Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Thanh Huyền

1

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
*****&*****

VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội, 2009

Vũ Thị Thanh Huyền

2

K31B CNKH Toán



TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

*****&*****
VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.s. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội, 2009


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN................................................................................................ 3
LỜI CAM ĐOAN.......................................................................................... 4
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................... 5
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị.....................................................................6
1.1 Hàm phân phối xác suất............................................................................ 6
1.1.1 Một số định nghĩa........................................................................... 6
1.1.2 Hàm phân phối xác suất của một số b.n.n độc lập.........................6
1.2 Hàm sinh mômen......................................................................................8
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen.......................................................... 8
1.2.2 Hàm sinh mômen của một số b.n.n độc lập....................................10
Chƣơng 2. Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên...................13
2.1 Kĩ thuật dựa trên hàm phân phối xác suất đồng thời................................ 13
2.1.1 Mô tả phương pháp.........................................................................13
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min...............................................14
2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên............................18
2.1.4 Phân phối của tích và thương.........................................................21
2.2 Kĩ thuật dựa trên hàm sinh mômen...........................................................24
2.2.1 Mô tả phương pháp.........................................................................24

2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập...........................27
2.3 Kĩ thuật dựa trên phép biến đổi Y g X ..................................32


2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc.........................32

2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục........................34
KẾT LUẬN................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................44


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biếy ơn sâu sắc
đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và các thầy, cô giáo trong tổ
Toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khoá
luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo
Nguyễn Trung Dũng- người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và
hoàn thành khoá luận.


LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu
cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng.
Trong quá trình làm khoá luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu
ở mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khoá luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng
em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.


Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2009
Sinh viên

Vũ Thị Thanh Huyền


LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, “ Lý thuyết xác suất” đã không còn là một lĩnh vực toán học
mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền toán học thế giới.
Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó là một ngành toán học chặt
chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ
thuật, khoa học xã hội và nhân văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê,
một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu,
thông tin định lượng.
Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN” luận văn trình bày một số phương pháp tìm phân phối xác suất của
hàm các biến ngẫu nhiên. Luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và hàm sinh
mômen của nó.
Chương 2. Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên
Trong chương này trình bày một số phương pháp để tìm phân phối xác suất của
hàm các biến ngẫu nhiên.
Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những ai
quan tâm đến vấn đề này.


Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1.1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Hàm
số

FX

xP  :

X  x ,

x  được gọi là hàm

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X .
Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên
định bởi

x , 
P X

F
x
X1 , X 2

1

2

x
,X

1

1

2

X X1, X 2  .
Hàm số

FX , X
1

2

x1,
x2 

xác

x  
được gọi là hàm phân
x
,
x

,
2
2

1


2

phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên X.
Từ phân phối xác suất đồng thời của X1, X 2 ta có thể tìm ra phân phối của X1
hoặc X 2 . Khi đó phân phối
của

X1 và X 2 của được gọi là phân phối biên duyên.

1.1.2 Phân phối của một số biến ngẫu nhiên thƣờng gặp
a. Phân phối nhị thức
Định nghĩa 1.3 B.n.n X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n,p với
*

n  ,0 p 1, nếu

Kí
hiệu

X  Bn, p
.

P  k
X

C k .p k .1 pnk , k 0, n .
n



Đặc biệt
nếu

n 1 thì ta nói X có phân phối Becnuli.

b. Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 B.n.n X được gọi là có phân phối Poisson với tham số

 0  , nếu


P X

Kí
hiệu

e 
k
k
, k = 0, 1, 2,…
 
k!

.

X  Poi   .

c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)
Định nghĩa 1.5 B.n.n X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số( ,

)với
, 0 nếu hàm mật độ xác suất của
nó có dạng
2

f x 

X

1
.exp x




22

Kí
hiệu

X  N  , 

2


2

2






.

Trường hợp đặc biệt, nếu



tắc, kí hiệu
là



2 , 
x .

0,
thì X được gọi là có phân phối chuẩn
2
 1

X  N 0,1.

