A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với học
sinh, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các
môn học khác.
Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là
một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học không
gian.
Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để
giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toán
tập hợp điểm, bài toán tính toán, … Tuy nhiên, việc vận dụng phép quay
quanh một điểm trong để giải các bài toán hình học không phải là việc dễ
dàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh.
Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp, em xin được trình bày
những kiến thức cơ bản về phép quay quanh một điểm trong và ứng dụng của
nó đối với việc giải các bài toán trong hình học phẳng và hình học không
gian.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
1) Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay.
2) Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc giải bốn
lớp bài tập hình học: bài toán chứng minh, bài toán dựng hình, bài toán tìm
tập hợp điểm, bài toán tính toán.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí Toán học , các bài giảng
chuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên quan tới nội dung nghiên
cứu và các kiến thức thực hành.

1


B. NỘI DUNG

Chương I. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Khái niệm về phép biến hình
a) Cho hai tập hợp điểm T và T

ta gọi là một song ánh từ T vào

T ,mọi phép tương ứng  mà với mỗi điểm  của T đều được gắn với một
điểm   duy nhất của T , ký hiệu là  =  .
Ánh xạ  gọi là song ánh nếu mọi  của T

đều tồn tại duy nhất 

của T sao cho    . Như vậy, cho một song ánh  : T  T

vào T là

cho một quy tắc để, với bất kỳ một điểm  T bao giờ ta cũng có một điểm
 hoàn toàn xác định của T

sao cho :

(i) Nếu  và  là hai điểm phân biệt của T thì  và  là hai
điểm phân biệt của T    
(ii)Với  T

thì    . (Khi đó ta nói  là đơn ánh).

thì bao giờ cũng có một điểm  T


sao cho

   . (Khi đó ta nói  là toàn ánh)
Điểm    được gọi là ảnh, hay điểm tương ứng hoặc hình biến đổi
của của điểm  qua ánh xạ  . Ngược lại, điểm  được gọi là tạo ảnh của
điểm    qua ánh xạ  .
Nếu    thì ta còn nói rằng ánh xạ  (ở đây là một song ánh) biến
điểm  của T thành điểm  của T .
b) Khi hai tập hợp điểm T và T là đồng nhất, cũng có nghĩa là trùng
nhau, ký hiệu T  T , ta nói rằng  là một phép biến hình trong T (hay từ T
vào chính nó).
Như vậy, ta có thể định nghĩa một phép biến hình trên đường thẳng,
trong mặt phẳng hay trong không gian tùy theo T là tập các điểm của một


đường thẳng  nào đó trong mặt phẳng, hay T là tập hợp tất cả các điểm của
một mặt phẳng  hay T là tập hợp tất cả các điểm của không gian  .
Thậm chí, T có thể là tập hợp tất cả các điểm của một hình H nào đó là
một bộ phận ( tập con ) của một đường thẳng  , hay một bộ phận của một
mặt phẳng (  ), hay một bộ phận của không gian.
Kí hiệu H  , H  

hay H   .

Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1( Định nghĩa phép biến hình )
Một song ánh      hoặc    từ tập các điểm của đường thẳng
 hay của mặt phẳng  lên chính nó được gọi là một phép biến hình trên
đường thẳng  hay của mặt phẳng  .
Như vậy, chẳng hạn cho một phép biến hình của mặt phẳng

     là cho một quy tắc để với mọi điểm của (P) ta tìm được một điểm
M    hoàn toàn xác định, thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
(i) Nếu  và  đều thuộc (P), M  N thì  và  đều thuộc (P),    .
(ii)  thì tồn tại duy nhất điểm   sao cho    .
Nếu H là một hình nào đó của (P) thì ta có thể xác định được tập hợp
điểm H   H    H H 

là một hình phẳng được gọi là ảnh

hay hình biến đổi, hoặc hình tương ứng của hình H qua phép biến hình  ;
ngược lại, hình H được gọi là tạo ảnh (hay hình nguyên của hình H 

qua

phép biến hình  .
Chú thích
1.1
Phép biến hình định nghĩa như trên còn được gọi một cách chính xác hơn
là phép biến hình điểm ( vì nó biến đổi điểm thành điểm).


