Khóa luận tốt nghiệp

Lý thuyết ổn định của hệ vi phân
LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt
tình của thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng và các thầy cô giáo trong
khoa toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn
Hùng cùng các thầy cô giáo trong Khoa và trong Tổ Giải tích đã tạo điều
kiện cho em hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Nhung

SVTH:Đỗ Thị Nhung

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên
cứu của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự
hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi
phân” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Nhung

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài..................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu........................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu..................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận............................................................................... 2
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..........................................3
§1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN.................................................................................................... 3
§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ
N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT.........................................4
§3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN....................................... 10
§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM..........................13
§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ... 15
§6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
......................................................................................................... 17
§7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH...........................20
KHÔNG THUẦN NHẤT....................................................................20
§8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ
HẰNG.................................................................................................22
CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH...........................24
VI PHÂN TUYẾN TÍNH........................................................................24


§1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH........24
§2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH....................27
§3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN.............................................32
TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT...........................................................32

§4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH..............................35
VỚI MA TRẬN HẰNG......................................................................35
§5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT................................................................36
§6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN......................................................42
§7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT.........................................44
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG......................................................49
BÀI TẬP TỰ GIẢI..............................................................................59
KẾT LUẬN.............................................................................................61
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................62


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Lý thuyết ổn định là bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính của
phương trình vi phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở nhiều lĩnh
vực khác nhau nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái
học và môi trường học. Với lí do đó nó đang được phát triển mạnh theo
cả hai hướng ứng dụng và lý thuyết, nhất là lý thuyết ổn định trong
không gian Banach. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính ổn
định của hệ vi phân và ứng dụng của nó trong thực tế, được sự giúp đỡ
hướng dẫn tận tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em
chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi phân”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ tính ổn định của các nghiệm
đối với các hệ phương trình vi phân và những ứng dụng của lý thuyết ổn
định trong thực tế.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:
□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính.
□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất.

□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng.
□ Nghiên cứu tính ổn định của hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiên
cứu các điểm kì dị đơn giản.
□ Nghiên cứu tính ổn định của một số hệ dạng đặc biệt dựa vào phương
pháp thứ nhất Lyapunop.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là tính ổn định của hệ vi phân và các kiến thức
liên quan đến hệ vi phân.
Đỗ Thị Nhung

5

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


5. Phương pháp nghiên cứu.
□ Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
□ Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Cấu trúc khóa luận.
Những kết quả và thành tựu đạt được của lý thuyết ổn định là rất
nhiều và sâu sắc, song do mới bước đầu làm quen với việc nghiên cứu
khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ của khóa
luận em xin trình bày những vấn đề sau:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức về hệ vi phân.
Chương 2: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính
Trong chương này trình bày một số kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ
vi phân.
Chương 3: Bài tập vận dụng
Chương này gồm bài tập có lời giải và bài tập tự giải.

Lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu và thực hiện đề tài trong
thời gian ngắn nên không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong
nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên. Qua đây
em cũng xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn
Hùng đã nhiệt tình giúp đỡ em thực hiện khóa luận. Em cũng xin gửi lời
cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong khoa và tổ Giải
tích đã tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này.


CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN
1.Định nghĩa:
Hệ n phương trình vi phân cấp 1 dạng chuẩn tắc là hệ phương trình sau:
 dy
 dx 1  f1  x, y1 , y2 ,..., yn 

 dy2  f 2  x, y1 , y2 ,..., y 
n
 dx
......................................
 dy
 n
  fn  x, y1 , y2 ,..., yn 
dx

ở đây:

(1.1)


x là biến độc lập; y1  y1(x), y2  y2(x),…….., yn  yn(x) là các hàm phải
tìm.
là các đạo hàm của hàm phải tìm.

dy1 dy2
,
,…..,
dyn
dx

dx

dx

fi  x, y1 , y2 ,...., y n là các hàm liên tục của các biến x, y , y ,…, y
1
2
n



2. Khái niệm nghiệm của hệ phương trình vi phân.
Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi
y1  y1 (x)
,

y2  y2 (x),….., yn  yn (x) trên một khoảng nào đó sao cho

chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách khác
khi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức.



