2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I
2

TRAN TH± PHƯƠNG

M®T SO MOI LIÊN QUAN GIUA
BIEN ĐOI LAPLACE VéI HÀM
GAMMA

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa hoc. TS NGUYEN
VĂN HÀO

Hà N®i - 2013


LèI CÃM ƠN
Nhân d%p lu¾n văn đưoc hoàn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac
tói TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình hưóng dan tác giá trong quá
trình thnc hi¾n lu¾n văn này.

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, các thay cô trong khoa
Toán Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên giúp đõ và tao
đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá
trình hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài và nghiên cúu khoa hoc.

Do thòi gian và kien thúc có han nên lu¾n văn không tránh khói nhung
han che và thieu sót nhat đ%nh. Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý
kien đóng góp cúa các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên đe lu¾n văn
hoàn thành như hi¾n nay.

Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Tác giá

Tran Th% Phương


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cúa TS. Nguyen Văn Hào
khóa lu¾n tot nghi¾p “M®t so moi liên quan giÑa bien đoi
Laplace véi hàm Gamma” đưoc hoàn thành bói sn nh¾n thúc
cúa chính bán thân tác giá và không trùng vói bat kỳ khóa lu¾n nào
khác.

Trong quá trình làm khóa lu¾n tôi đã ke thùa nhung thành tnu cúa các
nhà khoa hoc vói sn tôn trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Tác giá

Tran Th% Phương


Mnc lnc
Mé đau......................................................................................................1

Chương 1. Kien thNc chuan b%..................................................3
1.1. So phúc và m¾t pháng phúc........................................................3
1.2. Hàm chính hình.............................................................................5
1.3. Lý thuyet tích phân phúc...............................................................8
Chương 2. Bien đoi Laplace.....................................................11
2.1. Đ%nh nghĩa và ví dn...................................................................11
2.2. Tính chat cơ bán cúa bien đoi Laplace......................................18
2.3. Bien đoi Laplace ngưoc...............................................................20
2.3.1. M®t so khái ni¾m..............................................................................20
2.3.2. M®t so phương pháp tìm hàm goc..............................................21

2.4. Tích ch¾p cúa bien đoi Laplace.................................................25
2.4.1. Đ%nh nghĩa và ví dn.....................................................................25
2.4.2. Ãnh cúa tích ch¾p qua bien đoi Laplace......................................26

iii


Chương 3. M®t so moi liên quan giÑa bien đoi Laplace
véi hàm Gamma 30
3.1. Khái ni¾m ve hàm Gamma và m®t so tính chat cơ bán..........30
3.2. M®t so moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma 35
3.2.1. Bien đoi Laplace cúa m®t so hàm nh¾n đưoc qua hàm Gamma . 35
3.2.2. Moi liên quan cúa hàm gamma vói bien đoi Laplace ve chuoi. . . 37

Ket lu¾n...............................................................................................41
Tài li¾u tham kháo........................................................................42


Me ĐAU

1. Lý do chon đe tài. Bien đoi Laplace là m®t bien đoi tích phân và
cùng vói bien đoi Fourier là hai bien đoi rat huu ích và thưòng đưoc sú
dnng trong vi¾c giái các bài toán trong lĩnh vnc v¾t lý. Qua bien đoi
Laplace, các phép toán giái tích phúc tap như đao hàm, tích phân đưoc
đơn gián hóa thành các phép toán đai so (giong như cách mà hàm
logarit chuyen m®t phép toán nhân các so thành phép c®ng các logarit
cúa chúng).
Hàm Gamma là m®t hàm có nhieu tính chat đăc bi¾t đem lai nhieu úng
dnng trong các nghành khoa hoc khác nhau. Qua tiep c¾n vói lý thuyet
bien đoi Laplace và hàm Gamma, đưoc sn đ%nh hưóng cúa ngưòi hưóng
dan tôi đã chon đe tài “M®t so moi liên quan giÑa bien đoi
Laplace véi hàm Gamma” đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p.
Khóa lu¾n đưoc cau trúc thành 3 chương.
Chương 1. Chúng tôi trình bày m®t so kien thúc căn bán nhat ve
lý thuyet hàm bien phúc, can thiet cho mnc đích nghiên cúu ve bien đoi
Laplace và nghiên cúu moi quan h¾ cúa phép bien đoi này vói hàm
Gamma.
Chương 2. Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t cách h¾
thong ve khái ni¾m bien đoi Laplace, các tính chat cơ bán cúa phép bien
đoi này cùng m®t so phép toán giái tích liên quan đen bien đoi này.
Chương 3. Đây là phan chính cúa khóa lu¾n, ó đây chúng tôi trình
bày lý thuyet ve hàm Gamma và moi liên quan giua bien đoi Laplace vói
hàm Gamma, cn the là bien đoi Laplace cúa m®t so hàm nh¾n đưoc
qua hàm Gamma và moi liên qua cúa hàm Gamma vói bien đoi Laplace
cúa chuoi.
7


