Khoá luận tốt nghiệp đại học

MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU

2

1. Lí do chọn đề tài

2

2. Mục đích nghiên cứu

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

4. Phương pháp nghiên cứu

2

5. Cấu trúc khóa luận

2

NỘI DUNG

4

Chương I: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

4

1.1. Sơ lược về giải tích phức

4

1.2. Một số khái niệm cơ bản của phương trình và hệ phương trình vi phân12
Chương II: Phép biến đổi Laplace

20

2.1. Biến đổi Laplace thuận

20

2.2. Biến đổi Laplace ngược

41

Chương III: Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

57

3.1. Ứng dụng giải phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân

57


3.2. Ứng dụng để tính tích phân suy rộng và tính tổng của chuỗi

97

Bảng đối chiếu gốc - ảnh

106

KẾT LUẬN

110

TÀI LIỆU THAM KHẢO

111

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán

1


LỜI MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân. Lý
thuyết biến đổi tích phân ban đầu được áp dụng để giải phương trình vi phân
thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng. Phương trình vi phân là mộ t
lĩnh vực của toán học cơ bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng
dụng rộng rãi. Thông thường các bài toán phương trình vi phân được rút ra từ
các vấn đề trong thực tế và sau đó người ta tìm ra nó có nhiều ứng dụng trong
nhiều lĩnh vực khác như trong Vật lý, Kỹ thuật, Xử lý tín hiệu, Xác suất…

Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi
Laplace vào phương trình và hệ phương trình vi phân chưa có nhiều. Bởi vậy
việc nghiên cứu phép biến đổi này là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên.
Do vậy mà em đã chọn đề tài: ”Phép biến đổi Laplace và ứng dụng” để thực
hiện khóa luận tốt nghiệp đại học.
2.Mục đích nghiên cứu:
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về phương trình và hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt là
phép biến đổi Laplace.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận và nghịch, các ứng dụng của
phép biến đổi này vào giải toán.
4.Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5.Cấu trúc khóa luận:
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận
gồm ba chương :


Chương I : Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị
Chương II : Phép biến đổi Laplace
Chương III : Ứng dụng của phép biến đổi Laplace


NỘI DUNG
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
1.1. SƠ LƢỢC VỀ GIẢI TÍCH PHỨC
1.1.1. Hàm biến phức
1.1.1.1. Khái niệm hàm biến phức
Cho


là một tập con của

. Một hàm biến phức xác định trên

là một quy luật đặt tương ứng mỗi
Ký hiệu
,
.
+

Nếu

+

Nếu

+

Đặt

trong đó

với mọi

với một phần tử
thì hàm gọi là hữu hạn.
với mọi

∈


.

thì hàm gọi là bị chặn.

. Khi đó:

) và

là các hàm của hai biến thực gọi tương ứng là phần

thực và phần ảo của hàm

. Ký hiệu :

;

.

1.1.1.2. Hàm số liên tục
Hàm

,

gọi là liên tục tại
,

+) Nếu

nếu:


đều có:
thì định nghĩa trên tương đương với:

,
+) Nếu hàm số

,
liên tục tại mỗi điểm thuộc

.
thì

gọi là liên tục trên


+) Hàm
v(x, y) liên tục tại
+) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) của hai hàm số liên tục tại
là hàm số liên tục tại
+) Hàm

.

gọi là liên tục đều trên

nếu:


,


,

.

1.1.2. Hàm giải tích:
Tập hợp

gọi là lân cận của

dương nào đấy) nếu

( là số

.

Còn tập

gọi là lân cận của điểm xa vô tận.

1.1.2.1. Đạo hàm của hàm phức:
Cho hàm

xác định trên miền ,

. Cho

có số gia

, khi đó số gia của hàm là:


Nếu tồn tại và hữu hạn:

thì hàm gọi là có đạo hàm tại

giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm

tại

, ký hiệu là

và

.

Như vậy:

Hàm

có đạo hàm tại

thì:

) là vô cùng bé bậc cao hơn
tại

. Ta gọi:

khi


, do đó

là vi phân của hàm

cũng khả vi
tại

.

Chú ý: Đạo hàm của hàm phức có các công thức và quy tắc tính tương tự
hàm thực.
1.1.2.2. Hàm giải tích:
1.1.2.2.1. Định lý Cauchy-Riemann:


Hàm số

khả vi tại điểm

(như là hàm số của biến số phức ) khi và chỉ khi các hàm số
khả vi tại

(như là hàm số giá trị thực của hai biến thực , )

và các đạo hàm riêng của chúng tại điểm

thoả mãn điều kiện:


1.1.2.2.2. Định nghĩa hàm giải tích:

+) Hàm
nếu hàm
điểm tại

xác định trên

gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại

có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân cận nào đó của

.

Hay: nếu

có đạo hàm tại mọi

+) Hàm số

gọi là hàm giải tích trên miền

.
nếu

giải tích tại

mỗi điểm thuộc miền .
+) Nhận xét:
Ta có thể mở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp
trong


còn là ánh xạ từ

hạn cònta nói

vào

bởi phép nghịch đảo. Như vậy khi

giải tích tại

ta nói giải tích tại

nếu

nếu:
giải tích tại 0.

Nếu không có gì đặc biệt ta luôn coi
Ví dụ: Hàm

,

là miền tuỳ ý

là hữu hạn.

.

Nếu
Nếu

1.1.3. Tích phân của hàm biến phức

.

giải tích tại

hữu

, còn khi


1.1.3.1. Định nghĩa và cách tính
- Tích phân của hàm số

xác định, liên tục trên đường cong khả

trường L với các mút a,b và hướng từ a đến b, ký hiệu

là giới hạn

của tổng tích phân:
là các điểm chia
thành

phần,

- Giả sử

là điểm tuỳ ý thuộc cung
với


,


Với giả thiết đã cho về hàm số

và về đường cong , ta luôn có:

trong đó phần thực và phần ảo của vế phải (1.1.1) là các tích phân đường loại
2 lấy trên
- Khi

theo hướng từ a đến b.

là đường cong khả trường và đóng thì (1.1.1) có nghĩa là tích phân

được lấy theo hướng dương (hướng mà khi chuyển động trên L, miền hữu
hạn giới hạn bởi L luôn nằm bên trái).
Như vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng công thức (1.1.1) và khi
tính các tích phân đường loại 2 tương ứng ta sử dụng các phương pháp đã
biết.
- Nếu L là đường cong trơn, có phương trình dạng tham số:
Thì ta có công thức:

là tích phân xác định trên

của hàm số biến số thực nhận giá trị phức.

1.1.3.2. Tích phân Cauchy (một số định lý quan trọng)
1.1.3.2.1. Định lý tích phân Cauchy đối với miền đơn liên

Nếu hàm số

giải tích trên miền D đơn liên và L là đường cong

Jordan đóng, trơn từng khúc nằm trong D thì


1.1.3.2.2. Định lý tích phân Cauchy đối với miền đa liên


Nếu D là miền hữu hạn

- liên với biên

gồm một số hữu hạn

các đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc sao cho các miền đóng hữu hạn
giới hạn bởi

nằm hoàn toàn trong miền hữu hạn giới hạn bởi

và đôi một không giao nhau, hàm số

giải tích trên miền đóng

, thế thì:

1.1.3.2.3. Công thức tích phân Cauchy
Nếu D là miền hữu hạn với biên


của nó gồm một số hữu hạn đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc, hàm số

giải tích trên

,

là điểm nào đó của mặt phẳng phức không thuộc . Khi đó

Định nghĩa tích phân loại Cauchy:
Tích phân loại Cauchy là hàm số đơn trị của biến z, dạng:

trong đó

là đường cong Jordan (đóng hoặc không đóng) trơn từng khúc;

f(t) liên tục trên

; là điểm thuộc mặt phẳng phức nhưng không thuộc .


Đặc biệt, khi đường cong
hạn bởi

và liên tục trên

đóng, f(t) giải tích trên miền D hữu hạn giới
thì tích phân loại Cauchy trở thành


công thức tích phân Cauchy:

1.1.3.2.4. Định lí tính chất của tích phân loại Cauchy


Với mọi thuộc mặt phẳng phức và không thuộc , tích phân loại Cauchy là
hàm giải tích, có đạo hàm mọi cấp và được tính theo công thức:

(n = 1,2,3,…)
Chú ý: Trong các điều kiện của công thức (1.1.2) công thức (1.1.3) trở thành:

1.1.4. Lý thuyết chuỗi và thặng dƣ
1.1.4.1. .1. Chuỗi Laurent
1.1.4.1.1.Định nghĩa chuỗi Laurent

gọi tương ứng là phần chính và phần đều của khai triển Laurent.
Nếu phần chính có miền hội tụ là
là

, phần đều có miền hội tụ

thì miền hội tụ của chuỗi Laurent là:

gọi là hình vành khăn hội tụ của chuỗi.
Nếu hàm

giải tích trong hình vành khăn:


thì trong hình vành khăn này


khai triển được thành chuỗi Laurent:


trong đó các hệ số

(n = 0, ±1, ±2,…;

là duy nhất được tính theo công thức:

là đường tròn

)

1.1.4.1.2. Các điểm kì dị cô lập
+)

≠ ∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số

trong lân cận thủng
+)

giải tích

, nếu

giải tích

nào đó của


∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số

trong lân cận

, nếu

của điểm

+) Điểm kì dị cô lập của

chia thành 3 loại:

•

được gọi là điểm kì dị bỏ được nếu

•

được gọi là cực điểm nếu

•

được gọi là điểm kì dị cốt yếu nếu
cả trong mặt phẳng phức

không tồn tại

lẫn trong mặt phẳng phức mở rộng

1.1.4.2. Thặng dư

1.1.4.2.1. Định nghĩa thặng dư
Giả sử

≠ ∞ là điểm kì dị cô lập của hàm giải tích

,

là đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong miền giải tích của

.


sao cho trong miền hữu hạn D với biên
nào khác ngoài
Tích phân
dư của

không chứa điểm kì dị cô lập

.
lấy dọc L theo hướng dương được gọi là thặng

tại điểm kì dị cô lập

, kí hiệu là:


Thặng dư của


tại điểm kì dị cô lập

lấy dọc đường tròn

xác định bởi tích phân

theo hướng dương:

(R>0 đủ lớn)
1.1.4.2.2. Các định lý về thặng dư
• Định lý cơ bản về thặng dư

trong đó

giải tích trên miền

(trừ một số hữu hạn điểm kì dị cô lập

thuộc ), liên tục trên
• Định lý thặng dư toàn phần
Nếu

giải tích trên mặt phẳng phức

trừ các điểm kì dị cô lập

, thì:

Các hệ thức (1.1.4), (1.1.5) thường hay sử dụng khi tính tích phân phức.

1.1.4.2.3. Tính thặng dư
(hệ số của

trong khai triển Laurent của


tại lân cận điểm

)
(hệ số của

cận điểm
b)

= ∞)
là điểm cực điểm cấp m thì:

trong khai triển Laurent của

tại lân


Ví dụ: Tính thặng dư của các hàm tại các điểm bất thường khác ∞.

(

là cực điểm đơn)

1.2. MỘ T SỐ KHÁ I NIỆ M CƠ BẢ N CỦ A
PHƢƠNG TRÌ NH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌ

NH VI PHÂN
1.2.1. Phƣơng trình vi phân cấp một
1.2.1.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là:

Nghiệm của phương trình (1.2.1) là hàm

có tính chất khi thế

vào phương trình (1.2.1) thì ta được một đồng nhất thức.Phương trình (1.2.1)


có vô số nghiệm. Quá trình tìm các nghiệm của phương trình (1.2.1) được gọi
là sự tích phân phương trình đó.
Nếu từ (1.2.1) ta giải được

nghĩa là (1.2.1) có dạng:

thì (1.2.2) được gọi là phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đối với đạo hàm.
1.2.1.2. Bài toán Cauchy
Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm của
phương trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó.
Chẳng hạn đòi hỏi tìm nghiệm

của phương trình (1.2.1) hoặc phương

trình (1.2.2) thoả mãn điều kiện:

; trong đó


là các giá

trị cho trước.
Bài toán đặt ra như vậy gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.2.3) được
gọi là điều kiện ban đầu;

là các giá trị ban đầu.

Chú ý: Bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm.
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình
thoả mãn điều kiện ban đầu:

.

Ta dễ thấy nghiệm của bài toán là hàm

.

1.2.1.3. Nghiệm tổng quát
Giả sử trong miền G của mặt phẳng (x, y) nghiệm của bài toán Cauchy
đối với phương trình (1.2.2) tồn tại và duy nhất. Hàm số:
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2)


trong G nếu trong miền biến thiên của x và C nó có đạo hàm riêng liên tục
theo x và thoả mãn các điều kiện sau:
a) Từ hệ thức (1.2.4) ta có thể giải được C:
b) Hàm

thoả mãn phương trình (1.2.2) với mọi giá trị của


từ (1.2.5) khi (x, y) biến thiên trong

xác định

. Nếu nghiệm tổng quát của


phương trình (1.2.2) được cho dưới dạng ẩn:
thì nó được gọi là tích phân tổng quát.
1.2.1.4. Nghiệm riêng
Nghiệm của phương trình (1.2.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số

là

nghiệm riêng.
1.2.1.5. Nghiệm kỳ dị
Nghiệm của phương trình (1.2.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị.
Như vậy nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số
không thể cho ta nghiệm kỳ dị. Nghiệm kỳ dị có thể nhận được từ nghiệm
tổng quát chỉ khi

. Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp tức là

nghiệm bao gồm một phần nghiệm riêng và một phần nghiệm kỳ dị.
1.2.1.6. Phương trình vi phân
+) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1:

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 có dạng
có nghiệm tổng quát dạng:

hoặc dưới dạng Cauchy:
+) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1:
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 có dạng:


có nghiệm tổng quát dạng:


hoặc dưới dạng Cauchy:

1.2.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao
1.2.2.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

Hàm

xác định trong một miền

Nếu từ (1.2.6) ta có thể giải ra được

.
nghĩa là nó có dạng:

thì (1.2.7) được gọi là phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm
cấp cao nhất.
Nghiệm của phương trình (1.2.6) là hàm


khả vi n lần trên khoảng

(a, b) sao cho:
a)
b) Nó nghiệm đúng phương trình (1.2.6) trên (a, b)
1.2.2.2. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm của phương trình (1.2.6) hoặc (1.2.7) thoả mãn điều kiện
ban đầu:

trong đó
là các số cho trước và được gọi là các giá trị ban đầu.

1.2.2.3. Nghiệm tổng quát
Ta giả thiết rằng

là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

(1.2.7), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm