Khóa luận tốt nghiệp

Như Thúy Vân K32E SP-Toán

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo cô giáo
trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ,
giúp đỡ tôi trong bốn năm học vừa qua cũng như tạo điều kiện cho tôi
trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo :
Ths Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng
ghóp nhiều ý kiến quý báu trong tôi thực hiện khóa luận.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên

Nhƣ Thúy Vân

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của cá nhân tôi trong quá trình học tập, tìm tòi
học hỏi và nghiên cứu. Bên cạnh đó được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Ths
Nguyễn Huy Hưng.
Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận tốt nghiệp của tôi với đề tài “Nhập
môn đại số ten xơ” không trùng lặp hay sao chép kết quả của đề tài khác.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiêm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Nhƣ Thúy Vân


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài là một công cụ hữu hiệu
trong toán học, cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phương
pháp nghiên cứu của đại số tenxơ còn ảnh hưởng đến một số lĩnh vực khác của
toán học và đời sống, trong nghiên cứu khoa học.
Với niềm yêu thích bộ môn Đại số, và được sự giúp đỡ tận tình của thầy
giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, tôi mạnh dạn thực hiện kháo luận tốt nghiệp với đề
tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp nghiên cứu về tích tenxơ của không gian véctơ.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về tính chất phổ dụng của các không
gian véctơ.
+ Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số tuyến tính.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu lý thuyết về tích tenxơ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích tài liệu có liên quan và tổng hợp kinh nghiệm của bản thân
6. Cấu trúc khóa luận
Chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản như không gian véctơ,
ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính. Chương 2, đây là nội dung chính của
khóa luận. Các khái niệm như tích tenxơ của hai không gian, hai không gian con,
hai không gian thương, tích tenxơ của hai ánh xạ được trình bày khá chi tiết.
Chương 3, tôi trình bày những kết quả mở rộng của chương 2 cho nhiều không
gian.



CHƢƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Ở chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản như khái niệm không gian
véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính để dùng trong chương 2 và 3.
1.1 Không gian véctơ

 
1.1.1 Định nghĩa : Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là
α , β ,

γ , và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm:
 
 
a) Phép cộng:
+ : V x V → V, ( α , β ) → α +
β ,


b) Phép nhân:
. : K x V → V, ( λ , α )
→ λ .α ,
thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:
 

 
  
(V1)
)+γ


(α + β


(V2)
0



+ γ ), ∀

=

α +(
β

 

∃ ∈V : 0 +
α =α







+ 0 =




α , β , γ ∈V.



α ,

∀





α ∈V.


= 0.
+α '=
∀ α ∈V,
(V3)
α'+α
∃ α ' ∈V : α
  
 

+ α , ∀ α , β ∈V.
(V4)
α +
β =β





= λ + µ . α , ∀ λ , µ ∈K,
(V5)
(λ +
. α ∀ α ∈V.
µ )α
 


 


(V6)

λ (α + β ) = λ .α + λ . β ,
∀ λ ∈K, ∀ α , β ∈V.




(V7)
( λ ( µ α )) = ( λ µ ) α , ∀
µ ∈K, ∀ α ∈V.
 

= α , ∀ α ∈V.
(V8)
1.α


λ ,

Khi đó, V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian véctơ trên
trường K hay K – không gian véctơ (gọi tắt là không gian véctơ).


1.1.2 Ví dụ
Tập X là tập khác rỗng, V là một K - không gian véctơ. Tập Ω
gồm tất cả các ánh xạ ϕ : X → V với các phép toán:
( ϕ +ψ )(x) = ϕ (x) +ψ (x),
(

λ . ϕ )(x) = λ . ϕ (x)

Với ϕ ,ψ ∈ Ω , λ ∈K là một K - không gian véctơ.
1.1.3 Cơ sở, chiều
Tập S ⊂ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi bộ phận
hữu hạn phần tử s1, s2, s3….,sn thuộc S, từ điều kiện

∑λ

n

i

si = 0 ⇒ λ i =0, ∀ i= 1, n .
i=1

Tập S ⊂ V là cơ sở của không gian V nếu:
(i) S độc lập tuyến tính.

