Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cơ giáo tổ
Giải tích trong khoa Toán và các bạn sinh viên. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình
giúp đỡ em trong q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện cơng tác nghiên cứu khoa học nên khố
luận khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả xin chân
thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các
bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Thị Trúc


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
khóa luận tốt nghiệp "Lý thuyết thặng dư và áp dụng” được
hồn thành, khơng trùng với bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong q trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Thị Trúc

Mục lục

Mở đầu

1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1. Hàm chỉnh hình....................................................................................... 3
1.2. Tích phân của hàm biến phức..............................................................5
1.3. Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình................................11
1.4. Khai triển chuỗi luỹ thừa của một số hàm sơ cấp........................13
1.5. Thêm một ví dụ áp dụng.................................................................... 13
Chương 2. THẶNG DƯ VÀ CÁCH TÍNH

15

2.1. Khơng điểm và cực điểm.................................................................... 15
2.2. Thặng dư và cách tính.........................................................................18
2.3. Thặng dư của một thương................................................................. 21
Chương 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ

25

3.1. Tích phân xác định của các hàm hữu tỷ đối với sine và cosine 25
3.2. Tích phân với cận vơ tận....................................................................27
3.3. Tổng của chuỗi vô hạn........................................................................33
Phụ lục


40

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những nguyên lý cơ bản của lý thuyết Hàm biến phức, ẩn
chứa trong cơng trình của Riemann, nói rằng các hàm chỉnh hình được đặc
trưng một cách cốt yếu bởi các điểm kỳ dị của chúng. Chúng ta có sự
phân loại các điểm kỳ dị theo ba mức độ như sau:
+ Điểm kỳ dị bỏ được
+ Cực điểm
+ Điểm kỳ dị cốt yếu.
Loại thứ nhất khơng ảnh hưởng đến đặc tính của một hàm bởi nó có
thể thác triển chỉnh hình tại các điểm kỳ dị bỏ được của nó. Đối với loại
kỳ dị thứ ba, hàm được xét dao động và có thể tăng mạnh hơn bất kỳ
dạng luỹ thừa nào và sự hiểu biết hoàn chỉnh về dáng điệu của nó là
khơng dễ dàng. Đối với loại thứ hai điều đó phần nào dễ dàng hơn bởi
sự kết nối với việc tính tốn thặng dư tại các cực điểm.
Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản
chất của các điểm kỳ dị. Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết thặng
dư dùng để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đơi khi ta không thể

giải quyết được khi sử dụng các phương pháp thơng thường, đặc biệt khi
mà hàm dưới dấu tích phân có một số điểm bất thường. Ngồi ra, chúng
ta biết rằng tính tổng của một chuỗi hội tụ là khơng hề đơn giản, nhưng
nhờ những ứng dụng lý thuyết thặng dư mà cơng việc đó trở nên dễ dàng
hơn.
Bởi tầm quan trọng của lý thuyết thặng dư và được sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Lý thuyết thặng dư và áp
dụng” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên
ngành Sư phạm Toán học.
Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương

4


Chương 1. Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về hàm chỉnh
hình, tích phân của hàm biến phức và khai triển chuỗi lũy thừa của một
số

5


hàm sơ cấp.
Chương 2. Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức
quan trọng về lý thuyết thặng dư. Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra
định nghĩa và tính chất của cực điểm. Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái
niệm thặng dư và một số cách tính thặng dư của một hàm tại cực điểm.
Công thức thặng dư được đưa ra ở cuối chương nhằm phục vụ cho việc
trình bày các ứng dụng của thặng dư trong chương 3.
Chương 3. Chúng tơi trình bày ba ứng dụng của lý thuyết thặng
dư: Tính tích phân Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của

một số chuỗi vơ hạn.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu vấn đề thặng dư tại cực điểm.
- Nghiên cứu ứng dụng của thặng dư trong các vấn đề sau: Tính tích phân
Riemann, tính tích phân suy rộng và tính tổng của một số chuỗi hội tụ.

