LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm đã tận tình giúp
đỡ em trong suốt thời gian em thực hiện đề tài.
Xin chân thành các thầy, các cô trong tổ Hình học - Khoa toán,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn
thành đề tài này.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho em trong quá trình thực hiện đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn.

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đinh Thị Ly

1


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.

Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đinh Thị Ly

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn, cũng như
trong nghiên cứu khoa học. Toán học là cơ sở nền tảng để nghiên cứu các
môn khoa học khác. Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu về
chuyên nghành hình học. Đây là môn học có tính chặt chẽ, tính lôgic, tính
trừu tượng hóa cao độ nên nó là môn học tương đối khó. Với mỗi bài tập
hình học lại có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: phương pháp tọa
độ, phương pháp vectơ, phương pháp tổng hợp....
Việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh
cách nhìn mới, kiến thức mới về toán học hiện đại. Giúp cho các em thấy
được mối quan hệ 1-1 giữa đại số và hình học nhằm phát triển tư duy toàn
diện cho học sinh. Phương pháp tọa độ không chỉ giúp chúng ta giải quyết
các bài toán quỹ tích khó hoặc các bài toán chứng minh mà ta không giải
được bằng suy luận, cứu cánh ta mỗi khi bí, hiệu quả trong khi còn ít thời
gian vì dù tính toán có hơi phức tạp nhưng ta không cần nghĩ nhiều.
Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo
của thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ
ỨNG DỤNG để làm khóa luận tốt nghiệp của mình.


2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về phương pháp tọa độ và ứng dụng của phương pháp tọa
độ trong việc giải các bài toán sơ cấp và chứng minh một số định lí trong
hình học xạ ảnh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp tọa độ
- Nghiên cứu một số ứng dụng của phương pháp tọa độ

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: phương pháp tọa độ và ứng dụng
- Phạm vi nghiên cứu: hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu
6. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp
gồm hai chương:
- Chương 1: Phương pháp tọa độ
- Chương 2: Một số ứng dụng giải toán bằng phương pháp tọa độ.


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU..............................................................................................3
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................3
2. Mục đích nghiên cứu............................................................................4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................... 4
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................4
5. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................4
6. Cấu trúc................................................................................................ 4
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ..................................................7
1.1. MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ....................................................7
1.2. KHÔNG GIAN AFIN.......................................................................8
1.2.2. Mặt phẳng A
2

và không gian A 3.................................................9

1.3.1. Định nghĩa.....................................................................................10

1.3.2. Một số tính chất trong..................................................................12
1.3.3 Một số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc......13
1.4. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH...............................................................18
1.4.1. Định nghĩa.................................................................................18
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
VÀO GIẢI TOÁN......................................................................................20
2.1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ............................................................20
2.2. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ
AFIN........................................................................................................21
2.2.1. Một số toán trong hình học phẳng..........................................21
2.2.2. Các bài toán trong không gian....................................................25


2.3. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG HỆ TỌA ĐỘ
TRỰC CHUẨN......................................................................................31
2.3.1. Trong mặt phẳng......................................................................31
2.3.2. ong không gian.........................................................................39
2.4. ỨNG DỤNG CỦA MỤC TIÊU XẠ ẢNH.................................46
KẾT LUẬN.................................................................................................53
MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................54


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1.1. MỘT VÀI NÉT VỀ HỆ TỌA ĐỘ
Hệ tọa độ là tập hợp các điều kiện để xác định vị trí của một điểm
trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian.
Khái niệm về hệ tọa độ đầu tiên được đưa vào địa chất và thiên văn
để xác định vị trí trên mặt đất và trên bầu trời. Vào thế kỷ XIV, nhà toán
học người Pháp N.Oresme (1323-1382) sử dụng hệ tọa độ trên mặt phẳng

để dựng đồ thị. Ông dùng khái niệm kinh độ và vĩ độ ứng với khái niệm
tung độ và hoành độ của ta hiện nay.
Vào thế kỷ XVII nhờ các công trình của nhà toán học người Pháp
Descarter, người ta thấy rõ ý nghĩa của phương pháp tọa độ: cho phép
chuyển các bài toán hình học về ngôn ngữ giải tích và ngược lại cho phép
mô tả các kết quả khác nhau toán học giải tích bằng hình học. Ông đã mở ra
một thời kỳ mới cho toán học.
Tọa độ của một điểm là một bộ số được sắp thứ tự, đặc trưng cho vị
trí của một điểm trên đường thẳng, trên mặt phẳng hay trong không gian.
Tọa độ của một điểm luôn gắn liền với một hệ tọa độ xác định, bao
gồm gốc tọa độ và các trục tọa độ. Tùy theo tính chất của việc khảo sát đối
tượng này hay đối tượng khác mà người ta chọn các hệ tọa độ khác nhau.