(ii) S sinh ra V.
Định lý : Trong không gian véctơ luôn tồn tại cơ sở, hai cơ sở bất kỳ luôn
có cùng lực lượng. Lực lượng của nó được gọi là số chiều của không gian véctơ.
Tổng trực tiếp của không gian véctơ: Cho V, W là hai không gian
véctơ trên trường Γ : Tổng trực tiếp của V và W được tạo thành từ cặp
(v , w) ,v ∈ V, w ∈ W với các phép toán được định nghĩa theo từng
thành phần:
(v, w) +(v’, w’) = (v+v’, w+w’),
λ (v, w)

= ( λν , λ w).

Nếu e = {ei}i∈I là cơ sở của V, h = {hi}j∈J là cơ sở W thì e và h là cơ
sở của V ⊕ W.


Không gian con: W ⊂ V được gọi là không gian con nếu W là
nhóm con và kW ⊆ W .
Mệnh đề : Nếu W ⊂ V là không gian

∃U là không gian con sao
⊂V

con thì cho W⊕U ≅ V.
Không gian thương: cho V là không gian véctơ trên trường Γ , W
là không gian véctơ con của V. Tập V/W = { [ v ]=v+W,v+W,v∈V} thỏa
mãn:
[v1]+[v2] = (v1 + v2) + W , v1 ,v2 ∈ V.
[v] =λv+W,


v ∈V.

là một không gian véctơ trên trường Γ , và được gọi là không gian véctơ
thương của V theo không gian véctơ con W.
Không gian tuyến tính của các ánh xạ tuyến tính: Xét tập hợp tất cả các
ánh xạ tuyến tính: V →W ( giả thiết V, W hữu hạn chiều), ký hiệu là:
L(V, W). L(V, W) cũng là một không gian véctơ trên K, với các phép toán :
(f + f’)(v) = f(v) + f’(v).
( λ f)(v) = λ .f(v).
Không gian đối ngẫu : cho V là không gian véctơ, không gian đối ngẫu
*

của V là L(V, Γ ), ký hiệu là V .
1.2 Ánh xạ tuyến tính
1.2.1 Định nghĩa
Cho hai không gian véctơ trên trường Γ là V, W. Ánh xạ f:
V → W được gọi là ánh xạ Γ - tuyến tính nếu f (λv + µw)
= λ f (v) + µ f (w) .
Ánh xạ Γ - tuyến tính f là đẳng cấu nếu tồn tại ánh
−1
xạ f

-1

-1

và ff = idv , f
= idw .



là Γ - tuyến tính


1.2.2 Ví dụ
Ánh xạ ϕ : R → R, x → ϕ (x) = 2010x là ánh xạ
tuyến tính giữa các R không gian. Thật vậy, ∀ r, s ∈R, ∀ x, y
∈R, ta có ϕ (r.x + s.y) = 2010(r.x + s.y)
= 2020r.x + 2010s.y = r.ϕ (x) + s. ϕ (x).
1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính
Giả sử E, F, G là ba không gian véctơ bất kỳ, xét ánh xạ
ϕ : E × F → G.

ϕ được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn:

ϕ(λ x1 + µx2 , y)
= λϕ(x2 , y) ,

x1, x2 ∈ E; y1, y2 ∈ F .

ϕ(x, λ y1 + µ y2 )
x ∈ E; y ∈
= λϕ(x, y1 ) + µϕ(x, y2 ) , λ ∈Γ .

F;

µ,

Khi G= Γ thì ϕ thì được gọi là hàm song tuyến tính.
Ta có thể ký hiệu Imϕ là không gian véctơ con của G bởiϕ .
Bây giờ, ta xét B(E,F;G) gồm tất cả các ánh xạ song tuyến tính đi từ E ×F

đến G. Bằng cách định nghĩa phép cộng ánh xạ
ϕ1 và

ϕ2 :

(ϕ1 + ϕ2 )(x; y) = ϕ1 ( x;
y) + ϕ2 (x; y),
và ánh xạ ( λϕ) :

λϕ(x, y) = λϕ(x, y), x ∈ E, y

∈ F, λ ∈Γ ,


ta có thể đưa ra cấu trúc không gian véctơ trong tập B(E,E;G). Không gian
B(E, F; Γ ) gồm tất cả các hàm song tuyến tính được viết gọi là: B(E, F).
1.2.4 Ví dụ
2
Ánh xạ f: R →R, (x, y) →f(x, y) = x.y là một ánh xạ
song tuyến tính của các R- không gian. Thật vậy, ∀ λ , µ ∈ R ,
∀ x1, x2, y1, y2∈ R , ta có
f( λ x1+ µ x2, y1) = ( λ x1+ µ x2). y1 = λ .x1y1 + µ . x2y1 =
λ f(x1, y1) + µ f(x2 + y1). Tương tự ta có f(x1, λ y1 + µ y2) =
λ f(x1, y1) + µ f(x1, y2).


1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính của không gian con không gian thƣơng
E1 ⊂
E


Cho ánh xạ song tuyến tính λ : E x F → G và cặp
không gian con
và
F1

⊂ F.

Ánh xạ ϕ
y 1) =

: E x F →G xác định bởi
(x1, y1), ϕ1

ϕ

1

1

1

ϕ

(x1,

được gọi là

1

hạn chế của ϕ lên E1 x F1.

Cho E =

∑ Eα

=

và

F

∑

Fβ lần lượt là hai phân tích trực

tiếp của E và

α

β

F, và giả sử với mọi cặp ( α , β ) luôn tồn tại ánh xạ song tuyến tính :

ϕαβ

: Eα x Fβ → G .

Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính ϕ sao cho có hạn chế lên

Eα x Fβ là ϕαβ . Thật ∏ : E → Eα và Pβ : F
vậy: nếu


→ Fβ là hai phép chiếu thì
α

ϕ xác định

bởi:ϕ (x, y) =

∑ϕαβ ( ∏α x , Pβ y),

x

∈ E,

y ∈ F , ϕ có hạn chế lên
α ,β

Eα x Fβ là

ϕαβ .

( ϕ 1 − ϕ 2)( x , y ) = ϕ 1( x , y )
−ϕ

2(

x , y ) = Do đó ϕ
Nếu E1 ⊂ E

1=


ϕ 2.

∑ϕαβ ( ∏α
x , Pβ y) = 0


và F1
⊂ F là
hai không
gian véctơ
con và
ϕ 1:

E1 x F1 → G là một ánh

xạ song tuyến tính ϕ : E x F → G, có hạn chế lên E1 x F1 là ϕ

1

Ta giả sử ánh xạ ϕ : E x F → G là song tuyến tính, và với các
không gian
con

E1
⊂
E

và G 1 ⊂ G , ϕ ( x 1, y )∈ G 1, với mọi x ∈ E1 , y
∈ F1 .


Xét ρ : E → E / E1 và π : G → G 1.


Ta định nghĩa ánh xạ song tuyến tính
ϕ

ϕ ( ρ x , y ) =
πϕ(x, y) ,

bởi:

: ( E / E1) )x F
→ G / G1

ρ x ∈ E / E1 ,

y

∈ F.

xác định bởi ϕ . Giả sử với không gian con F1 ⊂ F , ϕ ( x,
y1 ) ∈ G1 ,

Rõ ràng
ϕ

∀x y1
ϕ ( y1 ) =0, ∀x
∈ ∈ F, ρ x, ∈ E/E ,

1
E,
thì:

y1 ∈ F 1.

