Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán đã tạo cơ hội cho em làm khoá luận này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ,
người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ em hoàn thành khoá
luận này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do thời gian làm khóa luận hạn chế
nên không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong được sự giúp đỡ của quí thày cô
và các bạn đọc để khoá luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010
Tác giả

Phùng Thị Ngọc

1

K32E Toán


Lời cam đoan
Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài này đích thực là của
em. Đề tài nghiên cứu của em không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác
giả khác.
Nếu có gì không trung thực, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010

Tác giả


Mục lục

Trang

Lời nói đầu …………………………………………………………………..1
A. Mở đầu…………………………………………………………………….3
1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………3
2. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………......3
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………...…..3
B. Nội dung…………………………………………………………………...4
Chương 1. Cơ sở lý thuyết………………………………………...4
1. Sơ lược về số phức………………………………………………………4
1.1. Định nghĩa số phức………………………………………………..4
1.2. Dạng đại số của số phức…………………………………………...6
1.3. Dạng lượng giác của số phức……………………………………6
1.4. Đường thẳng trong mặt phẳng phức…………………………….9
1.5. ánh xạ afin, biến đổi afin…………………………………..…….11
2. Phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức………………………13
2.1. Phép vị tự………………………………………………………13
2.2. Phép đồng dạng…………………………………………………..16
Chương 2. ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán bằng công cụ số
phức………………………………………..………………………………..26
1. Những bài toán áp dụng……………………………………….…..…….26
2. Bài tập luyện tập…………………………………………………...…….41
3. Hướng dẫn giải bài tập luyện tập………………………………...……..42
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….48
Kết luận……………………………………………………………...……...49



Lời nói đầu
Số phức, từ khi ra đời, đã thúc đẩy toán học tiến lên và giải quyết được
một số vấn đề về khoa học và kỹ thuật. Chẳng hạn, ứng dụng số phức thể hiện
trong đại số là mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm, trong hình học, số
phức cũng có những ứng dụng quan trọng. Nó tỏ ra hữu ích đối với lớp các
bài toán về phép biến hình trong mặt phẳng.
Trong khuôn khổ khoá luận này em xin giới thiệu việc áp dụng số phức
nghiên cứu về biến đổi đồng dạng và áp dụng nó để giải quyết một số bài toán
hình học.
Nội dung của luận văn này bao gồm hai chương:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương này gồm hai phần nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về số
phức và phép đồng dạng trong mặt phẳng phức để áp dụng giải toán.
1. Sơ lược về số phức
Phần này trình bày về lý thuyết cơ bản về số phức và mối liên hệ giữa
lý thuyết số phức và hình học.
2. Phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức
Phần này giới thiệu về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng gồm định
nghĩa, tính chất và các kiến thức liên quan, phần này là kiến thức trọng tâm để
áp dụng cho các bài toán trong chương tiếp theo.
Chương 2. ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán bằng công cụ số phức
Chương này đưa ra các bài toán áp dụng số phức trong phép biến đổi
đồng dạng gồm các nhận xét nêu ra được sự hữu ích khi sử dụng số phức, sau
đó là bài tập luyện tập có hướng dẫn lời giải .


Luận văn này được hoàn thành nhờ sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình của thầy giáo Đinh Văn Thuỷ và những đóng góp quý báu của các

thầy cô giáo trong tổ Hình học.
Qua đây, em gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ
Hình học,đặc biệt là thầy Đinh Văn Thuỷ đã giúp em hoàn thành tốt luận văn
tốt nghiệp này.


A. Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài
Trong việc giải toán, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho
việc hiểu bài toán một cách thấu đáo cặn kẽ. Sử dụng số phức để giải toán
hình học phẳng là một phương pháp mới và tỏ ra hữu ích .
Sử dụng số phức nghiên cứu về phép biến hình trong mặt phẳng là một
phương pháp cần thiết, giúp học sinh diễn đạt bài toán theo nhiều hướng khác
nhau, thoát li được những ảnh hưởng không có lợi do trực giác.Trong khuôn
khổ bài khoá luận này em tiếp cận sâu về lý thuyết và các bài toán về phép
đồng dạng trong mặt phẳng dùng công cụ số phức. Đó là lý do mà em chọn đề
tài:
“Số pHức và các phép biến đổi đồng dạng”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức.
2. Nghiên cứu các kiến thức về biến đổi đồng dạng bằng công cụ số
phức.
3. Đưa ra bài toán áp dụng.
3. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu khác có
liên quan.
2. Suy luận để áp dụng cộng cụ số phức trong biến đổi đồng dạng.
3. Đưa ra các bài tâp và giải.



