Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
******

MẠC ANH VĂN

LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN
C  A, B

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

HÀ NỘI- 2013


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
******

MẠC ANH VĂN

LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN
C  A, B

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI- 2013


Lời cảm ơn
Khóa luận này của em đã đươc hoàn thành với sự chỉ bảo, hướng
dẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường.
Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em
trong suốt thời gian làm khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn
chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy cô
giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để
em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
MẠC ANH VĂN


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố
gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự
trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của riêng bản thân,
không có sự trùng lặp với đề tài nghiên cứu của các tác giả khác.

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
MẠC ANH VĂN


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU....................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ...........3
1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach..................................... 3
1.2.Không gian C  a,b ............................................................................................9
1.3.Hàm có biến phân bị chặn.............................................................. 10
1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes........................................................... 11
CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  a ,b  .............................15
2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C[a,b] .. 16
2.2.Quan hệ tương đương giữa các hàm có biến phân bị chặn.............20
2.3.Chuẩn hóa các hàm biến phân bị chặn............................................ 24
2.4.Liên hợp của không gian C  a, b ...............................................................26
KẾT LUẬN............................................................................................. 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 29


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu

thế kỉ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học
cổ điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát
xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại
số, Phương trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ
được một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả
rất mẫu mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán
học có liên quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài
ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh
vực khoa học khác.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các
ngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm
phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong
chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn
giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Liên hợp của không gian C  a,b  ” làm
đề tài khoá luận tốt nghiệp. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy
được định lý cần và đủ của không gian liên hợp C  a,b . Thông qua đó
thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn đề giải tích và ứng
dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa
học khác nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về định lý của không gian liên hợp C  a,b  và
một số ứng dụng để thấy được vai trò quan trọng của nó trong nhiều vấn

6


Khóa luận tốt nghiệp


Trường ĐHSP Hà Nội 2

đề giải tích và ứng dụng vào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và
các lĩnh vực khoa học khác nói chung.
3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric,
không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian

C  a,b  , hàm có

biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận,
phân tích, tổng hợp, so sánh…
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến định lý của không gian
liên hợp C  a,b  và một số ứng dụng của nó.
6. Bố cục luận văn
Phần mở đầu.
Nội dung khoá luận gồm hai chương:
Chương 1: Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị
Chương 2: Liên hợp của không gian C  a,b 
Kết luận.


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu là . thỏa mãn các tiên đề chuẩn
sau đây:
1) (x  X ),

x  0, x  0  x  0;

2) (x  X ), (  P),  x   x ;
3) (x, y  X ), x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của véc tơ x . Ta kí hiệu không gian định chuẩn l X
Ví dụ 1.1. Cho không gian véctơ l . Đối với véctơ bất kỳ x  (xn )l2 ta
2
đặt:


x

x
n1

2
n

thì đây chính là một chuẩn trên l . Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu
2
là l2 .
Định nghĩa 1.2: Ta nói chuẩn

.


1

và .

tương đương nếu tồn tại hằng số C1,

2

trên không gian véctơ X là

thỏa mãn:

C2

C .  . C . .
1
1
2
2

1


Chú ý:
Trong một không gian hữu hạn chiều, mọi chuẩn đều tương đương
nhau. Các chuẩn tương đương cùng sinh một tôpô. Điều này không còn
đúng trong không gian vô hạn chiều.
Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu giữa hai không gian tuyến tính định
chuẩn là một song ánh tuyến tính bị chặn.
Hai chuẩn . và . là tương đương  ánh xạ

1
2
là một đẳng cấu (
id : ( X , . 1 )  ( X , .
)

2

liên tục và ánh xạ

id

ngược cũng liên tục).
Ví dụ 1.2
Mỗi không gian Hilbert tách được (tức tồn tại một cơ sở Hilbert
đếm được) đều đẳng cấu với l2 .
1.1.2. Không gian Banach
Định nghĩa 1.4: Một không gian Banach là một không gian tuyến tính
định chuẩn đầy đủ (tức là mọi dãy cơ bản đều hội tụ về một điểm nào đó
của không gian ấy).
Ví dụ 1.2
a) Không gian Hilbert là không gian Banach.
P
b) L ( X , d  ) ,1  p   là không gian Banach.

