ 1.1.1.
Đối với số thực bất kì x □ ta đặt:
x  x.
Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức này cho
ta một chuẩn trên □ . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là □

1

Ví dụ 1.1.2.
k

Cho không gian vectơ thực □ , trong đó:






□ k  x   x1, x2 ,..., xn  xi □ ,i  1, 2,...k .
Đối với vectơ bất kì x   x1, x2 ,..., xn   □k ta đặt:
k

x

x
j1

j

k

□ .

(1.1.2)


Từ công thức x  d (x, ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức
(1.1.2) cho một chuẩn trên □ k . Không gian định chuẩn tương ứng kí
k

hiệu là □ .
1.1.2. Tích vô hướng
1. Định nghĩa tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.2.
Cho không gian tuyến tinh X trên trường P  P □ hoặc

P □ .

Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descates

X  X vào trường P , kí hiệu là .,. thỏa mãn tiên đề:
1)  x, y  X  , y, x   x, y .
2) x, y, z  X  , x  y, z    x, z    y, z  .
3) x, y  X  ,   P ,  x, y     x, y  .
4)  x  X  , x, x  0,x   với là phần tử không,  x, x  0

nếu

x  .
Các phần tử x, y, z,... gọi là nhân tử của tích vô hướng, số

 x, y 

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y . Các tiên đề 1),2),3),4) gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
2. Các tính chất đơn giản
1) x  X  ,  , x   0x, x  0. x, x  0.
2)  x, y  X  ,   P , x, y     x, y  . Thật vậy,

 x, y    y, x    y, x    x, y  . 3) x, y, z 
X  , x, y  z    x, y    x, z  .
Thật vậy,  x, y  z    y  z, x   y, x   z, x   x, y    x, z  .
Ví dụ 1.1.2: Không gian □

k

là không gian vectơ k chiều.


Với
x 

k

k

x

j

□

j1

 

,

yj

y 

k


k

j1

 □ , ta đặt:

k

 x, y   

(1.1.2)

x jy j.

j1

k

Thì □ cùng với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng.
Thật vậy:
1)

x 

k x
j

k

j1


□

,

 
yj

y 

k

k

j1

 □ , ta có :

k

 x, y   

xj y j .

j1
k

  x, y    x j y j .
j 1
k


  x, y    x j y j .
j 1
k

  x, y    y j x j   y, x .
j 1

(Tiên đề 1 được thỏa mãn)
2)
k
k
,
 □ y 
x  xj

 
k

j1

k

 x  y, z    
j1

yj

 k


k

j1

 □ , z 

x j  y j z j .

k

   x j z j  y j z j .
j1
k

k

j1

j 1

  x j z j    y j z j .
  x  y, z    x, z    y, z  . (Tiên
đề 2 được chứng minh)
3)
k

,

k


 

k

k

z

j

j1

k

 □ ta có:


x  x j

j1

□

y 

yj

j1

 □ ,   □ , ta có:



k

k

j 1

j 1

 x, y    x j y j    x j y j .
   x, y .
(tiên đề 3 được thỏa mãn)
4) x   x

 x, x 



k

k

j j1

 □ , ta có:

k

  x 2  0.

j

j1



 x, x  0 nếu x   .

 x, x 

k

  x 2  0.
j

j1

 x j  0,

 j  1, 2,..., k  .

x.
(tiên đề 4 được thỏa mãn)
k

Vậy □ cùng với hệ thức (1.1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô
hướng.
1.1.3. Không gian Hilbert
1.1.3.1. Định nghĩa không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.3.1.

Ta gọi một tập H   gồm những phần tử

x, y,
z,...

nào đấy là

không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P.
2) H được trang bị một tích vô hướng.
3) H là một không gian Banach với chuẩn x 

 x, x , x  H .

Ta gọi mội không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là không gian Hilbert con của không gian H.


Ví dụ 1.1.3.1.
Kí hiệu
y   yn

k

□ là không gian vectơ thực k chiều. Với x   xn

 □ k ,

 □ k.


Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.1.2)
x



 x, x

k

x

2

, x x

 □ k .

(1.1.3.1)

n1

Khi đó không gian vectơ thực □

cùng với tích vô hướng (1.1.2)

k

là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.3.2.

