TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****

PHẠM THỊ PHƯỢNG

2

PHÉP VỊ TỰ TRONG E , E

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2013

3


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****

PHẠM THỊ PHƯỢNG

2

PHÉP VỊ TỰ TRONG E , E

3

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
GVC. PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI - 2013


LI NểI U
Khóa luận này trình bày một số kiến thức và kĩ thuật,
cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải một số lớp bài
toán có liên quan tới các hình đồng dạng: bài toán tính toán,
bài toán chứng minh, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
Bên cạnh đó, khóa luận còn cố gắng mở rộng các bài toán,
qua đó nêu lên một số suy nghĩ, đề xuất trong giảng dạy.
Em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ của các
thầy, các cô đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của thầy
Phan Hồng Trờng đã giúp em hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm
2013 Phạm Thị Phợng


LI CAM OAN
Em xin cam đoan bản khóa luận này đợc hoàn thành do sự
nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự hớng dẫn,
giúp đỡ của thầy giáo Phan Hồng Trờng.
Bản khóa luận này không trùng với các kết quả của các tác

giả khác. Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên
Phạm Thị Phợng


A.PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán ở trường phổ thông, học sinh đã được làm quen
với các phép biến hình. Đây vừa là một công cụ mới để giải toán đồng thời
bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh. Trong nhiều
trường hợp, phép biến hình đã thể hiện rõ hiệu quả của nó trong việc giải
toán. Tuy nhiên việc sử dụng phép biến hình vào giải toán không hề đơn
giản với cả giáo viên và học sinh.
Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp tôi chọn nghiên cứu về
phép vị tự và ứng dụng của nó nhằm trình bày một số kiến thức và kĩ thuật,
cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải một số lớp bài toán có liên quan
tới các hình đồng dạng.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu phép vị tự và ứng dụng của nó trong các lớp bài tập hình
học.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN
2

CỨU Phép vị tự trong E ,
3

E.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Trình bày cơ sở lí thuyết về phép vị tự.

- Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép vị tự trong 4 lớp bài tập
hình học:
Bài toán tính toán
Bài toán chứng minh
Bài toán dựng hình
Bài toán quỹ tích
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU


Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học và các tài
liệu có liên quan đến nội dung nghiên cứu.


B. NI DUNG
CHNG 1. CC KIN THC CHUN B
1. Đại cơng về phép biến hình
1.1.

Định nghĩa

Giả sử đã cho tập hợp bất kì T. Một song ánh f: T T từ T
vào chính nó
đơc gọi là một phép biến hình của tập T.
1.2.

Phép biến hình đảo ngợc

Cho phép biến hình f: T T. Khi đó ánh xạ ngợc f-1 cũng
là một phép biến hình, gọi là phép biến hình đảo ngợc của
phép biến hình f.

1.3.

Tích của hai phép biến hình

Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, dễ
thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh từ T vào T nên
tích đó cũng là phép biến hình của T. Ta gọi phép biến hình
đó là phép biến hình của f và g.
Kí hiệu: g f.
1.4.

Phép đồng dạng

1.4.1.

nh nghĩa

Phép biến hình của không gian En (n=2,3) biến mỗi điểm
M thành điểm M sao cho với cặp điểm bất kì M, N và cặp
ảnh tơng ứng M, N thì MN= kMN ( k là một hằng số dơng
cho trớc) đợc gọi là phép biến hình đồng dạng tỉ số k.
Kí hiệu: Zk.
1.4.2.

chất

a)Phép đồng dạng là phép afin.
b)Phép đồng dạng biến đờng tròn thành đờng tròn trong E2,
biến mặt cầu thành mặt cầu trong E3.
c)Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng.



1.4.3.

Òu kiÖn x¸c ®Þnh cña phÐp ®ång d¹ng


a)Trong E2, một phép đồng dạng đợc xác định hoàn toàn bởi 2
tam giác đồng dạng.
b)Trong E3, một phép đồng dạng đợc xác định hoàn toàn bởi 2
tứ diện có các cạnh tơng ứng tỉ lệ.
2.Phép vị tự
2.1.