Gọi δ là phép chiếu chính tắc từ F lên F / F1 , thì ϕ cảm sinh một ánh xạ
song
tuyến tính
ϕ

: ( E / E1 ) )x F / F1
→ G / G1

ϕ ( ρ x , δ
π .ϕ (x, y),

y)=

1.2.6 Ánh xạ đa tuyến tính
Cho p + 1 không gian véctơ

thỏa mãn :

ρ x ∈ E / E1 , δ y ∈ F / F 1 .

Ei (i = 1, p ), G .
Ánh xạ

ϕ : E1 x…x Ep

→ G được

gọi là p - tuyến tính nếu với mọi i( 1 ≤ i ≤ p) :

ϕ(x1,..., xi−1,λxi + µ yi , xi+1,..., xp ) =

λϕ(x1,..., xi−1, xi , xi+1,..., xp ) µϕ(x1,..., xi−1, yi , xi+1,..., xp ) , xi , yi
∈ Ei , λ, µ ∈Γ .

Nếu G = Γ thì ϕ được gọi là hàm p - tuyến tính. Trong
trường hợp

p= 2,
không


gian con của G gồm những véctơ có dạng
ϕ(x1,..., xp )
là Imϕ .
Đặt

L(E1,..., E p
;G)

xi
sẽ được biểu diễn
∈
Ei

là tập của mọi ánh xạ tuyến tính ϕ : E1 x…x Ep

→ G,

ta xác định các phép toán tuyến tính:
(ϕ +ψ )(x1,..., x p ) = ϕ(x1,..., x p ) +ψ (x1,..., x p ) và (λϕ )
(x1,..., x p ) = λϕ(x1,..., x p ) thì
ta có được cấu trúc không gian véctơ con trong tập L(E1 ,..., Ep ;G) .
Không gian gồm tất cả các hàm ρ - tuyến tính E1 x…x
đi từ
Ep
L(E1,..., E p ;G) .

được viết gọn là


CHƢƠNG 2. TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHÔNG GIAN
VÉCTƠ
Đây là chương chứa các khái niệm tích tenxơ của hai không gian véctơ,
tích tenxơ của hai không gian con, hai không gian thương, tích tenxơ của các ánh
xạ tuyến tính và các tính chất của chúng
2.1 Tính chất phổ dụng
Cho E và F là hai không gian véctơ và ⊗ là ánh xạ song tuyến
tính từ E x F vào không gian véctơ T . Ta nói ⊗ có tính chất phổ dụng
nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
⊗ 1: các x ⊗ y(x ∈ y, y ∈ F ) sinh ra T, hoặc tương
véctơ
đương Im⊗ = T .
⊗

2:


nếu ϕ là một ánh xạ song tuyến tính từ E x F vào một

không gian bất kỳ H, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính f: T →H sao
cho biểu đồ sau giao hoán:
ExF

ϕ

⊗

(2.1)

H

f

T

Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:
⊗: Với mọi ánh xạ song tuyến tính ϕ :E x F → H thì tồn tại
duy nhất một ánh xạ song tuyến tính f: T →H sao cho (2.1) giao
hoán.
Thật vậy giả sử ⊗
tuyến tính:

1 và

⊗

2 cùng


thỏa mãn, và cho hai ánh xạ


f 1:
T →H
và

ϕ ( x , f ( x ⊗ y ); và
1
y)=
ϕ (x,y)=

f2 : T →H sao cho:

f2 ( x ⊗ y ) thì:

f 1 ( x ⊗ f2 ( x ⊗ y ) ∀ x ∈ E , y ∈ F .
y)=
Ta áp dụng tính chất
⊗ 1 thì

f 1 = f2 , do đó f xác định duy nhất bởi ϕ .


Ngược lại, giả sử cho ⊗. Hiển nhiên ⊗

2 thỏa

mãn.


