B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CHU TH± LAN

NHIEU

CÚA GIÁI TÍCH TIfiM C¾N
PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Hà N®i-2013

ĐOI

VéI


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CHU TH± LAN

NHIEU CÚA GIÁI TÍCH TIfiM C¾N ĐOI
PHƯƠNG TRÌNH ĐAI SO

VéI

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc. TS. Nguyen Văn

Hà N®i - 2013

Hào


LèI CÁM ƠN

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào - đã
trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành bài khoá lu¾n
cna mình. Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to
Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà
N®i 2, Ban chn nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành
tot bài khoá lu¾n này.
Trong khuôn kho có han cna m®t khoá lu¾n tot nghi¾p, do đieu ki¾n thòi
gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc
cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y,
em xin chân thành cám ơn đã nh¾n đưoc nhung góp ý cna các thay cô
và các ban sinh viên.
Em xin chân thành cám ơn !
Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Chu Th% Lan


LèI CAM ĐOAN


Khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p và
nghiên cúu. Bên canh đó em đã nh¾n đưoc rat nhieu sn quan tâm cna
các thay cô giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna
TS. Nguyen Văn Hào.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã tham kháo
m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Phương pháp nhieu cía giái
tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so ” không có sn trùng l¾p
vói ket quá cna các đe tài khác.

Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Chu Th% Lan

3


Mnc lnc
Má đau.......................................................................................... 3
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1. M®t so khái ni¾m ve b¾c và m®t so ví du.....................................6
1.1.1. Lòi dan...........................................................................................................................6
1.1.2. Các khái ni¾m ve "không" b¾c.................................................................................8
1.1.3. Chú ý..............................................................................................................................9
1.1.4. M®t so ví du ve b¾c.................................................................................................10
1.1.5. Nh¾n xét.....................................................................................................................10


1.2. Dãy ti¾m c¾n và chuoi ti¾m c¾n.................................................10
1.2.1. Khái ni¾m và ví du ve dãy ti¾m c¾n....................................................................10
1.2.2. Chuoi lũy thùa ti¾m c¾n.........................................................................................11

1.3. Khai trien ti¾m c¾n........................................................................17
1.4. M®t so tính chat cơ bán cna khai trien ti¾m c¾n.........................19
Chương 2. Phương pháp nhieu vái phương trình đai so .

24

2.1. Khai trien Taylor và quy tac l’Hospital.......................................24
2.1.1. Đ%nh lí Taylor............................................................................................................24
2.1.2. Quy tac l’Hospital.......................................................................................................25

2.2. Khái ni¾m ve nhieu phương trình đai so...................................26
2.3. Ý tưóng cna phương pháp nhieu...............................................27
2.4. M®t so phương pháp nhieu phương trình đai so.......................29
2.4.1. Phương pháp l¾p......................................................................................................29


2.4.2. Phương pháp nhieu kỳ d%...........................................................................................30
2.4.3. Phương pháp tí l¾.......................................................................................................31

2.5. Trưòng hop các lũy thùa không nguyên......................................34
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
36
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37



Má đau
1. Lý do chon đe tài
Ve m¾t l%ch sú, sn xuat hi¾n cna giái tích ti¾m c¾n có the nói là rat sóm.
Th¾m chí có the ke đen thòi điem khi to tiên cna chúng ta nghiên cúu
tù van đe nhó như thưóc đo cna m®t cây g¾y, ho¾c đen van đe lón hơn
như nghiên cúu sn xáo tr®n quy đao chuyen đ®ng cna m®t hành tinh.
Như chúng ta biet, khi đo m®t cây g¾y moi phép đo cho m®t giá tr% khác
nhau. Do đó sau n lan đo ket quá nh¾n đưoc là n giá tr% khác nhau. M®t
trong nhung ket quá trên đây có the chon là chieu dài cna thanh g¾y
này hay không? Xap xí tot nhat vói chieu dài thnc cna thanh g¾y là giá
tr% trung bình cna n so đã nh¾n đưoc và moi ket quá đo có the đưoc coi
là m®t nhieu cna giá tr% trung bình. Lnc hap dan cna M¾t tròi là yeu to
chính ánh hưóng đen chuyen đ®ng cna moi hành tinh xung quanh nó,
nhưng lnc đó yeu hơn nhieu lnc hap dan giua các hành tinh. Đieu đó,
tao ra sn nhieu đoi vói quy đao chuyen đ®ng cna chúng; đieu này gây ra
sn thay đoi nhó đen quy đao chuyen đ®ng cna các hành tinh theo thòi
gian. Các hành tinh gây ra sn xáo tr®n nhieu nhat đen quy đao chuyen
đ®ng cna trái đat là sao Kim, sao M®c và sao Tho. Các hành tinh này
và m¾t tròi cũng gây nhieu quy đao chuyen đ®ng cna m¾t trăng xung
quanh trung tâm h¾ thong Trái đat-M¾t trăng. Vi¾c sú dung các kien
thúc toán hoc đoi vói nhung yeu to ve quy đao chuyen đ®ng như hàm
cna bien thòi gian có the mô tá chính xác sn nhieu quy đao chuyen đ®ng
cna các hành tinh thu®c h¾ m¾t tròi trong khoáng thòi gian nhat đ%nh.
Đoi vói khoáng thòi gian dài hơn, hàng loat các van đe phái đưoc tính
toán lai.
Giái tích ti¾m c¾n là công cu huu hi¾u trong vi¾c tìm lòi giái gan đúng
đoi vói nhieu bài toán phúc tap thưòng g¾p trong thnc te, nó là m®t
ngành quan trong cna toán hoc úng dung. Vi¾c thiet l¾p và chính xác
hóa các khái ni¾m cũng như vi¾c đưa ra m®t so ket quá khói đau trong



lĩnh vnc này đưoc tìm thay trong các công trình cna Poincare và Stieltjes
vào năm 1886. Trong các công trình đó, hai nhà toán hoc này đã công
bo nhieu bài báo giói thi¾u ve m®t so khái ni¾m cũng như các ket quá
nghiên cúu đoi vói chuoi ti¾m c¾n. Sau đó vào năm 1905, Prandtl đã
công bo m®t bài báo ve các chuyen đ®ng ve dòng chat lóng ho¾c luong
khí vói đ® nhót nhó doc theo m®t v¾t the. Trong trưòng hop chuyen
đ®ng cánh máy bay trong không khí, bài toán như v¾y đưoc mô tá bói
các phương trình Navier-Stokes vói so Reynolds lón. Tuy nhiên, trong
các công trình này phương pháp nhieu kỳ d% ít đưoc đe c¾p đen.
Thông thưòng, m®t van đe toán hoc không han có the đưoc giái quyet
m®t cách chính xác. Th¾m chí ngay cá khi đưa ra đưoc lòi giái chính xác
cna bài toán, thì nhung nghi¾m đó còn phu thu®c vào các thông so rat
khó đe sú dung. Thông thưòng các bài toán xuat phát tù nhung van đe
thnc te phương pháp đeu dna trên đó là m®t tham so trong van đe này
là tương đoi nhó. Tình hình trên tương đoi pho bien trong các úng dung
và đieu này là m®t trong nhung lý do mà phương pháp nhieu cna toán
hoc úng dung náy sinh. M®t trong nhung nen táng khác là khoa hoc máy
tính và đieu thú v% là hai đoi tưong đã phát trien lên cùng nhau. Khi sú
dung m®t máy tính, m®t là khá năng giái quyet van đe mà phi tuyen,
không đong nhat và đa chieu. Hơn nua, nó có the đe đat đưoc đ® chính
xác rat cao. Nhung han che là các giái pháp máy tính không cung cap
cái nhìn sâu sac vào v¾t lý cna van đe (đ¾c bi¾t cho nhung ngưòi không
có quyen truy c¾p vào phan mem thích hop ho¾c máy tính) và luôn luôn
có câu hói đ¾t ra là có hay không giái pháp tính toán là chính xác. M¾t
khác, phương pháp nhieu cũng có khá năng giái quyet vói các bài toán
phi tuyen, không đong nhat và đa chieu (m¾c dù chưa đen múc giong
như các giái pháp máy tính tao ra). Các muc tiêu cơ bán khi sú dung
phương pháp nhieu loan, ít nhat là đe cung cap m®t bieu hi¾n khá chính

xác cho giái pháp. Bang cách làm này có the lay đưoc m®t sn hieu biet
ve v¾t lý cna van đe đưoc đưa ra.
Bói tam quan trong cũng như tính thnc tien cna van đe và đưoc sn
4


hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, em đã chon đe tài: “Phương
pháp nhieu cúa giái tích ti¾m c¾n đoi vái phương trình đai so”
đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p h¾ đào tao cú nhân chuyên ngành
Sư pham Toán hoc. Cau trúc cna đe tài đưoc bo cuc thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t cách h¾
thong ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n và tính chat đ¾c trưng cna giái
tích ti¾m c¾n.
Chương 2. Chương này dành cho vi¾c sú dung phương pháp nhieu cna
giái tích ti¾m c¾n trong m®t so bài toán đai so vói m®t an phu thu®c
m®t tham so.
2. Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Khóa lu¾n nghiên cúu ve giái tích ti¾m c¾n bao gom các khái ni¾m ve
b¾c ti¾m c¾n, dãy ti¾m c¾n, chuoi ti¾m c¾n; các tính chat và các phép
toán giái tích đoi vói chuoi ti¾m c¾n. Trên cơ só h¾ thong các kien thúc
trên đây, chúng tôi t¾p trung nghiên cúu úng dung cna giái tích ti¾m
c¾n bang phương pháp nhieu đoi vói phương trình đai so.
3. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Giái tích ti¾m c¾n đưoc hình thành khói nguon tù m®t so các công trình

tính toán cna L. Euler. Đen năm 1886, lý thuyet ti¾m c¾n mói đưoc xây
dnng m®t cách h¾ thong bói Stiltjes [8] và Poincaré [6]. é đây, ngưòi ta
nghiên cúu các chuoi mà nó đưoc bieu dien bói các dãy hàm ti¾m c¾n.
Thông thưòng các hàm đó đưoc bieu dien dưói dang tích phân, chuoi
lũy thùa ho¾c dưói dang như nghi¾m cna phương trình vi phân. Trong
chương này chúng tôi se trình bày vói múc đ® can thiet và căn bán nhat
ve lý thuyet giái tích ti¾m c¾n

1.1. M®t so khái ni¾m ve b¾c và m®t so ví dn
1.1.1. Lài dan
Các kí hi¾u O, o và ∼ đưoc sú dung đau tiên bói E. Landau và P. D.
B. Reymond. Trưóc khi giói thi¾u các khái ni¾m này, chúng ta xét đen
m®t bài toán thưòng g¾p trong thnc te. Tính giá tr% cna tích phân
¸∞
I (s) =

0

e−t

dt; vói s > 0 đn nhó.

1+
st

Như đã trình bày trong phan mó đau, chúng tôi se trình bày m®t phương
pháp xap xí cna tích phân I(s) bang phương pháp de tiep c¾n nhat
(phương pháp tích phân tùng phan). Lay tích phân tùng phan thú nhat
ta thu đưoc
¸

∞


I(s) = 1 − s
0

e−t
dt.
(1 + st)2


L¾p lai quá trình này N lan ta đưoc
I(s) = 1 − s + 2!s2 − 3!s3 + ... + (−1)N N !sN
¸∞
N +1

+(−1)
(1.1)

e−t

N +1

(N + 1)!s

dt.

(1 + st)N +2
0


Ve phái cna phương trình này, đưoc goi là m®t khai trien ti¾m c¾n
cna I(s) tói so hang thú (N + 1). So hang này nhó hơn rat nhieu
so vói so hang thú N . Đieu này cũng đương nhiên đúng đoi vói tat
cá
n = 0, 1, 2, ..., N − 1. Ta chí ngay ra đieu đó vói n = N . Bói vì s
là so
dương đn nhó, nên 1 + st ≥ 1 và ta có đánh giá
¸∞
¸∞
e−t
e−tdt = 1
N
+2
(1 + st)
0
dt ≤
0

Tù đieu này suy ra rang
.
¸∞
.
.(−1)N +1(N + 1)!
N +1
s
.
.

e−t


.

.
dt..

(1 + st)N +2
.
0
.
.
≤ .(−1)N +1(N + 1)!sN +1.
.
.
N
+1
N
.(−1)
N !s .

.