1.2. KHÔNG GIAN AFIN
1.2.1.

ghĩa

Định nghĩa Cho tập A   và không gian vectơ V
Giả sử có ánh xạ:  : A  A  V
n

n

trên trường số K .

thỏa mãn hai điều kiện:

i) Với bất kỳ M  A


và bất kì v V đều có duy nhất N 

n
A
 M, N  v
ii) Với bất kì M , N , P  A
Khi đó, bộ ba  A,,V

n



ánh xạ liên kết  .


sao cho:

đều có:   M , N     N , P    M , P .

gọi là một không gian afin liên kết với V
n

bởi


Kí hiệu: An  V n , An  A,,V n ,


 


n
n
v  A  v V .

n
MN    M , N  , M  A  M  A ,

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều
 

điểm O và một cơ sở  e ,e1 ,....,e
2



An , trên trường số K cho

 

của A n . Ta gọi bộ số O;e ,e ,....,e 
1

2

là một hệ tọa độ afin của An .
Điểm O được gọi là gốc của hệ tọa độ.
 

Cơ sở  e 1 ,e 2 ,....,e  gọi là cơ sở của hệ tọa độ.

Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An với hệ tọa độ
 

O;e1,e2 ,....,en  cho điểm M bất kỳ. Khi đó có thể biểu thị




OM  x1.e1  x2.e2  ....  xn .en . Thì bộ số  x1, x2 ,...., được gọi là tọa độ
xn 


afin của điểm M đối với hệ tọa độ đã cho.
Ký hiệu: M  x , x ,...., x
 1 2
n  hay M  x1, x2 ,...., xn  .


Định nghĩa Trong không gian afin n chiều An với hệ tọa độ
 



O;e1,e2 ,....,en  cho vectơ v . Khi đó vectơ được biểu thị duy nhất dưới
v
dạng:





v  v1 .e1  v2 .e2  .....  vn .e

Bộ số  v1,v2 ,....,vn  được gọi là tọa độ afin của vectơ đối với
v

hệ tọa độ đã chọn. Ký hiệu: 
v   v1 ,v2,.....v  hay v  1v ,v2 ,.....v  .

Nếu M  x1, x2 ,...., xn  N  y1, y2 ,..., yn  MN  y1  x1,..., yn  xn  .
và
thì
1.2.2.

Mặt phẳng A

và không gian A 3

2

 
Mặt phẳng A 2
Hệ tọa độ afin bao gồm một điểm gốc O và hai vectơ cơ sở e1 e2 .
,

Trong đó e 1 , e2 khác vectơ không và không cùng phương.


x

O

Không gian A 3

y

  
e1 e 2 e 3 .
Hệ tọa độ afin gồm một điểm gốc O và ba vectơ cơ sở , ,
e3
1

2


Trong đó e ,


 
e ,

khác vectơ không và không đồng phẳng.


x
y
z

O

1.3. KHÔNG GIAN ƠCLIT
1.3.1. Định nghĩa

Định nghĩa Cho không gian vectơ thực V và một ánh xạ  :V V  □ mà
 
 
ta ký hiệu   x , y
hoặc x .y . Nếu ánh xạ này thỏa mãn bốn điều kiện sau



thì ta gọi  là một hàm tích vô hướng trên V .
i)    
x .y  y .x
      
ii)  x1  x 2  .y  x 1.y  x 2.y ;
  
   
x . y1  y 2   x .y 1  x .y 2
 
  
iii)  kx  .y  k. x .y   x . ky 
iv)  
 

x .x  và x .x  thì x  0
0
0
     
(với mọi x x x , y y y  V và mọi k  □ )
,

,


,
1

,
2

1

2

Số thực  
 
 x .y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x , y .
Cặp E  V ,  được gọi là một không gian vectơ Ơclit.
10


Định nghĩa Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian
vectơ Ơclit hữu hạn chiều.

11


Không gian Ơclit sẽ được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Ơclit
liên kết với nó có chiều bằng n . Kí
hiệu:

n


E .

Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều
n
E
  
   e 1,e 2,...,e  là một cơ sở trực chuẩn của En , nghĩa là:
ìï 0 (i ¹ j )
r r
e .e = ïíï 1(i j )
i
=
ïïî
và O là điểm cho trước thì tập hợp  O;

 

 n  1 .

Gọi



hay O;e1 ,e2 ,...,en  được gọi là

hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa độ Đêcác vuông góc.
Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều E n
 




 n  1

với hệ tọa độ


cho vectơ v . Khi đó, luôn tồn tại duy nhất bộ số




sao cho: v  x1 .e1  x2 .e2  ...  xn .e


O;e 1,e 2 ,...,e 
 x1, x2 ,..., xn

cho.

Bộ số  x1, x2 ,..., xn gọi là tọa độ của vectơ
v


đối với hệ tọa độ đã



Ký hiệu: v   x1, x2 ,..., xn  hay v  x1, x2 ,..., xn 
Định nghĩa Trong không gian Ơclit n chiều n
E với hệ tọa độ

 

được gọi là tọa
O;e1,e2 ,...,en  cho điểm M bất kỳ. Tọa độ của vetơ
OM
độ của điểm M đối với hệ tọa độ đó.

Như vậy, nếu OM  x1, x2 ,..., xn thì bộ số  x1, x2 ,..., xn được gọi là tọa độ
của điểm M .






Ký hiệu M  x , x ,..., x
 1 2
n



hay M  x1, x2 ,..., xn 


1.3.2.

Một số tính chất trong E

n


Trong En cho hệ tọa độ Đêcác vuông góc, cho hai vectơ

x(x1 , x2 ,..., xn ) y  y1, y2 ,..., yn và số k □ . Khi đó, ta có:
và

 
 x  y   x1  y1, x2  y2 ,..., xn  yn 

 k.x   kx
1 , kx
2 ,..., kx 
 
 x .y 1 x 1.y  2x .y2  ...  xn.y
2
2
2
2

x  x1  x2  ...  xn


● Khi đó: 
x 


x2 12 x2  ...  x2n

 
x. y
x1.y1  x2 .y2  ...  xn .yn

cos  x , y    
x.y
x2  x2  ...  x2 .y2  y2  ...  y2
12

n12

n

● Cho hai điểm M (x , x ,..., x ) N  y1, y2 ,..., yn  .Khi đó,
1
2
n
và

tọa độ của vectơ: MN   y1  x1, y2  x2 ,..., yn  xn  .
Đặc biệt, trong E3 ta có:
#) Tích có hướng của 

u  x , y , z và v  x , y , z





1

1

 

w   u ,v  

1

 y1





Vectơ w này có tính
chất:

   
+) w  u ; w  v

 y2

2

2

2

là

w

trong đó :


z1
z1 ,

x1
x1 ,

y1 

z2 z2

x2

y2 

x2




 


+) w  0  u  k.v
+) Khi



  
 
u  k.v

w  u . v .sin  u ,v 
thì
  
#) Ba vectơ u , v , w đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn tạp của ba
vectơ
bằng không. Tức là:

  
  
D  u ,v , w   u ,v .w  0


1.3.3 số công thức cơ bản trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc
1.3.3.1. Công thức tính khoảng
cách Khoảng cách giữa hai điểm
Trong

không

gian

En

cho

hai

M  x1, ,...,
xn
x


điểm

 và

2

N  y1, y2 ,..., yn  . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N là độ dài

vectơ
và được tính bởi công thức:
MN

MN   y –11x 2   y –22x 2  ...   y –nnx  2
Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng
Trong
E



cho một mục tiêu trực chuẩn, một điểm

n

0
0
0
M 0  x , x ,..., x
1


 n  1

2

và một siêu phẳng  có phương trình:
a1.x1  a2 .x2  ...  an .xn  a0  0

Khi đó, khoảng cách từ
M

 x , x ,..., x 
0

0

1

0

0

2

đến  là:

n

a .x0  a .x0  ...  a .x0  a

d M

0

,  

1 1

2

2

n

a2  a2  ...  a2
1

2

n

0

n

* Khi n  2 , đây là công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng.
* Khi n  3 , đây là công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
Khoảng cách giữa hai phẳng
Cho hai cái phẳng  và  của
 



 
E . Giả sử không gian vectơ   
n


có cơ sở  u1,u2 ,...,un 

thì với điểm bất kì A  , điểm bất kì B   , ta có:



d  ,    Gr u ,u ,...,uAB
,...,u,
Gr  u 12,u
n



* Đặc biệt, khi n 
3

12

n



thì  và  trở thành hai đường thẳng chéo nhau.