Kí hiệu


l2 là không gian vectơ các dãy sô phức x   xn  sao cho
2

chuỗi số  xn hội tụ. x   xn   l2 ,y   yn   l2 , ta đặt:
n1



 x, y   

xn y n .

n1

Dễ dàng thấy hệ thức trên thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng.
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng trên là:
x 



x
n1

2
n

, x   xn   l 2 .


Khi đó không gian vectơ l cùng với tích vô hướng là một không
2
gian Hilbert.
1.1.3.2. Tính trực giao
Định nghĩa 1.1.3.2.
Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử x, y  H gọi là trực giao,
kí hiệu x  y nếu  x, y   0.

n


Định nghĩa 1.1.3.3.
Cho không gian Hilbert H và tập con A  H , A   . Phần tử
x  y   y  A

x  H gọi là trực giao với tập A

và kí hiệu x  A.

nếu Định nghĩa 1.1.3.4.
Cho A không gian con của X . Ta gọi tập  x  X x  A là phần bù
trực giao của A và kí hiệu A   x  X x  A .
Định nghĩa 1.1.3.5.
Cho không gian Hilbert H và không gian con E  H . Tập con

F  H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là
phần bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu:

F  H □ E.

Khi đó không gian H biểu diễn được dưới dạng tổng trực tiếp:
H  F  E   x  x1  x2 : x1  F , x2  E  .
Định lí 1.1.3.2. (Định lí Pathagore)
Nếu x, y  H và x  y ,
thì

x
y

2

x

2

y

2

.

Chứng minh:
Ta có x  y

2

  x  y, x  y  
x

2


y

2

2

x   x, y    y, x  y

2

.

.

Định lí được chứng minh.
Định lí 1.1.3.3.(Định lí về hình chiếu lên không gian con)
Cho không gian Hilbert H
và

H0 là không gian con của H . Khi

đó phần tử bất kì x  H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
x  y  z, y  H 0 , z  H 0 .
Phần tử y trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của phần tử x lên
không gian
con

H0 .



1.2.Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
1.2.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa toán tử tuyến tính
Cho hai không gian tuyến tính X ,Y trên trường P P □ hoặc

P  □  , ánh xạ A từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính
Y . Ánh xạ A được gọi là toán tử tuyến tính nếu:

1) x, x  X : A x  x   Ax  Ax .
'

'

'

2)x  X ,  P : A  x   Ax.
Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện (1) thì A gọi là toán tử cộng tính.
Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện (2) thì A gọi là toán tử thuần
nhất. Khi Y  P , toán tử tuyến tính A gọi là phiếm hàm tuyến tính.
1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục
a) Toán tử bị chặn
Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ
không gian X vào không gian con Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số
c  0 sao cho:
Ax  c x ,x  X .

(1.2.2)

b) Chuẩn của toán tử

Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y . Hằng số c  0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2.2) gọi
là chuẩn của toán tử A . Kí hiệu A .
c) Toán tử liên hợp
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ trong không gian
Hilbert X vào không gian HilbertY . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào
không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu:


 Ax, y    x, By  ,x  X ,y Y.
*

Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là A .
Các tính chất sau được suy ra dễ dàng từ định nghĩa:

 A B  A B .
 A    A .
*

*

*

*

*

*

 A *  A.

*

*

I  I.

 AB *  B* A*.
Với

A, B là các toán tử bất kì và vô hướng  tùy ý.

c) Toán tử tự liên hợp
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó gọi là tự liên hợp, nếu:

 Ax, y    x, Ay  ,x, y  H .
Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.
d) Toán tử trực giao
Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán với
*

*

toán tử liên hợp của nó. Tức là T T  TT .
*

Chú ý rằng T trực giao khi và chỉ khi T trực giao.
Mọi toán tử liên hợp đều trực giao nhưng trực giao chưa chắc đã
đối xứng.
e) Toán tử nghịch đảo

A là một toán tử xác định trong một không gian vectơ con của E .

Một toán tử B xác định trên

□  A gọi là nghịch đảo của

ABx  x,x □  A , BAx  x,x  D  A .

A nếu:


Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả tích.
Nghịch đảo của A kí hiệu là

A1 .

Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất.
f) Toán tử lũy đẳng
2

Một toán tử T được gọi là lũy đẳng nếu T  T .
d) Ví dụ
Ví dụ 1.
Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử thành chính nó tức là Ix  x
với mọi x  E là toán tử bị chặn.
Ví dụ 2.
k

Cho


 x1, x2 ,..., xn 

A:

□  □

  x1, x2 , 0,..., 0 .

Thì A là toán tử tuyến tính liên tục.
Thật vậy:
+) A tồn tại
Ax  x12  x22 
Suy ra  A
:

k

R R

k

x
j1

2
n

 x  .

k


+) A là tuyến tính
Tính cộng tính
x   x1, x2 ,..., xk   R
Ta có:

k

,y   y1, y2 ,..., yk   R .

 Ax, y   x1  y1, x2  y2 , 0...,0 .
  x1  x2 ,0,...,0   y1  y2 , 0,..., 0 .
 Ax  Ay.


Tính tuyến tính
x   x1, x2 ,..., xk   R

k

,  R ta có:

A  x   x1, x2 ,0,..., 0 .
   x1, x2 ,0,...,0  .
  Ax.
+) A liên
tục
Từ Ax  x suy ra A bị chặn nên A liên tục.
Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục.
Ví dụ 3.

Cho toán tử Ax 

 0, x , 0, x , 0,... ,x   x   l
2

1

n

2

ta đi tìm toán tử

liên hợp của toán tử A.
Toán tử A là toán tử tuyến tính liên tục nên tồn tại toán tử liên hợp
*

A.
Giả sử

*

A là toán tử liên hợp của A , nghĩa là:
x, y  l2 thì Ax, y    x, A y * x   x
  l ,y   y
n

2

n


 l .

2

Ta có:  Ax, y   0 y1  x1 y2  ...  0 y2n1  xn y2n  ...
 x1 y2  x2 y4  ...  xn y2n .
Mà  Ax, y    x, A y  .
*

Suy ra A* y   y , y ,...,
y
2

4

,... .
, y ,...,
y

2n

Vậy toán tử liên hợp của A là A y  
y
*

2

4


,....

2n

Ví dụ 4.
Với mọi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert H ,


toán tử

*

A A dương vì:
x  X :  A Ax, x   Ax, Ax 
*

Ax  0.


CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ CHIẾU
2.1. Định nghĩa toán tử chiếu
Cho G là không gian con của không gian Hilbert H . Tập con
F  H là phần bù trực giao của tập G trên không gian H ,tức là

F  H □ G.
Hay
H  G  F.
Theo định lí 1.1.1.3 mỗi vectơ x  H được biểu diễn duy nhất bởi
công thức


xuv
Trong đó u G, v  F . Khi đó u được gọi là hình chiếu của x lên G.
Bằng cách ứng vectơ x  H với hình chiếu u của nó lên G . Ta lập
được ánh xạ P: H  H

có miền giá trị R  P   G .

Định nghĩa 2.1.1.
Ánh xạ P xác định như trên được gọi là toán tử chiếucủa không
gian H lên không gian con đóng G  H . Ta cũng kí hiệu P là PG
rõ phép chiếu lên không gian con G.
Do đó nếu u và v có mối quan hệ như trên thì:
u  Px  PG u.
Toán tử chiếu rõ ràng là tuyến tính và bị chặn.
Nhận xét:
Rõ ràng nếu u  H thì Pu  u . Hơn nữa ta có:
v  x  u  x  Pu   I  P x.


Vậy I  P là toán tử chiếu lên không gian con đóng G  F.

để nói


Ví dụ 2.1.1.
□ 2 là không gian Hilbert.
H 0 là không gian con một chiều sinh bởi vec tơ e1  1,0  .
x  R thì y   x, e1 1e là hình chiếu của x  R2 lên không gian con
2


H0 .
Thật vậy, từ giả thiết ta có:

 x  y,e1    x   x,e1  e1,e1  .
 x  y, e1    x, e1    x, e1   e1,e1   0.
x   x, e1  e1  H 0 .

Suy ra

Ta có biểu diễn:
x  x   x, e1  e1   x,e1  e1  x   x, e1  e1  y.
Với



y   x,e1  e1  H 0 , x   x,e1  e1  H 0 .