3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu về thặng dư tại cực điểm.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết thặng dư.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1.1. Cho D là tập con mở trong mặt phẳng phức C
và f là một hàm nhận giá trị phức trên D. Hàm f được gọi là chỉnh
hình (hay C-khả vi) tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại giới hạn
f (z0 + h) − f (z0)
lim
,
h→0
h

trong đó h ∈ C và h ƒ= 0 sao cho z0 + h ∈ D. Giới hạn trên được gọi
là đạo hàm của hàm f tại điểm z0 và được kí hiệu bởi f r(z0).
Biểu thức
f (z0 + h) − f (z0)
h
được gọi là thương vi phân của hàm f tại điểm z0.
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó
chỉnh hình tại mọi điểm z ∈ D. Nếu M ⊂ C là tập đóng thì ta nói
rằng f chỉnh hình trên M nếu f chỉnh hình trên một tập con mở nào
đó chứa M.
Ví dụ 1.1.3. Hàm f (z) = z chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ
trong
C và f r(z) = 1. Thật vậy, với mọi z ∈ C chúng ta có
(z + h) − = 1.
f r(z) = lim f (z + h) − =
lim
h→0
f (z ) h
zh
h→
0

Ví dụ 1.1.4. Hàm f (z) = z¯ khơng chỉnh hình. Thật vậy, chúng ta có
f (z + h) −
f (z )
h

=

z + h z¯ h

− = .
h

h


Khi cho h → 0 theo trục thực thì biểu thức trên có giới hạn 1, cịn khi
cho h → 0 theo trục ảo thì biểu thức đó có giới hạn là -1. Như vậy
biểu thức trên khơng có giới hạn khi h → 0.


Hàm f chỉnh hình tại z0 ∈ D nếu và chỉ nếu tồn tại số phức a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) = ah + hϕ(h),
ở đó ϕ(h) là hàm xác định với h đủ bé và lim ϕ(h) = 0. Dĩ nhiên, chúng
ta
r

h→0

cũng thấy ngay f (z0) = a. Cũng từ công thức trên chúng ta nhận được
Mệnh đề 1.1.5. Nếu hàm f chỉnh hình tại z0 thì liên tục tại điểm đó.
Lập luận như trong hàm biến thực chúng ta dễ dàng chứng minh
được các phép tính dưới đây đối với các hàm chỉnh hình.
Mệnh đề 1.1.6. Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trên D thì
(i) f ± g chỉnh hình trên D và (f ± g)r = f r ± gr ;
(ii) f.g chỉnh hình trên D và (f.g)r = f r.g + f.gr
.
f r.g − f.g r
(iii) Nếu g(z0) ƒ= 0 f chỉnh hình tại z
f

.r
thì
.
=
2
g
g
và
0

g
Hơn nữa, nếu f : D → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình thì g ◦
f
r

cũng là hàm chỉnh hình trên D và ta có (g ◦ f ) (z) = gr (f (z)) .f r(z).
Từ ví dụ 1.1.4, chúng ta thấy khái niệm khả vi phức khác với khái
niệm khả vi thông thường của hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f (z)
= z¯ tương ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) ›→
(x, −y) . Hàm này khả vi theo nghĩa thực, đạo hàm của nó tại một điểm
là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận
2x2 các đạo hàm riêng của các hàm toạ độ. Tuy nhiên, ta thấy điều
kiện tồn tại các đạo hàm thực khơng bảo đảm tính khả vi phức. Để
hàm f khả vi phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực
chúng ta cần đến điều kiện Cauchy-Riemann.


Định lý 1.1.7[1] (Điều kiện Cauchy-Riemann). Điều kiện cần
và đủ để hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi phức tại điểm z = x
+ iy là các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi thực tại (x, y) , đồng thời

thoả mãn điều kiện


Cauchy-Riemann

∂u
∂x

=
;

∂v
∂y

∂u

∂v
=− .
∂y
∂x

1.2.