Định nghĩa 1.5: (Toán tử tuyến tính bị chặn)
Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay toán tử bị chặn) T giữa hai
không gian tuyến tính định chuẩn ( X 1 , . 1
)


tuyến tính thỏa mãn  c  0 sao cho:
x  X 1 , Tx 2  c 

và ( X 2 , .

2

là một ánh xạ

)
Tx .
1

Như đã biết từ trước đó, T bị chặn  T liên tục  T liên tục tại
một điểm.


Ta định nghĩa chuẩn của toán tử là:

sup Tx

T 

2

.

x 1 1

Bổ đề 1.1: Chuẩn của toán tử cũng là một chuẩn trên không gian

L( X ,Y ) tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y.
Chứng minh:

. 2 là một

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác. Vì
chuẩn nên ta có:

(T  S ) x

2

 Tx  Sx

 sup Tx  Sx

 Tx

2

 Sx

2

 sup( Tx



2


x 1 1

2

,

Sx

2

)
2

x 1 1

Mà
sup( Tx

 Sx

2

2

)  sup Tx

x 1 1

2


x 1 1

 sup (T  S ) x

2

2

x 1 1

 TS  T

2

.

x 1 1

 sup Tx

x 1 1

 sup Sx

 sup Sx

2

x 1 1


 S .

Tiếp theo, ta chứng minh aT  a . T .
Thật vậy, ta có:

aT  sup aTx 2 .
x 11

Vì . là một chuẩn nên: aT
x

2

. Mặt khác, với số dương

 a Tx
2

2

bất kì a thì supa   a.sup  , do đó:
aT  sup aT
x 11
x
 a sup Tx

2

2


 sup a Tx

2

x 11

a T .

x 1 1

Cuối cùng, ta chứng minh T  0  T  0 . Nói cách khác, ta phải
chứng minh Tx = 0 x X1 . Ta thấy, T

0

x  1, Tx
1

2

 0 . Theo


tính chất tuyến tính thì x  X , Tx
1

 0 . Nhưng do

là một chuẩn


.
2

2

nên Tx  0 , x X1 . Do đó T  0 .
Định lý 1.1: Nếu Y là một không gian Banach thì L( X ,Y
)
không gian Banach.

cũng là một

Chứng minh :
Rõ ràng

L( X ,Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Cho An là
)

dãy Cauchy các hàm trong

L( X ,Y ) khi đó:

An  Am  0 khi m, n  .
n,m

Suy ra,  x  X ,  An (x) là dãy Cauchy. Do đó nó tồn tại giới hạn,
giả sử là A(x) . Khi đó ánh xạ x  A( x) tuyến tính là điều rõ ràng. Bây
giờ, ta chứng minh tính bị chặn:
A(x)
Nhưng An 


C . Do
đó,

nN

Ax  C. x

y

 lim An
n
(x)

 limsup An . x

X

là dãy Cauchy. Do đó nó bị chặn đều bởi hằng số
X

.

Vậy A L( X ,Y ) .
Cuối cùng, ta chứng minh rằng nó chính là giới hạn của dãy
( An  A)(x)  lim ( An  Am )(x)
m

 lim sup An  Am . x
m


  (1)

Vậy An  A

L( X ,Y
)

x

X

X

do An là dãy Cauchy.

 0 . Định lý được chứng minh.

An :


1.1.3. Định lý Hahn-Banach
Định lý 1.2: Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác định trên một không
gian con M của một không gian véctơ thực X . Nếu có một hàm dưới
tuyến tính  xác định trong X sao cho (x  M )
một phiếm hàm tuyến
tính

f (x)   (x) thì phải có


F (x) xác định trong toàn thể X sao cho:

1) F là khuếch của f , nghĩa là: (x  M ) F (x)  f (x) .
2) (x  X ) F (x)   (x) .
Hệ quả 1.1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một
không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể
khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên X , mà có
F  f .

Hệ quả 1.2: Cho không gian định chuẩn X . Với mỗi phần tử khác không

x0 
X

tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên toàn

không gian X sao
cho

f (xo )  xo

f 1.

và
1.1.4. Không gian liên hợp
Định nghĩa 1.6 : Cho X là một không gian định chuẩn. Không gian liên
hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu

*


X là tập hợp

tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X .
Định lý 1.3 : (Định lý Riesz) Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi
đó,

với

mọi

cho F (x)  f ,
x

FH



tồn

, x H . Hơn nữa

tại

duy
 F .

f

Trường hợp đặc biệt ta coi
2 


thì

2

a) (L )  L .
b)  l *  l .