Đieu quan trong là ta thay rang khai trien chuoi dưói dang phương trình
(1.1) là không h®i tu. Ta có the thay ngay nh¾n xét này rang khi s
co đ%nh thì so hang
(−1)N +1N !sN → ∞; khi N → ∞.
The nhưng, vói N co đ%nh thì


(−1)N +1N !sN → 0; khi s → 0.
Đây chính là nguyên nhân cho ta thay rang khai trien trên là m®t xap

xí tot đoi vói tích phân I(s) khi s → 0. M®t xuat phát tn nhiên tù sn


nh¾n xét có tính trnc giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đen vi¾c
giói thi¾u m®t so khái ni¾m quan trong trong lý thuyet Giái tích ti¾m
c¾n.
Giá sú, s là so dương nhó tùy ý, chúng ta sú dung m®t so thu¾t ngu
(i) −s có cùng b¾c vói s và 4!s4 có cùng b¾c vói s4. Các4 phát bieu
này đưoc ký hi¾u tương úng bói −s = O(s) và 4!s = O(s );
(ii) 2!s2 là có b¾c nhó hơn s, nó đưoc ký hi¾u bói 2!s2 = o(s)
ho¾c
2
2!s
s;
(iii) Neu xap xí I(s) bói I(s) = 1 − s + 2!s2, thì xap xí này có đ®
chính
xác đen b¾c s2.
Tiep theo, chúng ta se chính xác hóa các khái ni¾m đã nói trên đây.
1.1.2. Các khái ni¾m ve "không" b¾c
Cho f (z) và g(z) là hai hàm so xác đ%nh trên m®t t¾p D trong
m¾t phang phúc C và cho z0 là m®t điem giói han cna D (có the là
điem vô cùng). Ta nói
(i) B¾c O lán. Hàm f (z) đưoc goi là có " b¾c O lón " đoi vói
hàm
g(z) khi z → z0 ( ho¾c f (z) có cùng b¾c g(z) khi z → z0 ) và ký hi¾u
là
f (z) = O(g(z)); z → z0,
neu ton tai m®t hang so dương M và m®t lân c¾n U cna z0 sao cho
|f (z)| ≤ M |g(z)| ; vói moi z ∈ U ∩ D.
Đơn gián hơn, neu hàm g(z) không tri¾t tiêu trên D, thì

f (z) = O(g(z)); khi z → z0
nghĩa là ton tai hang. so dương
M và m®t lân c¾n U cna z0 sao cho
.
. f (z).≤ M ; vói moi z ∈ U ∩ D.
. g(z)
..
.
Trưòng hop đ¾c bi¾t, hàm


f (z) = O(1); khi z → z0.


Đieu đó, nghĩa là hàm f (z) b% ch¾n khi z tien tói z0.
Trong các hàm trên, hàm g(z) thưòng đưoc goi là "hàm cã" bói vì
hàm đó xác đ%nh dáng đi¾u cna hàm f (z) khi z → z0.
(ii) B¾c o nhó. Hàm f (z) đưoc goi là có "b¾c o nhó" đoi vói
hàm g(z) khi z → z0 (ho¾c f (z) là ti¾m c¾n nhó hơn đói vói hàm
g(z) khi z → z0) và ký hi¾u là
f (z) = o(g(z)); khi z → z0
neu vói moi s > 0 nhó tùy ý, ton tai m®t lân c¾n U cna z0 sao cho
|f (z)| ≤ s |g(z)| ; vói moi z ∈ U ∩ D.
Cũng đơn gián hơn, neu g(z) không tri¾t tiêu trong lân c¾n cna z0
có the trù ra tai điem này, thì f .(z) =. o(g(z)) nghĩa là
. f (z) .
z→z
g(z). =
o
lim

..
.
0.
(iii) B¾c tương đương. Ta nói f (z) có b¾c tương đương vói hàm
g(z) khi z → z0 và ký hi¾u là f (z) ∼ g(z) khi z → z0 neu
.
.
. f (z) .
z→z
g(z). =
o
lim
..
.
1.
hay
f (z) = g(z) + o(g(z)); khi z → z0.
1.1.3.

Chú ý

Khái ni¾m O-b¾c cho ta nhieu thông tin hơn o -b¾c ve dáng đi¾u cna
các hàm liên quan trong quá trình z → z0. Chang han
sin z = z + o(z2); khi z → z0,
cho ta biet sin z − z tien tói 0 nhanh hơn z2. Tuy nhiên
sin z = z + O(z3); khi z → z0,
cho ta biet rang sin z − z tien tói 0 gan như z3 khi z → z0.


1.1.4.


M®t so ví dn ve b¾c

Đoi vói hàm so f (t) = 5t2 + t + 3, ta có các so sánh ve b¾c
trong m®t so quá trình dưói đây
f (t) = o(t3), f (t) = O(t2) và f (t) ∼ 5t2;
khi t → ∞. f (t) ∼ 3; khi t → 0 .
. .
f (t)
1 ; khi t → ∞.
=o
t
Nhung so sánh ve b¾c cna b¾c cna các hàm thưòng g¾p cũng phái ke
đen, đó là
t1000 = o(et), cos t = O(1); t → ∞.
1

t2 = o(t), e− t = o(1), tan t = O(t), sin t ∼ t; t → 0+.
si
n

.
1
t

1.1.5.

= O(1), cos t ∼ 1t2; t 0.
→
. 1−

2

Nh¾n xét

Các ký hi¾u O, o và ∼ cũng dùng đưoc đoi vói các hàm vói bien ròi
rac. Chang han, như vói dãy so thnc2 (nghĩa là hàm cna các so nguyên
dương n ). Đoi vói dãy so xn = 5n − 6n + 9 ta thay rang
xn = o(n3), xn = O(n2) và xn ∼ 5n2; khi n → ∞.
(i)

(ii)

Ngưòi ta cũng thưòng sú dung ký hi¾u f (k)
k0

đong nghĩa vói f (k) = o(g(k)); khi k → k0 .

1.2.

Dãy ti¾m c¾n và chuoi ti¾m c¾n

1.2.1. Khái ni¾m và ví dn ve dãy ti¾m c¾n

g(k); khi k →


M®t dãy hàm {φn(k)} đưoc goi là m®t dãy ti¾m c¾n khi k → k0 neu
có m®t lân c¾n cna k0 sao cho trong lân c¾n này không m®t hàm nào
tri¾t



tiêu (ngoai trù k0) và vói moi n ta có
φn+1 = o(φn); khi k → k0.
Chang han, neu k0 huu han thì {(k − k0)n} là m®t dãy ti¾m c¾n
khi
k → k0, còn {k−n} là m®t dãy ti¾m c¾n khi k → ∞.
1.2.2. Chuoi lũy thNa ti¾m c¾n
Khái ni¾m ve chuoi lũy thNa ti¾m c¾n. Neu điem giói han z0 là
huu han ta có the dùng phép bien đoi bien thành điem giói han vô
cùng bói
1
. Chúng ta se giá thiet rang đieu này luôn đúng và chí xét
z∗
z
−
=
z0
nhung khai trien ti¾m c¾n khi z → ∞ trong góc α < phz < β. Ho¾c
trong trưòng hop f (z) là m®t hàm so bien so thnc x, khi x → +∞
ho¾c
x → −∞.
Trong
. trưòng
. hop đơn gián nhat cna dãy khai trien ti¾m c¾n khi z → ∞
φ(z)
. Neu m®t hàm f (z) có m®t khai trien ti¾m c¾n tương úng
là
zn
vói dãy
.này, có nghĩa là f (z) ∼

φ(z)
f (z )

∞

an

n=0

zn

. Đieu đó kéo theo

∞

∼ . ann
z
g(z)
n= .
0

Chuoi sau cùng đưoc coi là m®t khai trien ti¾m c¾n tương úng vói dãy
ti¾m
c¾n

.
.
. M®t khai trien ti¾m c¾n tương úng vói dãy 1 đưoc
.1
zn

zn

.


goi là m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n.
Các phép toán vái chuoi lũy thNa ti¾m c¾n. Các chuoi lũy thùa
ti¾m c¾n và các chuoi lũy thùa h®i tu có tính chat tương tn nhau. Các
ket quá chính đưoc trình bày dưói đây, trưóc het cho trưòng hop bien
thnc. Giá sú f (x) và g(x) có các khai trien ti¾m c¾n
. an
. bn
∞
∞
f (x) ∼
và g(x) ∼
;
n
x
n
x
n=0
n=0


khi n → +∞. Khi đó, ta có
(i) Af (x)
∼

.∞ Aa

n=
0

n

; vói A là m®t hang so.

xn
(ii) f (x) +
. ∞ a n + bn
g(x) ∼
.
n=
n
x
0
Các ket quá trên đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh nghĩa
(iii) f (x).g(x) ∞ cn vói cn = a0.bn + a1.bn−1 + ... + an−1.b1 +
.
an.b0.
∼
n
n=0 x
Th¾t v¾y, vói moi so nguyên dương N ta có
.
.
a1
aN
1
+

