TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ
N®I 2 KHOA TOÁN

TÙ VĂN KHANH

NGUYÊN LÝ CUC TR±
TRONG KHÔNG GIAN HUU HAN
CHIEU

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C
Chuyên ngành: GIÃI TÍCH

Ngưèi hưéng dan khoa
hoc ThS. NGUYEN
QUOC TUAN

Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Lòi đau tiên, cho phép tôi đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay
ThS. Nguyen Quoc Tuan - ngưòi đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp
đõ tôi hoàn thành bài khoá lu¾n cúa mình. Đong thòi, tôi xin chân thành
cám ơn các thay cô trong to Giái tích nói riêng, các thay cô trong khoa
Toán - trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 nói chung, đã tao đieu ki¾n
cho tôi trong suot quá trình hoc t¾p và nghiên cúu tai trưòng.
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói gia đình tôi và nhung ngưòi đã
giúp đõ tôi, đ®ng viên tôi trong suot quá trình hoc t¾p và hoàn thành
khóa lu¾n này.
Cuoi cùng, trong khuôn kho có han cúa m®t bài khoá lu¾n, do đieu
ki¾n thòi gian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên tôi t¾p dưot

nghiên cúu khoa hoc cho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót
nhat đ%nh. Vì v¾y, tôi kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa các thay
cô và các ban.
M®t lan nÑa tôi xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên

TN Văn Khanh


LèI CAM ĐOAN
Dưói sn hưóng dan t¾n tình cúa thay giáo ThS. Nguyen Quoc Tuan,
khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc chuyên nghành Toán giái tích vói đe tài
"Nguyên lý cNc tr% trong không gian hÑu han chieu"
đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n thúc cúa bán thân tôi, không có sn
trùng l¾p vói bat cú khóa lu¾n nào khác.
Trong quá trình nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n, tôi đã ke
thùa nhung thành tnu cúa các nhà khoa hoc và có sn tham kháo m®t so
tài li¾u đưoc ghi trong phan tài li¾u tham kháo vói sn trân trong và
lòng biet ơn sâu sac.
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên

TN Văn Khanh


Mnc lnc
Mé đau......................................................................................................1

Chương 1. Kien thNc chuan b%..................................................4
1.1. Kien thúc cơ bán ve không gian Rn..............................................4
1.2. T¾p loi, nón loi, hàm loi...............................................................7
1.3. Hàm loi đ%a phương........................................................................9
1.4. Các đ%nh lý tách.........................................................................10
1.5. Ánh xa đa tr%............................................................................................11
Chương 2. Pháp tuyen cúa t¾p hep...................................12
2.1. Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ bán..........................................12
2.2. Phép tính các pháp tuyen suy r®ng...........................................29
Chương 3. Nguyên lý cNc tr%.................................................32
3.1. H¾ cnc tr%..................................................................................................32
3.2. Các nguyên lý cnc tr%..........................................................................37
3.3. Nguyên lý cnc tr% trong không gian huu han chieu..................40
Ket lu¾n...............................................................................................49
Tài li¾u tham kháo........................................................................50


Báng ký hi¾u và nhÑng chÑ viet tat
f :X ⇒Y

ánh xa đơn tr% tù X vào Y

dom f

mien huu hi¾u cúa hàm so thnc f

F :X ⇒Y

ánh xa đa tr% tù X vào Y


dom F

mien huu hi¾u cúa F

ref F

mien ánh cúa F

gph F

đo th% cúa F

N

t¾p so tn nhiên

R

t¾p so thnc

Rn

không gian huu han chieu

"x"

chuan cúa véctơ x

(x, y)


tích vô hưóng cúa véctơ x và y

"A"

chuan cúa toán tú tuyen tính A

[x, y]
X
B

đoan thang noi hai điem x, y trong không gian
hình cau đóng đơn v% trong không gian X

