Khóa luận tốt
nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Hà nội – 2009

1


Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo
và bài toán quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

người hướng dẫn khoa học
GV. đinh văn thủy

Hà nội – 2009


Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được
sự quan tâm, giúp đỡ về vật chất, tinh thần của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình
học nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng
với sự hỗ trợ và giúp đỡ của các bạn sinh viên.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, người
đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khóa luận
này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em
trình bày trong khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu xót. Em kính mong nhận
được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để
khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Đinh Thị Quỳnh Liên.


Lời cam đoan
Em xin cam đoan các vấn đề em trình bày trong khoá luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thuỷ,
không trùng với tác giả khác.
Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Đinh Thị Quỳnh Liên



Mục lục
Phần 1:Mở đầu.......................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài................................................................................................... 6
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu............................................................................ 6
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu............................................................................. 7
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................... 7
Phần 2: Nội dung....................................................................................................... 8
Chương 1:Phép nghịch đảo........................................................................................ 8
1.1. Các định nghĩa.................................................................................................... 8
1.1.1. Không gian bảo giác........................................................................................ 8
1.1.2. Phép nghịch đảo.............................................................................................. 8
1.2. Các tính chất....................................................................................................... 8
1.3. Các định lý.......................................................................................................... 9
1.4. Phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc.......................................... 15
Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích..................................................... 17
2.1. Bài toán quỹ tích............................................................................................... 17
2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo..................................................... 17
2.2.1. Phương pháp chung....................................................................................... 17
2.2.2 Các ví dụ minh hoạ.........................................................................................17
2.2.3..........................................................................................................tập tự luyện
31
2.2.4. Hướng dẫn.....................................................................................................34
Kết luận................................................................................................................... 50
Tài liệu tham khảo................................................................................................... 51


Phần 1:


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán. Việc giải các
bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy
tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học. Mỗi bài tập hình học có thể giải
bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ,
phương pháp vectơ và phương pháp biến hình.
Trong nhiều trường hợp, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải
hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹ
tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán.
Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến hình:
phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự. Phép
nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông, chỉ được đề
xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi. Phép nghịch đảo với
những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong một số lớp bài
toán của hình học.
Để góp phần làm rõ tính ưu việt của việc sử dụng phép biến hình vào giải các
bài toán của hình học, tôi đi sâu nghiên cứu về lý thuyết phép biến hình và ứng
dụng của phép biến hình để giải quyết các bài toán hình học.
Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn
nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bài
toán quỹ tích.
Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó
trong việc giải bài toán quỹ tích.


- Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng

phương pháp biến hình vào giải bài toán quỹ tích.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo
- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo trong việc giải bài toán quỹ
tích trong mặt phẳng và không gian.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có
liên quan.


Phần 2:

Nội dung

Chương 1:

Phép nghịch đảo

1.1. Các định nghĩa
1.1.1. Không gian bảo giác
Không gian E n 
n
2,3

bảo
giác

bổ sung phần tử (điểm vô cực) gọi là
không gian


Bn .

Trong không gian bảo giác Bn, mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều
đi qua điểm .
1.1.2. Phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định và số thực k 0 .
Phép

biến
hình

n: B

B

sao cho:

n

Ma M'
n

M 

Nếu M O M ' 
thì
Nếu M 
thì


M ' O

Nếu M

O,
 thì

O,M,M ' th¼ng hµng

OM.OM ' k

thì n được gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k .
Kí hiệu n

k
O

Nhận xét:

hoặc n

 O,k .


n  O,k 
X O on

 O,k ,

trong XO là phép đối xứng tâm O .


đó

1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất 1
Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp :

2

là phép đồng nhất .

n
1.2.2. Tính chất 2
Nếu M ' là ảnh của qua n

 O,k thì O, M, M ' thẳng hàng .


Nếu M,O,N không thẳng hàng M ', N' lần lượt là ảnh của M, N qua

n  O,k thì tứ giác MM ' N' N là tứ giác nội tiếp.
1.2.3. Tính chất 3

Nếu phương tích nghịch đảo k 0 thì phép nghịch
đảo n

điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán
kính

 O,k



có tập các

k (gọi là siêu cầu nghịch đảo).

Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo n
điểm bất động.

 O,k


không có

1.3. Các định lý
1.3.1.Định lý 1
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu
đi qua cực nghịch đảo và biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng
không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong

E 2 .Việc chứng minh trong E 3 hoàn toàn tương tự.

+ Phép nghịch đảo biến đường thẳng
không đi qua cực nghịch đảo thành
đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Giả sử trong

n


 O,k 

E 2 cho phép nghịch đảo

và d là đường thẳng nào đó không

đi qua O.
Hạ OH d,

H d, H' n

H .