Định nghĩa

Trong En (n=2,3) cho điểm O và một số thực k khác 0.
Phép biến hình của




không gian biến mỗi điểm M thành điểm M sao
cho OM' kOM

đợc gọi
là

phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k) hoặc

V
O
2.2.

k

Tính chất

a.Phép vị tự V(O, k)là phép đồng dạng tỉ số k mà đờng thẳng
nối điểm bất kì với ảnh của nó luôn đi qua O.
b.Với k 1, phép vị tự V(O,k) có duy nhất 1 điểm bất động là O.
c. Phép vị tự bảo tồn phơng của đờng thẳng.
d.Trong E2, phép vị tự thuận là phép đồng dạng thuận.
Trong E3, phép vị tự là phép đồng dạng thuận hay nghịch
tùy theo tỉ số vị tự là âm hay dơng .
2.3.

Tích của hai phép vị tự

2.3.1.

Tích của hai phép vị tự cùng tâm

Cho hai phép vị tự cùng tâm: V1 = V(O, k1), V2 = V(O, k2).
Tích của V1 và V2 là một phép vị tự: V1 V2 = V(O, k1.k2).
2.3.2.

ch của 2 phép vị tự khác tâm

Cho 2 phép vị tự khác tâm: V1 = V(O1, k1), V2 = V(O2, k2).

- Nếu k1.k2 = 1 thì tích của V1 và V2 là phép tịnh tiến.
- Nếu k1.k2 1 thì tích của V1 và V2 là một phép vị tự
V(O, k1.k2) với O
đợc xác định bởi hệ thức:





O O  1 k
2
O 1O 2
1
1 k1.k2


CHƯƠNG 2. NG DNG CA PHẫP V T VO GII CC
LP BI TON C BN
ng dụng của phép vị tự trong việc giải một số lớp bài toán
hình học là quá trình sử dụng phép vị tự vào giải các bài
toán hình học ở các dạng cụ thể nhằm giúp cho ngời đọc
thấy đợc sự tiện lợi và tính u việt của phơng pháp biến hình
nói chung và phép vị tự nói riêng trong việc giải toán.
2.1.
ng dụng của phép vị tự vào giải bài toán chứng
minh trong hình học
2.1.1.

Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B

là đúng, trong

đó A là giả thiết, B là kết luận.
Để giải bài toán chứng minh, ta xuất phát từ giả thiết A và
những mệnh đề
đúng đã biết, bằng những lập luận chặt chẽ và những suy
luận hợp logic, dựa vào các định nghĩa, các tính chất, các
định lí của đối tợng toán học để đi đến kết luận.
2.1.2.

ng dụng phép vị tự giải bài toán chứng minh
Khi vận dụng phép vị tự vào giải bài toán chứng minh, ta

thờng tiến hành theo các bớc sau:
- Bớc 1: Xác định yêu cầu của bài toán.
- Bớc 2: Xác định phép vị tự (Xác định tâm vị tự và tỉ số
vị tự).
- Bớc 3: Thực hiện phép vị tự.
- Bớc 4: Đa ra kết luận của bài toán.
2.1.3.

Ví

dụ Ví dụ
1:
Chứng minh rằng:


a) C¸c trung ®iÓm c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c, ch©n c¸c
®êng cao vµ c¸c trung ®iÓm c¸c ®o¹n th¼ng nèi trùc

t©m víi c¸c ®Ønh cïng n»m trªn mét
®êng trßn ( §êng trßn Euler).


b) Bốn điểm trong một tam giác: trực tâm, trọng tâm,
tâm đờng tròn ngoại tiếp, tâm đờng tròn Euler thẳng
hàng và lập thành hàng điểm điều hòa.
Lời giải:

A

A3
H
B

I G O
A
1
A
2

C

A4
A5

Giả sử G, H, O lần lợt là trọng tâm, trực tâm, tâm đờng
tròn ngoại tiếp
ABC, A1, B1, C1 lần lợt là chân đờng cao hạ từ A, B, C xuống
cạnh đối diện; A2, B2, C2 lần lợt là giao điểm thứ 2 của A1H,