...
+
+
f (x) = a0
.
O
N +1
x
N
+
x
x
.
.
b1
bN
1
+
...
+
+
g(x) = b0
.
O
xN +1
N
+
x
x
Do đó bang phép nhân thông thưòng, ta nh¾n đưoc

.
.
c1
cN
1
+
...
+
+
f (x).g(x) =
.
O
N +1
x
N
c0 +
x
x
Cũng tù đieu này moi lũy thùa nguyên dương cna f (x) có m®t khai
trien ti¾m c¾n là m®t chuoi lũy thùa và vì v¾y moi m®t đa thúc cna f
(x) cũng có m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n.
(iv) Neu a0 ƒ= 0 thì
1
f (x)

∼

1 +

∞


a0
Th¾t v¾y trưóc het ta
thay

.

n=
1

1

dn
xn
1

; khi x → +∞.

→ 0 ; khi x → ∞. Tiep đó
f
a
(x)


.

−

f1
(x)

a0
1
x

1



.

=

 a
+

1

0

1
.

.
1 − a0
+O 2
x


.a .
1


x

x
−a1 + O

.
x

Tương tn




1

.
a1

= .
a1
+ . 1 .. → −0 2 .
a0 a0 +
a
O
x
x2
.
.
1

1
a1
+
−
a2 − a 0a 2
f (x)
a0
1
2
a
3
0
1
→
0
x
a
x2

và bang cách này các h¾ so dn có the xác đ%nh đưoc vói moi n ∈ N. Tong
quát hơn, moi hàm huu tí cna f (x) có m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n
mien là mau so không tien tói 0 khi x → ∞ .
(v) Neu f (x) là m®t hàm liên tuc khi x > a > 0 thì hàm
F (x) =

¸∞ ,
0

f (t) − a0


a1 ,
dt.

−

t
Vói x > a có m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n
a2
a3
an+1
+
+
...
F (x) ∼
+ ...; khi x →
+
nxn
x
2x2
a1
∞.
Tù f (t) − a0
−

là m®t hàm liên tuc khi t > a và là O
t

.

1


.

t2


khi
t → +∞, tích phân cna F (x) ton tai vói x > a. Bói vì
∞.
. .. dt.
an
1
F (x) = ¸∞
+ O
.
tn
tm+1
0

n=2

Do đó, vói moi so nguyên m > 2, ta có
.

m
.

an
F (x) =
1

(n −
n=2 n−1
1)x
khi x → +∞.

+O

.

.
. n+1 + O.
= m−1
a
1 ;

xm

nxn

xm

n=1

Tù đó, ta nh¾n đưoc ket quá sau
(vi) Neu f (x) là m®t hàm có đao hàm liên tuc và đao hàm f r(x)
cna nó cũng là m®t chuoi lũy thùa ti¾m c¾n khi x → +∞, thì khai trien
ti¾m
c¾n cna nó là
∞


r

.

f (x) ∼ n=2
−
− 1)an−1

x

(n

n

.


Vói giá thiet rang
∞
.
bn
f (x) ∼
; khi x→ ∞
−
. xn
r

n=0

Bây giò, tù f r(x) là liên tuc nên

y

¸ f
r
f (y) − f (x) (t)dt
y

=
y

x

1.

f r(t) − b0 −

=b0(y − x) + b1 log
x

b

¸ .

+
x

b

t


dt

1.

.
¸∞
dt là hàm liên
Nhưng f (y) → a0 khi y → +∞ và
x
f r(t) − b0
.
.
−
1
t
tuc nên tích phân này là
.
Đieu
đó
suy
ra rang b0 = b1 = 0 và
O
t2
¸∞ .
1.
b
a − f (x) = f r(t) − b − dt
0
t
x

Tù (v) ta
có

∞

a

−

f (x) ∼

.

n=1

bn+1

nxn

; khi x
→∞

.

Nhưng chúng ta biet rang
a

f (x) ∼
−


∞
.

n

n=1

xn

.

Bói vì m®t khai trien lũy thùa ti¾m c¾n là duy nhat, nên ta có
bn−1 = −nan, nghĩa là
∞
r

f (x) ∼ −
− 1)an−1

.

(n

xn

; khi x → +∞.


n=2


Nói cách khác, khai trien ti¾m c¾n đưoc xác đ%nh bói các so hang cna
khai trien cna đao hàm.