Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt
nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ THÚY

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC
Chuyên ngà nh: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
Thạc sĩ NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI – 2010
Trần Thị Thúy K32D Toán

1


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trần Thị Thúy K32D Toán

Khóa luận tốt

nghiệp

2


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hƣớng dẫn và chỉ bảo tận
tình của cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga, khóa luận của em đến nay đã
hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô Nguyễn Thị
Kiều Nga, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn chỉ bào cho em nhiều kinh nghiệm
quí báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Em cũng xin chân thành
cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất
cho em trong thời gian em làm khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố
gắng song không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc sự đóng
góp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên để khóa luận của em
đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Trần Thị Thúy



LỜI CAM ĐOAN

Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do

chính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và
tài liệu tham khảo. Nó không trùng với kết quả của bất cứ ngƣời nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Trần Thị Thúy



Mục lục
TRANG

Mở đầu..................................................................................................1
Chƣơng 1 : Kiến thức chuẩn bị
1.1. Hàm số đơn điệu trên một đoạn..............................................2
1.2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên đoạn [a,b].........2
1.3. Cực trị của hàm số....................................................................3
1.4. Định lí Lagange........................................................................9
1.5. Tập lồi và hàm lồi, tính chất.....................................................10
Chƣơng 2:Một số phƣơng pháp tìm giá trị lớn nhất và hàm số
2.1. Sử dụng tính đơn điệu trong việc
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hám số...................15
2.2. Sử dụng định lí Lagange..........................................................27
2.3. áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki
trong bài toán cực trị của hàm số.............................................32
2.4.Phƣơng pháp hàm lồi................................................................49
2.5.Phƣơng pháp miền giá trị..........................................................63
2.6.Phƣơng pháp hình học..............................................................72

Kết luận................................................................................................82

Tài liệu tham khảo



MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán về giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả nhứng ngƣời học Toán và
làm Toán. Các bài toán này rất phong phú và đa dạng vì vậy các bài toán tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thƣờng xuyên có mặt trong các
kỳ thi phổ thông trung học, cũng nhƣ trong các kỳ thi học sinh giỏi và các kì
thi Đại học, cao đẳng.
Để giải quyết nó đòi hỏi ngƣời học Toán và làm toán phải linh hoạt và
vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tất nhiên đứng trƣớc một bài
toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì mỗi ngƣời đều có một xu
hƣớng xuất phát riêng của mình. Nói nhƣ vậy có nghĩa là có rất nhiều
phƣơng pháp để đi đến kết quả cuối cùng của loại bài toán này. Điều quan
trọng là phải lựa chọn phƣơng pháp nào cho lời giải tối ƣu của bài toán.
Thật là khó nhƣng thật thú vị nếu ta tìm đƣợc đƣờng lối đúng đắn để giải
quyết nó.
Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân, cùng với sự hƣớng dẫn
nhiệt tình của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga, em mạnh dạn thực hiện bài khóa
luận tốt nghiệp của mình với tựa đề: “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số phƣơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trong chƣơng trình toán THPT.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu



Đọc tài liệu, phân tích so sánh, tổng hợp.

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Hàm số đơn điệu trên một đoạn f 
Đị nh nghĩ a 1.1: Cho hà m số x
x1 , x2

a;b
+ Nế
u

 a;b 

xác định trên

 a;b 

vớ i mọ i

giả sử x1 x2 .

f x1

f






x2

thì f x  đƣợ c gọ i là hà m tăng (đồ ng biế n )
trên

.
+ Nế
u

f x1

f x2 
thì

+ Nế
u

f x1

f





f x1


f x2 
thì

 a;b 



x2

 đƣợ c gọ i là
x  a;b  .
f

hà m không giả m trên


x

đƣợ c gọ i là hà m giả m (nghịch biến)
trên


x

đƣợ c gọ i là hà m không tăng trên  a;b  .

thì f

.

+ Nế
u



- Các hàm số trên

f

đƣợ c gọ i chung là cá c hà m số đơn điệ u trên

mộ t khoảng.
- Hàm số tăng hoặc giảm trong một khoảng đƣợc gọi là hàm đơn
điệu thƣ̣ c sƣ̣ trên khoả ng ấ y.



Điề u kiệ n cầ n và đủ để hà m số tăng hoặ c giả m (đơn điệ u)
trên  a;b


Giả sử hàm
số

y f
x

 a;b khi đó :
a) Nế
u


liên tụ c trên

và có đạo hàm hữu hạn trong

a;b

 là hàm tăng (giảm) trên
x a;b
f

f 'x 
0
b) Nế
u



f 'x0, x

f 'x 
0

f
' x 
0,

trên a;b.

thì


  a;b  .

x
  a;b




x

thì f

là hàm tăng (giảm)




Cƣ̣ c trị củ a hà

m số
1.3.1. Đị nh nghĩ a cƣ̣ c trị
Đị nh nghĩ a 1.2: Cho hà m
số


x
f

xác định trên miền D .


M là giá trị lớn nhất của hàm số
thỏa mãn hai điều kiện:
 f

x M , x

 Tồn tại

x0 D sao cho f

m là giá trị nhỏ nhất của hàm số
thỏa mãn hai điều kiện:

x m, x

 Tồn tại

Đị nh nghĩ a 1.3: Cho hà m
số
rằ
ng


x
f

Hàm
số



x
f

max f x  )
nế u
xD

x0  .

x
f

(kí hiệu m min f x  )
nế u
xD

D.

x0 D sao cho f

m

(kí hiệu
M

D.

M


 f


x
f

x0 .

xác địn h trên miề n D x0 D .
,
Ta nó i

cƣ̣ c tiể u đị a phƣơng tạ nế u nhƣ tồ n tạ i lân cậ n V x0 sao
i x0
cho:
f x f x0  , x D V x0  .

xác định trên D đƣợ c gọ i là đạ t cƣ̣ c tiể u đị a
f x, phƣơng
y


tại

x0 ; y0  D nế u nhƣ tồ n tạ i lân cậ n V x0 , y0 sao cho:
f x,

y 

f


x0 , y0  ,x; y  D V x0 , y0 

Đị nh nghĩ a hà m số đạ t cƣ̣ c tiể u đị a phƣơng trên tậ p xá c đị nh
củ a nó mộ t cá ch tƣơng tƣ̣ .
Nhậ n xé t:
Nế u


x
f

đạ t cƣ̣ c tiể u đị a
phƣơng tạ i

f x0 m m min f x  .
xD
, vớ i

x0

D

thì nói chung ta có :


Nế u f


x


x0 D thì ta có:

đạ t cƣ̣ c đạ i đị a
phƣơng tạ i

f

x
M

vớ
i

M max f
 x.
xD

Vậ y giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm s ố f không trù ng vớ i cƣ̣ c đạ i
đị a phƣơng (cƣ̣ c tiể u đị a phƣơng) trên miề n xá c đị nh D nào đó.
1.3.2. Điề u kiệ n cầ n và đủ để hà m số có cƣ̣ c trị đị a phƣơng
Đị nh lý 1.1: (Điề u kiệ n cầ n để hà m số có cự c trị đị a phương)
Nế u hà m
số


x
f

đạ t cự c trị đị a phương

tạ i

x0
a;

thi chi xảy ra một

b

trong cá c khả năng sau:

 f 
x

không có đạ o hà m x0 .
tạ i

 f 
x

co đạo hàm tại x0 th f x0 0 .
i

Đị nh lý 1.2: (Điề u kiệ n đủ thứ nhấ t để hà m số có cự c trị đị a phương)
Giả sư hàm
sô


x
f


liên tụ c trên

a;b

hàm trong khoảng  a;b (co thể trư tại
điểm
a. Nế u khi x đi
qua
cự c đạ i
tạ i

x0 .

x0
mà

co chứa
điểm

f '
x

x0 và co đạo

x0 )

đổ i dấ u từ dương sang âm
thì



x
f

đạ t


b. Nế u khi x đi
qua
cự c tiể u
tạ i

x0
mà

f '

đổ i dấ u tư âm sang dương
thi

x0
mà

f '

không đổ i dấ u thì hà
m số

đạ t


x0 .

c. Nế u khi x đi
qua
đạ t cự c trị
tạ i

x


x
f

x


x
f

không

x0 .

Đị nh lý 1.3: (Điề u kiệ n đủ thứ hai để hà m số có cự c trị )
Giả
sư


x
f


co đạo hàm liên tục đến cấp 2 ơ lân cận của
điểm

Khi

f 'x0 0, f

Khi

f 'x0 0, f ''x0

''x0  0

 0 thi

th f 
i
x

đạ t cự c tiể u x0 .
tạ i


x

đạ t cự c đạ i x0 .
tạ i

f


x0 .


1.3.3. Mộ t số tí nh chấ t
Đị nh lý 1.4: Hàm
sô


x

liên tụ c trên mộ t đoạ n

f

thi đạt giá tri lớn

a;b

nhấ t, nho nhất trên đoạn đo.
Đị nh lý 1.5: Cho hà m
số


x
f

xác đinh trên miền D
và


A, B là 2 tậ p con

của D trong đó A B . Ngoài ra tồn tại
max f x , max f x  , min f  x  , min f  x 
xA

xA
xB

Khi đó ta có : (i)

xB

max f x max f x 
xA

xB

(i i) min f x min f x
 
 
xA

Chứ ng minh:

xB

Bây giờ ta chƣ́ ng minh (i), còn (ii) chƣ́ ng minh tƣơng tƣ̣ .
Thậ t vậ y: giả
sử


max f x0  , x0 A.

xA

Do A B ,
nên tƣ̀

x0 A ta
suy ra

x0 B . Tƣ̀ đó theo đị nh nghĩ a ta
suy ra

f x0 max
hay max f x max f x .
xA
xB
f  x
xB

Đị nh lý 1.6: Giả sư hàm
sô


x
f

xác định trên miền D . Khi đó ta có :


max f x min
Chứ ng
minh:

x

D

xD

 f x  .


Thậ t vậ y giả
sƣ̉

M max f
x 
xD

Theo đị nh nghĩ a GTLN ta có :
f

x M ,
x D

f x M , x
D

f x0 M , x0 D


f x0

M , x0
D

Theo đị nh nghĩa GTNN, tƣ̀ hệ thƣ́ c trên suy ra:
min  f
xD

x  M


Nhƣ vậ y ta
có :

max f
x min   f
x  
xD

x

D

Nhậ n xé
t:

(đpcm).


Tính chất này cho phép ta chuyển bài toán tìm GTLN thành bài toán
tìm GTNN hoặc ngƣợc lại.
f x  , g  là hai hàm sô cùng xác đinh trên D và thoa
x

Đị nh lý 1.7: Giả
sư
mãn điều
kiện

f x g x  ,x
D. Khi đó ta có :

Chứ ng
minh:

max f xmax g
x  .
xD

xD

Giả sử max g
vớ x0 D .
xg  x0  i
xD

Tƣ̀ gt ta
có


f x0 g

x0

(1)

,x0 D

Vì x0 D nên theo đị nh nghĩ
a GTLN

(2)

f x0 max f x 
xD

Tƣ̀ (1), (2) ta
có

max f x max g x  . Đó là điề u phả i chƣ́ ng minh.
xD

xD

Đị nh lý 1.8: (Nguyên lý phân rã )
Giả
sư


x

f

xác định trên miền D và miề n D đượ c biể u diễ n dướ
i

Trần Thị Thúy K32D Toán

10


dạn D D D ...
1
1
g
Dn . Giả sư tồn tại:
Khi đó ta có :
max f x max
max f

x



xD
xD1

x




xD
xD1

Chu
ý:

xDi



x min f x  , i
1, n .
xDi

max f x  , max f x  ,...,

xD2

min f x min
min f



max f
,

xDn

min f x  , min f x,...,


x

D2

(3)

(4)

xDn

Tƣ̀ tí nh chấ t nà y cho phé p ta biế n đổ i bà i toá n tì m GTLN và
GTNN củ a hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy các bài
toán tìm

Trần Thị Thúy K32D Toán

10


GTLN, GTNN củ a cá c hà m số ấ y trên cá c miề n xá c đị nh đơ n giả n .
Vì vậy nên tí nh chấ t nà y gọ i là nguyên lí phân rã .
f1 x  , f2 x,..., fn

Đị nh lý 1.9:
Cho hà m
số

cùng xác đinh trên miền D .