§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT.
1.Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp
một
Giả sử ta có phương trình:
y   f
n

Đặt:

'

 x, y, y ',..., y  
n1

(2.1)

'

y  y1 , y  y2 , y  y3 ,….., y  n1  yn

Khi đó ta có hệ n phương trình vi phân cấp một sau:

 dy
 dx 1  y 2

dy
y


 2
3
 dx
.......................................
 dy
 n
 dx  f  x, y1 , y2 ,...., yn 

(2.2)

Nếu y  y(x) là nghiệm của phương trình (2.1) thì:
y1  y  x , y2  y ' x  ,…, yn  y

n1

 x

là nghiệm của (2.2).
Ngược lại, nếu y1(x), y2(x),….., yn(x) là nghiệm của hệ (2.2) thì
y  y1(x) cho ta nghiệm của phương trình (2.1).

hàm

2.Đưa hệ phương trình vi phân cấp một về một phương trình vi
phân cấp cao.
Định lí:
Với một số điều kiện nào đó thì từ hệ phương trình:



 dx1 f  t, x , x ,...., x 
 dt  1
1
2
n

 dx2  f 2  t, x1, x2 ,...., x 
n
 dt
 ..................................

 dxn
 dt  fn  t, x1 , x2 ,...., xn 

(2.3)

có thể đưa về phương trình vi phân cấp n dạng:
n

d x

2

n1


dx j d xj
d x j
 F  t, x ,
,

,...,

n
2
dt
j
j dt dt
dt n1 
trong đó j là giá trị nào đó 1 ≤ j ≤ n.
j

(2.4)

Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (2.4) cho ta một nghiệm
x1, x2,…., xn của hệ phương trình vi phân (2.3).
Chứng minh:
Giả sử



fi i  1, n



là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên

tục theo tất cả các biến đến cấp (n−1).
Giả sử x  x t , x  x t ,…, x  x t là một nghiệm của hệ (2.3), ta
1
1 

2
2 
n
n 
thay vào phương trình thứ j của hệ (2.3) ta được:
dxj
 f j  t, x1  t  , x2  t ,..., xn  t   
dt

f j  t, x1 , x2 ,..., xn (2.5)



f
2
d xj  f j  f j  dx1  .... 
j · dx
n
2
dt
dt x1
xn dt
dt

Suy ra:

2

d x


Vậy:

j

dt

2



2



d x
j


f

f j
t
f j

f j dxi

i1 x
dt
i
n




n



f j
i

(2.6)


dt
Đặt

2

t

F2  t, x1 , x2 ,...., xn  

i1

f j

xn
n



t

f j

i1

·

xi

fi


2

d xj
dt

2

(2.7)

 F2  t, x1 , x2 ,..., xn



3

d x





j

dt

3

F 2

F dx
F 2 n F 2

f
2
i
 

i1 x
i 1 x
t
i
dt



t

n


(2.8)

i

3

d xj

(2.9)

i

3

dt  F t, x , x ,..., x
3
1
2
n
Cứ tiếp tục như vậy đến (n-2) lần ta được:
d n1x j
n1

dt
n
d x
dt
Giả sử:
Xét hệ:


n

j

 Fn1 (t, x1 , x2 ,...., xn )
(2.10)

 Fn (t, x1, x2 ,....,
xn )

D  f j , F2 , F3 ,...., Fn1 
D  x1 , x2 ,..., j 1,
x
x

j 1

,...,
xn



(2.11)

0

 dxj

dt  f j t, x1, x2 ,..., xn 

2
 d x
j 
 dt 2 F 2 t, x 1, x 2,..., x 
..........................................

j
n1
 d x  F 1  t, x1 , x2 ,..., x 
n
n
 dt n1

(2.12)

Do giả thiết (2.11) từ hệ (2.12) ta có thể giải được x1, x2, …., xj-1,
xj+1,….., xn và các hàm này biểu diễn qua t, xj,

dx j
dt

, …., d n1 x
j
dtn1

.


Thay các hàm này vào (2.10) ta được:
n


d x
dt

j


dx dj n1 x 
 F  t, x ,
,....,

j

(2.13)


n
n

j

dt
dtn1 

Đây là phương trình vi phân cấp n đối với xj.


Giả sử xj = xj(t) là một nghiệm bất kì của (2.13) thay vào (2.12) ta
tìm được x1, x2, …., xj-1, xj+1,….., xn và x1, x2, ….., xn sẽ là nghiệm của
hệ (2.3).