Tích phân của hàm
biến phức

Một trong những cơng cụ quan
trọng để nghiên cứu các hàm chỉnh
hình là tích phân của hàm dọc theo
đường cong. Trước tiên, chúng ta

trình bày một số khái niệm về
đường cong và miền.
Đường cong tham số là một hàm
z(t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào
mặt phẳng phức. Đường cong được
gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm
zr(t) trên [a, b] và zr(t) ƒ= 0 với
mọi t ∈ [a, b] .
Đường cong tham số được gọi là
trơn từng khúc nếu z(t) liên tục
trên đoạn [a, b] và tồn tại các điểm
a = a0 < a1 < ... < an = b
sao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn
[ak, ak+1] , (0 ≤ k ≤ n − 1).
Hai đường cong tham số
z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C
được gọi là tương đương nếu tồn
tại song ánh khả vi liên tục s ›→
t(s) từ [c, d] vào [a, b] sao cho
tr (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)) . Điều
kiện tr (s) > 0 đảm bảo rằng hướng
của đường cong được xác định khi s
chạy từ c đến d thì t chạy từ a đến


b . Họ tất cả các
tham số tương

z
(

b

đương với z(t)

+

đường cong

xác định một

a

đường cong γ ⊂

−

C được gọi là

t
)
.

ảnh của đoạn
[a, b] qua z với
hướng cho bởi
z khi t chạy từ
a đến b. Chúng
ta có thể xác
định đường
cong γ− thu

được từ đường
cong γ bằng
việc đổi ngược
hướng. Như
một dạng tham
số hoá đặc biệt
đối với γ − ,
chúng ta có thể
lấy z¯ : [a, b]
→ R2 xác định
bởi
z
¯
(
t
)
=

Các
điểm
z(a) và
z(b)
được
gọi
là
các
điểm
đầu mút
của
đường

cong.
Bởi vì γ
được
định
hướng
bởi
phương
trình
tham số
z : [a,
b] → C
với
t
chạy từ
a


đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(a) là điểm đầu và z(b) là điểm cuối
của đường cong.
Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(a) =
z(b) với tham số hoá bất kỳ của nó. Đường cong trơn hoặc trơn từng
khúc được gọi là đơn nếu nó khơng có điểm tự cắt, nghĩa là z(s) ƒ=
z(t) trừ khi s = t. Đường cong đơn, đóng gọi là chu tuyến.
Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây
(i). D là tập mở;
(ii). Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a và b.
Miền giới hạn bởi chu tuyến γ được ký hiệu là Dγ. Miền D được gọi
là đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D. Miền
thu được từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền Dγ1 , Dγ2 , ..., Dγn
không giao nhau nằm trong D được gọi là miền (n + 1)-liên (khi không

cần phân biệt rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên).
Quy ước. Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theo
biên thì miền được xét nằm về bên tay trái, chiều có hướng ngược lại là
chiều âm. Đối với miền D được xét, người ta thường ký hiệu ∂D cũng là
biên của nó lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm.
Định nghĩa 1.2.1. Cho đường cong trơn γ trong C được tham số
hoá bởi phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ. Tích phân
của hàm f dọc theo γ được cho bởi cơng thức
b

¸f

(z)dz =

γ

¸

f (z(t)) zr(t)dt.

a

Nếu γ là đường cong có phương trình tham số z = z(t) trơn trên
mỗi đoạn [ak, ak+1] , 0 ≤ k ≤ n − 1 thì chúng ta có
n−1 a
k+1

¸f
¸


(z)dz =

.

γ
k=0 a
k


f (z(t))zr(t)dt.


Nếu viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì
b

[u (x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t))] (xr(t) +
iyr(t)) dt

b

(z(t)) zr(t)dt =

¸f
¸
a

a

¸


b

[u (x(t), y(t)) xr(t)dt − v (x(t), y(t)) yr(t)dt]

=
+
a

b

+i

¸
a

[u (x(t), y(t)) yr(t)dt + v (x(t), y(t))
xr(t)dt].

Từ đó, chúng ta nhận
được
¸
u(x, y)dx − v(x, y)dy
+i

(z)dz =

¸f
¸

v(x, y)dx + u(x, y)dy.

γ

γ

γ

Từ cơng thức trên đây chúng ta thấy tích phân của hàm biến phức trên
đường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường. Từ tính
chất của tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau
của tích phân hàm biến phức.
Mệnh đề 1.2.2. Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có
các tính chất sau
(i).