Để chứng minh ⊗ 1 ta lấy T1 là không gian véctơ con của T sinh
bởi các véctơ có dạng x ⊗ y ( x ∈ E , y ∈ F ). Khi đó ⊗xác
định một ánh xạ song tuyến tínhϕ : E x F →T 1 sao cho i ϕ ( x , y )
= x ⊗ y , ∀ x ∈ E , y ∈ F , trong đó i:T1 →T
là một ánh xạ nhúng. Từ ⊗suy ra tồn tại một ánh xạ tuyến tính f: T
→ T1 sao cho ϕ ( x , y )= f( x ⊗ y ), x ∈ E , y ∈ F .

Áp dụng i vào trong hệ thức trên ta được:
(i  f) ( x ⊗ y ) = (i  ϕ )( x , y ) = x ⊗ y .
Mặt khác

id( x ⊗ y ) = x ⊗ y , x ∈ E , ∈ y F .

Trong đó id là ánh xạ đồng nhất của T. Dựa vào tính chất của ⊗, ta chỉ
ra được i  f = id T do vậy i là toàn ánh và do đó T = T1 suy ra ⊗

1.

2.2Những tính chất cơ bản
Ta đưa ra một vài tính chất được suy ra từ định nghĩa.
Cho ⊗: E x F → T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ
dụng
Bổ đề 2.2.1 Cho r véctơ ai (i=1, r ) độc lập tuyến tính trong E và r véctơ bất kỳ
trong F là bi, (i=1, r ). Khi đó
từ

∑

Chứng minh:


bi

= 0 suy ra bi = 0, i=1, r .

ai ⊗
i

Vì các véctơ ai độc lập tuyến tính (i=1, r ) nên ta chọn r hàm tuyến tính
i

f sao cho


f (aj) = δ
i

Xét hàm song tuyến tính:

i
j

(i, j = 1, r ).


φ (x,y)=

r

∑

i=1

i

f i ( x )g ( y ), x ∈ E , y ∈ F

i

Ở đó g là các hàm tuyến tính tùy ý trong F. Từ ⊗
tuyến tính

2 suy

ra tồn tại hàm

h trong T sao cho:
h(x
⊗ y )=

Do đó

h ( ∑a i
⊗ bi ) =

∑

∑
(bi ) i=

i


i

f (x)g ( y)

f (ai )g gi (b )

∑

i

i

từ

∑a b
j

j

j

= 0 , ta được :

∑g

i
(bi ) = 0.

Nhưng gi là các hàm tùy ý nên bi = 0, (i = 1, r ) .

Hệ quả : Nếu

a ≠ và b ≠ 0 thì a ⊗b ≠ 0.
0

Bổ đề 2.2.2: Trong E, cho cơ sở {eα } α ∈ A, thế thì với mọi
véctơ z ∈T, ta có thể viết dưới dạng :
Z=

∑αeα bβ ,

bβ ∈F,

trong đó chỉ có hữu hạn các bβ khác 0. Hơn nữa bβ xác định duy nhất bởi z
Chứng minh:
Từ ⊗

1 suy

ra z biểu diễn bằng tổng hữu hạn :
z=
.

ν

∑

xν ⊗ yν , xν ∈E, yν ∈F



Ta có :

xν =

∑
λν

α

Do đó

α

l
α

,

λαν ∈Γ ,


∑

α

ν

ν

⊗

y =

z=

λα e

∑
ν

α
ν

e ⊗
λα y
=

ν ,α

ν ,α

∑

α

β

e ⊗ b

,


α

α

với
bα

=

∑

λν yν .
ν

Chứng minh sự duy nhất:
Giả sử :

∑ eα ⊗

bα = ∑ eα ⊗ b 'α ,

bα ,b 'α ∈ F
α

α

Thì :
eα ⊗
∑
α


(bα − b 'α )=0

bα = b'α

Và từ bổ đề 2.2.1 ta có:

Bổ đề 2.2.3 Mọi véctơ z ∈T khác véctơ 0 có thể viết dưới dạng :
r

z=

∑

i=1

trong
đó

xi, yi (i
=1,r)

xi ⊗ yi ,

là các véctơ độc lập tuyến tính trong E và F.