Bε

hình cau đóng đơn v% tâm 0 bán kính ε

int A

phan trong cúa A

x¯

bao đóng cúa x

bd Ω

bao đóng cúa Ω

cone M

Nˆε (x; Ω)

hình nón sinh bói t¾p hop M

Nˆ (x; Ω)
N(x; Ω)

nón pháp tuyen Fréchet
nón pháp tuyen qua giói han

t¾p các ε−pháp tuyen cúa Ω tai điem x ∈ Ω


LèI Me ĐAU
Giái tích bien phân dna trên các khái ni¾m cơ bán như nón pháp
tuyen không loi, dưói vi phân không loi, và đoi đao hàm qua giói han do
tác giá
B. S. Mordukhovich đe xuat đã thu hút đưoc sn quan tâm đ¾c bi¾t cúa
nhieu nhóm nghiên cúu trên the giói. Phan cơ só lý thuyet cúa Giái tích
bien phân đưoc trình bày trong 4 chương đau (T¾p 1), phan úng dnng
đưoc trình bày trong 4 chương cuoi (T¾p 2) cúa b® sách [5, 6] vói tong
c®ng hơn 1200 trang in. Lý thuyet này là sn ket hop cúa Giái tích không
trơn và Giái tích đa tr%.
Các nguyên lý cnc tr% sú dnng nón pháp tuyen không loi là cơ só đe
xây dnng các quy tac tính toán và các đ%nh lý cơ só cúa giái tích bien
phân. Theo [5, trang 249], nguyên lý cnc tr% cho trưòng hop không gian
Euclide huu han chieu - dưói tên goi là "phương trình Euler suy r®ng" đã đưoc Kruger và Mordukhovich [2] đưa ra năm 1980. Ket quá này có
nguon goc trong công trình đưoc công bo năm 1976 cúa Mordukhovich
[3]. Tên goi "nguyên lý cnc tr%" xuat hi¾n lan đau tiên vào năm 1994,
trong công trình [4].

Có the coi các nguyên lý cnc tr% theo nghĩa Mordukhovich là các đ
%nh lý tách cho h¾ t¾p huu han (không nhat thiet phái là các t¾p loi).
Cho Ω1 , ..., Ωn (n ≥ 2) là các t¾p con khác rong cúa không gian huu
han
chieu Rn và điem x ∈

Tn

i=1 Ωi.

Ta nói x là m®t điem cnc tr% đ%a phương

(a
local extremal point) cúa h¾ t¾p {Ω1 , ..., Ωn} neu ton tai các dãy {aik}
⊂
1


Rn (i = 1, ..., n) sao cho aik → 0 khi k → ∞ và lân c¾n U cúa x thóa
mãn đieu ki¾n

n
\

(Ωi − aik ) ∩ U = 0/ ,

i=1

vói moi so nguyên dương k đú lón. Khi đó, h¾ {Ω1 , ..., Ωn, x} đưoc goi
là m®t h¾ cnc tr% (an extremal system) trong không gian huu han chieu

Rn .

2


Như v¾y, h¾ cnc tr% là m®t h¾ huu han các t¾p hop cùng vói m®t
điem x thu®c giao cúa chúng mà ta có the tách ròi đ%a phương các t¾p
đó (túc là làm cho giao cúa chúng vói m®t lân c¾n cho trưóc cúa x thành
t¾p rong) bang cách làm nhieu kieu t%nh tien các t¾p đã cho, vói các
phương t%nh tien là nhung véctơ có chuan bé hơn m®t so dương lay
tùy ý.
Ta nói nguyên lý cnc tr% chính xác (the exact extremal principle)
nghi¾m đúng cho không gian huu han chieu Rn neu vói moi h¾ cnc tr%
{Ω1 , ..., Ωn, x},
vói Ω1 , ..., Ωn là các t¾p đóng trong Rn, có ton tai các pháp tuyen x∗i ∈
N (xi; Ωi) , (i = 1, ..., n) sao cho
∗
∗
∗
x∗
1 + ... + xn = 0, "x1" + ... + "xn" = 1,

ó đó N (x; Ωi) ký hi¾u nón pháp tuyen qua giói han (còn đưoc goi là
nón pháp tuyen Mordukhovich) cúa Ωi tai x. Ngoài nguyên lý cnc tr%
chính xác, ngưòi ta còn xét nguyên lý cnc tr% xap xí và nguyên lý ε-cnc tr
%, ó đó nón pháp tuyen Fréchet và t¾p các ε-pháp tuyen Fréchet đưoc sú
dnng thay cho nón pháp tuyen qua giói han.
Là m®t sinh viên khoa Toán, tôi mong muon tìm hieu sâu hơn ve
kien thúc Toán hoc nói riêng và các lĩnh vnc khoa hoc khác cúa đòi
song nói chung. Vói mnc đích làm tăng thêm sn hieu biet ve các nguyên

lý cnc tr% trong không gian huu chieu, cũng là đe tích lũy kinh nghi¾m
cho bán thân đe phnc vn cho công tác hoc t¾p, giáng day sau này, đong
thòi giói thi¾u cho các ban sinh viên có cái nhìn tong quan và sâu sac
hơn ve các nguyên lý cnc tr% trong không gian huu han chieu.
Vì nhung lý do trên, cùng vói sn góp ý, đ®ng viên, giúp đõ t¾n tình
cúa các thay cô, đ¾c bi¾t là thay ThS. Nguyen Quoc Tuan và c®ng thêm
sn đam mê cúa bán thân, tôi đã manh dan nghiên cúu đe tài
"Nguyên lý cNc tr% trong không gian hÑu han chieu".


Mnc đích cúa khóa lu¾n này là giói thi¾u ba nguyên lý cnc tr% nói trên
và tìm
hieu ve cách tính nón pháp tuyen cúa m®t t¾p hop (có the là t¾p loi ho¾c
t¾p không loi).
Khóa lu¾n bao gom lòi mó đau, ba chương, phan ket lu¾n, và danh
mnc tài li¾u tham kháo.
Chương 1. Trình bày các kien thúc cơ bán (các kien thúc ve t¾p loi,
hàm loi, ánh xa đa tr%...).
Chương 2. Trình bày các khái ni¾m ε-pháp tuyen suy r®ng và nón
pháp tuyen qua giói han cúa t¾p hop bat kỳ (có the là không loi) trong
không gian Rn.
Chương 3. Trình bày các khái ni¾m ve h¾ cnc tr%, khái ni¾m tách các
t¾p hop (có the là không loi) và ba nguyên lý cnc tr% (nguyên lý cnc tr%
chính xác, nguyên lý cnc tr% xap xí, nguyên lý ε-cnc tr%) trong không
gian Rn.
Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn sâu sac tói ThS. Nguyen Quoc Tuan
- ngưòi đã t¾n tình hưóng dan, giúp tôi trong suot qua trình thnc hi¾n
khóa lu¾n. Đong thòi, tôi xin chân thành cám ơn các thay cô trong to
Giái tích, các thay cô trong khoa Toán, gia đình tôi và nhung ngưòi đã
giúp đõ, đ®ng viên tôi trong suot quá trình hoc t¾p và hoàn thành khóa

lu¾n này.
Hà N®i, tháng 05 năm
2013
Sinh viên
TN Văn Khanh


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1.

Kien thNc cơ bán ve không gian Rn

Đ%nh nghĩa 1.1 (Đ%nh nghĩa không gian Rn). Ta goi không gian
Rn là t¾p tích Descartes R × R × · · · × R (gom n thành phan) trong
đó moi m®t phan tú trong không gian Rn đưoc goi là điem (véctơ) đưoc
bieu dien bói m®t b® n so
x = (x1, x2, ..., xn) , xi ∈ R, i = 1, . . . , n.
So xi trong cách bieu dien cúa điem x đưoc goi là toa đ® thú i cúa điem x.
Giá sú có hai điem trong không gian Rn là
a = (a1, a 2 ,..., an) và b = (b1, b 2 ,..., bn) ,
ta đ%nh nghĩa tong cúa chúng, ký hi¾u a + b, là m®t điem trong Rn vói
các toa đ® là
a + b = (a1 + b1, a2 + b 2 ,..., an + bn) ,


và ta đ%nh nghĩa tích cúa điem a vói m®t so thnc λ , ký hi¾u λ a, là m®t
điem trong Rn vói các toa đ® là
λa = (λ a1 , λ a2 , . . . , λ an ) .

Quy ưóc: ký hi¾u 0 là điem có tat cá các toa đ® bang 0 và goi là điem
goc, còn −a là điem (−1)a (túc là điem có toa đ® ngưoc dau vói các toa
đ® điem a).
Đ%nh nghĩa 1.2 (Tích vô hưóng). Tích vô hưóng cúa hai véctơ a = (a1,
a 2 ,..., an)
và b = (b1, b 2 ,..., bn), ký hi¾u (a, b) là m®t b® so xác đ%nh bói
(a, b) := a1b1 + a2b2 +
a n b n.
Đ%nh nghĩa 1.3 (Chuan cúa véctơ). Chuan (hay đ® dài) cúa véctơ a, ký
hi¾u là "a", là m®t so xác đ%nh bói
"a" = .

a2 + a2 + · · · + a2.
1

2

n

Nh¾n xét 1.1. Tích vô hưóng trong đ%nh nghĩa 1.2 và chuan trong
đ%nh nghĩa 1.3 tương úng đưoc goi là tích vô hưóng và chuan Euclide.
Ngoài ra, trong Rn chúng ta còn có the trang b% đưoc rat nhieu các tích
vô hưóng và các chuan khác.
n
Đ%nh lý 1.1 (Bat đang
,thúc Schwarz). Đoi vói moi x ∈ R ta đ¾t
.
"x" =
x, x) = x2 + x2 + · · · + x2.
(

n
1
2

Khi đó, vói moi x, y ∈ Rn ta có bat đang thúc Schwarz
|(x, y)| ≤ "x""y",
hay
.
|x1y1 + x2y2 + · · · +
x n y n| ≤

. 2
x +2 x2 + · · ·
+x
1

2

y2 + y2 + · · · + y2.
n

1

2

n


Đ%nh nghĩa 1.4 (Tính trnc giao cúa hai véctơ). Hai véctơ a và b
trong không gian Rn đưoc goi là trnc giao (vuông góc) vói nhau, ký

hi¾u a ⊥ b, neu (a, b) = 0.
Đ%nh lý 1.2 (Đ%nh lý Pythagoras). Trong không gian Rn neu hai
véctơ a và
b vuông góc vói nhau thì
2

2

"a + b" = "a + "b" .
2

"

Đ%nh nghĩa 1.5 (Đ%nh nghĩa ve toán tú tuyen tính). Ánh xa A tù
không gian Rn vào không gian Rm đưoc goi là m®t toán tú tuyen tính neu
ánh xa A thóa mãn các đieu ki¾n:
1) A (x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ Rn;
2) A (αx) = α (Ax) , ∀x ∈ Rn, ∀α ∈ R.
Đ%nh nghĩa 1.6 (Đ%nh nghĩa ve toán tú tuyen tính b% ch¾n (liên
tnc)). Toán tú tuyen tính A tù không gian Rn vào không gian Rm đưoc goi là
b% ch¾n neu ton tai hang so C > 0 sao cho
"Ax" ≤ C "x", ∀x ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.7 (Đ%nh nghĩa chuan cúa toán tú tuyen tính liên tnc).
Toán tú tuyen tính liên tnc A tù không gian Rn vào không gian Rm. Ta goi
chuan cúa toán tú tuyen tính A, ký hi¾u "A", là so đưoc xác đ%nh bói
"A" = inf {C > 0 | "Ax" ≤ C "x", ∀x ∈ R n }.
Đ%nh nghĩa 1.8 (Đ%nh nghĩa toán tú liên hop). Cho toán tú tuyen
tính A tù không gian Rn vào không gian Rm, toán tú liên hop A∗ tù
không gian Rm vào không gian Rn đưoc xác đ%nh bói công thúc
(A∗y, x) = (y, Ax) , ∀y ∈ Rm, ∀x ∈ Rn.



Đ%nh nghĩa 1.9 (Không gian liên hop). Ta goi không gian L (Rn,
R) các
phiem hàm tuyen tính liên tnc trên không gian Rn là không gian liên hop
∗
(hay không gian đoi ngau) cúa không gian Rn và kí hi¾u (Rn) thay cho
ký hi¾u L (Rn, R).
Nh¾n xét 1.2. Ngưòi ta đã chúng minh đưoc rang không gian đoi
∗

ngau (Rn) cúa không gian Rn đang cau vói không gian Rn. Vì v¾y, ta có
the coi không gian đoi ngau (Rn)

∗

cúa không gian Rn chính là không

gian Rn.

1.2.

T¾p loi, nón loi, hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.10 (Đ%nh nghĩa t¾p loi). T¾p A ⊂ Rn đưoc goi là
t¾p loi neu vói moi x1, x2 ∈ A, vói moi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λ x1
+(1 −λ ) x2 ∈ A.
Nh¾n xét 1.3. Theo đ%nh nghĩa, đưoc xem là t¾p loi.
t¾p 0/
Đ%nh nghĩa 1.11. Đoan noi x1, x2, ký hi¾u [x1, x2], đưoc đ%nh nghĩa

bói
[x1, x2] = {x ∈ A : x = λ x1 + (1 −λ ) x2, 0 ≤ λ ≤ 1} .
Nh¾n xét 1.4. T¾p A là loi neu vói moi x1, x2 ∈ A thì [x1, x2] ∈ A.
M¾nh đe 1.1. Giá sú Aα ⊂ Rn (α ∈ I) là các t¾p loi, vói I là t¾p chí
so bat
T
kỳ. Khi đó, t¾p A =
A cũng là t¾p loi.
α∈
I

α

Tù đ%nh nghĩa 1.10 ta nh¾n đưoc các m¾nh đe 1.2, 1.3, 1.4.
M¾nh đe 1.2. Giá sú t¾p loi Ai ⊂ Rn, λi ∈ R, (i = 1, ..., m). Khi đó,
t¾p


λ1A1 + λ2A2 + · · · + λmAm là t¾p loi trong Rn.
M¾nh đe 1.3. Giá sú t¾p loi Aα ⊂ Rα , (α ∈ I là t¾p con huu han
cúa N∗).
α

Khi đó, tích Descartes Πα∈IAα là t¾p loi trong Πα∈I R .


M¾nh đe 1.4. Toán tú tuyen tính T : Rn → Rm. Khi đó
a) Neu A là t¾p loi trong Rn thì t¾p ánh T (A) là t¾p loi trong Rm;
b) Neu B là t¾p loi trong Rm thì ngh%ch ánh T −1 (B) cúa t¾p B là
t¾p loi trong Rn.

Đ%nh nghĩa 1.12. Véctơ x ∈ Rn đưoc goi là to hop loi cúa các véctơ
x1 , ...xm
thu®c Rn neu ton tai λi ≥ 0, (i = 1, ..., m), thóa mãn i=1 λi = 1 sao cho
∑m
x=

m
i=1 λ

ix i.