¸
γ

(αf (z) + βg(z)) dz =
α

¸

γ

f (z) + g(z)dz với mọi α, β ∈ C;
β

¸

γ


(ii). Nếu γ− là đường cong γ với hướng ngược lại thì


¸
¸
f (z)dz = − f (z)dz.
γ−
γ

(iii). Chúng ta có bất đẳng thức
.
.
.¸
.
.
.
.. f (z)dz
.. ≤ sup |f (z)| .độ dài γ.
z∈γ
.
.
γ


Ví dụ 1.2.3. Tính tích phân
¸
(z − z0 )ndz; n = 0, ±1, ±2, ...;
γ


trong đó γ là đường trịn tâm tại z0, bán kính r, z = z0 + reit, t ∈ [0,
2π] .
Chúng ta có
2π

¸

n

(z −
z0

) dz =
¸

γ

.

.
re

.
it n

ire

.
it


2π

dt =
i

0

rn+1ei(n+1)tdt.

¸
0

Nếu n = −1 thì tích phân trên trở thành
¸

γ

2π

dz

= i dt = 2πi.

z − z0

¸
0

Nếu n ƒ= 1 thì tích phân trên trở thành
 2π


¸
n
n+1
) dz = ir
[cos(n + 1)t + i sin(n +
(z −
¸ 1)t] dt
 = 0.

z0
γ

0

Ví dụ 1.2.4. Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham
số
z = z(t); t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó, chúng ta
có
b

¸ dz
γ

=

¸
a

b


b

zr(t)dt = dx(t) + dy(t) =
¸
b

i

¸
b


= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a)) = z(b) − z(a),
và

b

¸ zdz
γ

=

¸
a

b

1
¸

r
z(t).z (t)dt =
2

a

.
.
.
1 . 2
d z2(t) =
z (b)z2(a) .
−
2


Từ ví dụ 1.2.4, chúng ta thấy rằng các tích phân trên khơng phụ
thuộc và hình dạng của đường lấy tích phân và tích phân bằng 0 theo
đường cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo
một đường cong đối với hàm chỉnh hình được cho bởi định lý sau
Định lý 1.2.5 (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên
trong C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn từng khúc và f là hàm
chỉnh hình trên D, liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
¸f

(z)dz = 0.

∂D

Chứng minh. Nếu viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì

¸f

(z)dz =

¸

(udx − vdy) + i (vdx + udy)

∂D
∂D

Theo định lý Green, chúng ta có
¸

F=¸

∂D

dF .

D

Nếu F = udx − vdy, theo điều.kiện Cauchy.– Riemann, chúng ta có
¸
¸
∂u
udx − vdy =
−
dxdy = 0.
∂v

∂D
∂y
−
∂
D
x
Tương tự, tích phân của phần ảo của f (z) trên ∂D cũng bằng 0.

Q

Định lý 1.2.6 (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f là hàm
chỉnh hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến bất
kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z) =

1
2πi

¸
γ

f
dζ; với mọi z0 ∈ Dγ.
(ζ)
ζ−
z0


Hơn nữa, nếu hàm f liên tục trên D và ∂D là một chu tuyến thì với mọi
z ∈ D ta có

f (z) =

¸ f
(ζ) dζ.
ζ−
∂
z
D

1
2πi


Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z0 sao
cho
Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S (z0, ρ) tâm z0 bán kính ρ
chứa
f (ζ)
trong Dγ. Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S (z0, ρ) . Bởi ζ − là hàm chỉnh
vì
z0
hình với mọi z ∈ Dγ \S (z0, ρ) nên chúng ta có
¸
f
(ζ) dζ = 0.
γ+Cρ−

Từ đó, chúng ta suy ra

ζ−

z0

¸ f
dζ = ¸
(ζ)
Cρ
ζ−
γ
z0

f
(ζ) dζ.
ζ−
z0

Thực hiện phép đổi biến ζ − z0 = ρeit; 0 ≤ t ≤ 2π, chúng ta nhận được
¸

Cρ

2π

f (ζ)

dζ =

ζ − z0

2π


.

.
iρeitdt = f
z0
i¸

f z0 +

¸

ρeit

0

.

ρeit

.
+ ρeit dt

0

2π

= i

¸
0


.
f
. 0
z

.
.
+ ρeit − f ) dt + 2πif (z0).
(z0

Vì liên tục trên D nên khi ρ → 0 thì
2π

lim ¸ .
ρ→0

Do đó

.
.
+ ρeit − f ) dt = 0.

f
. 0 (z0
z
0
Từ
ra
đó,

chún
lim ¸
g ta
ρ→0
suy
21

Cρ


f
(ζ)

ζ−
z0

f (z0 ) =

dζ = 2πif (z0).

1
2πi

¸
γ

f
(ζ) dζ.
ζ−
z0


Trường hợp f liên tục D và f chỉnh hình trên D thì ta có thể thay ∂D
cho γ trong chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.

22

Q


Định lý 1.2.7 (Cơng thức tích phân Cauchy đối với đạo
hàm). Nếu f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vơ hạn
lần trong D. Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến nằm trong D, thì
f (z) dz; với mọi z ∈ D.
0

f (n)(z0) ¸n!
=
2πi

(z − z0n+
)
γ

Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n.
Trường hợp n = 0 theo công thức tích phân Cauchy chúng ta nhận được
điều phải chứng minh. Giả sử công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức
là
f

(n−1)


(n −
1)!
2πi

(z0 ) =

f (z )

¸

(z − z0 )

n

dz.

γ

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 + h ∈ Dγ, thương vi phân đối với hàm f
(n−1)

được cho bởi công thức
f (n−1) (z0 + h) − f
h
=

(n−1)

=


(n − 1)!
2πi

Đặt

1
= A,

ζ − z0 −
h
1

n

(ζ − z0 − h)
−
=

(z0)

1

¸

γ

1

.


1
n

f
(ζ)
h (ζ − z0 −
h)

−

1

.
n

(ζ − z0)

= B, chúng ta nhận được

ζ−
z0
1
n
z0)

(ζ −
h

=


.

An−1 + An−2B + ... + ABn−2 +
.
Bn−1 .

(ζ − z0 − h) (ζ − z0)
Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến

dζ.


.

(n −¸
1)!
2πi

1.3.

¸
f (ζ)
γ

1
.
(ζ −
2
z0 )


.

n
(ζ −

n−
z01)

n!

f (z )
n+

dζ =
2πi

γ

dz.Q

(z − z0)

Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh
hình

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z0.
Khi đó, ta gọi
s(z) =


∞
.
n=0

f (n) (z − z n)
0
(z0)
n!


là chuỗi Taylor của hàm f (z) trong lân cận của điểm z0. Khi z0 = 0 thì
chuỗi được gọi là chuỗi Maclaurin.
Định lý 1.3.2. Giả sử f là hàm chỉnh hình trong một tập mở D .
Nếu S(z0, ρ) = {z : |z − z0| < ρ} là đĩa tâm z0 bán kính ρ mà bao
đóng của nó chứa trong D, thì f có khai triển chuỗi luỹ thừa tại z0
f (z) =

.∞

n

an (z − z0) ,

n=0

với mọi z ∈ D và các hệ số của chuỗi được xác định bởi hệ thức
f (n) (z0)
; với mọi n ≥ 0 .
an =
n!

Chứng minh. Cố định z ∈ S(z0, ρ) và gọi Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ).
Theo công thức tích phân Cauchy, chúng ta có

2πi

Cρ

Chúng ta
viết

1
ξ−
z

f (ξ)
dξ

¸

f (z) = 1

ξ−z

1
=
=
ξ − z0 − (z −
z0)

.


1
1 ·
.
z − z0
ξ−
1−
z0
ξ − z0

Bởi vì ξ ∈ Cρ và z ∈ S(z0, ρ) cố định, nên tồn tại số r ∈ (0; 1) sao
cho
.
.
.. z − z.0 .
< r. Do đó
. ξ − z0.
∞

1
z − z0
1− ξ−z
0

..
=

n=
0


z − z0
ξ − z0

.
n
.

chuỗi hội tụ đều với mọi ξ ∈ Cρ. Điều đó cho phép ta lấy tích phân từng
số hạng của chuỗi và thu được


¸
∞
f (ξ )
1
n