M'
n

Xét

M

bất

kì

thuộc

 M  . Khi đó: OM.OM '


d

và
Hình 1.1

OH.OH' k

Tứ giác MM ' N' H là tứ giác nội tiếp.
 H' M',MM'  H'H,MH 90o .


Do OH' cố định M' nằm trên đường tròn đường kính OH'
.

N
n

Ngược lại lấy điểm N' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH' ,

N' , tương tự như trên ta có:
 N'H',NN' NH,HH'90o OH
HN

N d

Vậy n

 dOH' .
+ Do tính chất: phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép nghịch
đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo đường thẳng không đi qua cực nghịch

đảo.
1.3.2. Định lý 2
Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu
không đi qua cực
nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta
minh
trong

chứng

E 2.
Giả sử cho

phép nghịch đảo

n (O,k) và  Clà đường tròn

Hình 1.2

không đi qua O . Ccó tâm I , OI cắt Ctại A,
B.
Gọi A ', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo

n
(O,k)

và  C' 



là đường tròn đường kính A ' B' . Ta chứng minh

C' n

 C .

• M  C , M' n (M) .
Nếu M 
hoặc B thì M ' trùng A ' hoặc B' ,
A
tức
Nếu

M '  A ' B'  .

M A,Bthì ta có tứ giác AMM ' A ' là tứ giác nội tiếp


A· MO A·A ' M '
Tứ giác BMM ' B' nội tiếp A·' B' M ' B·MM '
Do M   CA· MB 90

o

A·' M ' B' 90o tức
• N'

M ' C' . (1)


đều có A, B là ảnh của A ', B' qua phép nghịch đảo

 C' 

n

N n (N') nằm trên đường tròn đường kính AB .
Vậy N'

C'

đều
có



N   Csao cho n (N) N' . (2)

Từ (1) và (2) suy ra C'

n

 C  .

Hệ quả:
Các siêu cầu có tính chất: Phương tích của cực nghịch đảo đối với nó bằng
phương tích nghịch đảo là hình kép.
1.3.3. Định lý 3
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó.
Định lý này được suy ra ngay từ định nghĩa và tính chất.

1.3.4. Định lý 4
Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép nghịch
đảo

n
(O,k)

k 
0

là có n siêu cầu đi qua M và N , trực giao với siêu cầu

nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong
• Điều kiện cần:

E 2:


Giả sử cho phép nghịch đảo n (O,k)  k

 0 ,

Clà đường tròn nghịch đảo

và M, M ' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo trên. Ta phải chứng
minh có hai đường tròn  C1

,


C trực giao với C.
2

Gọi  C' là đường tròn bất kỳ qua M và M ' .


Khóa luận tốt
nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

OM.OM '
k

p

O

k CC' 

 C' 

Do qua M, M ' có vô số đường tròn nên có hai đường tròn qua M, M ' trực
giao với  C  .
• Điều kiện đủ
Giả sử có hai đường tròn  C1

,
Khi

đó:

p


O

C qua M,
2

p

C

 k

O

1

C

M ' và trực giao với  C  .

OM.OM ' k


2

O thuộc trục đẳng phương

MM ' của  C1 

và C2

và OM.OM ' k .



M, M ' là hai điểm tương ứng với nhau qua phép nghịch
đảo N (O,k) . Dễ thấy k 0 vì O là điểm nằm ngoài hai đường
tròn  C1 vµ C2  .
1.3.5. Định lý 5
Nếu A ', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo

Chứng minh:

N (O,k) thì ta có:

AB
A ' B'
k . OA.O

B

• Nếu A, B, O thẳng hàng, ta có:

k
OA '



OA

, OB' 

k
(a)

OB

A ' B' OB' OA ' 
OB OA
OA OB
kBA
k

k



k


Khóa luận tốt
nghiệp

Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

OA.OB
OA.OB



AB
k OA.O
A ' B'
B

• Nếu A, B, O không thẳng
hàng. Khi đó ta có:

ABB' A ' là tứ giác nội
tiếp  D OAB :

DOB' A
'

(b)
Hình
1.3

12


A'

B'
OA '

AB
OB


AB

k

OA '.AB
A ' B' 

OA .OA ' .A B

OB
OA.OB

.

OA.OB

Nhận
xét:
Nếu qua phép nghịch đảo

N (O,k) , siêu cầu  C1 

biến thành

 O ,R 
1

siêu cầu C2 

thì:


 O ,R 
2

1

2

R2 k

R1
R1
k
2
2
OO1 R
1
pO

.