b. nội dung
Chương 1. cơ sở lý thuyết
1. sơ lược về số phức
1.1. Định nghĩa số phức
a) Định nghĩa
Tập hợp các số phức, kí hiệu là  là tập hợp

□ 2 các cặp (có thứ tự) số

thực với các phép toán cộng và nhân xác định bởi:

x, y  ,
x   ,
 ,

y

x, y  .  , x.y.,
x.y..
Vậy số phức z thuộc  là cặp số thực
viết

x, y ;

z x, y .

x là phần thực của z , kí hiệu Re z ;
y là phần ảo của

z , kí hiệu Im z ;


Số phức mà phần ảo bằng 0 là số thực, số phức mà phần ảo bằng 0 là số
thuần ảo.
0=(0,0): Phần tử không.
1=(1,0): Đơn vị.
i =(0,1): Đơn vị ảo.

Phép cộng và phép nhân các số phức dạng

x,0 ;

như phép cộng và phép nhân các số thực x :

x,0 x ' ,0 x x ' ,0 
x,0 . x' ,0 x.x' ,0 .

x  cũng giống


Từ đó có thể đồng nhất tập hợp  các số thực x với tập hợp con của 
gồm các phần tử
x,0  ;



viết x x,0.


b) Tính chất của phép cộng, nhân số phức
- Với mọi


z1, z2 , z3  :

. z1 z2

( giao hoán )

z2 z1

.

z1 z2 z3 z1 z2 z3 ( kết hợp )

.

z1 00 z1 z1

. Cho z1 thuộc  , có duy
nhất
z1  z1

0 suy ra

-Với mọi

 thuộc  sao cho
z1

z2 z1 z2  z 1 .


z1, z2 , z3 , z4  :

. z1.z2 z2 .z1 (giao hoán )
. z1.z2 .z3 z1  (kết hợp )
z2 .z3 

. 1.z1 z1.1 z1 (tức 1 là phần tử đơn vị của phép nhân
).
- Tính chất phân phối của phép cộng và phép nhân
Với mọi z1, z2 , z3  thì
. z1 z2 .z3 z1.z3 z2 .z3 ,
. z1.z2 z3 z1.z2 z1.z3
- Với z  ; n  * : z n z.z...z
n

c) Số phức liên hợp
Cho số phức
z.

Ta có :

z x iy,x, thì z x
iy
y  

z z 2Re z

gọi là số phức liên hợp của



z z
2i Im

z

Vậy z là số thực khi và chỉ khi z
z

Khi và chỉ khi z z .
* Với mọi z, w  :

và là số thuần ảo


z z
z w z w
z.w z.w

1.2. Dạng đại số của số phức
Kí hiệu số phức 0,1 là i , gọi là đơn vị ảo, với y  ta có:
yi y,00,1 

0, y . iy 0,1
y,0 0, y .
z x, y x,0 0, y x iy x yi.
Vậy mỗi số phức z có thể viết dưới dạng z

( x, y  ), gọi
x, là


dạng đại số của số phức z .

1.3. Dạng lượng giác của số phức

y

a) Biểu diễn hình học số phức
Lấy hệ tọa độ đề các vuông góc Oxy trong mặt phẳng, kí hiệu E thì mỗi
điểm M của E xác định bởi tọa độ
y

mỗi cặp số thực (x,

x, trong hệ tọa độ đó. Ngược lại, với

đều tương ứng với một điểm M của E.

y)

Ta đồng nhất M (x,
y)

với số phức z x và gọi z là tọa vị của điểm
iy

M đối với hệ tọa độ đó. Viết M
(z)

và gọi E (với hệ toa độ Oxy ) là mặt


phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất E với  .
 Điểm thuộc Ox có tọa vị thực, Ox gọi là trục thực.
 Điểm thuộc Oy có tọa vị thuàn ảo, Oy gọi là trục ảo
 Điểm E(1) thuộc Ox , gọi là điểm đơn vị.


 Mỗi điểm M E xác định vectơ OM gọi là bán


kính vectơ của M .
Nói M có tọa vị z thì cũng nói

OM

viết O (z) .
M



có tọa vị z




 
Với OM (z),OP(w) thì OM OP z w;


kOM kz , k  .