Cho tương ứng vectơ x  R2 với hình chiếu y của nó lên H ta lập
0
được ánh xạ:
2
2
P: R R
x  Px   x, e1  e1.
Khi đó, ánh xạ P là toán tử chiếu không gian R2 lên không gian
con đóng

H0 .

Ví dụ 2.1.2.

Cho dãy
chiều H ,

 en  là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô hạn

H n là không gian con sinh bởi các vec tơ e1, e2 ,...,en  n  1, 2... .

Khi đó:
Pn : H  H
n

x  Pn x    x,e j  e j
j1

 n  1, 2...


Là dãy toán tử chiếu của x  H lên không gian con đóng H .
n
Thật vậy,  Pn  là dãy toán tử chiếu của x  H lên không gian con
n

đóng Hn  n  1, 2... . Đặt yn    x,ej  e j .
j1

Ta có:

n

 yn , ei      x, ej  ej ,ei    x,ei  ,i  1, 2,...

 j1


Suy ra:

 x  yn ,ei    x, ei    yn , ei   0,i  1, 2,...
Suy ra: x  y  H  .
n
Từ đó ta có biểu diễn:
x  yn   x  yn  với yn  H n , x  yn  H n .
Vậy y là hình chiếu của x
n
lên
toán tử
Pn :

Hn . Do đó, với mỗi n  1, 2,...thì

HH
n

x  Pn x    x,e j  e j  n  1, 2,...
j1

Là toán tử chiếu của X lên không gian con

H n hay  Pn  là dãy toán

tử chiếu.
2.2. Tính chất và phép toán của toán tử chiếu

Định lí 2.2.1.
Toán tử chiếu P của không gian Hilbert H lên không gian con G
có P  1.
Chứng minh
Ta có: x u  v.Suy ra x 2   u  v,u  v  .


 u
u
Lại có: Px  u 

2
2

  u, v   v,u   v

2

.

2

v .
P  1.

x , suy
ra

Nhưng nếu x G thì x  u, suy


P  1.

ra Định lí 2.2.2.
P là toán tử chiếu của không gian Hilbert H lên không gian con
G  H thì P là toán tử lũy đẳng và tự liên hợp. Tức là:
1 P2  P.
2 P*  P.
Chứng minh
Ta có: P x  P  Px   Pu  u  Px, suy ra P  P.
2

2

Để chứng minh P là toán tử tự liên hợp, chúng tôi chọn hai vectơ
tùy ý x1, x2  H và phân tích

x 1  u1  v 1 ,
x2  u2  v2 ,
trong đó u1  Px1 và u2  Px2 .
Ta có:  Px1, x2    u1, x2    u1,u2  v2    u1,u2  .

 x1, Px2    x1,u2   u1  v1,u2    u1,u2 .
Suy ra  Px1, x2    x1, Px2  với x , x  H.
1
2
Suy ra P*  P.
Ta có điều phải chứng minh.
Định lí 2.2.3.
Nếu P là toán tử bất kì trong H sao cho với mọi




2

 



P x1, x2  Px1, x2 .

x1, x2  H .


 Px1, x2    x1, Px2  .
Thì tồn tại không gian con G  H mà P là toán tử chiếu trong G.
Chứng minh
2

Suy ra || Px || || Px ||  || x ||, suy ra || Px |||| x || .
Ta có: || Px ||   Px, Px    P x, x   Px, x .
2

2

Do đó toán tử P là bị chặn và P  1.
Kí hiệu: G  u  H : Pu  u.
Rõ ràng G là đa tạp tuyến tính. Chúng ta phải chứng minh G đóng
để G  H.
Cho un G  n  1, 2... và un  u .
Vì un  Pun nên


Pu  un  Pu  Pun  P  u  un  .

Và vì P  1nên Pu 
un
Cho

 u  un .

n , suy ra || Pu  u || 0

hay Pu  u.Do đó u  G, suy ra

G đóng.
Chúng ta phải chứng minh

Cho mỗi

x H , ta
có

P  PG
với

Px  G, bởi
vì

PG là toán tử chiếu trong G .
P  Px  Px.