 x


Đă
f x f1 x  f2 x  fn x.
t


... 
Giả sư tồn tại max f
x

x , min f 

xD

Khi đó ta
có :

xD

max fi x  , min fi x  , i 1, n
.
xD

xD

max f x max f1 xmax f2
x...  max fn x 
xD

xD


xD

(5)
xD

min f x min f1 x min f2 x ...
min fn x 
xD

xD

xD

(6)

xD

Dấ u “ = ” trong (10) xảy ra khi và chi khi x0 D sao cho
max fi x fi x0  ,i 1, n .

xD

Dấ u “=” trong (11) xảy ra khi và chi khi tồn tại x0 D sao cho
min fi
x  

fi x0  ,i 1, n .

xD


Nhậ n xé t : Tính chất này cho ta thấy rằng không thể thay việc tìm GTLN
(NN) của một tổng các hàm số bằng việc tìm tổ ng cá c GTLN (NN) cƣ̉ a tƣ̀
ng hàm số đơn lẻ.
Đị nh lý 1.10: Giả
sử

f1 x  , f2 x,..., fn
 x

Trần Thị Thúy K32D Toán

xác định trên miền D và ta có

11


fi x 0, x D, i 1,
n . Giả thiết tồn tại

max fi x  , min fi x  , max f
x  ,
xD

xD

min f
đây

x. Ơ


xD

f x f1 x  . f2 x.... fn và i 1, n . Khi đó ta có :

 x

max f x max f1 x  max f2 x ... max
fn  x 
xD

min f
x

xD



xD



xD

f1 
xmin

x

xD


Trần Thị Thúy K32D Toán

xD



xD



(7)
(8)

min f2 x  ... min fn

xD

xD

12


Đị nh lý 1.11: Giả
sư
D.
Đăt


x

f

v g
à
x

là hai hàm sô cùng xác đinh trên miền

hx f x g x  . Giả sư tồn tại các GTLN , GTNN củ a cá
c hà m


s
ố hx  , g x  , f trên D . Khi đó ta có :
 x
max h xmax f
xmin g x 
xD
xD

min h x min f
xmin g  x 
xD

xD

(9)
xD

(10)

sao
cho

xD

Dấ u “=” trong (19) xảy ra khi và chi khi
x0 D

max f x  f x  , max g x g x .
0
0

xD
là các hàm sô xác đinh và dương khi
xD
f x  , g 
Đị nh lý 1.12: Giả sư
x
x D .
Đă
t


h x 
x g

x
f

h x  , g x  , f

ta có :

và giả thiết tồn tại các GTLN và NN của các hàm sô

x . Khi đó

max f

x

max h x  xD
min g 

xD
x

( 11)

xD

min f

x

min h xD
x  max g x
xD

( 12)



xD

Dấ u “=” trong (21) xảy ra khi và chi khi
x0 D

sao cho

max f x  f x  , min g x g x 
0
0
xD

xD

Dấ u “=” trong (22) xảy ra khi và chi khi
x0 D

sao cho

min f x f x  , max g xg x 
0
0

xD

xD

Đị nh lý
1.13:

1. Giả
sư


x
f

là hàm sô xác định trên miền

D . Khi đó với mọi n

nguyên dương ta có max f x 2n1 max f 2n 1 x  

xD
xD
:


min f x 2n1 min f 2n

xD
xD
2. Nế u thêm và o giả
thiế t

f x
0

thi n
*



1

x 

ta có :

max f x 2n max f 2n x  

xD
xD
min f x 2n max f 2n x  

xD
xD
Nhậ n xé t: Khi giả i bà i tậ p , ngƣờ i ta thƣờ ng ƣ́ ng dụ ng mộ t trƣờ ng hợ
p riêng của tính chất này nhƣ sau:
Nế
u

f x 
0, x
D
max f x 


thì

max f 2 x  , min f x 

xD

xD
xD

minf 2  x 
xD

Điề u nà y rấ t có í ch trong việ c giả i toá n dạ ng: Tìm GTLN, NN củ a cá c
hà m số


x
f

khi chú ng đƣợ c cho dƣớ i dạ ng căn bậ c hai hoặ c có chƣ́ a biể u thƣ́
c vớ i

dấ u giá trị tuyệ t đố i.
Đị nh lý 1.14:
Giả
sư

f
x

max f x  , min f
là hàm sô xác đinh trên miền D và tồn
tại
x.


xD
f  max max f x , min f x

x   x  .
D
Khi đó ta co
max

Đị nh lý
1.15:

x

D


xD

xD