*

H là H . Ví dụ:

nhất

hàm

f  H sao


2

2


Sau đây ta sẽ mở rộng sang không gian
1 1
p 
p
(L )  L ,1  p   với 


 1 nói cách khác, ta có định lý sau:

p

p'
p 

F  (L )

Định lý 1.4: Cho 1  p   . Khi đó, với mọi
p

f  L với

nhất
hàm

1



1

p

L : Ta có

thì tồn tại duy

 1 sao ch o   L : F ( )   f  d  . Ngoài

p

p

p

ra (L1 )  L , (L )  L1.
Định nghĩa 1.7: Không gian liên hợp thứ hai là đối ngẫu của không gian
đối ngẫu, cụ thể:


 
X (X ) .

Coi J : X  X  cho bởi
phép nhúng chính tắc từ X vào X

J (x)(v) 
v(x)




với v  X được gọi là

Nó cũng là một phép nhúng đẳng cự.

Để thấy rõ điều này, ta viết:

J(x)  sup J(x)( f  sup  f , x  

sup
)
f 1

Từ
f(
x)

f 1

f .x  x
f 1

hệ quả của Định lý Hahn – Banach, f  X  sao cho

 1 và

Vì J
(x)

f,
x

 x . Do đó, suplà đạt được và đẳng thức xảy ra.

là phép nhúng đẳng cự nên ta có thể đồng nhất X với

J (x) hay X là một bộ phận

X ** .


của Nhận xét:
-Trong không gian hữu hạn chiều đẳng thức xảy ra. Điều đó
không còn đúng trong không gian vô hạn chiều.
- Nếu

J ( x)  X



thì ta nói rằng X là phản xạ.


Ví dụ về không gian phản xạ
. Không gian Hilbert là một không gian phản xạ.
. Không gian
thấy trước đó.

1

L không phản xạ
vì

1 

(L )  L



 


1

mà (L )  L như đã


Không gian C  a,b 

1.2.

Kí hiệu C  a,b 

là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn  a, b cùng

với phép cộng và phép nhân tạo thành không gian vécto thực.
Định nghĩa 1.8: Tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên một đoạn

 a,b

với khoảng cách giữa hai phần tử

  x, y  max x t   y t 

và

y(t)

là

là không gian C  a, b .


atb

Trên C  a,b

x(t)

xác định bởi công thức:
x  max x(t) ,
at b

x  t   C  a,b

(1.1)

được gọi là không gian định chuẩn.
Định lý 1.5: Không gian C  a,b là không gian Banach với chuẩn (1.1).
Chứng minh:
Giả sử  x

n

  0 , n0 □

t 

là dãy cơ bản bất kỳ trong C  a,b  ,nghĩa là với

n1



 , m, n  n  :
0

xn  xm   .

Suy ra max x  t   x  t    m,n  n .
n
m
0
atb

Do đó,

x n  t   x m  t    , m,n  n0 ,

Như vậy với mỗi t cố định thuộc  a, b
1

t   a;b

thì

1

(1.2)

 x  t  

bản trong □ . Vì □ là một không gian đầy nên dãy


n

là dãy cơ
n1

hội tụ

x t 
n

n1

1

trong

□ .
Đặt

x  t  trên

x  t   lim xn  t  , cho t thay đổi trên  a,b
n

thì ta có hàm số

 a,b Từ (1.2) cho m  ta có:
  0 , n0 □




 ,m, n  n  , t  a,b 
0

xn  t   x  t   


Hay

max xn  t   x t   
atb

Tức là dãy

xn  t  hội tụ đều tới x  t  .

Vậy x t
  liên tục trên C  a,b và x  t   C  a,b và  x t  hội
n
n1
x  t  trong
C  a,b . Nói cách khác, C  a,b 
tụ tới
là không gian Banach
với chuẩn (1.1).
1.3.Hàm có biến phân bị chặn
Định nghĩa 1.8: Cho hàm số F(x) xác định trên đoạn  a,b . Ta gọi biến
phân của F(x) trên đoạn ấy và ký hiệu V b (F là cận trên đúng của các số
)

a
n1



i0

(1.3)

F (xi1)  F (xi )

lấy theo tất cả các cách chia đoạn

 a,b

bởi những điểm
a

x
0


x
1


..
.

x

n



17

b.(


n là số tự nhiên tùy ý). Hàm số biến phân bị chặn (giới

F(x) gọi là có

b

nội) nếu V (F )   .
Ví dụ: Cho F (
x)

là hàm sốa đơn điệu không giảm thì bao giờ cũng

có biến phân bị chặn, vì tổng (1.3) đối với nó luôn bằng F (b)  F (a), bất
kể chia đoạn  a,b như thế nào.
Nhận xét:
Dĩ nhiên V b (F  G)  V b (F )  V b (G) , cho nên tổng hay hiệu
a
a
a

của hai hàm số có biến phân bị chặn thì cũng có biến phân bị chặn. Nói

riêng, hiệu của hai hàm số đơn điệu không giảm thì có biến phân bị chặn.
Ngược lại cũng đúng nghĩa là:
Một hàm
số

F(x) có biến phân bị chặn khi và chỉ khi nó là hiệu

của hai hàm số đơn điệu không giảm.

18


Thật vậy, giả sử F(x) có biến phân bị chặn. ChoV (x)  Vax (F ) và

F1 (x)  1
2
rõ

1
F2 (x) V (x)  F(x) . Nếu
2


V (x)  F(x) ,

ràng

với

mọi


cách

chia

đoạn

a  '  x''  b
x

 a, x'  bởi



những

thì

điểm

'

a  x  x  ...  x  x , ta có
0

1

p1

 F (x


i0

'

Cho nên V (x )


i1

)  F (xi )

''

''

'

''

F (x )  F (x )  V (x )
'

''

F (x )  F (x )  V (x ) ,

hay V (x'' )  V (x ' ) F (x'' )  F (x ' ) , và do đó ta suy ra các hàm số

F1 ( x), F2 ( x) đều là đơn điệu không giảm. Đương

nhiên

(1.4)

F ( x)  F1 ( x)  F2 ( x)

Đó chính là cách biểu diễn đòi hỏi.
1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes
Định nghĩa 1.9: Cho hai hàm số f (x),
g(x)
hãy chia đoạn  a,b

xác định trên đoạn  a,b . Ta

bởi các điểm chia a  x0  x1  ...  xn  b

và thành

lập tổng
n1

S   f (i ) g(xi1 )  g(xi )
i0

Trong đó i

là một điểm bất kỳ của đoạn

 xi , xx1  .


Nếu khi

max(xi1  xi )  0 , tổng S dần tới một giới hạn hữu hạn không phụ

thuộc cách chia và cách chọn các điểm i , thì giới hạn ấy gọi là tích phân
Riemann-Stieltjes của f (x) theo g(x) và được kí hiệu


b

(R.S )  f (x)dg(x)
a


Định nghĩa 1.10: Cho  g là độ đo L.S cảm sinh bởi một hàm số không
giảm g(x), f (x) là một hàm số  g - đo được trên một tập A . Nếu tích
phân

 f (x)d
A

Stieljes (L.S)

g

tồn tại thì nó cũng được gọi là tích phân Lebesgue-

của f (x) theo g(x) trên A và cũng được kí hiệu:

(L.S)  f (x)dg(x).

A

Định lý 1.6:
Nếu

f (x) liên tục
và

bên phải trên  a,b

g(x) có biến phân bị chặn và liên tục

thì các tích phân Lebesgue-Stieltjes và Riemann-

Stieltjes tồn tại và bằng nhau:
b

b

(L.S )  f (x)dg(x)  (R.S )  f (x)dg(x).
a

a

Chứng minh: Cho  m là một dãy những cách chia đoạn  a,b bởi các
điểm
a  xm,0  xm.1  ...  xm,n  b
m

Sao cho max(xm,i1  xm,i )  0 (m  ) . Ta hãy lấy trong mỗi

i

đoạn  xm,i , xm,i1  một


điểm

m,i và xác định các hàm bậc thang fm ( x)

như sau:
fm (x)  f ( m,i)xm,i với xm,i  x  xm,i1 (i  0,1,..., nm  1)
Rõ ràng

 g  xm,i , xm,i1   g(xm,i1 )  g(xm ,i) và
n1

S m   f ( m,i )  g (xm,i1 )  g (xm,i )
i0

 (L.S ) 

a,b

fm (x)dg (x)


Vì f
(x)

liên tục nên nó bị chặn: f ( x)  K và f m ( x) 

K

với mọi

m. Vả lại f ( x) 
f ( x) (m  ) . Vậy theo định lí hội tụ bị chặn ta có:
m
(L.S)

  f
a,b

m

(x)dg(x) (L.S ) 

f (x)dg(x)

a,b

Thành thử
b

(R.S )  f (x)dg(x)  (L.S ) 

f (x)dg(x)
a,b

a


 (L.S )

 f (b) g(b)  g(b  0)

 a,b

b

 (L.S )  f (x)dg (x).
a

Vì g(a  0)  g(a) 
0

theo sự liên tục bên phải của g(x). Vậy

định lí được chứng minh.

F(
Định nghĩa 1.11: Một hàm số x)

được gọi là tuyệt đối liên tục trên

đoạn  a, b nếu với mọi   0 cho trước đều có   0 sao cho:
n

n

 (b  a )    
i1


Định lý 1.7:
Nếu

i

i

liên tục
f (x) và
b

F (bi )  F (ai )  

i1

g(x) tuyệt đối liên tục trên  a,b thì
b

(R.S )  f (x)dg(x)  (L) f (x)g (x)dx.
a

a

Chứng minh: Ta xét hiệu số
n1

b

i0


a

H   f (i )  g (xi!)  g(xi )  (L) f (x)g (x)dx
Vì g(x) tuyệt đối liên tục
nên

g (xi 1

)  g (xi ) 


xi 1



xi

g (x)d ( x) , và ta có:


n1 xi 1

H

  f ( ) 

f (x) g ( x)dx

i


i0 xi

Dựa vào tính liên tục đều của

max(xi1  xi )  

kéo theo max x  x x
i

i

i 1

f (x) , ta chọn 

đủ nhỏ để

f (i )  f ( x)   với mọi i . Khi

ấy
n1 xi 1

H 



i0 xi

b


g (x) dx    g (x) dx
a

Và vì   0
nhỏ tùy ý ta phải có H  0 . Vậy ta có điều phải
chứng minh.
Bổ đề 1.2:
x(t) là liên tục
C  a,b và g(t) có biến phân bị
Nếu
trên
chặn trên C  a,b  khi đó tích
phân

b

 x(t)dg(t) tồn tại.
a

Bổ đề 1.3:
Nếu

 (t) là liên tục

C  a,b

và  (t) có biến phân bị

trên


chặn trên  a, b thì

b

 (t)d (t)  max  (t) .V ( ).
a

b

Bổ đề 1.4: Nếu tích
phân
b

và

  (t)d (t) tồn tại, thì  (t)d(t) cũng tồn tại
a

b

  (t)d (t)   (t)d(t)   (b) (b)   (a) (a).
a

a

b

a



CHƯƠNG 2
LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  a,b
Kết quả rất quan trọng trong giải tích hàm là định lý biểu diễn cho
phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên

l p . Ở đây, chúng ta sẽ đạt được kết

quả tương tự cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian Banach
C  a,b  - không gian hàm có giá trị phức, xác định và liên tục trên  a,b  ;

không gian với chuẩn của

x   a,b  được xác định là:
x  max x(t) .

(2.1)

ta ,b

Chúng ta sẽ chứng minh rằng, để mỗi phiếm hàm tuyến tính f bị
chặn trên không gian C  a,b  đều tương ứng với hàm g(t) có biến phân bị
chặn trên  a, b với tính chất sao cho x  C  a,b , giá trị của

f (x) được

cho bởi tích phân Riemann – Stieltjes.
b

(2.2)


f (x)   x(t)dg(t).
a

Bằng cách này, chúng ta sẽ đạt được một con đường để biểu diễn
bất kỳ một phiếm hàm tuyến tính nào trên
không gian liên hợp của

C  a,b

C  a,b . Tiếp theo ta chỉ ra

chính là NBV  a,b

- không gian

Banach của các hàm có biến phân bị chặn trên  a,b  trang bị bởi chuẩn:
x  V (x).

Trong chương này ta sẽ kí hiệụ C

 a,b 
C  a,b tức

C  a,b    C  a,b * .

(2.3)
là không gian liên hợp của

Ngoài ra thêm B  a, b


các hàm giá trị phức xác định và bị chặn trên  a,b  .

là tập hợp tất cả