Do đó chỉ cần chứng minhrằng  Px  PG x,u '  0.
Hay  Px,u '   PG x,u ' ,u ' G. Điều này suy ra từ các đẳng thức:

 Px,u '   x, Pu '   x,u ' .
 PG x,u '   x, PGu '   x,u ' .
Khi đó ta có điều phải chứng minh.
Để kết thúc phần này chúng ta chú ý rằng với G là không gian con
và E là toán tử đơn vị, do đó E  P là toán tử chiếu trên H □ G.
2.2.4. Phép toán trên các toán tử chiếu.


Định nghĩa 2.1.2.
Cho

G1,G2 là hai không gian con trong không gian Hilbert H. Đặt

G  G1  G2 và gọi

PG , PG , là toán tử chiếu lần lượt lên G,G1 ,G2 . Ta
PG
1

nói P và
G
PG
1

2

2


 PG PG .

giao hoán với nhau nếu PG
PG
1

2

2

1

Định lí 2.2.4.
Tích của hai toán tử
chiếu

PG , P là một toán tử chiếu nếu và chỉ
1
2

nế P , P giao hoán.
G1
2
u
Trong trường hợp này:
PG P  PG.
1

2


Chứng minh
Điều kiện cần: Từ

P P là toán tử chiếu nên:
G1 G2



*  P P
*

P P  PP
G1 G2

Lấy h 
H

tùy ý và cho:

Đầu tiên cho
thì

G1
G2

*

P P .


G2
G1

G2 G1

g  PG PGh  P GP h.
1

2

2

g  G1, g  G2 . Do
đó,

1

g  G1  G2 . Nếu h  G1  G2

P P h  h . Do đó một nửa định lí được chứng minh.
G1 G2
PG , P giao hoán. Đặt:
1
2
Điều kiện đủ: Bây giờ giả định
PG PG
1

Ta được:


2

 PG
PG

2

 PG .
1


P2   P P

G1 G2

Và:



2  P P
G1
G2

P P

P P P P

G1
G2


 

 





 

 

PG x1 , x 2  PG1 PG2 x1 ,
x2

 P.

G1 G1 G2 G2

 PG2 x1 , P1G x2 .

 x1 , PG2 PG1 x1  x1 , PG1 P2G
x2



 x1 , PG x2 .


Suy ra

P

 P P là toán tử chiếu.Định lí được chứng minh.
G

G1 G2

Hệ quả 2.2.4.
P ,P
1

G

2

là hai toán tử chiếu lên hai không gian con G1 ,G2 . Khi đó

G1 ,G2 trực giao với nhau nếu và chỉ nếu P
P

 0.

G1 G2

Chứng
minh
Điều kiên cần: Cho x  H , vì u  Px  G1 và G1  G2 .
Suy ra
Suy ra


P1 x có hình chiếu bằng 0lên G1.
PG P x  0 , hay PG P  0.
1

2

1

2

Điều kiên đủ: Lầy u  G1 , v  G2  u  PG u,v  PG v.
1

Ta có  u, v  

2

 P u, P v    P P u, v    0,v   0. Suy ra
G

G

G G

1

2

1


2

G1  G2 . Khi đó định lí được chứng minh.
Định lí 2.2.5.Tổng hữu hạn của các toán tử chiếu:
P P
1

G

2

G

 .....  P G  Q
n

là một toán tử chiếu nếu và chỉ nếu P P
Gi

Gk

 n   .
0 ik 

hay nếu và chỉ nếu

các không gian G j  j  1, 2..., n đôi một trực giao.
Trong trường hợp này Q 
PG


và ở đó G  G1  G2 ...  Gn .

Chứng minh
Điều kiện đủ: Do P j  1, 2...,
G
n

đôi một trực giao. Khi đó các

j

không gian G  j  1, 2..., n là cặp trực giao. Do đó Q2  Q . Khi đó Q là
j
toán tử chiếu. Ta đi chứng minh điều kiện cần.
Điều kiện cần: Cho Q là toán tử chiếu do đó:


||   Qf , f  
2

|| f

n



j 1

 P f,f   P
Gj


 



,f  P
Gj

,f .
Gk

Cho cặp i và k phân biệt bất kì. Từ mối quan hệ trên ta có: