LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày khóa luận, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy
ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
hoàn thiện khóa luận này.
Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa luận tôi
đã nhận được sự động viên chỉ bảo, tạo điều kiện của các thầy cô tham gia giảng
dạy, công tác tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây, tôi xin được gửi
lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự giúp đỡ, quan tâm, động viên của gia đình,
bạn bè trong suốt thời gian vừa qua.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán với
đề tài “Một số cách chứng minh bổ đề Farkas’’ được hoàn thành bởi chính sự
nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào đã có trước đó.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với lòng trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Huyền

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...............................................................................................................1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị............................................................................4
1.1. Không gian vector định chuẩn......................................................................4
1.1.1. Khái niệm không gian vector.......................................................................4
1.1.2. Vector độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính................................5
1.1.3. Khái niệm không gian định chuẩn...............................................................5
1.1.4. hội tụ trong không gian định chuẩn..............................................................6
1.2. Toán tử tuyến tính.........................................................................................8
1.2.1. Định nghĩa....................................................................................................8
1.2.2. Điều kiện liên tục.........................................................................................8
1.2.3. Toán tử nghịch đảo.......................................................................................9
1.3. Phiếm hàm tuyến tính.................................................................................10
1.3.1. Định nghĩa..................................................................................................10
1.3.2. Phiếm hàm song tuyến tính........................................................................10
1.4. Không gian hillbert.....................................................................................11
1.4.1. Tích vô hướng............................................................................................11
1.4.2. Bất đẳng thức Schwarz...............................................................................11
1.4.3. Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ.....................................................12
1.4.4. Tính trực giao, hình chiếu..........................................................................13
1.4.5. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hillbert.........15
1.5. Tập lồi...........................................................................................................15
1.5.1. Định nghĩa và tính chất..............................................................................15
1.5.2. Bao lồi và bao lồi đóng..............................................................................17
1.5.3. Các định lý tách..........................................................................................17


1.6. Hệ phương trình tuyến tính........................................................................19
Chương 2: Một số cách chứng minh bổ đề Farkas.........................................23

2.1. Bổ đề Farkas................................................................................................23
2.2. Một số cách chứng minh bổ đề Farkas......................................................24
2.2.1. Cách chứng minh thứ nhất.........................................................................25
2.2.2. Cách chứng minh thứ hai...........................................................................29
2.2.3. Cách chứng minh thứ ba............................................................................31
2.2.4. Cách chứng minh thứ tư.............................................................................32
Chương 3: Ứng dụng của bổ đề Farkas...........................................................35
KẾT LUẬN.........................................................................................................37
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................. 38


MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, bổ đề Farkas được sử dụng rộng rãi trong Toán học.
Bổ đề được công bố lần đầu tiên năm 1898 ở Hungary, nhưng chỉ được biết đến
rộng rãi tại Đức năm 1902. Trong những thập niên vừa qua, bổ đề Farkas được mở
rộng và phát triển với nhiều biến thể và nhiều phương pháp chứng minh khác
nhau.
Hiện nay, đã có một số sách chuyên đề viết về bổ đề Farkas và các ứng
dụng của nó trong Toán học cũng như trong thực tiễn đời sống và cũng đã có
một số sinh viên nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học với đề
tài liên quan đến bổ đề Farkas. Với mục đích tìm hiểu sâu hơn nữa về bổ đề
Farkas, các biến thể của bổ đề Farkas, các phương pháp khác nhau để chứng
minh bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas trong thực tế. Cũng là để tích
lũy kinh nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này,
đồng thời giới thiệu cho các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn
về bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas.
Vì những lý do trên cùng với sự góp ý động viên và tận tình giúp đỡ của
các thầy cô, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn, với sự đam mê của bản
thân tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài
" Một số cách chứng minh bổ đề Farkas" .

Dựa trên những kết quả đã có và các tài liệu tham khảo có liên quan tới bổ
đề Farkas, trong khóa luận này, tôi đã nghiên cứu về bổ đề Farkas, các phương

1


pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas và ứng dụng của bổ đề Farkas trong
kinh tế.
Khóa luận của tôi gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất liên
quan đến không gian định chuẩn, không gian Hillbert, tập lồi, hệ phương trình
tuyến tính để chuẩn bị cho việc trình bày và giới thiệu về bổ đề Farkas cũng như
một số cách chứng minh bổ đề Farkas.
Chương 2. Một số cách chứng minh bổ đề Farkas
Chương này nghiên cứu về bổ đề Farkas, các biến thể của bổ đề Farkas và
các phương pháp khác nhau để chứng minh bổ đề Farkas. Chứng minh gốc của
Farkas đã được trình bày nhiều trong một số tài liệu chuyên nghành nên trong
khóa luận tôi đưa ra bốn cách chứng minh khác của bổ đề Farkas:
1) Chứng minh của C. G. Broyden đã được công bố năm 1988. Chứng
minh này được trình bày dựa trên một tính chất của ma trận trực
giao.
2) Chứng minh của A. Dax được công bố năm 1997. Chứng minh này
của Dax có thể xem như là chứng minh gián tiếp tính chất đóng của
tập lồi C :Ax : x  0 .
3) Chứng minh của V. Chandru, C. Lassez, J. L. Lassez được công bố
năm 2004. Trong chứng minh này, tác giả đã sử dụng phương pháp
Fourier – Motzkin để loại trừ các biến trong các bất đẳng thức.



Phương pháp này có thể được xem như một trường hợp đặc biệt của
định lý loại trừ lượng hóa của Tarsky.
4) Chứng minh của D. Bartl được công bố năm 2008. Tác giả trình bày
chứng minh này thông qua chứng minh một bài toán tổng quát của
bổ đề Farkas.
Chương 3. Ứng dụng của bổ đề Farkas
Chương này nghiên cứu về ứng dụng của bổ đề Farkas trong việc giải bài
toán kinh tế.
Mặc dù khóa luận hoàn thành với sự cố gắng của bản thân, song do thời
gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi, nên trong quá trình
viết cũng như quá trình in ấn khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi
kính mong các thầy, cô giáo và các bạn đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành
khóa luận của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình
hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa luận.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian vector định chuẩn
1.1.1. Khái niệm không gian vector
Định nghĩa 1.1. Một tập X (mà các phần tử có thể là những đối tượng bất kỳ)
được gọi là một không gian vector (hay một không gian tuyến tính) nếu:
a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có, theo một quy tắc nào đó,
một phần tử của X , gọi là tổng của x với y và được ký hiệu x  y ; ứng với
mỗi phần tử x của X và mỗi số thực  ta có, theo một quy tắc nào đó, một
phần tử của X gọi là tích của x với  , ký hiệu  x .
b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn tám điều kiện (tiên đề) sau đây:
1) x  y  y  x ,  x, y X , (tính giao hoán của phép cộng);

2) (x  y)  z  x  ( y  z) ,  x, y , z 
X

(tính kết hợp của phép cộng);

3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x  0  x ,  x  X (phần tử này gọi là
phần tử không);
4) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử x thuộc X sao
cho x  (x)  0 (phần tử x

được gọi là phần tử đối của x );


5) 1. x  x , x  X ;
6)  (  x ) = (  ) x , x  X , ( ,  là những số bất kỳ);
7) ( +  ) x =  x +  x , x  X ;
8)  ( x  y ) =  x +  y , x, y  X .
Các phần tử của một không gian vector thường gọi là vector.
1.1.2. or độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính
Một tổ hợp tuyến tính của các vector
dạng 1x1   2 x2  ...   k xk . Các vector

x1, x2 ,...,
xk

x1, x2 ,...,
xk

thuộc X là một tổng có


gọi là độc lập tuyến tính nếu

bất cứ tổ hợp tuyến tính nào của các vector ấy mà đã bằng không thì phải có mọi
hệ số bằng không, nghĩa là  x   x  ...   x  0
1 1
2 2
k k
1  2       k  0 .
Các vector x1, x2 ,...,
xk

nhất thiết phải kéo theo

gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu chúng không độc

lập tuyến tính tức là tồn tại những số  1, 2 ,...,k

trong đó có ít nhất một số khác

0 , sao cho 1x1   2 x2       k xk . Chẳng hạn, hai vector x và x
tuyến tính vì 1. x  1. (x)  0 . Nếu trong các
vector

x1, x2 ,...,
xk

là phụ thuộc

có một cái bằng


0 thì rõ ràng chúng là phụ thuộc tuyến tính.
1.1.3. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X trên □ cùng với một ánh xạ từ X vào tập số
thực □ , ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1)

x

0; x =0


 x  0 , x
X;
2)  x  

x , x  X ,  □ , (tính thuần nhất);


3) x  y  x 

y , x, y  X (bất đẳng thức tam giác).

Số x gọi là chuẩn của vector x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X .
Các tiên đề 1) 2) 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
1.1.4. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Trong không gian định chuẩn ta có:

1) Dãy điểm  xn



của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm

x  X , nếu lim xn 
x

hay xn  x  n    .

n

2) Nế

xn  x0 thì xn  x0

nói khác đi chuẩn x là một hàm liên tục

u
của x .
3)

Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là nếu xn hội tụ thì tồn tại K □  , với
mọi n □

4) Nế

xn  K .

xn  x0 , yn  y0

thì xn  yn  x0  y0 . Nếu


xn  x0 ,  n   0

thì

u

 n xn   0 x0 . Nói khác đi, các phép toán x  y và 
x

5) Dãy điểm  xn 

là liên tục.

trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản

nếu lim xn  xm  0 .
m,n

6) Không gian định chuẩn

X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy

cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Đối với số thực bất kỳ x □ , ta đặt
xx .

(1.1)



Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho một
chuẩn trên □ .


Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là □ 1 . Dễ thấy □ 1 là không
gian Banach.
Ví dụ 1.2. Cho không gian vector k chiều

□ k , trong đó

□ k  {x  (x1, x2 ,..., xk ) : x j □ ) .
Đối với vector bất kỳ x  (x , x ,..., x ) □ k ta đặt
1
2
x

k

x

2

.

(1.2)

j1

Ta dễ thấy (1.2) xác định một chuẩn trên không gian □ k . Hơn nữa,


 □ ,   là không gian Banach.
k


Ví dụ 1.3. Cho không gian vector l 2 x   x   □

vector bất kỳ x  (x ) 
n
l2



:

n1




xn
 . Đối với


ta đặt

x



x


n1

2
n

.

(1.3)

Ta dễ thấy (1.3) xác định một chuẩn trên không gian l . Hơn nữa,  l ,  
2
2
là không gian Banach.
Ví dụ 1.4. Cho không gian vector □
 a,b là tập các hàm số liên tục trên  a,b  .
Đối với hàm số bất kỳ x  x  t  □ a,b
 

ta đặt

x  max x  t  .
atb

(1.4)


Ta dễ thấy (1.4) xác định một chuẩn trên không gian □
 a, b . Hơn nữa,


 □  ,   là không gian Banach.
a, b

Nhận xét 1.1. Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các chuẩn Euclide.

1.2. Toán tử tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.3. Cho hai không gian vector bất kỳ X và Y . Một ánh xạ A,
A: X  Y

được gọi là một ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu:

1) A(x1  x2 )  Ax1  Ax2 với mọi x1, x2  X ;
2) A( x)   Ax với mọi x 
X

và mọi số  .

1.2.2. Điều kiện liên tục
Định nghĩa 1.4. Ánh xạ A được gọi là liên tục tại điểm
  0    (x, ) : x  X ,

x  x0   ,

x0  X , nếu ta có

Ax  Ax0   .

Ánh xạ A được gọi là liên tục (liên tục trên X ) nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc X .

Nhận xét 1.2. Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn, một toán tử A từ X
vào Y được gọi là liên tục nếu xn  x0 luôn kéo theo Axn  Ax0 .
Định lý 1.1. Một toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Định nghĩa 1.5. Giả sử X , Y là hai không gian định chuẩn. Ta gọi một toán tử
tuyến tính


A:X  Y

là bị chặn nếu có một hằng số K  0 thỏa mãn


A x  K x ,x  X .
Định nghĩa 1.6. Ta gọi chuẩn của toán tử tuyến tính A , ký hiệu A , là số
A



: inf K  0 : A x   K x



,x  X .

(1.5)

Định lý 1.2. Ta có
A  sup
x0


Ax
x

 sup Ax .
x 1

Hệ quả 1.1. Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các giá trị của nó
trên mặt cầu (tùy ý) bị chặn. (Mặt cầu tâm x , bán kính  , ký hiệu S (x , ) ,
0
0
là
tập các x sao cho x  x0   .)
1.2.3. oán tử nghịch đảo
Định nghĩa 1.7. Giả sử A là toán tử tuyến tính đi từ không gian vector X vào
không gian vector Y . Ta nói A khả nghịch nếu có một toán tử B đi từ Y vào
X sao cho
AB  I x , BA  I y .
Ta gọi B là toán tử nghịch đảo của A , ký
hiệu

A1 .

Nhận xét 1.3. Giả sử A là toán tử tuyến tính đi từ không gian định chuẩn X vào
không gian không gian định chuẩn Y . Xét phương trình
Ax  y .

(1.6)

Toán tử A có nghịch đảo khi và chỉ khi Ker A  {0}, tức là phương trình Ax  0

chỉ có một nghiệm duy nhất x  0 .
Định lý 1.3. Nếu một toán tử tuyến tính liên
tục liên tục thì

A:X 
Y
Ax  m x , x  X ,

có nghịch
đảo

A1
(1.7)


1

. Ngược lại, nếu
A
1
có

với mọi số
m

tục và
có

1


A



1
m

m  0 nghiệm đúng
thì

1

A tồn tại, liên

.

1.3. Phiếm hàm tuyến tính
1.3.1. ghĩa
Định nghĩa 1.8. Cho một không gian định chuẩn X . Một hàm số f xác định
trên X và lấy trị là số thực gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là
tuyến tính nếu:
1) f (x1  x2 )  f (x1 )

2) f ( x)   f
(x)

f (x2 với mọi x1, x2  X ;
)

với mọi x 

X

và mọi số  □ .

Định nghĩa 1.9. Không gian gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X
được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X , ký
hiệu

*

X .

Nhận xét 1.4. Không gian X  cùng với  được xác định trong (1.5) lập thành
một không gian định chuẩn.
1.3.2. Phiếm hàm song tuyến tính
Định nghĩa 1.10. Cho một không gian định chuẩn X . Một hàm số f xác định
trên X  X được gọi là một phiếm hàm song tuyến tính, nếu với mỗi x cố định
nó tuyến tính theo y và với mỗi y cố định nó tuyến tính theo x .


1.4. Không gian hillbert
1.4.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.11. Cho X là không gian tuyến tính trên □ . Ta gọi là tích vô
hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X
, thỏa mãn tiên đề:
1) x, y  y,
x

, x, y  X ;


2) x  y, z  x, z  y,
z
3)  x, y  

vào □ , ký hiệu

x,
y

, x, y, z  X ;

, x, y  X ,  □ ;

4) x, x  0 , x  X nếu x  0
;

x, x  0 nếu x  0 .

Các phần tử của x, y, z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng,
số

x, y

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ
tiên đề tích vô hướng.
Nhận xét 1.5. Một số tính chất đơn giản của tích vô hướng:
1) 0,
x
2)


 0,x  X

x, y  

x,
y

vì 0,
x

 0.x, x  0. x,
x

,x, y  X ,  □ ;

3) x, y  z  x, z  y,
z

,x, y, z  X .

0;


1.4.2. Bất đẳng thức Schwarz
Định lý 1.4. Đối với mỗi x 
X

ta đặt
x


x, x ,

(1.8)


khi đó, với
mọi

x, y 
X

ta có bất đẳng thức Schwarz
x, y  x

.

(1.9)

y
Hệ quả 1.2. Tích vô hướng ,

là một hàm liên tục theo hai biến đối với chuẩn

được xác định bởi (1.8).
Định nghĩa 1.12. Không gian tuyến tính trên trường số thực □ cùng với một
tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
1.4.3. Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ
Định nghĩa 1.13. Không gian tiền Hillbert  H , ,  là không gian Hillbert nếu
H cùng với chuẩn x 


x,
x

,x
H

là không gian Banach.

Ta gọi một không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
Ví dụ 1.5. Ký hiệu □

là không gian vector thực k chiều. Với mọi x  (xn )

k

thuộc

k

□ , mọi y   yn  thuộc □ ta đặt
k

k

x, y   xn yn .

(1.10)

n1


Dễ dàng thấy hệ thức (1.10) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn
sinh bởi tích vô hướng (1.10)
x


x, x

k

x,
2

x
(x

) □ k


n

n

n1

trùng với chuẩn (1.2) đã biết trên không gian □ k nên không gian vector thực □ k
cùng với tích vô hướng (1.10) là một không gian Hilbert.


1.4.4. Tính trực giao, hình chiếu

Trong không gian Hillbert, nhờ tích vô hướng, có thể định nghĩa khái
niệm trực giao giống như trong không gian □ 3 thông thường.
Định nghĩa 1.14. Ta nói hai vector x, y của một không gian Hillbert H trực
giao với nhau, ký hiệu x  y nếu x, y  0 .
Từ định nghĩa ấy có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau:
1) Nếu x  y thì y  x . Ta có x  x khi và chỉ khi x  0 . Vector 0 trực
giao với mọi vector x ;
2) Nếu x  y1, y2 ,...,
yn

thì x  1 y1   2 y2  ...   n yn ;

3) Nếu x  yn , yn  y (n  )

thì x  y ;

4) Nếu tập M trù mật trong H thì M  gồm một phần tử duy nhất là 0 ,
nghĩa là x  M

kéo theo x  0 ;

5) Nếu x  y thì x 
y

2

x

2


 y

2

(định lý Pythagore).

Định lý 1.5. Giả sử M là một không gian con đóng của một không gian Hillbert
H . Khi đó, bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách duy
nhất dưới dạng
x  y  z vớ y  M z  M  ,
i ,
trong đó, phần tử y là phần tử của M gần x nhất (hay còn gọi là hình chiếu
của x trên M ), tức là x  y  x 
u

với mọi u  M .

Định nghĩa 1.15. Một hệ en  các phần tử của không gian Hillbert H gọi là hệ


trực chuẩn nếu (ei ,e j )  ij trong đó ij là kí hiệu Kronecker, (tức ij  1 với


i  j và  ij  0 với i  j ), ( i  1, 2,...), ( j  1, 2,...) . Như vậy, một hệ trực
chuẩn
là một hệ trực giao (các phần tử của nó trực giao từng đôi một) và chuẩn hóa
ei  1 với mọi i ( i  1, 2,...).
Khi en  là một hệ trực chuẩn thì với mọi x  H số  
i


x,e , được gọi
i

là hệ số Fourier (hay khai triển Fourier) của x theo hệ  en  . Ta có thể chứng
minh dễ dàng các tính chất sau đây:
1) 



 2  x (bất đẳng thức Bessel);
2

i1 i





2) Chuỗi

 e hội tụ và x  

i1 i i



e

 e với mọi n .


i1 i i

n

Định nghĩa 1.16. Một hệ trực chuẩn en  gọi là đầy đủ khi chỉ duy nhất vector 0
mới trực giao với tất cả các phần tử của hệ, nghĩa là
x  en (n  1, 2,...)  x  0 .
Định lý 1.6. Cho en  là một hệ trực chuẩn,   x,e
n

là các hệ số Fourier của

n

x đối với en . Các mệnh đề sau đây tương đương:
1)

en  là hệ trực chuẩn đầy đủ;

2) x  


i1

iei ,x  H ;


3) x
2




i1

 2 ,x  H (điều kiện đóng);
n
i

4) x, y 

5) Hệ en 
của các
en



i1

ii , x, y  H

(i là hệ số Fourier của y đối với ei );

tuyến tính trù mật trong H , nghĩa là họ các tổ hợp tuyến tính
(bao tuyến tính của hệ  en  ) trù mật trong H .


Định lý 1.7 (Riesz – Fischer). Cho một hệ trực chuẩn đầy đủ en 
gian Hillbert H . Nếu một dãy  i  thỏa mãn

trong không




   ,
2

(1.11)

i

i1

thì có một vector duy
nhất

x  H nhận các i (i  1, 2,...) làm hệ số Fourier và




x    iei , x 2    2 i
i1

.

(1.12)

i1

1.4.5. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian Hillbert

Định lý 1.8 (F. Riesz). Với mỗi vector a cố định thuộc một không gian Hillbert
H , hệ thức
f (x)  a,
x

(1.13)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian H với
f a .

(1.14)

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f nào trên một không
gian Hillbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.13).

1.5. Tập lồi
1.5.1. Định nghĩa và tính chất
Giả sử X là không gian tuyến tính, □ là tập các số thực
Định nghĩa 1.17. Tập A  X được gọi là tập lồi, nếu
x1, x2  A, □ ,0    1   x1  (1   )x 2  A .