Ta có:

y

kz  k 0i.x iy kx kyi .
M'

Hai phép toán trên có ý nghĩa hình học như sau:

P

Trong mặt phẳng phức E:


- Cho u(w) thì ánh xạ f : E E
M (z)  f (M )(z
 w)


M(z)
E(1)

O

x

là phép tịnh tiến Tu theo vectơ u(w) .
- Cho k  ,k 0 thì g : E E

ánh xạ


M (z)  g(M )(kz)

là phép vị tự tâm O , hệ số vị tự k kí hiệu V O, k 
- Cho k 
1,

'

g : M (z)  M (z) , là phép đối xứng tâm O , kí hiệu: ĐO

b) Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức

z 0 , gọi điểm M có tọa vị z trong mặt phẳng phức.

Điểm M hoàn toàn xác định bởi
+ Độ dài đoạn thẳng OM tức z .
+ Ox,OM : góc định hướng tạo bởi tia Ox (tia đầu), tia Oy (tia
cuối).



y

Số đo (đo bằng rađian) của góc Ox,OM 
xác định sai khác một k 2,k Z;

:argumen của z , kí hiệu arg z .
Vậy số phức z 0 hoàn toàn xác định bởi


M


z và arg z(k 2,k Z) .

Viết z x thì
iy

O

x


z 
x 2  y2

 
arg z

y
;sin 
x2  y 2

cos
x
2

x y


2

Ta có :
z z  cos  i sin 
  ,: arg z

Đó là dạng lượng giác của số phức z 0 .
c) Nhân số phức dưới dạng lượng giác
Với

z z cosi sin
w w cosi sin

Ta có :
zw

zw

zw


z w cosi sincosisin
z w

coscossin sincossinsin
cos
z w cosi sin  

zw z w
arg(zw) arg z arg w 2k , k Z


Trong E cho số phức w
điểm M tựy ý cú tọa vị z .  0

y

M'

; P có tọa vị w ;
P

Xét f (M ) có tọa vị zw . ta được ánh xạ :
f :E  E
M  f (M ); f (O)
 O.

M
O

E(1)

x


 Khi w 1 thì với M

thì

O


Of (M ) OM

Ox,Of (M )(Ox,OM ) (Ox,OP)

Suy ra f là phép quay tâm O , góc
quay  Ox,OP 

số đo arg w .


 Khi w 0
Of (M ) w OM
thì


 Ox,Of (M )  Ox,OM  Ox,OP 

Suy ra f là tích của phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự w với phép quay tâm O
, góc quay

Ox,OP

,số đo arg w .

Kí hiệu E(1) : điểm đơn vị ; O, E, M không thẳnghàng và P khác O ,tam
giác OPf (M đồng dạng thuận với tam giác OEM , tỉ số đồng dạng w .
)

Tương tự tam giác OMf (M đồng dạng thuận với tam giác OEP , tỉ số
)


đồng dạng z .
Ví dụ : Cho hai điểm phân biệt A, B có tọa vị theo thứ tự là , .
Tìm tọa
vị điểm C sao cho ABC là một nửa của tam giác đều
cạnh
Lời giải :

AC có được do quay

1

quanh A , góc quay số đo 
A
B

AC.



, rồi vị tự với tỉ

số
3

cos

C

 2

3

Gọi tọa vị C của là . Suy ra: i sin



 


 
2 cos




3


1

 2
i

2



 1 i 3




i


3
3

 


2 
3 .

A

B


1.4. Đường thẳng trong mặt phẳng phức
a) Phương trình đường thẳng


Đường thẳng qua điểm


u(u) có phương trình

M 0 z0 , vectơ chỉ

phương

:

u
hay z z0  z
z0 .
u




 z z0

,u  0

Mọi đường thẳng có thể xác định bởi phương trình
z
z

hay

1, 
0

(1)

;

z
z


(2)



Trong đó (1) là phương trình chính tắc của đường thẳng
(2) là phương trình tổng quát của đường thẳng.
b)Tỉ số đơn
Tỉ số đơn của bộ ba điểm phân biệt
có tọa vị theo thứ tự là zo , z1,

M 0 , M1, M trong mặt phẳng phức,
2

xác định bởi:

z2

M

,M ,M
0

* Chú
ý:
 M0 , M1,



,M ,
M


M
0

k


1

2

 
góc
M1, M 2 M 0



2

z ,z

0

1


2

z2 z0


z2 z1

M 2 M0
.
là một số phức mà w 
M 2 M1

M2 


1

 z ,

M

2


k, k Z
z2 z0
arg
z2 z1








.


có số đo

k,k Z .

cùng phương.

