Khóa luận tốt nghiệp

Phạm trù môđun

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình
của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của em đã được hoàn
thành. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo
trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số đã tạo điều kiện cho em trong
suốt thời gian em làm khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
của mình tới thầy giáo, Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên – người đã giúp đỡ em tận tình
trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa
do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những
thiếu sót. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và
các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.Một lần nữa em
xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đàm Thị Thu Dung

Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán

GVHD: Đỗ Văn Kiên


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài
nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở
mục tài liệu tham khảo.

Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học
của riêng em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đàm Thị Thu Dung


MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................. 1
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 1
6. Cấu trúc của khóa luận................................................................................ 1
7. Kế hoạch triển khai.................................................................................... 2
B. NỘI DUNG................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................................... 3
1.1. Môđun và đồng cấu môđun........................................................................3
1.2 Bài tập.......................................................................................................16
CHƯƠNG 2 : PHẠM TRÙ MÔĐUN............................................................. 17
2.1. Phạm trù môđun....................................................................................... 17
2.2 Tổng trực tiếp.......................................................................................... 19
2.3 Tích trực tiếp........................................................................................... 21
2.4. Dãy khớp............................................................................................... 24
2.5. Môđun tự do.......................................................................................... 34
2.6. Bài tập....................................................................................................40
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG................................................................. 42
KẾT LUẬN..................................................................................................... 45

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................... 46


A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc đại số
như : nhóm, vành, trường, môđun…trong đó môđun là một trong những khái
niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại, có ứng dụng trong nhiều ngành
toán học như : phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số…
Trên cơ sở những kiến thức đã học của Đại số đại cương,với mong
muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại cùng với sự
giúp đỡ tận tình của thầy giáo Đỗ Văn Kiên, em mạnh dạn thực hiện khóa
luận tốt nghiệp với tiêu đề : “ PHẠM TRÙ MÔĐUN ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp các kiến thức về phạm trù Môđun.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về phạm trù môđun, đồng cấu
môđun, dãy khớp và môđun tự do.
+) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số môđun.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu lí thuyết về phạm trù môđun.
5. Phương pháp nghiên cứu
+) Phân tích tài liệu có liên quan.
+) Tổng hợp kinh nghiệm của bản thân.
6. Cấu trúc của khóa luận
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Phạm trù mô đun.
Chương 3: Bài tập ứng dụng.
Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 1


GVHD: Đỗ Văn Kiên


7. Kế hoạch triển khai
Tháng 11-12: Nhận đề tài và hoàn thành đề cương.
Tháng 12-2/2013: Tìm hiểu kiến thức liên quan tới đề tài.
Tháng 5/2013: Hoàn thành đề tài nghiên cứu và bảo vệ.


B. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Môđun và đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa môđun)
Cho M là một nhóm cộng giao hoán, R là một vành có đơn vị 1R . M gọi
là một môđun trái trên vành R nếu có phép toán gọi là nhân ngoài hay nhân
với vô hướng
RMM
(r, x)  r.x .
thỏa mãn 4 điều kiện sau với mọi r,sR ; x, y  M :
i)

r(x  y)  rx  ry.

ii)

(r  s).x  rx sx.

iii)

(r.s)x  r.(sx).


iv)

1R.x  x .

Tương tự ta cũng có khái niệm R - môđun phải.
Chú ý 1.1.1
1) Một môđun trái trên vành R gọi là R- môđun trái
2) Nếu M giao hoán thì hai khái niệm R - môđun phải và R- môđun trái
là giống nhau. Từ nay trở đi một R- môđun trái được gọi chung là R- môđun.
3) Nếu 0M , 0N tương ứng là các phần tử trung hòa của M và R thì ta có thể
dễ dàng suy ra từ định nghĩa rằng
(với mọi m,m'M, với
mọi
0 r  0 , m0R  0 M
M
M
m.r) = (  m)r = m(  r)

r, r ' R ) :


Có thế nói rằng khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và
khái niệm không gian véctơ.
Ví dụ 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị khi đó R là R- môđun.
Ví dụ 1.1.2. Z là vành có đơn vị 1, M là một nhóm cộng aben bất kì thì M là
Z - môđun.
Ví dụ 1.1.3. Cho V là K - không gian véctơ thì V là K môđun. Ví dụ 1.1.4. Tập S   , R - môđun M
 S, M  f : S  M : f


- ánh xạ  

 S, M

là R- môđun.