Trong không gian, muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ta có những cách sau:
Cách 1:Nếu biết độ dài đoạn vuông góc chung AB giữa hai đường
thẳng chéo nhau a và b thì: d  a,b  AB .
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng a và

  □b
Bước 2: Lấy một điểm M trên b và tính khoảng cách từ M tới  
d  a,b  d  M ,   
Cách 3: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng a và một điểm
M1  a1,b1,c1 


Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng b và một điểm
M 2  a2 ,b2 ,c2 
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

 u12,u.M
M
12
theo công thức sau: d  a,b 
 u 12,u
1.3.3.2. Chia đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước


Trong En cho điểm M  x1, ,..., xn  chia đoạn thẳng M M theo tỷ số k

1
2
x2

x  y1  k.z1
 1

 x  1  k


y2  k.z2
2
có nghĩa là: MM1  k.MM 2 , khi đó: 
1k


 x  y  k.z
n



1k

n

n

Với M  y , y ,..., y  và M  z , z ,, z  .
1
1

2
n
2
1 2
n
Đặc biệt, khi k  1 thì M
M1 M
2

là trung điểm của đoạn thẳng

và tọa độ điểm M được xách định như sau:


x  y1  z1

 1

 x 

2
y2  z2

2

2
 ....................


x  y z

n
n
n


2
1.3.3.3. Công thức tính
góc Góc giữa hai vectơ
Trong

E n cho hai vectơ u





vectơ u và v là số  mà: 0    
Góc giữa hai đường thẳng

và v



khác vectơ không. Góc giữa hai

u.v
và cos    .
u .v



Trong
n

E , cho hai đường thẳng a và b với vectơ chỉ phương lần



lượt là u và v . Góc giữa hai đường thẳng đó là số  mà: 0   
và
2
cos 

 
u .v
 .
u .v

Góc giữa hai siêu phẳng
Trong

n

E , cho hai siêu phẳng  và  có hai vectơ pháp tuyến lần



lượt là n và m . Góc giữa hai siêu phẳng đó là số  mà 0   
và
2
cos 


 
m .n
 .
m .n

Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng
Trong

En , cho đường thẳng d và siêu phẳng  . Vectơ chỉ phương


của đường thẳng d là u và vectơ pháp tuyến của siêu phẳng  là n . Góc

giữa đường thẳng d và siêu phẳng  là số  mà : 0   
và
2
u.n u . n
sin 
.
1.3.3.4. Điều kiện thẳng hàng
Trong
B  y1, y2 ,..., yn



En , điều kiện cần và đủ để ba điểm A x1, x2 ,..., xn  ,
và C  z1, z2 ,..., zn thẳng hàng là:






AC  k.AB 

z1  x1




y1  x1

z2  x2  
y2  x2

zn 
xn

yn  xn


Đặc biệt, trong không gian cho bốn điểm A x1, y1, z1  B  x2 , y2 , z2  ,
,
C  x3 , y3 , z 3 

D  x4 , y4 , z4  . Điều kiện cần và đủ để bốn điểm đó đồng

và phẳng là:
x1


uuur uuur
uuur
é
ù
êA B , A C ú.A
D=
ë
û

0 

z1 1
z2 1

y1
x2

y2

x3

y3

z3 1

x4

y4

z4 1


0

1.3.3.5. Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện
Trong mặt phẳng, diện tích tam giác có các đỉnh A (x 1, y 1 ), B (x 2, y 2

),
C (x 3, y 3 ) được cho bởi công thức sau:

SVA BC

x
1
= 1. x
2 x2
3

1
1
2
3

Trong không gian, cho ba điểm

1
1
A (x 1, y 1, z 1 ),B (x 2, y 2, z 2 )
và

C (x 3, y3, z 3 ) không thẳng hàng. Khi đó, diện tích tam

giác tính bởi công thức:
S

VA BC

uuur uuur
é
ù
1
= . êA B , A C ú
2 ë
û

VA B
C

được


2

1 y2 - y1
= 2 . y 3 - y1

2

z2 - z1
z2 - z x 2 - x1
x 2 - x y 2 - y1
1

1
z 3 - z1 + z 3 - z1 x 3 - x 1 + x 3 - x 1 y 3 - y1

2