Hai phép biến hình điểm  và  là tương đương nếu với mọi điểm M
của T đều có cùng một ảnh trong

T   T suy ra      , ta

viết    .
1.2. Phép biến đổi 1 – 1 và phéo biến đổi ngược
Giả sử  là phép biến đổi biến điểm M thành M . Đương nhiên có thể
có nhiều điểm  có cùng một ảnh  qua phép biến đổi đó.

Chẳng hạn, phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng; nếu  là hình
chiếu của  trên một đường thẳng d thì ngoài  còn có vô số các điểm
khác  có cùng hình chiếu   . Nếu  chỉ ứng với điểm  duy nhất thì ta
nói  là phép biến đổi 1 – 1.
Định nghĩa 1.2.1
 là phép biến đổi 1 – 1 nếu mọi ảnh  của  qua phép biến đổi đó
ứng với duy nhất điểm  .
Định nghĩa 1.2.2
Nếu  là phép biến đổi 1 – 1 biến M thành 
     thì tồn tại một phép biến đổi biến  thành điểm M .
Phép biến đổi như vậy gọi là phép biến đổi ngược của 
Kí hiệu 

-1

.

Có trường hợp 

-1

lại là  , khi đó ta nói  có tính đối hợp.

Chẳng

hạn phép đối xứng qua tâm hoặc qua trục có tính chất đối hợp
Định nghĩa 1.2.3
Một phép biến đổi biến mọi điểm M thành chính nó được gọi là phép
đồng nhất.
1.3. Tập hợp bất biến và điểm bất động

Cho tập hợp điểm H và phép biến đổi  . Nếu ảnh của mọi điểm thuộc
H qua phép biến đổi đã cho cũng thuộc H thì được gọi là tập hợp bất biến
qua phép biến đổi đó.


Ta nói điểm  bất động qua phép biến đổi  nếu    . Tập hợp
điểm H được gọi là bất động qua  nếu H gồm toàn thể các điểm bất động
qua  .
Chẳng hạn trục đối xứng là đường thẳng bất động qua phép đối xứng
với trục đó.
1.4. Hai phép biến đổi trùng nhau
Cho hai phép biến đổi  và g xác định trên toàn mặt phẳng. Ta nói 
và g trùng nhau hoặc g và  chỉ là một nếu ảnh của mọi điểm  qua hai
phép biến đổi đó trùng nhau.
Tức là   g
Rõ ràng  là một phép biến đổi đồng nhất nếu mọi điểm thuộc mặt
phẳng là điểm bất động của  , nghĩa là    , 
1.5.Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình  và g. Với mỗi điểm M, giả sử      và g
    . Như vậy tồn tại một quy tắc để từ điểm  ta tìm được điểm duy
nhất  .
Quy tắc đó gọi là tích của hai phép biến hình  , g và được kí hiệu là :
g   . Trong cách kí hiệu này,  được thực hiện trước và g được thực hiện
sau.
Nói chung g   khác   g, nghĩa là ảnh của điểm  qua phép biến
đổi g   khác với ảnh của  qua phép biến đổi   g.
2. PHÉP QUAY QUANH MỘT
ĐIỂM 2.1.Góc định hướng giữa
hai tia
Trong hình học, hình tạo bởi hai tia Ox và Oy được gọi là góc tạo bởi

hai tia đó và được kí hiệu bởi x□Oy . Số đo của
o

o

góc 0 đến 180 ( hoặc từ 0 đến  radian )

x□Oy nằm trong khoảng
từ


Nếu thứ tự của hai cạnh góc x□Oy được xét đến, tức là hai
góc

x□Oy
và
y x□O
Oy
k đã
c đượ
nhc
u định
t hướ
t ng
n và
đượ
c kí
hiệu
bởi
(

O
x;
O
y)
.
Tr
on
g
đó
,
Ox
là
cạ


nh đầu và Oy là cạnh cuối của
góc.
Định nghĩa 2.1.1:

Hai góc định hướng
được gọi là đối nhau
nếu số đo của chúng
đối nhau.

Góc định hướng giữa hai

Nếu  và  là hai

tia là góc tạo bởi hai tia đó có


điểm phân biệt và   

xét một thứ tự xác định.

không thẳng hàng thì hai

Nhận xét:

góc định hướng (   )

- Nếu  là một trong   
các số đo của góc

thỏa mãn điều kiện

và ( O  ) cùng hướng

thì số

  k với k nguyên
đo của tùy ý.  được gọi là giá
trị
góc

khi và chỉ khi các điểm
 và  nằm cùng phía
đối với đường thẳng  .

bằng


Hai góc đó được gọi là
ngược hướng khi và chỉ khi
 và  nằm khác phía đối

chính

với đường thẳng  .
Bổ đề 2.1.4

của
góc.
- Giá trị của góc định hướng
không phải là duy nhất,ta quy

Cho hai điểm  cố
định phân biệt và một
góc  với 0     (
hoặc

ước giá trị đó âm hay dương là

     ). Tập hợp các

tùy theo chiều quay là chiều âm

điểm  khác 

hay

sao cho    là một


chiều

dương

của

mặt

phẳng.
Định nghĩa 2.1.2.
Hai góc định hướng được
gọi là bằng nhau nếu số đo
của chúng bằng
nhau.
Định nghĩa 2.1.3.

cung chứa góc được dựng
trên dây  (trừ  ).


Hệ thức Chasles:
Nếu (OxOy) = yOz) = OxOz) =  thì      , tức là:
x ; Oy) + (Oy ; Oz) = (Ox ; Oz)
Góc định hướng giữa hai tia khác gốc:
Cho hai tia Ax và
By

có các gốc A, B khác nhau. Lấy một điểm O tùy


ý và gọi Ox,Oy là hai tia theo thứ tự cùng hướng với Ax, By . Khi đó ta nói
góc định hướng tạo bởi Ox và Oy bằng góc định hướng tạo bởi hai tia
Ax và
By

và viết :

(Ax ; By) = (Ox ; Oy)
Rõ ràng, nếu Ax / / By thì (Ax ; By) = 0 (mod 
hoặc : (Ax ; By) = ± ( mod 2.
2.2. Phép quay quanh một điểm
a) Định nghĩa 2.2.1
Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho một điểm  và góc định
hướng  . Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  là phép biến hình biến 
thành  và biến mỗi điểm  khác  thành
điểm  sao cho:
  và

  

Khi đó ta nói  là ảnh của  qua phép quay tâm  với góc quay 
và kí hiệu Q(O; :   M .
b) Tính chất:
(i) Theo định nghĩa, phép quay

Q(O; nếu 

  nó trở thành phép

đồng nhất. Nếu    hoặc    thì nó là phép đối xứng tâm  .

(ii) Phép quay

Q(O;

và là phép biến đổi 1 – 1.

  k2 k  z)

có một điểm bất động duy nhất


Chứng minh:
Giả sử M1, M2 là các tạo ảnh của M qua phép quay Q(O; .
Theo định nghĩa, ta có :
OM1 = O = OM2 và ( OM1; O ) =  .
Điều đó chứng tỏ rằng M1 và M2 nằm trên cùng một tia và cách O một
khoảng bằng nhau.
Vì vậy, M1  M2.
Nếu  là điểm bất động khác O của phép quay thì theo định nghĩa ta
có :
   (Vô lý) Vì vậy
  .
(iii) Phép quay Q là phép dời hình.
Chứng minh:
Giả sử : Q(O; :

  M
  N

OM OM 


Theo định nghĩa ta có : ON ON
(OM ;OM )(ON;ON )

OM OM 

 ON ON

 (OM ;ON )(OM ;ON )


  



  .

(c.g.c)

Vậy Q là phép dời hình (đpcm).
(iv) Phép quay Q biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn
thứ tự của chúng.


Q(O; là phép dời hình. Do đó, nếu

Chứng minh:
Theo tính chất (iii) phép quay

,C lần lượt là ba ảnh của ba

điểm thẳng hàng A,B,C thì
A,C thẳng hàng theo thứ tự
đó.
* Hệ quả:
Phép quay Q biến:
- Một đường thẳng d thành
đường thẳng d và góc
định hướng (d;d =

 , d  d  khi    .
- Biến tia Sx thành tia Sx
và góc tạo bởi hai tia đó
bằng 
- Biến đoạn PQ thành đoạn PQ và
PQ = PQ
- □
x Sy x□S y x□Sy = x□Sy
B
thành  và hai .
iế
góc
góc
n
g
ó
c
thành đường tròn (I R)
Biến .
đườn
g

tròn

R)
(v) Tích của hai phép quay là một
phép tịnh tiến hoặc là một phép
quay. Chứng minh:




O
M
Q(OM ,OM )

Xét hai phép quay Q(O; và 
O
Q(O  .
M
Đ Q
ặ 
t
.
Q

0

0




0

OM OM 
:

=
Q

M







*
T
H
1:
O

O






M



t
h
ì

Qt 
h
0ì
(
:
MO



O
M

M



O
M

M,
O


M



)


Vậy :
0





Do
đó : 
(OM ,OM )(OM ,OM )(OM ,OM
) 
Q = Q  
*TH2: O  O




Chương 2
2

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E VÀO
VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Cũng như các phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệu
nhất để giải các bài toán hình học.
Để giải một bài toán bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau:

- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp các
phép quay riêng biệt dễ quan sát.
- Những bài toán hình học mà trong các giả thiết xuất hiện các yếu tố
o

o,

o

góc đặc biệt như góc: 90 ,30 60 ,…và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giác
cân, tam giác đều, hình thoi, hình vuông,…thường gợi ý cho ta ý tưởng dùng
phép quay để giải.
Cụ thể:
1. Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán chứng minh
1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh có dạng A  B , trong đó:
A là giả thiết, bao gồm:
+) Những yếu tố đã cho như : điểm, đường thẳng, đường tròn,…
+) Những quan hệ đã biết: liên thuộc, song song, vuông góc,…
+) Những yếu tố về lượng : độ dài, góc,…
B là kết luận cần được khẳng định là đúng.
“  ’’ là những suy luận hợp logic dựa trên các giả thiết có mặt
trong A , các định nghĩa, định lí, …để khẳng định B đúng.
1.2. Giải bài toán chứng minh sử dụng phép biến hình.
Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã cho
trong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một


phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phép
biến hình đó ta có thể nhận được các kết quả về:

- Tính đồng qui hay tính thẳng hàng.
- Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc.
- Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau.
- Các tam giác, các đường tròn bằng nhau,…
Giúp ta suy ra điều cần chứng minh.
Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa đến các kết
quả trên.
Ta có thể đổi bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề “ A  B ”
thành mệnh đề “ A  B” bằng cách chuyển A thành A và B thành B qua
một phép biến hình. Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ tính chất 1
– 1 và tính chất bất biến của phép biến hình đã sử dụng ( cụ thể là phép quay )
để suy ra tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu.
Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quen
gọi là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến với
những hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận được
điều cần chứng minh.
Thực chất công việc này là dựng ảnh của điểm hay của đường qua phép
biến hình nào đó.
1.3. Một số ví dụ:
*Ví dụ 1:
Cho hình vuông

ABCD . Một

đường thẳng d cắt các đường thẳng AB
và CD tương ứng tại các điểm M , N .
Một đường thẳng d vuông góc với d
cắt các đường thẳng AD và BC tương



ứng tại các điểm P và Q . Chứng minh rằng MN  PQ .
Giải
Ta gọi O là tâm hình vuông.
Phép quay

Q(O,90) : B  A, A  D Do đó, biến đường thẳng BA

thành đường thẳng AD và biến M thành M  , biến N thành N . Cũng qua
phép quay đó, biến C thành B ; biến D thành C , do đó đường thẳng CD
biến thành đường thẳng BC và N biến thành N . Theo tínhchất của phép
quay, ta có:
MN M  N

 MN M  N
Theo giả thiết: MN  PQ
PQ// M N 
Vì vậy 
 PQM  N
 MN  PQ
(đpcm)
*Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD và một điểm M bất kỳ. Kí hiệu x là đường
thẳng đi qua A vuông góc với MB ; y là đường thẳng đi qua B vuông góc
với MC ; z là đường thẳng đi qua C vuông góc với MD ; d là đường thẳng
đi qua D vuông góc với MA .
Chứng minh rằng bốn đường thẳng
x, y, z, d đồng quy.
Giải
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD .

Phép quay


Q(O;90) : B  A, M  M do đó BM biến thành AM và AM   BM ,
suy ra AM  chính là x hay x đi qua
M  . Tương tự thẳng cùng đi qua M  .

y, z, d là các
đường

* Ví dụ 3:
Tìm tất cả các phép quay của mặt phẳng biến hình
vuông ABCD thành chính nó.
Giải
Phép quay biến ABCD thành chính nó khi và chỉ
khi ảnh của bốn đỉnh
A, B.C, D phải là một hoán vị của bốn đỉnh đó.
Khi đó, tâm O của hình vuông ABCD phải biến
thành điểm cách đều cả
bốn
A, B,C, D , tức là biến thành O .
đỉnh
Vậy O phải là điểm bất động của phép quay cần tìm.
Khi góc quay   0 , do cạnh góc vuông phải biến
thành cạnh góc vuông
(modulo 2 )

, hoặc
nên  chỉ có


thể là  ,

2

2

Phép
là phép đối xứng tâm O
Q
quay (O;
biến 4 đỉnh
)
thứ tự thành C, D, A, B .
Phép Q  biến 4
quay  O; đỉnh






A, B,C, D

2

theo thứ tự B,C, D, A .
thành
Q O;

Phép

quay




2

biến

4

đỉnh

A, B,C, D
theo





A
D, A, B,C .
,
B
,
C
,
D
t
h

e
o
t
h
ứ
t
ự
t
h
à
n
h
Vậy có
tất cả bốn
phép
quay ( kể
cả biến
đổi đồng
nhất )
biến hình
vuông
ABCD thành
chính nó.
(đpcm)


* Ví dụ 4:
Trên các cạnh

AB,CD của tứ giác lồi ABCD và về phía ngoài tứ giác ta

dựng các tam giác đều ABM và
BC, DA và về
CDN .Trên các cạnh
phía
trong tứ giác ta dựng các tam giác đều BCP và
ADQ . Chứng minh rằng

MP  NQ .
Giải
Phép quay tâm B với góc quay 60 biến điểm
M thành điểm A , điểm
P thành điểm C , khi đó MP  AC . Phép
quay tâm D với góc quay

60

biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C
, khi đó QN  AC . Từ các kết quả trên ta suy ra MP
 NQ .
* Ví dụ 5:
Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm
trong hình vuông sao cho
□AMB  135
Chứng
minh

.


b

M ' , B thành D ,
ir
do đó
ếằ
n
n
Mg
t
h2
à
M
n
hA
2


M
B
2


M
D
2

.
Giải
Phép quay
tâm A với
góc quay

90


AM  AM ', MB  M ' D,
□AMB  □AM ' D  135
Vì tam giác

nên

AMM ' vuông cân tại A và tia MM ' nằm trong □AM ' D
,

M□M ' D  90 . Trong
2

2

tam

giác

2

MD  MM '  M ' D . Trong tam giác
vuông

vuông

MM ' D


ta

có

AMM ' ta có

2
MM '  2 AM .Từ các kết quả trên ta suy ra điều cần chứng minh.
2

* Ví dụ 6:
Cho tam giác đều ABC , trên các cạnh
điểm

K , L, M thỏa mãn
AK


KB

BL



LC

AB, BC,CA ta lấy lần lượt các

CM . Gọi D, E theo thứ tự giao điểm
MA


của AL với CK và BM ; F là giao điểm của BM và CK . Chứng minh tam
giác

DEF là tam giác đều.
Giải
Dễ thấy AK  BL  CM .
Gọi O là tâm của tam giác đều.
Thực hiện phép quay tâm O , góc quay 120 , theo chiều ngược với chiều

kim đồng hồ thì:

A  B; B  C;C  A
K L;LM ;M K
ALBM ;BM CK;CK  AL
Vây D  E; E  F; F  D

Suy ra DEF đều.
1.4. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép biến hình
Nếu mệnh đề A  B

đã được khẳng định nhờ sử dụng phép biến hình


thì cũng có thể dùng phép biến hình đó để xét mệnh đề đảo B  A

hay mệnh

đề đảo bộ phận của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới.
Từ một mệnh đề đã chứng minh được, có thể dùng những phép biến hình để

chuyển mệnh đề đó thành mệnh đề mới : A  B

khi đó ta được một bài toán


mới. Cũng có thể sử dụng phép biến hình để phát biểu lại một vài điều kiện
của giả thiết A hoặc kết luận B để nhận được bài toán mới.
Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay là chọn phép quay cho
phù hợp để tìm ra lời giải của bài toán.
2. Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán quỹ tích
2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm ( còn gọi là một hình )
có tính chất  cho trước.
Quỹ tích các điểm M có tính chất  cho trước có thể là một tập rỗng,
tập hữu hạn hoặc tập vô hạn điểm.
Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình H nào đó ta
phải thực hiện các bước sau:
-