Đ%nh lý 1.3. Giá sú t¾p A là t¾p loi trong Rn, các véctơ x1, ..., xm ∈
A. Khi
đó, t¾p A chúa tat cá các to hop loi cúa x1, ..., xm.
Đ%nh nghĩa 1.13. T¾p K ⊂ Rn đưoc goi là nón neu vói moi x ∈ K,
vói moi λ > 0 thì λx ∈ K. Nón K đưoc goi là nón có đính tai 0 neu 0
thu®c K. Nón K đưoc goi là nón có đính tai x0 neu K – x0 là nón có đính
tai 0. Nón K đưoc goi là nón loi neu K là t¾p loi, có nghĩa là
∀x, y ∈ K, ∀λ , µ > 0 thì λx + µy ∈ K.
Đ%nh nghĩa 1.14. Véctơ x∗ ∈ Rn đưoc goi là pháp tuyen cúa t¾p
loi A tai
x ∈ A neu
(x∗, x − x) ≤ 0, ∀x ∈ A.
T¾p hop tat cá các véctơ pháp tuyen cúa t¾p loi A tai x ∈ A đưoc goi là
nón pháp tuyen cúa A tai x, kí hi¾u là N (x; A). Như v¾y
N (x; A) = {x∗ ∈ Rn | (x∗, x − x) ≤ 0, ∀x ∈ A} .
Giá sú t¾p D nam trong Rn và hàm f : D → R ∪ {±∞}
Đ%nh nghĩa 1.15. Trên đo th% (epigraph) cúa hàm f , ký hi¾u là
epi f , đưoc đ%nh nghĩa bói



epi f = {(x, r) ∈ D× R | f (x) ≤ r}.


Đ%nh nghĩa 1.16. Mien huu hi¾u (effective domain) cúa hàm f , kí
hi¾u là dom f , đưoc xác đ%nh bói
dom f = {x ∈ D | f (x) < +∞} .
Đ%nh nghĩa 1.17. Hàm f goi là chính thưòng (proper), neu dom f
ƒ= 0/ và
f (x) > −∞, ∀x ∈ D.
Đ%nh nghĩa 1.18 (Đ%nh nghĩa hàm loi, hàm lõm). Hàm f đưoc
goi là loi trên D (convex on D) neu epi f là t¾p loi trong Rn × R. Hàm f
đưoc goi là hàm lõm trên D (concave on D) neu − f là hàm loi trên D.
Nh¾n xét 1.5. Neu f là hàm loi thì mien huu hi¾u cúa hàm f cũng
là hàm loi.
Đ%nh lý 1.4 (Bat đang thúc hàm loi). Giá sú D là t¾p loi trong không
gian
Rn, hàm f : D → R ∪ {+∞} . Khi đó, hàm f loi trên D khi và chí khi
f (λ x + (1 −λ ) y) ≤ λ f (x) + (1 −λ ) f (y) , ∀λ ∈ [0; 1] , ∀x, y ∈ D.

1.3.

Hàm loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.19. Ánh xa f : D → R đưoc goi là khá vi theo
phương d tai điem x neu ton tai giói han huu han
f r (x, d) = lim f (x + λ d ) − f (x)
λ↓0
.
λ

Đ%nh nghĩa 1.20. Hàm f xác đ%nh trên Rn đưoc goi là loi đ%a
phương tai điem x ∈ Rn neu đao hàm theo phương f r (x; .) tai x ton tai
và loi.


1.4.

Các đ%nh lý tách

Đ%nh nghĩa 1.21 (Đ%nh nghĩa đa tap tuyen tính). Cho t¾p M ⊂
Rn. T¾p M đưoc goi là m®t đa tap tuyen tính trong Rn neu bat cú đưòng
thang nào đi qua hai điem cúa M cũng nam tron trong M.
Lay x∗ ∈ Rn, x∗ ƒ= 0, β ∈ R và ký hi¾u
H (x∗, β ) = {x ∈ Rn : (x∗, x) = β } ,
H+ (x∗, β ) = {x ∈ Rn : (x∗, x) ≤ β } ,
H− (x∗, β ) = {x ∈ Rn : (x∗, x) ≥ β } .
Đ%nh nghĩa 1.22 (Siêu phang – núa không gian). Vói 0 ƒ= x∗ ∈
Rn, β ∈ R, t¾p H (x∗, β ) đưoc goi là m®t siêu phang trong Rn. Các
t¾p H + (x∗, β ) và H− (x∗, β ) đưoc goi là các núa không gian sinh bói
siêu phang H (x∗, β ).
Đ%nh nghĩa 1.23 (Đ%nh nghĩa tách). Cho các t¾p hop A, B ⊂ Rn.
Ta nói phiem hàm tuyen tính liên tnc x∗ ƒ= 0 tách A và B neu ton tai so
α sao cho
(x∗, y) ≤ α ≤ (x∗, x) , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

(1.1)

Neu công thúc (1.1) có dang
(x∗, y) < α < (x∗, x) , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B,
thì ta nói x∗ tách ng¾t (tách ch¾t) A và B.

Siêu phang đóng H (x∗, α) = {x ∈ Rn : (x∗, x) = α} đưoc goi là
siêu phang tách A và B. Các t¾p A và B đưoc goi là tách đưoc.
Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý tách thú nhat). Giá sú A, B là hai t¾p loi trong
không
gian Rn , A ∩ B = 0/ , int A

. Khi đó, ton tai x∗ ∈ Rn, x∗ ƒ= 0 tách A và

ƒ= 0/

B.


Đ%nh lý 1.6 (Đ%nh lý tách thú hai). Giá sú t¾p A là không gian con
trong
không gian Rn và x0 ∈/ A. Khi đó, ton tai x∗ ƒ= 0 thu®c Rn tách ng¾t
(tách ch¾t) A và x0.

1.5.

Ánh xa đa tr%

Đ%nh nghĩa 1.24 (Ánh xa đa tr%). Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xa tù Rn
vào t¾p hop gom toàn b® các t¾p con cúa Rm (đưoc ký hi¾u là 2Rm ). Ta
nói F là ánh xa đa tr% tù Rn vào Rm.
Như v¾y, vói moi phan tú x ∈ Rn ánh F (x) là m®t t¾p hop con cúa
Rm. Do đó, không loai trù khá năng là vói m®t so phan tú x ∈ Rn nào đó
ta có ánh F (x) là t¾p rong.
Neu vói moi x ∈ Rn t¾p ánh F (x) chí gom có m®t phan tú cúa Rm
thì ta nói F là ánh xa đơn tr% tù Rn vào Rm. Khi đó, thay cho ký hi¾u F :

Rn ⇒ Rm ngưòi ta dùng ký hi¾u quen thu®c f : Rn → Rm.
Đ%nh nghĩa 1.25. Đo th% gph F, mien huu hi¾u dom F và mien ánh
rge F
cúa ánh xa đa tr% F : Rn ⇒ Rm tương úng đưoc xác đ%nh bang các công
thúc
gph F = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)} ,
dom F = {x ∈ Rn | F (x) ƒ= 0/ } ,
và
rge F = {y ∈ Rm | ∃ x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x)} .


Chương 2

Pháp tuyen cúa t¾p
hep
Chương này trình bày các khái ni¾m ε−pháp tuyen suy r®ng và pháp
tuyen qua giói han cúa t¾p hop bat kỳ (có the không loi) trong không gian
huu han chieu Rn, cùng vói m®t so tính chat cơ bán. Đây là nhung kien thúc
cơ bán can thiet đe tìm hieu các nguyên lý cnc tr%.

2.1. Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ
bán
n
n
Ω
Kí hi¾u x→ x có nghĩa là x → x vói x ∈ Ω. Neu F : R ⇒ R là m®t ánh

xa đa tr% tù không gian huu han chieu Rn vào chính nó, kí hi¾u
Limsup F(x) =
,

x→x

∈ R | ∃ {xk }, xk

x
n

∗

ω

x¯ và x
Ω
∗
x
→
∈
k

∗x
∗

,

F(x ), k
∗
k

k


∀∈

N,


→
đưoc dùng đe chí giói han trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski
trong tôpô chuan cúa Rn và tôpô yeu∗ cúa Rn.
Đ%nh nghĩa 2.1 (Pháp tuyen suy r®ng). Cho Ω ∈ Rn là t¾p con
khác rong.


(i) T¾p các ε-pháp tuyen (ε-normal) cúa Ω tai điem x ∈ Ω đưoc xác đ
%nh
bang công thúc
Nˆε (x; Ω)
:=

.

.
x∗ , u x
∈ Rn | lim sup (
− ≤ε .
"u − x"
x∗
Ω
)
u→ x


Khi ε = 0, các phan tú cúa Nˆε (x; Ω) đưoc goi là các pháp tuyen Fréchet.
T¾p hop các pháp tuyen Fréchet đưoc goi là nón pháp tuyen Fréchet cúa
Ω tai
x, và đưoc kí hi¾u bói Nˆ (x; Ω). Neu x ∈/ Ω, thì ta quy ưóc rang Nˆε (x;
Ω) = 0/ .
(ii) Cho x ∈ Ω. Khi đó x∗ ∈ Rn đưoc goi là pháp tuyen cơ bán
(basic normal) hay pháp tuyen qua giói han (limiting normal) cúa Ω tai x
neu ton
∗
Ω
∗ω
taiˆ các dãy εk → 0, xk → x và x → x∗ sao cho x∗ ∈ (xk; Ω) vói moi k ∈
Nε
N.
k

k

k

T¾p hop các pháp tuyen qua giói han
N(x; Ω) := Limsup Nˆε (x; Ω)
x→x
ε↓0

đưoc goi là nón pháp tuyen qua giói han (hay nón pháp tuyen cơ bán, nón
pháp tuyen Mordukhovich) cúa Ω tai x. Neu x ∈/ Ω, thì ta đ¾t N(x; Ω) =
0/ .
.
Ví dn 2.1. Cho Ω1 := (x1, x2) ∈ R | x2 =

, tai x = 0. Khi đó u =
− |x1 |
.

2

(u1, u2) ∈ Ω1, u2 = − |u1 | suy ra u = (u1, − |u1 |) và x = (0, 0), x∗ =
(x1, x2) ∈
R2. Ta có

(x∗, u− x)
x∗u1 − x∗ |u1|
2
=. 1
.
"u − x"
2
2
u


Vói ε > 0, theo đ%nh nghĩa 2.1(i) ta
có

1+

(− |u1 |)

(x∗, u− x)
limΩsup "u − x" ≤

u→ x
ε
∗
∗
x u1 − x |u1|
2
⇔ lim
sup .12
2 ≤ ε.
u1→0
u
1 + (− |u1 |)

(2.1)


Hình 2.1: T¾p hop các ε-pháp tuyen cúa t¾p Ω1 tai x = (0, 0).
Ta tính giói han trái cúa ve trái (2.1)
x∗

∗

∗

lim sup
u1

→0−

1u1 − x2 |u1|


.u2
1+

2

(− |u1 |)

∗

(x + x )
u1
= lim sup 1 √ 2
− 2u1
u1→0−

∗

∗

(x + x
)
,
= 1√ 2
− 2

(2.2)

và giói han phái cúa ve trái (2.1)
lim sup

u1→0+

1u1 − x2 |u1|

(x − x )
= lim sup

x∗
.u2
1+

∗
2

(− |u1 |)

u1→0+

1

2

∗

=

(2.3)

.


(x∗√− x )
2u1
u1

Tù (2.1), (2.2) và (2.3) ta đưoc h¾ phương trình


√
1 + x2 ≥ −
2ε
∗
 x∗
 x∗
∗

∗
∗
√
1 2 2

√
x2

≥

− 2ε


√




⇔

√

√

∗
1 − x2

≤
2ε

− 2ε
− x∗

2

≤

x∗
1
≤

2ε + x2∗

V¾y t¾p các ε-pháp tuyen cúa Ω1 tai x ∈ Ω1 là
√
√

2
Nˆε ((0, 0) ; Ω1 ) x∗; x∗) ∈ R | |x∗| ≤ 2ε + x∗, x∗ ≥ − 2ε,
=,
.
( 1 2
1
2 2
.
.
Ví dn 2.2. Cho t¾p Ω2 = (x1, x2) ∈ R2 | x2 ≤ − |x1 | , tai x = 0.
Khi đó
u = (u1, u2) ∈ Ω2, x = (0, 0) và x∗ = (x1, x2) ∈ R2.