M2 M1 , M 2 M 0
 M0 , M1, M 2 cùng thuộc một đường
Ba điểm

thẳng,

M 2 thuộc

đường thẳng

M 0 M1 và



M 0 M2 k M1M2 .

M 0 M1 theo tỉ số k .

chia

Đường thẳng đi M0 , M1 và một

qua Ta có một song điểm
ánh :



M (M 0 , M1 ) .


f : \ M 0 ,

\

M1 

0,1

M   M 0 , M 1, M 2 

 z0 , z1 , z2
 

 z0 , z1 , z2  z0 , z1 , z2 

z z0 z z 
z z1  0 
z z1 

z z0




z z0


z z0 z z1 

z z0 z

z1 
z z0

z1 z0

z

z
0 z1
 z0

z z z1 z0 z z
0

z1 0 z



0

Là một phương trình đường thẳng .


1.5. ánh xạ afin, biến đổi afin
a) ánh xạ afin
* Định nghĩa
Trong mặt phẳng phức E, cho ba số phức , ,.ánh xạ afin
là ánh xạ
f :E  E biến điểm M có tọa vị z thành điểm M ' f (M ) có tọa
vị z '
định bởi :
'
z z
 z 

*Tính chất

Hai ánh xạ afin
f1 xác định bởi :

xác


z  1z 1 z 1
f2 xác định bởi : z   2 z 2 z 2

- Tích hai ánh xạ afin là một ánh xạ afin.
Xét f2 . f1 xác định bởi
z

 
2


 
2

1

1



2 1 2

- Hai ánh xạ afin f1





2 1 z  21 21 z 



f2 1 2 ; 1 2 ; 1
 2 .


f1  f2 1z 1 z 1 2 z 2 z
2 ,z 

Cho lần lượt z 
0,1,i


thì có được 1 2 ; 1 2 ; 1
2 .

Điều ngược lại là hiển nhiên .
b) Biến đổi afin
* Định nghĩa
ánh xạ afin là một song ánh khi và chỉ khi



, được gọi là

một

biến đổi afin .
* Tính chất
- ánh xạ ngược của một biến đổi afin là một biến đổi afin
- Biến đổi afin bảo toàn hướng của một tam giác thì bảo tồn hướng của
mọi tam giác, điều này xảy ra khi và chi
khi 

.

- Biến đổi afin đảo hướng của một tam giác thì đảo hướng của mọi tam
giác, điều này xảy ra khi và chỉ
khi 

.


Định lý 1.1. (Định lí cơ bản của biến đổi afin của  )
Mọi song

f :E  E bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm là

ánh một biến đổi
afin.
Định lý 1.2. Biến đổi
afin

f :E  E luôn bảo tồn tỉ số đơn của bộ ba điểm

thẳng hàng.
Chứng minh. f xác định bởi z  z' z  M0 , M1, M 2 có tọa vị
z ;
z0 , z1, z2 f (M ), f (M ), f (M ) có tọa
0
1
2

;

vị

'

'

'


z , z , z thì


0

 M 0 , M 1, M 2
k 

1

2

z2 z0 k(z1 z0 )

z

'

2

'
z k z
z'
0

2

'




1

f (M 0 ), f (M1), f (M 2 )k  .

Định lý 1.3. Cho ba
điểm

M0 , M1, M có tọa vị theo thứ
2

tự

z0 , z1,
z2

thì có một

và chỉ một ánh xạ afin f của mặt phẳng phứcmà f (O) M 0 ; f (E)
M1;


f (I )
M 2 ;

có tọa vị 1, I có tọa vị i .

2. Biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng phức
2.1. Phép vị tự
a) Định nghĩa

Biến đổi của mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy , xác định bởi công
thức
z kz, k

\ 0, là phép vị tự tâm O, hệ số vị tự k .

'



Phép vị tự tâm J (với tọa vị z0 ) đối với hệ tọa độ Oxy , hệ số vị tự k ,là
biến đổi xác định bởi:

'
k
z
  z
z
z
0

;k




\

0.


0

Kí hiệu là VJ ,k .
* Nhận xét :
+VJ ,1 là phép đối xứng
ĐJ .
k(z );k
 \ 0, có thể viết
z

dưới

+Công thức của phép vị tự z

+ VJ ,1 là biến đổi đồng nhất. z'

0

0

dạng z ' kz (10 k )z .
Ngược lại, xét biến đổi của mặt phẳng phức : z' kz
 ;k 

Khi k 1, đó là phép tịnh tiến .

\

0


z 0 z0 
Khi k 1, biến đổi có điểm bất động duy nhất J , , 
1
tọa vị
k