Chú ý: Nếu X  N
0,1

thì

fX x 



1

x

2

e2 và

2
x

FX x 



1

t2

.e2 dt   x  .

2

2


d. Phân phối mũ
Định nghĩa1.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số

 x, x 0
 0nếu hàm mật độ xác suất của nó x
.
X
e
có dạng f

X  Exp
0, x 0
Kí hiệu
là

.


e. Phân phối đều
Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn
 1
,x
a,b 

 b a
f X x 
.
a,bnếu hàm mật độ xác suất của nó có

dạng
0, x  a,b 
XU
Kí hiệu

là

a,b.

f. Phân phối Gamma
Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma với các
tham
số

r
0,
0

nếu hàm phân phối xác suất của nó có dạng



 r
x1erx , x
0
    . 
f X x 

0, x 0
Kí hiệu
là

X  G  r,  .

1.2 HÀM SINH MÔMEN

1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen
Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X. Hàm sinh mômen của X kí hiệu là
mX t  được xác định
bởi
với mọi
t

mX t

E e

t
X

nếu tồn tại h>0 sao
cho

mX t tồn tại



h .

Chú ý: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp r của X, có thể


được tính từ

mX t  .
x


Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm e ta có
m
t  e
E


E




 tX i



i

t

E Xt 
E 1
X tE2 X

i


tX

X



i0

i!




...
(1.1)

 




2

i

0

i!

2!


Với t = 0 ta có m 0 1.
X  

Từ điều kiện tồm tại của

mX t ta đạo hàm hai vế của (1.1) đối với t ta được



m  t E X tE
X 2 t
X

2

(1.2)

E X 3
 ...

2!

Cho t = 0 ta được mX  0EX .
Đạo hàm hai vế của (1.2) đối với t ta được
mX

t tE X 2 tE X 3 ...

Cho t = 0 ta được m 0E X 2  .

X
Tiếp tục quá trình này ta tìm được
r 


m
X


0 EX r  .

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là

mX t . Khi đó, biến

ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b là các hằng số thực có hàm sinh mômen là
m t etbm at  .
Y

Chứng minh
Ta có




mY t 
E e

tY



X




t aXb


E e

tb

atX

 
 e
E e

 

tb

e mX
at

(đpcm).

Định lý 1.2 Cho X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm sinh
n


mômen tương ứng là
m


Xi

t , i=1, 2, ..., n .
Đặt



Z a
X
i1

các hằng số thực. Khi đó
Chứng minh

mZ t

n



m

Xi
i1

ait .

i


i

1

n

với các a ,,a là


Ta có

tZ
m  t 
Ee

n

n

aitXi
i n Ee
a i X i
aitX
E
E
t

e

Z


a t .

m

 

e i 1

i 1

n

i1

Xi

i1

i

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thƣờng gặp
a. Biến ngẫu nhiên có phân phôi nhị thức
Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n,p) thì
   . t n , 1
p e qq  p .
mX t

Chứng minh
Ta có

n

n

mX  t
 Ee

tX
nk

tk

k

k

k

k

t

k

.e p 
.q

Cn




k 0

n

 
p.e
q



.Cn .p
.q

e

t

, q 1
p .

k 0

Nếu X tuân theo phân phối Becnuli
B(1,p) thì
 . t
, 1
 X t  p e q q  p .






b. Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
Nếu X tuân theo phân phối Poisson Poi( ) thì



 et 1

mX t  
Chứng minh


.



k 



Ta có

m t

Ee

kt


e
tX



t

e

e
X



k

 



 k!
k 0

e
e
e



e


! k
k 0



t


e





1

e

 t 

.


c. Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì
t2


mX t e 2 .

Chứng minh
Ta có


2
x




t2

x2

t2

1 tx 2
1 tx 2 2 2
e e dx 
e e e e dx
2
2

mX t

EetX













1

1

2

e

2

2t
x

2

1 2
e 2 dx e

2

1


t 

t



e



t x 

2

t2

2

dx e 2 .

2

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N ( , ) thì
2

t

mX  t
e


Chứng minh

2 2
  t





2

.

Ta có



x

2



x2

mX  t
 Ee

tx
22


1





1
dx 





2



1





2



2


t 2t 2


e

2

.



e

2

2




x t
 
2


e e

2

 


2
1

2

22

2



2

2

ee



tx

2






tX


2
 x
t2

2t 2

e

e

2

e

e

dx

2

2
2 2

t 

e

2 2



t
2

dx
e



t 
t 

1

2 2e

 

2




2

1

2




2





2 x  t 

dx


d. Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
Nếu X tuân theo phân phối mũ
m

 t 



X

t

Exp

thì




 .

Chứng minh



Ta có


mX t 
E e

tX




tx
 x

 e dx

e

0



e
0


t

e. Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

 
 t  x


t  x

dx 

e


0



dx

 t

.


 r 
mX  t   .
r t 


Nếu X tuân theo phân phối Gamma G  r, 
thì
Chứng minh

tx

tX

Ta có

e

m t E  e



r




rx


1

r t x




x e dx




1

r

x e

dx .

  

  






X



0

Trong đó 




0



x
0



e dx 1 1  2...1.

1

x


Bằng cách tính tích phân từng phần lần ta thu được
 r 
mX  t   .
r t 
f. Biến ngẫu nhiên có phân phối đều
Nếu X tuân theo phân phối đều U  a,b
thì
Chứng minh
Ta có m
t  e
XE


b

tX


 e
tx

a

1

et

mX t 
e t b
 a



 ee 
t

dx

b a t b a

b


e
a

.

b

a

e

.


Chƣơng 2: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN
NGẪU NHIÊN
Cho các biến ngẫu nhiên c và g ,..., , g ,..., ,..., g
 2 
1
k

là các hàm

,...,

đo được trên □ n . Vấn đề đặt ra là tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu
nhiên Yj g j X1,, X n  , j 1, 2,...,k .
Dưới đây là một số kĩ thuật để tìm hàm phân phối xác suất của các biến
ngẫu nhiên Yj , j 1, 2,...,k .
2.1 KĨ THUẬT DỰA TRÊN HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI

2.1.1. Mô tả phƣơng pháp
Cho

X1,, X n là các biến ngẫu nhiên và g1 ,...,, g2 ,...,,..., gk

,...,

là các hàm đo được trên □ n . Khi đó hàm phân phối xác suất đồng thời của các
biến ngẫu nhiên Y1,,Yk được xác định bởi
F
y
Y1 ,,Yk

y , y ,..., 

PY
1
k

2

y ;.. y P g
.;Y
X ,, X
1
1
k
 1 1

y ;. X ,, 


..; g
X
y 

n

1

k

1

k

n

trong đó Yj g j X1,, X n , j 1, 2,..., k .
Kĩ thuật này được gọi là kĩ thuật dựa trên hàm phân phối xác suất đồng thời.
Đặc biệt, nếu k=1 thì

FY y P Y y P  g

X1,, X n

y.
Ví dụ 2.1 Cho biến ngẫu nhiên

X  N 0,1. Tìm hàm phân phối xác
suất


k




đồng thời của biến ngẫu nhiên Y g X X 2 .
Giải



FY
y

Theo định nghĩa
ta có
2



P Y
y



P
X




y 
 P 

y
X




y



  



y 
y


y

11

y

u

u du

2 
1

1

2

du


2

y



1

20 2



e

1
2

z

dz


z

0

=

2

e
2

=2

y



0

với y > 0.

1
 z
2

1  2z

 
2 

  y 
 d

e
dz

0

Suy
ra

F

Y

y
 

dy
Y

 1

Vậy

f



y 


1


y
Y

1



1

1

1
 y
2

với y > 0 .

e

1  2 y

 
2 

1
 y

2

e



, y 0

1 1 
hay Y  G
,
.


2


2


0, y 0

2 2 

Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp này.
2.1.2. Phân phối xác suất của Max và Min
Giả sử
xác suất
, P 


X1,, X n là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian

,

. Ta kí hiệu