Thật vậy: x1, x2, ….., xn thỏa mãn (2.12) nên thỏa mãn:
dxj
 f j  t, x1 , x2 ,..., xn



dt
2
d x
Suy ra:

j

dt



f j

2

n




t

f j dxi


i 1

xi

(2.14)

(2.15)

dt

Trừ từng vế của (2.15) và (2.6) ta được:
n f  dx

j
i

 fi   0

i 1 
i x
dt

j
i
Tương tự như vậy từ phương trình thứ hai của hệ (2.12) lấy đạo hàm
2 vế ta được:
3

d x
j


dt

3



F

2

n F
dx
 2 

(2.16)

i

t

i1

xi

dt

Trừ từng vế của (2.16) và (2.8) ta được:
n F  dx


i
f 0

2
i

x  dt

i
i 1
ij

Tiếp tục quá trình này với các phương trình còn lại của hệ (2.12)
tổng hợp lại ta có hệ:
 n f
dx

 j 

f
0
i
 i1 

i j xi  dt
 n F  dx

  2  i  fi   0
i1 


 i j xi  dt

(2.17)



..................................

 n F  dx

i
 fi   0
  n1 
i1 

 i j xi  dt



Hệ (2.17) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất.
Do (2.11) nên hệ (2.17) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường
suy ra
dxi

dtf và dxj  f ; (i # j)
dt
i

j


Vậy: x1, x2, ….., xn là nghiệm của hệ (2.3).
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
 dy
 dx z

 dz  y
 dx

1
 2

Giải: d 2 y
(1) 

dz
dx

2



dx

Thay (2) vào ta được:
2

d y
dx

2


 y  y ''  y  y '' y  0

có phương trình đặc trưng:
2

k  1  0  k  1
Suy ra:

y
c1e

–x

 c ex
2
x

z  c1e  c2 e
x

Vậy: Nghiệm của hệ là:

x

x

yce ce
1
2


x
x
 z  c1e  c2e

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
 dx
 3x  2 y
 dt


 dy  2x  y
 dt


 3

 4


Giải:
2

(3) 

d x
dt

2


3

dx

dy
2
dt
dt

Thay (4) vào ta được:
2

d x
dt

2

3

2

dx
dt

 2(2x  y)



d x



dx
2
dt  3  4x  2 y
2
d x
dx
dx
dt
dx  
 3  4x  3x 
2
(3)  2 y  3x 
dt
dt
dt
dt 

2

d x

suy ra:

dt

2

2


dx
dt

x

2

d x

dx

2
 x 0
2
dt
dt



 x '' 2x ' x 
0 Phương trình đặc trưng là:
2

k  2k  1  0
 k  1 (bội 2)
Suy ra:

x
c1e
t


Ta có: x ' 
c1e
y

3

2

t

 c2e  c2te
t

 c te

thay vào y ta được:
c e  c e  c te 

t

1

2

t

t

2


1

t

2
t

 c e  c te 1 


 c e  c te 
1

t

t

2

ce
2

1

t

2

t


2
t
t
 x  c e  c te

t

2


1
2
Vậy nghiệm của hệ là:  y  c et  c tet  1 c et
1
2
2

2


Nhận xét:
Từ việc giải hai hệ phương trình trên ta rút ra kết luận sau: Để giải
hệ phương trình vi phân (1.1) bằng phương pháp đưa về phương trình vi
phân cấp n ta làm như sau:
Lấy đạo hàm một phương trình bất kì của hệ từ đó đưa về một
phương vi phân cấp n của một hàm phải tìm. Giải phương trình vi phân
cấp n có được từ nghiệm của phương trình vi phân cấp n ta sẽ tìm được
nghiệm của hệ phương trình vi phân.
§3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN


Ví dụ: Giải hệ phương trình:  dy
 dx z

 dy
 dx  y

1
 2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
dy
dx



dz
dx

zy



dy  dz
dx  y  z



d ( y  z)
dx  y  z




d ( y  z)
y  z  dx



dyz
yz

 y  z  c e1
Đỗ Thị Nhung

  dx  ln c1

x

(3)

10

GVHD: TS. Nguyễn Văn Hùng


Lấy (1) trừ (2) ta được:
dy  dz
dx  z 
y



d ( y  z)
y  z
dx
dy z



y
z

 ln

y
z

  dx  ln c2

 x  ln c2

 yzce

x

(4)

2

x


yzce
1

x
y

z

c
e

2

Từ (3) và (4) ta có hệ:
Suy ra:

x

x

2z  c e  c e  z 
1

Vậy nghiệm của hệ là:

2

1

c e  c e 

x

x

1

c x c2  x

y  1e  2e

2
2

 z  c1 ex  c2 e x

2
2

2

Qua ví dụ này ta thấy rằng, đối với hệ phương trình vi phân:
dxi
 f i t, x ,1 x ,...,
x  , (i=1,2,….,n)
2
dt

(3.1)

trong một số trường hợp ta có thể lập các tổ hợp khả tích, tức là lập nên

những phương trình vi phân mới là hệ quả của hệ (3.1) sau những phép
biến đổi nhưng dễ tính tích phân hơn để từ đó đi đến những hệ thức
dạng:
  t, x1 , x2 ,...., xn   c
gọi là tích phân đầu của hệ (3.1).

N
ế


u tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu:

(3.2)


 1  t, x1 , x2 ,...., xn   c1

t, x ,1 x ,....,
x n  c 2

2
2

.....................................
   t, x , x ,...., x   c
1
2
n
k
 k


(3.3)

Nếu tất cả các tích phân đầu này là độc lập, tức là có ít nhất một
định thức:
D  1 , 2 ,....,k 
0
D  xi , xi ,...., xi 
1

2

(3.4)

k

trong đó x , x ,….., x là k hàm nào đấy trong số x1, x2,….., xn thì từ hệ
i1

i2

ik

(3.3) ta có thể biểu diễn k hàm chưa biết theo các hàm còn lại. Thay vào
hệ (3.1) ta sẽ hạ thấp được k cấp của hệ đó, tức là đưa về hệ (n−k)
phương trình.
Nếu k  n và các tích phân đầu là độc lập thì các hàm chưa biết
đều xác định được từ hệ (3.3). Khi đó ta coi như đã tích phân xong hệ
phương trình (3.1).
Chú ý: Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ

(3.1) dưới dạng đối xứng sau:
dx1
dx2
dxn
 ………….. 


 1 t, x 1, x 2,..., x   2 t, x ,1 x 2,..., x 
 n t, x ,1 x 2,..., x 
dt
 0 t, x 1, x 2,..., x 
n

trong đó:

  t, x , x ,..., x n
i

1

2

x

 0 t, x 1, x 2,..., x 
Ví dụ: Xét hệ:

= f  t, x , x ,...,
i


1 2

 ; (i = 1, 2,…., n)
n


2xy
 dy
 dx x 2  y 2  z 2


2xz
d 
 dx x 2  y 2  z 2
Dạng đối xứng của hệ là:
dx
dy dz
2
2
 2xz
x y z
2

Tích phân phương trình: 2xy

y
ta được:

z


dy dz
2x  2xz
y

 c1

Bây giờ lần lượt nhân tử số và mẫu số của hệ phương trình đối xứng với
x, y và z rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:
xdx  ydy  zdz
x  x y z
2

2

2





dz
2xy

Do đó:
ln  x  y  z
2

2

2


2

x y z

hay:

2

  ln

y  ln c2

2

c
2

y
Các tích phân đầu tìm được này là độc lập. Vì thế chúng cho ta xác định
các hàm phải tìm y và z qua x, c1, c2
§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

1.Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân:


 dy1 f  x, y , y ,...., y 
 dx  1
1

2
n

 dy2  f 2  x, y1 , y2 ,...., y 
n
 dx
........................................

 dyn
 fn  x, y1, y2 ,...., yn 

dx

được hiểu như sau:

(4.1)

Tìm nghiệm y  y x , y  y x ,….., y  y x
1
1 
2
2 
n
n 
kiện ban đầu cho trước

y
x
1


đó:
yn

0

0

x0 , y1 , y2 ,....,

y
0

0

x y

,y

1

2

0

0

thỏa mãn các điều

 xy


,……, y

2

n

0

0

. Trong

n

là các giá trị cho trước tùy ý mà ta gọi là các giá trị

ban đầu.
2.Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét hệ phương trình vi phân:

 dy
 dx 1  f1  x, y1 , y2 ,..., yn 

 dy2 f2  x, y1 , y2 ,..., yn
 dx 

(4.1)




........................................

 dyn  fn  x, y1 , y2 ,..., yn 
 dx
Giả sử:
i, Các hàm f1, f2,…., fn liên tục trong miền:
G  x 
x

0

0

0

0

 a; y 1  y 1  b; y 2  y2  b;.....; y n  y  b



và do đó giới


nội f  x, y , y ,..., y   M ; (i  1, 2,…, n).
i
1
2
n
ii, Các hàm f1, f2,…., fn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1, y2,…, yn trong

miền G với hằng số Lipsit L > 0.