B1H, C1H với (O); A3, B3, C3 lần lợt là trung điểm của AH, BH,
CH; A4, B4, C4 lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB; A5, B5, C5
lần lợt là giao điểm thứ hai của OA, OB, OC với (O).
BAH
BCH

Ta
có:

Mà BAH =
BCA 2

(Cùng phụ với góc ABC)

BCH

=

CA1 là phân giác

của cân tại C
CA1 là trung

tuyến

BCA 2
A1 là trung điểm HA2





H□CA 2 , mµ CA1 lµ ®êng

cao nªn tam
1 gi¸c CHA2
HA  HA
(1)

1

2

2

DÔ dµng chøng minh ®îc tø gi¸c BHCA5 lµ h×nh b×nh hµnh


Lại có A4 là trung điểm BC nên A4 là trung điểm HA5
1
HA HA (2)

4

5

2

1




Vì A3 là trung điểm
AH nên

HA3

2

(3)

HA

1

Từ (1), (2), (3) phép vị tự V(H, ): A A
2

2

1

A5 A4
1

V(H,

A A3
): (O) (I) A , A , A
1


2

4

3

1

Chứng minh tơng tự : V(H, ): (O) (I) B , B , B
2
1

1

2

1

4

3

V(H, ): (O) (I) C , C , C
4

3

9 điểm Ai, Bi, Ci ( i = 1, 3, 4) cùng thuộc đờng tròn (I).
1
b) Ta có: V(H, ): O I

2
1
H, O, I thẳng
HI HO
2

hàng và



HO 2HI (OIH)=2
1

Lại có V(G,
V(G,

): A, B, C A , B , C

2
1

4

4

4

): ABC A B C

2


4

4

4

Vì O và I lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC,
A4B4C4 nên
V(G,

1
2

):O I

G, O, I thẳng

hàng và


GO 2GI
(OIG) = -2.

Vậy G, H, O, I thẳng hàng và:




1 


GI 

2

GO


(OIGH) =


(OIH) 2

(OIG)

2

-1
G, H, O, I là hàng điểm điều hòa.

Ví dụ 2:
Mỗi điểm của mặt phẳng
đều đợc tô hoặc xanh, hoặc đỏ
một cách hú họa. Chứng minh rằng
tồn tại ít nhất một ABC với trọng
tâm G sao cho A, B, C, G đợc tô
cùng một màu.
Lời giải:
Trớc tiên ta thấy rằng luôn tìm
đợc ABC với 3 đỉnh cùng màu.

Thật vậy, giả sử phản chứng
rằng không tồn tại ABC sao cho 3
đỉnh có cùng một màu. Khi đó,
mọi điểm màu đỏ nằm trên một
đờng thẳng và mọi
điểm màu xanh nằm trên một đờng thẳng. Do 2 đờng thẳng
không thể lấp đầy mặt phẳng
nên điều này trái với giả thiết mọi
điểm của mặt phẳng đều đợc
tô màu.

A'

A
G


B

C

B'
C'

Không mất tính
tổng quát, giả sử 3
đỉnh của ABC có màu
xanh. Gọi G là trọng
tâm tam giác.
+) Nếu G xanh thì ABC

là tam giác cần tìm.


+) Nếu G đỏ:
Xét phép vị tự V(G,4): A A
B
B C
C

Ta đi chứng minh G là trọng tâm ABC:



Vì G là trọng tâm ABC nên GA + GB + GC = 0



4 GA +4 GB +4 GC = 0



GA ' + GB ' + GC ' = 0
G là trọng tâm

ABC.
- Nếu A, B, C đỏ thì ABC là tam giác cần tìm.
- Nếu một trong 3 đỉnh A, B, C xanh, giả sử là đỉnh A.
Xét ABC, ta đi chứng minh A là trọng tâm ABC:










Ta có: AB + AC + AA ' = ( GB - GA )+( GC - GA ) + AA '



= ( GA + GB + GC ) +( AA ' - 3 GA )


= 0 + 0

= 0


A là trọng tâm ABC

Mà A, B, C, A cùng màu xanh ABC là tam giác cần tìm.
đpcm.

Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng cho 2 đờng tròn (O1, R1) và (O2, R2),
(R1 R2) cắt nhau tại 2 điểm A, B. Các tiếp điểm của một
tiếp tuyến chung với (O1) và (O2) lần lợt là P1, P2 và các tiếp
điểm của một tiếp tuyến chung còn lại với (O1) và (O2) lần lợt



lµ Q1, Q2 . M1, M2 lÇn lît lµ trung ®iÓm cña P1Q1 vµ P2Q2 .
Chøng
min O□A  M□AM .
h:
O
1

2

1

2


Lời giải:

P
2

C

T
P
1
A

O2
M
2


O1
B

M1
Q1

O

Q2

Gọi O là giao điểm của P1P2, Q1Q2 và O1O2, khi đó O là tâm
vị tự của (O1) và (O2).
2
Ta có: TP
1 = TA.TB =TP2
2

TP1 = TP2 (*)

Dễ dàng chứng minh đợc AB, P1P2, Q1Q2 song song và cùng
vuông góc với O1O2. Kết hợp với (*) suy ra TA là đờng trung trực
của M1M2




AM1O1 AM2O1 BM2O1

(1)


Xét phép vị tự: V = V(O, O
2
R2
1
): O
R1

P1
P2 Q1
Q2
V: P1Q1

A C

P2Q2
Mà M1,M2 lần lợt là trung điểm của P1Q1, P2Q2 nên V: M1 M2
Do phép vị tự bảo tồn độ lớn của góc
A M1O1
phẳng nên
CM 2O 2

(2) v OAM
à =


1

O2□C
M


2

(3)

Tõ (1) vµ (2) B□M 2O1  C□M 2O 2


 M2, C, B th¼ng hµng.

1


Do tính chất đối xứng ta OA
có: =
M
OBM
2

2

(4)

2

Xét
tam
giác
cân
CO2B

có:

2
2

OCM =

2

(5)

Từ
O OAM =
(3),
(4),
(5) A


V
ậ
y
O

A
O

M


M


A
M

1
2

1
2

M AO )

( cùn
g
bằn
g
+

1
2

2
1

1

2

Đpcm.


Ví dụ 4:
Cho 2 đờng tròn
(O), (O) có bán kính
khác nhau và tiếp xúc
ngoài với nhau tại A.
Một đờng tròn (O)
thay

đổi

luôn

luôn

tiếp xúc ngoài với (O)
và (O). Gọi B là tiếp
điểm

của

(O)

và

(O), C là tiếp điểm
của

(O)

và


(O).

Chứng minh rằng: đ-


ờng thẳng BC đi qua
điểm cố định.
Lời giải:

O

O'

I
C
B
O''

Gọi R, R, R lần lợt là
bán kính của (O), (O),
(O); C là giao điểm
thứ hai của BC với (O).
R''

Xét phép vị tự: V1 = V(B,
): (O) (O)
R

B B


C'


V 2 = V(C,

R'

R''

): (O)
(O)
B C

Ta có: (
V

R

R''

).(
R''

R'

)=

R'


1 nên V
2

R

là một phép vị tự: (O) (O)

1

B C

BC đi qua tâm vị tự I của 2 đờng tròn. Vì (O), (O) cố định

nên I cố định.
đpcm.

Nhận xét: Mở rộng ra trong E3 ta có bài toán:
Cho 2 mặt cầu (O), (O) có bán kính khác nhau và
nằm ngoài nhau. Xét mặt cầu (O) tiếp xúc ngoài với (O) và
(O) lần lợt tại A, B. Trên O lấy M ( A,B). MA cắt (O) tại điểm
thứ hai là M1, MB cắt (O) tại điểm thứ hai là M2. Chứng minh:
Khi M di động trên (O) thì M1M2 đi qua điểm cố định.
Lời giải:

M

O''
A
O


B

O'

M2

M

1

Gọi R, R,R lần lợt là bán kính của (O), (O),
(O).
Xét phép vị tự: V1
= V(A,



R''
R

): (O) (O)
M1 M

I