Tính chất 1.1.1
Cho M là R - môđun.Khi đó   ,  R ; x, yM
i)
0

0 .x 

ii)

  x   x    x

iii)

    x   x   x
  x  y    x   y.

R

0
M

M

Chứng minh : 1.x  0M

i)

 1.x
 1  0  x
R

 1.x  0R.x  0R x  0M
  0 M    0M  0 M 
  0M  0M

 0M   0M  0M
 0M  0M ◻.
ii)

   x   x

ta có:


=        x
= 0R.x
= 0M
    x   x
Tương tự có
iii)

 x    x ◻.

    x   x
=     x    x

= x

     x   x   x
Tương tự có :   x  y    x   y ◻.
Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa về môđun con)
Cho M là một R - môđun, N là tập con ổn định của M với cả hai
phép toán.
N gọi là môđun con của M nếu N là một R -môđun đối với các phép
toán của M thu hẹp vào N .
Định lí 1.1.1 (Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun con)
Cho M là một R - môđun,   N  M . Khi đó các điều kiện sau là
tương đương :
i)

N là R - môđun con của M

ii)

 R , x, yN

iii)

,  R , x, yN

ta có x  yN và  xN
thì  x   yN

Ví dụ 1.1.5.
a) Một R- môđun M bao giờ cũng có ít nhất hai môđun con là M và
tập hợp 0 . Gọi là hai môđun con tầm thường.



b) Cho N là iđean trái của R . Nếu vành R được xem như là R - môđun
thì
N là môđun con của R.
Mệnh đề 1.1.1
Giao của một họ bất kì những môđun con của một R - môđun M là một
môđun con của M .
1) 2  3  6 .

Ví dụ 1.1.6.

Mệnh đề 1.1.2

2)  pZ 
với P là tập tất cả các số nguyên tố.
pP 0

Giả sử A, B là hai môđun con của một R - môđun M . Thế thì A  B
sẽ là một môđun con của

M và

A  B  a  b / a  A, b B .
Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tổng môđun)
Giả sử  Ai / i I

là một họ tùy ý những môđun con của R - môđun M .

Khi đó môđun con sinh bởi

tập
kí hiệu
bởi

S   A i được gọi là tổng các môđun con Ai ,
I

 Ai .
I

Mệnh đề 1.1.3
Cho  Ai / i I

là một họ tùy ý những môđun con của M . Khi đó

I A i =   ai / ai A i , iJ  I, J

hữu hạn.

J

Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa môđun con sinh bởi một tập)
Giả sử M là một R - môđun, S  M , tồn tại những môđun con của M chứa
S chẳng hạn là M .
Gọi  N i iI

họ môđun con của M chứa S


Đặt  S   N

I

i

theo mệnh đề 1.2,  S  là một R - môđun con của M .


Ta gọi  S  là môđun con của M sinh bởi S .
Ta thấy  S  S và  S  N , i  I , do đó  S  là môđun con
i
‘‘ bé nhất’’ của M chứa S
. Đặc biệt :
+) Nếu  S  
M

thì ta nói S là tập sinh của M .

+) Nếu M và S là tập hữu hạn thì ta nói : M là một môđun hữu hạn sinh hay
có kiểu hữu hạn.
+) Nếu  x M :  x  M

thì M gọi là một môđun xyclic và x là một

phần tử sinh của M .
+) Nếu S   thì ta có  S    0 - môđun không.
+) Nếu S là môđun con của M thì  S  S .
+) Nếu S   thì  S





n

   ix i\  R,
x S;
i  0, n .
i
i
i0



Định nghĩa 1.1.5 (Định nghĩa về môđun thương)
Cho M là một R - môđun, M là R - môđun con của
M
Do N là nhóm con của nhóm aben M nên tồn tại nhóm thương
M / N  x  N / x  M
với phép toán cộng

 x  N   y  M  x  y  N.
cũng là nhóm cộng aben. Trên nhóm này ta xác định tích vô hướng
RM/NM/N
(x, x  N)  rx  N
Khi đó nhóm aben M / N với phép nhân vô hướng được xác định như trên là
một R - môđun.
M / N gọi là môđun thương của R - môđun M theo môđun con N .


Thật vậy, ta có N là R - môđun con của M nên theo định nghĩa ta có  N,  
là nhóm con của  M,   . Mặt khác,  M,  


là nhóm aben nên mọi nhóm con

đều là nhóm chuẩn tắc của M , tức N là nhóm con chuẩn tắc của M . Do đó ta
có  M / N,   là nhóm thương của nhóm M theo nhóm con chuẩn tắc N .
Cũng do  M,  

nhóm aben nên  M / N,   là nhóm aben

Xét : R  M / N  M / N

 , x  N 

  x  N là ánh xạ vì :

+) Xác định khắp nơi :  R , x  N  M / N thì  x 
M

và do đó

xNM/N.
+) Đơn trị :    , x  N  ,   ', x' N   M / N ta có :
  , x  N   ', x' N



   '


 (x  x ')  N

   '
 
 x  N   'x ' N

   '



x


x
'
N


   '

 x  N  x ' N



   '

 x  N   x ' N

Hơn nữa ánh xạ thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa môđun :
Thật vậy,  ,  R ; x  N, y  N  M / N ta có :
M1 :   x  N    y  N  
=   x  N   N

=   x  N  N
=  x   y  N
=  x  N    y  N 
=   x  N    y  N .

   '

 x  x ' N


M2 :     x  N
=      N
=  x   x  N
=  x  N    y  N
=   x  N    y  N .
M :  .  x  N
3

=   .  x  N
=    x  N
=    x   N
=     x  N   .
M : 1.  x  N   1.x  N  x  N .
4

Như vậy M / N là một R môđun. Ví dụ 1.1.7.
a) Giả sử M là một R - môđun, M luôn có hai môđun con là môđun 0 và
chính nó. Ta có :

M / 0  x  0 / x  M  x / x  M ; M / M  M


b) (M, ) là một nhóm aben xem như một  - môđun thì với mọi N môđun
con của M đều M / N là môđun thương.
c) Nếu R - trường thì với mỗi R - không gian véctơ con của N của một
R - không gian véctơ M ta có M / N là không gian véctơ thương.
Định nghĩa 1.1.6 (Định nghĩa về đồng cấu môđun)
Giả sử L, M là hai R - môđun. Ta gọi một đồng cấu môđun hay một R - đồng
cấu môđun từ L tới M là một ánh xạ f : L  M thỏa mãm hai điều kiện sau :
i) f (x  y)  f(x)  f(y), x, yL
ii) f ( x)  .f (x), R,x L .


Nếu M  L thì ta gọi f là tự đồng cấu của L .
Bổ đề 1.1.1
Giả sử L và M là hai R - môđun, ánh xạ f : L  M là R -đồng cấu môđun
khi và chỉ khi f ( x   y)  .f (x)  .f (y) ,với
mọi

 ,  R ,với

mọi

x, yL .
Một đồng cấu R - môđun còn được gọi đơn giản là một đồng cấu nếu không
cần thiết phải chỉ rõ vành cơ sở.
Dễ thấy f : M  N là đồng cấu môđun khi và chỉ khi
f (xr 
ys)=f(x)r+f(y)s

với mọi r,sR ; với mọi x, y M .


Tập hợp tất cả các đồng cấu từ L đến M được kí hiệu bởi Hom  L, M  .
Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu
(f  g)(x)  f (x)  g(x)

với f ,g  Hom(L, M), x L .

Nếu R là vành giao hoán nhóm cộng này có cấu trúc R - môđun với phép
nhân vô hướng fr(x)  f (x)r , với mọi r R , với mọi x M .
Ta cũng định nghĩa đơn cấu,toàn cấu,đẳng cấu môđun tương tự như đối
với đồng cấu nhóm.Cụ thể,đồng cấu f : L  M

được gọi là đơn cấu( tương

ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là một đơn ánh ( tương ứng toàn ánh,song
ánh).
Đối với đồng cấu môđun f : M  N ta kí hiệu
Im(f )  f (M)
Ker(f )  x M / f (x)  0
N

f

1

(0N)

và gọi Im(f ) là ảnh của f , còn Ker(f ) là hạt nhân của đồng cấu f .
Mệnh đề 1.1.4
Cho đồng cấu môđun f : M  N


Khi đó:


và U, V tương ứng là môđun con của
M, N .
1) f (U) là môđun con của N .


2) f 1 (V)  x M / f (x)  V

là môđun con của M .

Đặc biệt, Im(f ) và Ker(f ) là những môđun con tương ứng của N, M .
Chứng minh :
1) Giả sử x, y U . Khi đó f (x), f (y) f (U) .
Ta cần chứng minh
f (x)r  f (y)sf (U) , với mọi r,sR .
Thật vậy, do xr  ys  U nên f (x)r  f (y)sf (U)
1

2) Giả sử a, b f (V) . Khi đó f (a), f(b) là những phần tử thuộc V
. Từ đó suy ra f (a)r  f (b)sV  f (ar  bs) V .
1

Bởi vậy, ar  bsf (V) ◻.
Ví dụ 1.1.8.
a) +) Ánh xạ đồng nhất 1M của R - môđun M :
1M : M  M
x  1M (x)  x là một R - tự đẳng cấu của M .

+) Ánh xạ 0 từ R -môđun L tới R - môđun M :
0:L M
x  0(x)  0

là một R -đồng cấu.

b) Giả sử N là một R - môđun con của R - môđun M . Khi đó :
f:N M
xx

là một R - đơn cấu được gọi là phép nhúng chìm từ N

lên M
.
Nếu N  M thì f  1 .
M
Định lí 1.1.2
Nếu f : L  M
R - đồng cấu.

và g : M  N

là những R - đồng cấu thì hợp thành g of là một



Nếu f , g là những g đẳng cấu thì gof cũng là một R- đẳng cấu
Ánh xạ ngược f

1


của một R - đẳng cấu cũng là một R - đẳng cấu.

Chứng minh:
f : L  M và g : M  N
+) Với mọi  ,  R , với mọi x, y L thì:

 g f  x   y
= g f ( x   y)
= g  .f (x)   .f (y) .
0

Mặt khác, với mọi  , 
R

; với mọi f (x), f(y)
M

thì .f (x)   f (y) M .

Do đó,
g.f (x)  .f (y)
= .g f (x)   .g f (y)
=  . gof  (x)   (go f )(y)
Vậy g of là một R - đồng cấu.
+) Nếu f và g là R - đẳng cấu 

 f, g ®ång cÊu

 f, g song ¸nh


g f ®ång cÊu (cmt)

o
 g o f là một R- đẳng cấu.
  gof song ¸nh (tÝnh chÊt ¸nh x¹)
+) Giả sử f : L  M là một R- đẳng cấu thì f là một đồng cấu, và f là một

song ánh nên tồn tại ánh xạ ngược

f

1

: M  L cũng là một song ánh. Hơn

nữa : với mọi ,  R ; với mọi x, y  M ta có:
1

1

x  y  .f  f (x)  .f  f (y)
1

1

= f  .f (x)  .f (y)
1

1


1

 f (x  y)  f (x)  f (y)


f

1

là một R- đẳng cấu.

Định lí 1.1.3
Giả sử f : L  M là một R - đồng cấu.
Nếu A là môđun con của L , B là môđun con của M thì :
f(A) là môđun con của M , f

1

(B) là môđun con của L .

Đặc biệt :
Im(f) là môđun con của M
Ker(f) là môđun con của L .
Mệnh đề 1.1.5
Giả
sử

f : X  Y là một đồng cấu R - môđun. Hai tính chất sau đây là tương


đương :
(a) f là đơn cấu
(b) f giản ước được bên trái, nghĩa là mọi đẳng
thức
 
1

f1  f2

đều kéo theo

trong đó 1 , 2 là những đồng cấu từ R - môđun tùy ý M tới X .

Mệnh đề 1.1.6
Giả
sử

f : X  Y là một đồng cấu R - môđun. Hai tính chất sau đây là tương

đương :
(a) f là một toàn cấu
(b) f giản ước được bên phải, nghĩa là mọi đẳng thức 1f   2 f kéo theo
 
1

,trong đó 1 , 2 là những đồng cấu Y từ một R - môđun bất kì N .

Mệnh đề 1.1.7
Giả sử f : L  M là R - đồng cấu. Khi đó :
i)


f là R - đơn cấu


 Ker(f)  0 
ii)

L

f là R - toàn cấu  Im(f)  M.

Định lí 1.1.4 (Định lí cơ bản của đồng cấu môđun)
Ch
o

f : L  M là một R - đồng cấu. Đặt A  Ker(f)


PA : L  L / A
x  x  A là phép chiếu chính tắc. Khi đó:
i) Tồn tại duy nhất R - đồng cấu f : L / A  M sao cho
f0 PA  f

hay biểu đồ sau giao hoán :
L

f

M


!f

PA
L/A

ii) f là R -đơn cấu
và

Im(f)  Im(f) .

Hệ quả 1.1.1
Giả sử f : L  M là R - đồng cấu. Khi đó L / Ker(f) □ Im(f)
. Hệ quả 1.1.2
Ch f : L  M là R - toàn cấu. Khi đó L / Ker(f) □ M .
o
Định lí 1.1.5 (Định lí cơ bản của R-đồng cấu tổng quát)
Giả

f : M  N là một R - đồng cấu môđun ; A, B lần lượt là các
sử con môđun
của M và N thỏa mãn f(A)  B, PA : M  M / A; PB : N  N / B là các
:
toàn
cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất f : M / A  N / B là các đồng
cấu
môđun sao cho :
f.P

 P .f hay biểu đồ sau giao hoán:
A


B


f
M

N

PA

P

M/A

N/B
f


Chứng minh :

f:M/AN/B

Xét một tương ứng

x  A  f(x  A)  f(x)  B

khi đó f là ánh xạ. Thật vậy:
+) với mọi x  A  M / A : f(x) N  f(x)  B  N / B
 f xác định khắp nơi.

+) với mọi x  A  y  A  x  y A  f(x  y) f(A)  B
 f(x)  f(y) B  f(x)  B  f(y)  B
 f(x  A)  f(y  A)  f là đơn trị.
Ta có f là đồng cấu môđun. Thật vậy :
Với mọi x  A, y  A  M / A ; với mọi ,  R ta có :
f((x  A)  (y A))  f(x  y  A)
= f(x  y)  B
= f(x)  f(y)  B
= (f(x)  B)  (f(y)  B)
= .f(x  A)  .f(y  A) .
Ta chứng minh f.
P
Hai ánh xạ f.
P

 P .f :
A

 P .f có cùng tập nguồn là M ; tập đích là là N / B
A

B

x  M thì (PA )  x 

 P . f  x
B

 PB  f  x  


Hệ quả 1.1.3

B

  PA  x  

  x  A

 f  x  B

 f  x

 B
  f.PA  PB .f ◻.



Cho A là R - môđun con của B ; B là R - môđun con của C . Ta có :
C / B □ (C / A) / (B / A) .


1.2 Bài tập
Bài tập 1.2.1
Giả sử f : M  N là một toàn cấu R - môđun và K là môđun con của M .
Chứng minh rằng :
1) Nếu K  Ker(f )  0 thì fK : K  N là đơn cấu.
2) Nếu K  Ker(f ) 
M

thì fK : K 

N

là toàn cấu.

Bài tập 1.2.2.
Chứng minh rằng :
1) Nếu M là Z- môđun xyclic hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn
f

g

0  Z ZM  0.
2) Tồn tại dãy khớp các Z- môđun
0  Z2  Z4  Z4  Z2  0 .