 C1 

Chứng minh:
Gọi AB là đường kính của  C1 mà OAB và A ', B' thứ tự là ảnh
của



A, B qua N (O,k)

C2

  A'B' và

R k

1

R
 R
OO

2

OO

AB
A ' B' k
OA.OB

1

R
1

k R1

.

p


O

 C1 
13


1.3.6. Định lý 6
Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làm ngược hướng
của hình.
Chứng minh:
Để chứng minh định lý này, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ
đề:

biến đường cong
Cho phép nghịch đảo

N
(O,k)

 C'  .

 C

thành đường cong

Nếu hai điểm A, A ' là hai

điểm tương ứng trên C  ,


 C'  và
14


tại đó chúng có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực
của đoạn thẳng AA ' .
Chứng minh bổ đề:
Ta lấy trên  Cvà  C' hai điểm tương ứng M, MH' ìknhhá g1ần.4A
và A ' sao cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A . Khi
đó bốn điểm

A, A ', M, M' luôn thuộc một đường tròn.
Theo hệ thức:

k MA
M ' A '  OA.OM
thì khi M dần tới A thì M ' tiến dần tới A ' . Do đó các cát tuyến MA, M ' A ' của
các đường cong

,

 C

 C' 

đến trùng với các tiếp tuyến At, A ' t ' của chúng ở

A, A ' .
Gọi  K là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AA ' M ' M , ở vị trí A, A ' ,  K






lần lượt tiếp xúc với  C  ,  C' . Khi đó các tiếp tuyến At, A ' t ' đồng thời là
tiếp
tuyến của



K

tại A, A ' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực

của đoạn thẳng AA ' .
• Chứng minh định lý:
Giả sử có hai đường
cong  Cvà  Scắt
nhau ở A qua phép

nghịch đảo

N (O,k) biến thành  C'  và

 S' cắt nhau ở
A' N  A  .


Hình 1.5



Theo bổ đề trên, các tiếp tuyến At của Cvà A ' t ' của

đối xứng

 C' 
nhau qua trung trực của AA ' , các tiếp tuyến Au của  Svà A ' u' của  S' 
đối xứng nhau qua trung trực của AA ' .
Vậy At,Au  A 't ',A 'u'  .
1.3.7. Định lý 7
Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực
tâm O , tỉ số

k'
k

Chứng minh:

.

M' E
n

Xét điểm 2,3
Gọi

N (O,k) và N '(O,k ') là phép vị tự

n


bất kỳ.

M' N (M), M" N '(M ') . Khi đó ta có:

OM.OM ' k, OM '.OM " k '
uuuur
uuur
 k' 
M 
OM hay M '' V O,
k'
"  OM
k
 k
En
 k ' 
.
'on V
Do M bất kì trong không gian 
 O,
n


k



1.4. Phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc
1.4.1 Trong E 2

Xét phép nghịch đảo N (O, k) trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy có gốc
toạ độ trùng với cực của phép nghịch đảo.

M(x, y) là điểm bất kỳ và M '(x ', y ') là ảnh của M qua phép nghịch đảo đó.
Khi đó, theo định nghĩa ta có:


O, M
,M'

th¼ng hµng

th¼ng hµng


O,M,M'

 
OM.OM'
OM.OM' k
k
x.x' +
y.y' = k (* )

Công thức (*) xác định toạ độ của điểm M' đối với hệ toạ độ đã chọn.


1.4.2. Trong E 3
Xét phép nghịch đảo N (O, k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có
gốc toạ độ trùng với cực của phép nghịch đảo.

Điểm M = (x, y,z) bất kỳ. Ta kí hiệu M' = (x', y', z') là ảnh của M qua
phép nghịch đảo

N (O, k) . Theo định nghĩa, ta có:

O, M, M' th¼ng hµng
O, M, M' th¼ng hµng


 
OM.OM'
OM.OM' k
k
x' y'
z' = =


y
z
(**)
 x
xx' + yy' + zz' =

k

Hệ phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác
vuông góc, có cực trùng với gốc toạ độ và phương tích là k(k 0) .


Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tính
chất α cho trước. Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm
hoặc vô hạn điểm.
Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo 2 bước sau:
Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất α thuộc hình (H)
. Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất
α.

2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo
2.2.1. Phương pháp chung
Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất α ta chọn phép nghịch đảo thích
hợp biến mỗi điểm M có tính chất α thành điểm M' có tính chất α' và quỹ tích
những điểm M' phải tìm được dễ dàng. Từ đó suy ra quỹ tích của những điểm M có
tính chất α là ảnh của quỹ tích những điểm M' có tính chất α' qua phép nghịch đảo
đã chọn ở trên (Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo).
2.2.2. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho đường tròn (O) . Hai dây cung AA', BB' vuông góc với nhau tại P cố
định trong vòng tròn. (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A . (C') là
đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A' . Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của

(C) và (C') .
Giải
Cách 1: Dùng phép biến hình
Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C') , Ax, A'y lần lượt là tiếp tuyến
tại A, A' của (O) .