Bước 1 (phần thuận) : Chứng minh mỗi điểm có tính chất  đều phải
thuộc hình H ( nói lên tính không thiếu của quỹ tích)

-

Bước 2 (phần đảo) : Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H
đều có tính chất  ( Nói lên tính không thừa của quỹ tích).
2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ sử dụng phép biến hình
E 2 E 2 là một phép biến hình cuả mặt phẳng thì:
Giả sử : :


M M
Nếu quỹ tích điểm M là hình H thì ta có quỹ tích điểm M  là
f

1

(H ) .
Để giải bài toán quỹ tích, thông thường ta phải chứng minh cả phần

thuận và đảo. Phần thuận thường dễ chỉ ra nhưng phần đảo thường khó hơn.
Khi ta giải toán bằng chách sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nói
riêng, nhờ vào tính chất 1 – 1 mà cả phần thuận và phần đảo được giải quyết
cùng lúc. Đây cũng là ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến hình vào
giải toán quỹ tích.


Do đó, muốn sử dụng phép biến hình dựa vào giải toán tìm tập hợp các
điểm M thỏa mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích
hợp biến điểm M thành điểm M ' sao cho quỹ tích điểm M ' tìm được dễ
dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích điểm M .
2.3. Một số ví dụ
* Ví dụ 1:
Cho tam giác đều ABC . Tìm tập hợp các điểm M nằm trong
tam giác sao cho :
Giải

2

2


2

MA  MB  MC .

Phép quay
Q(B;60) : M  M ' , A  C , do đó
MA  M 'C, MB  MM '. Tam giác
MM 'C vuông tại M ' vì

2

2

2

2

2

M 'C  M ' M  MA  MB  MC Từ đó suy
ra Mặt khác, từ
AMB  CM ' B
□
suy ra : AMB  150 .

□

□

B□M 'C  150 .


Chứng tỏ M thuộc cung chứa góc 150 dựng trên dây AB , trừ hai điểm
A, B .
Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay Q
(B;60)
M thành M ' và cung □AMB thành cung C□M ' B có số đo 150 .
Vì tam giác

BMM ' đều.

biến


Do đó:

M□M 'C  150  60  90 .
Tam

MM 'C
giác vuông tại

M'.

Do
đó:
2

2

2


M ' M  M 'C  MC .
Do :
MA  M 'C, MM '  MB
nên :
2

2

2

MA  MB  MC . (đpcm)
*Ví dụ 2:
Cho đường thẳng d , điểm A cố định không nằm trên
d . Với mỗi điểm
B

d

ta dựng tam giác đều ABC . Tìm tập hợp điểm C , khi
B thay đổi trên

đường thẳng d .
Giải
Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua
phép quay tâm A
với góc quay 60  .
Do đó tập hợp C là ảnh của d qua phép quay đó.
* Ví dụ 3:
Cho nửa đường

tròn đường kính AB và
một điểm M chuyển
động trên nửa đường
tròn ấy. Tìm quỹ tích
các điểm N


sao
cho
tam
giác
BMN
là tam
giác
đều.
Giải


 N□BM

Tam giác BMN , cho ta : 60

 BN BM

. N là ảnh của M trong phép
quay tâm B , góc quay là
60  . Vậy quỹ tích của N
là nửa đường tròn ảnh của
nửa đường tròn đường
kính AB trong phép quay

tâm B , góc quay 60 .
Chú ý : ta có hai đường
tròn như thế, do việc
chọn hai chiều quay.
* Ví dụ 4:
Cho nửa đường tròn
đường kính AB . Một
điểm C di chuyển trên
nửa đường tròn ấy. Trên
tia AC ta lấy điểm M sao
cho BC . Tìm quỹ tích
điểm M .
Giải
L
đối xứng của C qua
ấ
trung
y
đi
ể
m
C
'
đ
i
ể
m
O