B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I

BACH HONG NHUNG

M®T SO NGHIÊN CÚU VE
CHUOI ĐIEU HÒA

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Hà N®i - 2013

2


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I

2

BACH HONG NHUNG

M®T SO NGHIÊN CÚU VE
CHUOI ĐIEU HÒA

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc. TS. NGUYEN VĂN

Hà N®i - 2013

HÀO


LèI CÁM ƠN

Em xin chân thành cám ơn các thay giáo, cô giáo to giái tích khoa Toán
và các ban sinh viên khoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã
đ®ng viên, giúp đõ đe em có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trình thnc
hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p. Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói
TS. Nguyen Văn Hào đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình chí báo,
giúp đõ em hoàn thành tot khóa lu¾n này.
Do thòi gian và kien thúc có han nên khóa lu¾n không tránh khói nhung
han che và còn có thieu sót nhat đ%nh. Em xin chân thành cám ơn và tiep
thu nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban sinh viên.
Hà N®i, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Bach Hong Nhung


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, khóa
lu¾n tot nghi¾p đai hoc "M®t so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa"
đưoc hoàn thành theo sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, không
trùng vói bat kỳ khóa lu¾n nào khác.
Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung
thành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn!

Hà N®i, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Bach Hong Nhung


Mnc lnc
Chương 1. Kien thNc chuan b%...........................................................6
1.1. Chuoi so...........................................................................................6
1.1.1. Khái ni¾m chuoi so........................................................................................................6

1.2. Dãy hàm...........................................................................................8
1.2.1. Mien h®i tu cna dãy hàm...................................................................................8
1.2.2. Sn h®i tu đeu cna dãy hàm................................................................................9
1.2.3. Tính chat cna hàm giói han..............................................................................10

1.3. Chuoi hàm so...............................................................................11
1.3.1. Các khái ni¾m..................................................................................................11
1.3.2. Chuoi hàm h®i tu đeu......................................................................................12
1.3.3. Tính chat cna tong chuoi hàm..........................................................................16

1.4. Chuoi lũy thNa.............................................................................19
1.4.1. Khái ni¾m chuoi lũy thùa và bán kính h®i tu....................................................19
1.4.2. Tính chat cna tong chuoi lũy thùa....................................................................21
1.4.3. Khai trien hàm so thành chuoi lũy thùa...........................................................23
1.4.4. Khai trien thành chuoi Taylor cna các hàm sơ cap............................................25

Chương 2. M®t so nghiên cNu ve chuoi đieu hòa . . . . . . . . . 27
2.1. ChNng minh..................................................................................28
2.1.1. Chúng minh 1 [16]...........................................................................................28

2.1.2. Chúng minh 2 [13]...........................................................................................29

1


2.1.3. Chúng minh 3..................................................................................................29
2.1.4. Chúng minh 4..................................................................................................30
2.1.5. Chúng minh 5 [13]...........................................................................................31
2.1.6. Chúng minh 6 [13]...........................................................................................31
2.1.7. Chúng minh 7 [5].............................................................................................32
2.1.8. Chúng minh 8 [4] [9]......................................................................................................32
2.1.9. Chúng minh 9..................................................................................................33
2.1.10. Chúng minh 10..............................................................................................33
2.1.11. Chúng minh 11..............................................................................................34
2.1.12. Chúng minh 12 [3] [8].................................................................................................34
2.1.13. Chúng minh 13 [6] [7].................................................................................................35
2.1.14. Chúng minh 14..............................................................................................36
2.1.15. Chúng minh 15..............................................................................................36

2.2. M®t so chúng minh khác................................................................37
2.2.1. Chúng minh 16................................................................................................37
2.2.2. Chúng minh 17................................................................................................38
2.2.3. Chúng minh 18................................................................................................38
2.2.4. Chúng minh 19 [15].........................................................................................38
2.2.5. Chúng minh 20 [1]...........................................................................................39

Ket lu¾n................................................................................................40
Tài li¾u tham kháo............................................................................41

2



Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Sn hình thành khái ni¾m có tính manh nha và m®t so ket quá nghiên cúu
ve chuoi hàm xuat hi¾n tù khá sóm. Ngay tù the ký thú 14, nhà toán hoc
An
Đ® Madhava (1350 − 1425) ó vùng Sangamagramma (bang Kerala,
mien
tây - nam An Đ® ) đã bieu dien m®t so hàm lưong giác dưói dang các
chuoi hàm. Các bài viet ve toán hoc cna ông hi¾n nay không còn nua,
nhưng m®t so công trình chói loi cna ông lai đưoc nhà toán hoc
Nilakantha vùng Kerala lưu lai. Madhava tìm ra chuoi cna các hàm vào
khoáng năm 1400. Thòi ay, ngưòi ta miêu tá các khái ni¾m này bang
ngôn ngu rat phúc tap. Tói mãi nhung năm cna the ký 17, các thu¾t ngu
"h®i tu" (convergence) và "phân kỳ" (divergence) đoi vói chuoi hàm mói
đưoc Gregory trình bày theo ngôn ngu gan như ngày nay. Vi¾c nghiên
cúu ve chuoi so cũng như chuoi hàm đen nay đã đưoc chính hóa theo
ngôn ngu toán hoc hi¾n đai và rat mau mnc.
M®t trong nhung chuoi so có tính đien hình trong vi¾c trình bày h¾ thong
kien thúc ve chuoi so và chuoi hàm ngưòi ta phái ke đen chuoi đieu
hòa. Bang tiêu chuan Cauchy ve sn h®i tu cna chuoi so, ta de dàng thay
rang đieu ki¾n thiet yeu đe m®t chuoi so h®i tu là dãy so hang tong
quát cna nó phái dan đen 0. Tuy nhiên, vói chuoi đieu hòa so hang tong
quát cna chuoi đám báo đieu ki¾n can ve tính h®i tu, nhưng chuoi này
van không h®i tu. Ngoài vi¾c chuoi này đưoc ghi nh¾n như m®t phán ví
du kinh đien ve vi pham đieu ki¾n can cna m®t chuoi h®i tu, nó còn là
m®t chuoi đưoc nghiên cúu liên quan đen rat nhieu các lĩnh vnc cna
toán hoc cũng như nhieu ngành khoa hoc khác.



Trong khuôn kho cna m®t khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc chuyên ngành
toán hoc, chúng tôi mong muon the hi¾n rõ phan nào ve vai trò cna
chuoi đieu


hòa qua sn quan tâm cna giói toán hoc. Đe thnc hi¾n đieu này, chúng tôi
co gang trình bày m®t cách chi tiet các phép chúng minh ve sn phân kỳ
cna chuoi đieu hòa. Qua 20 phép chúng minh đưoc chúng tôi trình bày
trong khóa lu¾n, phan nào cũng có the nói đưoc nhung gì chúng tôi chưa
nói het ve tam quan trong cũng như ý nghĩa cna van đe đưoc trình bày
trong khóa lu¾n.
Chuoi đieu hòa có dang

.

∞ 1
1 1 1 1
.
= 1 + + + + + ...
n
2 3 4 5
n=1
∞

Chuoi so n= un đưoc goi là phân kỳ khi giói han cna dãy tong riêng
.
1
u là vô

han ho¾c không ton tai.
n k=1

k

Chuoi đieu hòa là m®t chuoi rat noi tieng và có nhieu úng dung trong toán
hoc. Các nhà khoa hoc đã ton rat nhieu thòi gian và công súc đe nghiên
cúu ve chuoi này. Nhung chúng minh tuy không tuân theo thú tn cu the.
Nhưng chúng đeu làm noi b¾t lên sn đơn gián, thông minh sâu sac cna
các nhà khoa hoc. Có hai cách chn yeu thưòng dùng đe chúng minh sn
phân kỳ cna chuoi đieu hòa mà chúng tôi se giói thi¾u dưói đây. Đưoc sn
đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, tôi chon đe tài "M®t so nghiên cNu
ve chuoi đieu hòa" đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chuyên ngành
Toán giái tích. Bo cuc cna đe tài bao gom hai chương
Chương 1. Đe tài trình bày nhung kien thúc căn bán nhat ve dãy
hàm, chuoi hàm, chuoi hàm lũy thùa, mien h®i tu, các tính chat căn bán
ve tong cna chuoi lũy thùa.
Chương 2. Đe tài đi vào trình bày ve chuoi đieu hòa, l%ch sú chúng
minh ve sn phân kỳ cna chuoi và m®t so chúng minh cna các nhà toán hoc
ve sn phân kỳ cna chuoi đieu hòa.


2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày m®t cách có h¾ thong ve l%ch sú chúng minh ve sn phân kỳ cna
chuoi đieu hòa.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu m®t so phương pháp chúng minh sn phân kỳ cna chuoi đieu
hòa. Tuy nhiên do khuôn kho yêu cau đoi vói m®t khóa lu¾n tot nghi¾p
b¾c cú nhân Toán hoc, nên chúng tôi chí trình bày van đe này trong pham

vi 20 chúng minh noi b¾t mà các nhà Toán hoc đã đưa ra.

4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, phân tích, tong hop, so sánh, tong hop kien thúc và xin ý
kien ngưòi hưóng dan.


Chương 1
Kien thNc chuan b
%
1.1. Chuoi so
1.1.1. Khái ni¾m chuoi so
∞ . Tong vô han
Cho dãy so {ak}k=
1
∞
.
ak = a1 + a2 + ... + ak + ....

(1.1)

k=1

đưoc goi là m®t chuoi so, ak là so hang thú k hay so hang tong quát cna
chuoi (1.1). Đ¾t
S 1 = a1 ;
S 2 = a1 + a2 ;
...
Sk = a1 + a2 + ... +
ak; Sk đưoc goi là tong riêng thú k cna chuoi so

(1.1).


Đ%nh nghĩa 1.1. Chuoi so

.∞
k=
1

ak đưoc goi là h®i tn (hay phân kỳ ) neu

dãy các tong riêng Sk có giói han huu han (tương úng, không ton tai ho¾c
giói han đó bang ±∞). Trong trưòng hop h®i tu, neu lim Sk = s. ta nói
k→∞

chuoi có tong là s và viet

Ví dn 1.1. Chuoi so

.

∞
.

ak = s.

k=1

∞


k

q h®i tu khi và chí khi |q| < 1. Khi đó chuoi có

k=0

tong

.
∞

k=0

1
qk =
1−q

·

Chuoi này thưòng đưoc goi là chuoi hình hoc. Th¾t v¾y, tong riêng thú k
cna chuoi đưoc xác đ%nh bói
Sk = 1 + q + q 2 + ... + q k−1 .
Neu q = 1 thì dãy tong riêng cna chuoi Sk = k phân kỳ.
1 − qk
Neu q ƒ= 1 thì Sk
· Dãy này h®i tu khi và chí khi |q| < 1. Khi đó,
1−q
=
· V¾y ta có đieu phái chúng minh.
dãy có giói han là

1−q
Đ%nh lý 1.1 (Tiêu chuan Cauchy). Đieu ki¾n can và đú đe chuoi so .∞
∗

h®i tn là ∀ε > 0, ∃k0 = k0(ε) sao cho ∀k > k0, ∀p ∈ N ta đeu có

k
k=1 a

|ak+1 + ak+2 + ... + ak+p| < ε.
.∞
H¾ quá 1.1. Đieu ki¾n can và đú đe chuoi so k= ak phân kỳ là ∃ε0 > 0
1
sao cho ∀k đeu ton tai p0 = p0(k) đe
|ak+1 + ak+2 + ... + ak+p0 | ≥ ε0.
Ví dn 1.2. Chuoi so

.∞
k=0

1
k

là m®t chuoi phân kỳ. Chuoi này thưòng đưoc goi là chuoi đieu hòa. Th¾t


v¾y, chon ε0
=

1

2

thì vói moi k đeu ton tai m®t so p0 = k đe

1
1
1
1
+
+ ... + > k
|ak+1 + ak+2 + ... + ak+p0
=
|=
k k+1
2k
2k
Theo h¾ quá trên chuoi đieu hòa là chuoi phân kỳ.

1
2

= ε0 .


1.2. Dãy hàm
1.2.1. Mien h®i tn cúa dãy hàm
Trưóc khi trình bày các khái ni¾m cơ bán và can thiet ve chuoi hàm phuc
vu cho muc đính chính cna khóa lu¾n, chúng tôi giói thi¾u m®t so khái
∞ xác đ%nh trên X.
ni¾m căn bán ve dãy hàm. Cho dãy hàm {un(x)}n=

Điem x0 ∈ X đưoc goi là điem h®i tn cna dãy hàm1 neu dãy so {un(x0)}
h®i tu. T¾p hop X = {x ∈ X : {un(x)}h®i tu}, đưoc goi là mien h®i
tn
cna dãy hàm. Vói moi x0

X, đ¾t u(x) = lim un(x), ta đưoc m®t hàm
∈
n→∞

xác đ%nh trên mien X0. Khi đó, dãy hàm {un(x)} đưoc goi là h®i tn điem
ve hàm u(x) trên X0. Điem x1 đưoc goi là điem phân kỳ cna dãy
hàm neu dãy so {un(x1)} phân kỳ. Ta có the đ%nh nghĩa sn h®i tu điem
tương
đương như sau
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy hàm {un(x)} đưoc goi là h®i tn điem ve hàm u(x)
trên X neu vói moi ε > 0 và vói moi x ∈ X ton tai so nguyên dương
n0 = n0(x, ε) sao cho
|un(x) − u(x)| < ε; ∀n ≥ n0.
Ví dn 1.3. Xét dãy hàm
fn(x) =

1

; x ∈ R.
x2 + n
1
Ta thay vói moi x ∈ R co đ%nh, lim
= 0. V¾y mien h®i tu cna
n→∞ x2 + n dãy
hàm đã cho là toàn b® t¾p so thnc và hàm giói han là

f (x) ≡ 0; x ∈ R.
Ví dn 1.4. Xét dãy hàm fn(x) = xn; x ∈ [0, 1].
Vói moi x ∈ [0, 1) co đ
%nh


lim f (x) =
n
n→∞ lim
n→∞

xn = 0.


De thay là fn(1) = 1 → 1 khi n → ∞. V¾y mien h®i tu cna dãy hàm
đã
cho là đoan [0, 1] và hàm giói han là

 0, khi x ∈ (0, 1)
f (x) = 
1, khi x = 1
Ví du 1.4 cho thay, giói han cna m®t dãy các hàm liên tuc trên m®t t¾p
có the là m®t hàm không liên tuc trên t¾p đó. Nói cách khác lóp các hàm
liên tuc trên m®t t¾p không kín đoi vói phép toán giói han. Đe có đưoc
tính chat này chúng ta can tói khái ni¾m h®i tu đeu cna các hàm trên m®t
t¾p.
1.2.2. SN h®i tn đeu cúa dãy hàm
Đ%nh nghĩa 1.3. Ta nói dãy hàm un(x) h®i tn đeu đen hàm u(x) trên
X
và ký hi¾u

X

un(x) ⇒ u(x)
neu vói moi ε > 0 cho trưóc, ton tai m®t so tn nhiên n0 = n0(ε) chí
phu thu®c vào ε sao cho vói moi n ≥ n0 và vói moi x ∈ X ta đeu có
|un(x) − u(x)| < ε.
1
Ví dn 1.5. Dãy hàm fn(x)
; x ∈ R trong ví du 1.3 h®i tu đeu
=
x2 + n
ve
hàm giói han f (x) = 0 trên R. Th¾t v¾y, do
1
1
≤
·
|fn(x) − f
x2 + n
n
(x)| =
.
Do đó, neu chon n0
=

.
1 + 1 thì
ε

|fn(x) − f (x)| < ε; ∀n ≥ n0, ∀x ∈ R.

Đieu đó, chúng tó dãy hàm đã cho h®i tu đeu trên R ve hàm f (x) = 0.


Đ%nh lý 1.2. Dãy hàm un(x) h®i tn đeu ve hàm u(x) trên X khi và
chs khi
lim sup |un(x) − u(x)| = 0.
n→∞ x∈X


Ví dn 1.6. Dãy hàm fn(x) = xn; x ∈ [0, 1] trong ví du 1.4 không
h®i tu
đeu ve hàm giói han f (x) = 0 trên [0; 1] vì
sup |fn(x) − f (x)| = sup xn = 1

[0;1]

[0;1]

không tien đen 0 khi n → ∞.
1.2.3. Tính chat cúa hàm giái han
Đ%nh lý 1.3 (Tính liên tuc cna giói han đao hàm). Giá sú
(i) Các hàm un(x) liên tnc trên X, (∀n = 1, 2, ...);
(ii) dãy hàm un(x) h®i tn đeu ve hàm u(x) trên
X. Khi đó, u(x) là m®t hàm liên tnc trên X.
Đ%nh lý 1.4 (Tính khá tích). Giá sú
(i) Các hàm un : [a, b] → R là các hàm liên tnc trên [a, b], ∀n = 1,
2, ...;
(ii) dãy hàm un(x) h®i tn đeu trên [a, b] ve hàm
u(x). Khi đó hàm giói han u(x) khá tích trên [a, b] và
b


lim
n→∞

¸
a

b
b
¸
¸ li un(x)dx.
un(x)dx = u (x) dx = m
a

a

n→∞

Đ%nh lý 1.5 (Tính khá vi cna giói han cna dãy hàm). Giá sú các đieu
ki¾n sau đưoc thóa mãn
(i) Các hàm un(x) : (a, b) → R là các hàm khá vi trên khoáng (a,
b),
∀n = 1, 2, ....;
(ii) dãy hàm un(x) h®i tn điem ve hàm u(x) trên khoáng (a, b);
(iii) dãy các đao hàm unr (x) h®i tn đeu ve hàm u(x) trên khoáng (a,
b). Khi đó dãy hàm un(x) h®i tn đeu đen hàm u(x) trên (a, b). Hàm
giói han u(x) khá vi và
n



d
dx

. lim
n→∞

un(x). = ur(x) = ur (x).
lim
n→∞


1.3. Chuoi hàm so
1.3.1. Các khái ni¾m
Cho dãy un(x) xác đ%nh trên X. Khi đó tong vô han
∞

u1(x) + u2(x) + ... + un(x) + ... =

.

un(x).
(1.2)

n=1

đưoc goi là m®t chuoi hàm xác đ%nh trên X. Hàm un(x) goi là so hang
thú n cna chuoi. Tong
Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x).

(1.3)


đưoc goi là tong riêng thú n cna chuoi. Điem x0 đưoc goi là điem h®i
tn (phân kỳ) cna chuoi hàm (1.2) neu x0 là điem h®i tu (phân kỳ) cna
dãy tong riêng (1.3). T¾p hop tat cá các điem h®i tu cna chuoi hàm
đưoc goi là mien h®i tu cna chuoi hàm. Neu D là mien h®i tu cna dãy
Sn(x), thì
cũng goi D là mien h®i tn cna chuoi (1.2). Neu lim Sn(x) = u(x) thì
n→∞

đưoc goi là tong cna chuoi hàm và ta viet
.∞
un(x) = u(x).

u(x)

n=1

Neu dãy tong riêng Sn(x) h®i tu đeu ve hàm u(x) trên D, thì chuoi
hàm (1.2) đưoc cũng đưoc goi là h®i tn đeu ve hàm u(x) trên D. Khi
đó, ta viet
∞
.
un(x) ⇒ u(x); x ∈ D.
n=1

Ví dn 1.7. Xét chuoi hàm

∞
.


xk.

k=0

Ta có dãy tong
riêng

n
n−1



1−x


, neu x ƒ= 1
Sn(x) =
=

.


k=0

xk


1−x
n,


neu x = 1


có mien h®i tu là D = (−1; 1) và hàm giói han là
1
S(x) =
; x ∈ (−1, 1).
1−
x
Do đó chuoi đang xét có mien h®i tu là khoáng (−1, 1) và
∞
.
1 ; x < 1.
xk =
||
x
k=0

1.3.2. Chuoi hàm h®i tn đeu
Đe xét sn h®i tu đeu cna chuoi hàm ta có m®t so tiêu chuan sau đây
Đ%nh lý 1.6 (Tiêu chuan Cauchy). Đieu ki¾n can và đú đe chuoi hàm
.∞
un(x) h®i tn đeu trên D là: vói moi so ε > 0 cho trưóc bat kỳ, ton
n=
tai
1
m®t so tn nhiên n0 = n0(ε) sao cho vói moi n ≥ n0, vói moi so
nguyên
dương p và vói moi x ∈ D ta đeu có
|un+1(x) + un+2(x) + ... + un+p(x)| < ε.

Chúng minh. Goi Sn(x) là dãy tong riêng cna chuoi hàm
so

.∞
n=
1

un(x).

Chuoi hàm h®i tu đeu trên X khi và chí khi dãy hàm Sn(x) h®i tu
đeu trên D. Theo tiêu chuan Cauchy ve sn h®i tu đeu cna m®t dãy hàm
so, tù
.∞
đó suy ra chuoi hàm n= un(x) h®i tu đeu trên D khi và chí khi vói m®t so
1

ε > 0 cho trưóc bat kỳ, ton tai m®t so tn nhiên n0 sao cho
∀n, p ∈ N ∗ , n ≥ n0 ⇒ |Sn+p(x) − Sn(x)| < ε; ∀x ∈ D.
Túc là

|un+1(x) + un+2(x) + ... + un+p(x)| < ε; ∀x ∈ D.

Đ%nh lý 1.7 (Dau hi¾u Weierstrass). Cho chuoi
hàm trên D. Neu ton tai m®t dãy so dương sao cho

(
)

|un(x)| ≤



cn; ∀x ∈ D, n ∈ N∗;

.∞
n=
1

(ii) chuoi
so

.∞
n=
1

cn h®i tn thì chuoi
hàm

.∞
n=
1

un(x) xác đ%nh

un(x) h®i tn đeu trên D.


Chúng minh. Vói moi x ∈ D, theo dau hi¾u so sánh ta có các chuoi so
.∞ u (x)
.∞
.∞ u (x).

|un (x) h®i tu. Đ¾t u(x)
n
n
n=
n=
n=
=
và
1
1
1
|
.
Vì ∞ cn h®i tu nên ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n > n0, ∀p ∈ N∗
n=
1

c
(x) + c.n+2(x) + ... +
cn+1
n+p(x) <
2

ε

Cho p → ∞ ta đưoc
∞
.
cn+i = cn+1(x) + cn+2(x) + ...


ε
2

< ε.

+ cn+p(x) <
n=1

Tù đó ∀n > n0
.
.
−
.u(x)
.
.

. .
.
∞ .uk(x).
. =.∞. ≤
.
u
(x).
n+i
.
. .
.
.
. .


∞ ≤
|un+1(x)|
.

n=1
∞

i=1
k=1

∞ cn+i
.

i=1
∞

= |σ(x)| −

.

|uk(σ)| = σ(x) −

uk(σ)| .
i=
1

Đieu đó chúng tó rang
.
.
∞

.
. uk(x).. =
.
−
.u(x)
.
k= u(x)và
.
1
.

i=1

∞

. |uk (x)| = σ(x).
i=1

Ví dn 1.8. Xét sn h®i tu đeu cna chuoi hàm sau trên R
.∞ cos kx
·
k2 + 1

.

|


Vói moi x ∈ R ta đeu có


.∞ 1
Do chuoi so dương

k=1
k2

k=
1

.
..uk(x)
=
.

cos kx
..

k 2 + 1.
≤

.

1
k2

·

h®i tu nên chuoi hàm đã cho h®i tu đeu trên R.