2. Mnc đích, đoi tưeng và pham vi nghiên cNu. Lu¾n văn
nghiên cúu ve moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma.

3.Phương pháp nghiên cNu.
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u.
Tong hop kien thúc, v¾n dnng cho mnc đích nghiên cúu.
4. DN kien đóng góp cúa đe tài. Trình bày m®t cách h¾ thong ve
phép bien đoi Laplace, hàm Gamma và moi liên quan giua chúng.


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1. So phNc và m¾t pháng phNc
So phúc là so có dang z = x + iy; vói x, y ∈ R và i là đơn v% áo mà i2 =
−1.
Ta goi x là phan thnc và y là phan áo, đưoc ký hi¾u lan lưot bói
x = Rez, y = Imz.
T¾p hop các so phúc đưoc ký hi¾u bói C. T¾p hop các so phúc C đưoc
đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng
C→R
z = x + iy ›→ (x, y)
M®t cách tn nhiên ngưòi ta goi Ox là trnc thnc, Oy là trnc áo. Phép c®ng
và phép nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông thưòng như các
phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1. Ta có


z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
và
z1.z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2)
= (x1x2 − y1 y2 ) + i (x1y2 + x2y1) .
Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cúa so phúc z là so đưoc
xác đ%nh bói

,

|z| = x2 + y2.
So phúc liên hop cúa so phúc z = x + iy đưoc ký hi¾u là z¯ = x − iy.
Không khó khăn ta kiem tra đưoc

và

Rez = z +
z¯ 2 , Imz
=
. .

z−
z¯
2i

1

.z2 . = z.z¯,

z¯
; vói z ƒ= 0.
z =
z2

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r > 0 và θ ∈
R
đưoc goi là argument cúa so phúc z (argument cúa so phúc z đưoc xác đ
%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i nguyên cúa 2π) và

eiθ = cosθ + isinθ .
Bói vì .eiθ . = 1 nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cúa trnc Ox và
. .
núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z. Cuoi cùng ta lưu
ý rang neu z = r.eiθ và ω = s.eiϕ thì


z.ω = r.s.ei(θ +ϕ) .


1.2. Hàm chính hình
Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (z) xác đ%nh trên mien D. Cho z m®t
so gia ∆z
sao cho z + ∆z ∈ D. Neu ton tai giói han
f (z) = lim

∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)
,
∆z

thì giói han đó đưoc goi là đao hàm phúc cúa hàm f (z) tai điem z và ký
hi¾u
df(z)
r
. Như v¾y
là f (z)
dz
f (z + ∆z) − f

ho¾c
f (z) = lim
∆z→0

(z)
∆z .

Hàm f (z) có đao hàm phúc tai điem z cũng đưoc goi là khá vi phúc hay
C- khá vi tai z.
r

Ví dn 1.2.1 Hien nhiên zr = 1 và theo quy nap ta có ngay (zn) =
n.zn−1. Tù
đó, neu
f (z) = a0zn + a1zn−1 + ... +
an

1z
−

+a
n

thì
f r(z) = n.a0.zn−1 + (n − 1).a1.zn−2 + ...

−1.

+ an
Đ%nh nghĩa 1.2.2 Hàm f (z) đưoc goi là chính hình tai z0 ∈ D neu

ton t ai


so r > 0 sao cho f (z) là C- khá vi tai moi z ∈ S(z0, r). Neu hàm f (z)
chính hình tai moi z ∈ D thì nó đưoc goi là chính hình trên D.
1
chính hình trên t¾p mó bat kỳ trong C không gian
Ví dn 1.2.2
chúa
Hàm
z


1
điem goc và f r = −

z2

. Th¾t v¾y ta có
1

−

1

f r(z) = lim f (z + h) − f = lim z + h z
h
h→∞
h→∞
(z)

h
.
1
.
= lim −
z.(z1+ h) = − 2 .
h→∞
z
Ví dn 1.2.3 Hàm z¯ không chính hình. Th¾t v¾y ta thay
z + h − z¯ h¯

f (z + h) − f
(z)
=

h

h

= .
h

Ta thay ngay, khi h → 0 trên trnc thnc thì tý so trên có giói han bang 1,
còn
khi h → 0 trên trnc áo thì tý so trên có giói han bang −1. V¾y, khi h → 0
giói han trên không ton tai.
Đ%nh lý 1.2.1. Giá sú
chuoi

∞


∑ cn.zn có bán kính h®i tn là R > 0. Khi đó

n=0

tong f (z) cúa chuoi là m®t hàm chính hình trên D và
f r(z) =

∞

∑ n.cn.zn.

n=1

∞

ChNng minh. Trưóc het ta chúng tó
chuoi
tn là R. Th¾t v¾y,
chuoi

∑ n.cn.zn cũng có bán kính h®i

n=1

∞

∑ n.cn.zn−1 h®i tn neu và chí neu chuoi

n=1


∞

∑

z.
=

n.cn.zn−1

∞

∑ n.cn .zn

n=1

n=1

h®i tn. Do đó chuoi có bán kính h®i tn là


1
lim ,n |n.cn |
n→∞

1

=
lim
lim

n→∞

Lay z0 tùy ý mà z0 < R. Đ¾t

√

n

n.

,

n→∞

n

|cn|

=

= R.
,1
n
lim |cn|
n→∞


δ (z0, ∆z)
=


n
n

0

f (z0 + ∆z) − f (z0)
− S(z0 ).
∆z
Đe hoàn thành chúng minh ta δ (z0, ∆z) =
chúng minh rang lim
∆z→0 0.
Chon r sao cho |z0| < r < R. Xét ∆z đú bé
sao cho |z0 + ∆z| < r ta thay
n
∞ .
c .(z , ∆z) c .zn
.
δ
(z0,
− ∆z)
− n.cn .z
0 ∑
n−1
=
∆z
n=0
0

∞


.

.
n−1

= ∑ n−2
(z0 + ∆z)
+ (z0 .cn
+ ∆z)n−1 + ... + zn−1
− n.z
0

0

n
=
0
∞

=

∑ δn .(z0 , ∆z).

n
=
0

Chú ý rang

n−


|δn(z0, ∆z)| ≤ |cn| . z0 +
|

n−1

∆z|

n−2

+ |z0 + ∆z|

. |z0| + n
.−
... + |z0| 1

+ 1 ..
.
n. 0
.
z

< 2.n.cn.rn−1
Bói vì
chuoi
so

∞

n−1

h®i tn nên vói ∀ε >
∑2.n.cn.r
n 0, ∃N = N(ε) sao cho

=
0

M¾t khác ta có


∞

∑

lim

2.n.cn.rn−1 <

N−1

∑

δn(z
0,
∆z)
=

2

.


l
i δn (z0 , ∆z)
m

∑

n.

∆z
→0
n=
1

=

N
−
1

ε

∑

cn.(z0 + ∆z)
1
∆− cn .zn
.
→
N

−
lim
− n.cn .z0 =
0.

n=1
∆z→0

∆z
Do đó, vói ∆z đú bé ta có
N−1

∑ nδε
n=1 .(
z0,
∆
z)
<

2
.
Tù đó, vói ε > 0 đú bé ta
nh¾n đưoc đánh giá

0


.

N−1


.

.

.

∞

ε .ε .
| δn (z
n (z0 ,
.0 δ
δ , ∆z)
∆z)
+ ∑ <
(
+
z
0
,
∆
z
)
|
≤
.
. ∑
.


n=0

.
.

2
2

=
ε.

.
.
n=N
.

Nh¾n xét 1.2.1 Bang an .
(z −
phép bien đoi t = z − z0,
n
z0 )
z0 ƒ= 0 chuoi ∑
n≥0

đưoc quy an.tn nên ta có đ%nh lý
ve chuoi
sau
∑
n≥0


Đ%nh lý a .(z − z )n
0
1.2.2. Tong cúa n
chuoi lũy thùa ∑ là hàm
chính hình
n≥0
trong hình tròn h®i tn |z − z0 |
< R cúa chuoi đó và đao hàm
f r(z) đưoc tìm
theo công thúc
f r(z) = ∑ an.n.(z − z0 )n−1 .
n≥1

1.3. Lý thuyet
tích
phân
phNc


nghĩa f

Đ%nh

phân
(1.1) có
the viet
Sn =

()


∗
1.3.1 Cho hàm f (z) (η ). 1

xác đ%nh trên đưòng (ηv+1 .
tròn trơn tùng khúc γ. − ηv ). 2
Chia γ thành n phan
γ

nhó bói các điem chia

m

η0,η1,. . . ,ηn (η0 là

a

điem đau và ηn là

x

điem cuoi cúa đưòng

|

cong). Chon tùy ý

η

điem ηv∗ và l¾p tong


v
+

n−1

1

Sn = ∑
f (η ).(ηv+1
v
− ηv ).
=
0 (1.1)
∗

0

η
v

|

Neu khi n → ∞ mà max

→

|ηv+1 − ηv | → 0 ton tai

0


giói han cúa tong (1.1)
không

v

phn thu®c vào cách
chia cung γ thành các
cung nhó và cách chon
các điem
ηv∗ thì giói han đó

=
0

Neu đ¾t f
(z) = u(x,
y) + i.v(x,
y) và ηv+1
− ηv = ∆xv
+ i.∆yv thì
tong tích

đưoc goi là tích phân
cúa hàm f (z) trên
cung γ và ký hi¾u là
¸
n−1
=
f
∑

lim
(

−

n
−
1

v

∑[u(ηv∗ ) +
v
i.v(ηv∗ )].(∆xv +
=
0 i.∆yv )


n−1

∑

n−1

v

+ i.

v
v=0


v=0

v
∗

v

[u(η ).∆yv + v(η∗).∆xv]. (1.3)

Trong đó ηv∗ = (xv∗ , y∗v ). Phan thnc và phan áo cúa (1.3) là tong cúa
hai tích
phân đưòng loai hai
¸

¸

udx − vdy và udy + vdx

γ

γ

Như v¾y, neu f (z) liên tnc trên γ thì tích phân (1.2) ton tai và
¸

¸

¸


f (z)dz = udx − vdy + i. udy + vdx

γ

γ

γ

M®t so tính chat cơ bán
1. Neu γ + và γ − là đưòng cong ê lay theo hai chieu ngưoc nhau thì
¸
¸

f (z)dz = − f (z)dz.

γ−

γ+

2. Giá sú f (z) và g(z) là hai hàm khá tích trên γ. Khi đó, hàm
c1 f (z) + c2g(z); c1, c2 ∈ C
cũng là hàm khá tích trên γ và
¸

¸

[c1 f (z) + c2g(z)] .dz = f (z)dz + c2. g(z)dz.

c 1.


¸

γ

γ

γ

3. Giá sú γ = γ1 + γ2. Khi đó ta có
¸
¸

f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz.

γ

4. Neu l là đ® dài cung γ thì

¸

γ1

γ2


.
.
.
.
..¸ f (z)d ..

z.
.γ
γ

¸ | f (z)| dz ≤ l. max f (z).


5. Neu z = ϕ(η ) là hàm giái tích ánh xa 1-1 đưòng cong τ lên đưòng
cong γ = ϕ(τ) thì
¸
¸

f (z)dz = f (ϕ(η )).ϕr(η ).dη.

γ

τ

Đ¾c bi¾t, neu z = z(t), t ∈ [a, b] là phương trình cúa đưòng cong γ =
ϕ(τ)
thì
¸

f (z)dz =

γ

¸b

f (z(t)).zr(t).dt.


a

Neu ton tai 1 hàm chính hình g trong mien D chúa γ sao cho
gr(z) = f (z), ∀z ∈ γ
thì g đưoc goi là m®t nguyên hàm cúa hàm f . Giá sú z = z(t), t ∈ [a, b]
là phương trình cúa γ thì ta có
¸

¸b

¸

gr (z)dz

f (z)dz =
γ

=

gr(z(t)).zr(t).dt.
a

γ
b

¸

=


d [g(z(t))] = g(z(b)) − g(z(a)).
a

V¾
y

¸

f (z)dz = g(B) − g(A); B = z(b), A = z(a).

(1.4)

γ

Tù công thúc (1.4) ta thay g là hàm đơn tr% và γ là đưòng cong đóng thì
¸b
a

f (z).dz = g(B) − g(A).


Chương 2

Bien đoi Laplace
2.1. Đ%nh nghĩa và ví dn
Đ%nh nghĩa 2.1.1 Giá sú f là hàm bien thnc ho¾c phúc cúa bien t
> 0 và s là tham so thnc ho¾c phúc. Bien đoi Laplace cúa hàm f đưoc
xác đ%nh và ký hi¾u bói
∞


¸

F(s) = L( f (t)) = e−st f (t)dt
0
τ

= lim

τ→∞

¸

e−st f (t)dt.

(2.1)

0

Bien đoi Laplace cúa hàm f (t) đưoc goi là ton tai neu tích phân (2.1) h®i
tn trong mien nào đó. Trưòng hop tích phân trên phân kỳ thì ta nói
không ton tai bien đoi Laplace xác đ%nh đoi vói hàm f .


Ký hi¾u L( f ) đưoc sú dnng cho bien đoi Laplace cúa hàm f , và tích
phân trên là tích phân Riemann thông thưòng vói c¾n vô t¾n. Hàm F(s)
đưoc goi là hàm ánh cúa bien đoi Laplace. Phép bien đoi Laplace đưoc
goi là thnc
hay phúc neu bien so s cúa hàm ánh F(s) là thnc hay phúc.
Tham so s thu®c m®t mien nào đó trên đưòng thang thnc ho¾c trong
m¾t phang phúc. Chúng ta se chon s thích hop sao cho tích phân (2.1)

h®i tn. Trong toán hoc cũng như trong ky thu¾t, mien cúa bien s đóng
m®t vai trò het súc quan trong. Tuy nhiên, trong m®t trưòng hop đ¾c
bi¾t, khi các phương trình vi phân giái đưoc, mien cúa tham so s thưòng
không can xét đen. Khi bien s là phúc ta thưòng sú dnng ký hi¾u s = x
+ iy. Ký hi¾u L là bien đoi Laplace, nó tác đ®ng lên hàm f = f (t) và
sinh ra m®t hàm mói theo bien s là hàm F(s) = L( f (t)).
Ví dn 2.1.1 Neu f (t) ≡ 1 vói moi t ≥ 0, thì
=
∞
. −st .τ lim
−st
L( f (t)) ¸ e .1dt = lim
e
=
.

0

τ→∞

.
.
.
−s

τ→∞

.
.


(2.2)
e−sτ

1

+
−s

s

0

Trưòng hop s là so thnc dương thì ta nh¾n đưoc ngay
L(1) = 1
s

, s > 0.

(2.3)

Neu s ≤ 0 thì tích phân se phân kỳ và dĩ nhiên không có lòi giái cúa bien
đoi
Laplace.
Neu s là bien phúc vói Re(s) > 0 thì bang tính toán tương tn ta cũng có
1


L(1)
=


. Th¾t v¾y, đe có the kiem tra tính toán trên đây, ta can đen
s
công
thúc Euler
eiθ = cos θ + i sin θ, θ ∈ R.

(2.4)