Chứng minh:
r

Chọn z = ∑


sao cho r là nhỏ nhất. Nếu r=1 thì từ tính song tuyến tính

xi ⊗ yi

i=1

suy ra x1 ≠ 0 y1 ≠ 0 . Bây giờ ta
và
giả sử

r ≥ và nếu các véctơ phụ thuộc tuyến
2


tính, giả sử
r −1

xr =

∑λ

thì ta có

i

xi

,
i=1

r

i=1

r −1

i=1

i

r −1
i=1

r

∑

i=1

i

.


Suy ra điều này trái với giả thiết r nhỏ nhất. Do đó các véctơ xi độc lập tuyến
tính. Chứng minh tương tự, ta có các véctơ yi độc lập tuyến tính.
2.3 Tính duy nhất
Giả sử ⊗: E x
⊗ E x
F →T và F →

⊗

là hai ánh xạ song tuyến tính có tính

chất phổ dụng. Khi đó, tồn tại một đẳng cấu tuyến tính f: sao cho:
f (x ⊗ y) = x⊗ y ; x ∈ E, y ∈ F .
Thật vậy, từ ⊗2 ta có ánh xạ tuyến tính

sao cho

có nghĩa là

Từ ⊗1 ta
được

f: T
và g: T → T
→
T
f (x ⊗ y) và g(x⊗ y) = x ∈ E, y ∈ F
= x⊗ y x ⊗ y ,
gf (x ⊗ y)
= x ⊗ y và
gf = i
và f

fg(x⊗ y) = x⊗ y .

○g = i .


Do đó f và g là hai đẳng cấu khả nghịch của nhau.
2.4 Sự tồn tại
Để chứng minh sự tồn tại, ta xét không gian véctơ tự do C( E x F) sinh bởi
tập E x F. Xét N(E, F) là không gian con của C(E x F) sinh bởi các véctơ có
dạng:


(λ x1 + µ x2 , y) − λ(x1, y) − µ (x2 , y)
và


(x,λ y1 + µ y2 ) − λ(x,
y1) − µ(x, y2 ) .

Đặt :

T=C(E x F)/N(E, F)
và xét π : C(E x F) →T là phép chiếu chính tắc.
Xét ánh xạ ⊗: E x F → T,
x ⊗y = π (x,y).
Ta chứng minh ⊗ là ánh xạ song tuyến tính và thỏa mãn tính chất phổ
dụng. Thật vậy, từ biểu thức:

π (λ x1 + µ x2 , y) = λ.π (x1, y)
+ µπ (x2 , y) ,
ta suy ra:
(λ x1 + µ x2 ) ⊗ y = π (λ x1 + µ x2 , y) =
+ µλ (x2 , y) = π x1 ⊗ y + µx2 ⊗ y

λπ (x1, y)


Tương tự như vậy ta chứng minh được ⊗ tuyến tính đối với biến y.
Chứng minh ⊗
phần tử

1,

biểu diễn véctơ z∈T dưới dạng tổng của hữu hạn

∑

z= π
(x , y

Suy
ra

ν ν

ν ,µ

λ

),
x

ν

∈
E,y


ν

∈ F.

ν ,µ

∑ ν∑
ν

ν ,µ
ν ,µ

λ

x ⊗
y=

λν

ν ν

,µ

(x , y
ν ,µ

Để kiểm tra ⊗

2,


∑ν

π ) =π λ

ν ν

,µ

)= z.

(x , y

ν ,µ

xét một ánh xạ song tuyến tính

ψ của E x F vào

không gian véctơ H. Vì cặp(x, y) x∈E, y ∈F là một cơ sở của C(E x
F) nên tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính