Kho¸ luËn tèt
nghiÖp

Trêng
§HSPHN2

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cô
trong tổ Giải Tích và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên. Em xin
chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ:
Bùi Kiên Cường đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời
gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận.
Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã cố gắng
nhưng những vấn đề em trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy em kính mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo,
cô giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa luận của em có
thể hoàn thiện hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Xuân

NguyÔn ThÞ Thanh
Xu©n

Líp K35C – SP
To¸n

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian
qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường.
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier
Hữu Hạn” không trùng với bất kì khóa luận tốt nghiệp nào khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Xuân


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Cấu trúc
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuỗi Fourier…………………………………………….…… 3
1.1.1. Định nghĩa………………………………………………3
1.1.2.Sự hội tụ…………………………………………………4
1.1.3. Sự hội tụ đều……………………………………………8
1.1.4. Sự hội tụ
trong

2
L  L2   ,   ……………………….13


1.1.5. 5. Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đẳng thức Parseval.. 16
1.2. Nhóm hữu hạn…………………………… ………………….18
1.2.1. Định nghĩa nhóm………………………………………18

1.2.2.......Tính chất cơ bản của nhóm…………………….
Nhó …………………………………………..20
1.2.3.
m □  N
CHƯƠNG 2: CHUỖI FOURIER HỮU HẠN

2.1. Chuỗi Fourier trên □
 N

…………………………………….28

2.1.1. Định nghĩa chuỗi Fourier……………………………….29

19


2.1.2. 2. Công thức Fourier ngược……………………………….30


2.1.3. 3. Biến đổi Fourier nhanh………………………………...31

2.2.

Các

đặc


trưng

của

nhóm

hạn……………………….32

Aben

2.2.1.

hữu
Đặc

trưng………………………………………………..32
2.2.2. Các quan hệ trực giao…………………………………...33
2.2.3. Các đặc trưng như là một hệ đầy đủ…………………….35

2.3.

Chuỗi

Fourier

quát…………………...38

trên


nhóm

hữu

hạn

2.3.1.

nghĩa……………………………………………….38

tổng
Định
2.3.2.

Công thức ngược………………………………………...38
2.3.3. Đẳng thức Plancherel……………………………………39
2.4. Một số bài tập……………………………………………….….39
Kết luận chung………………………………………………………....46
Tài liệu tham khảo……………………………………………………..47


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về biến đổi Fourier là một vấn đề lí thú của toán học, có rất
nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho
nghiên cứu rất nhiều vần đề.
Trong quá trình học tập một số môn học và bài giảng chuyên đề em đã
được tiếp thu rất nhiều kiến thức về chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel,
đẳng thức Parseval, tích phân Fourier….Những kiến thức đó đã tạo cho em
niềm say mê, hứng thú với môn toán, đặc biệt là ngành Giải Tích. Hơn nữa

em muốn có thêm kiến thức về chuỗi Fourier và biến đổi Fourier.
Chính vì lí do trên em đã chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” ,
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Bùi Kiên Cường để nghiên cứu làm
khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy
logic, đặc thù môn học.
Khắc sâu, tìm hiểu những kiến thức về Giải tích Fourier hữu hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn.
Bước đầu tìm hiểu về chuỗi Fourier hữu hạn.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng: Chuỗi Fourier và các nhóm hữu hạn
+) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận

NguyÔn ThÞ Thanh
Xu©n

1

Líp K35C – SP
To¸n


Phương pháp đánh giá tổng hợp
Phương pháp so sánh, phân tích.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận còn gồm hai

chương là:
+) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
+) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn.
Chương 1: trình bày các vấn đề cơ bản về chuỗi Fourier trong trường hợp
tổng quát và một số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm □  N  .
Chương 2: trình bày về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn
Từ đó, ta thấy được sự giống và khác nhau trong hai trường hợp.


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. CHUỖI FOURIER
1.1.1. Định nghĩa
Với hàm f L  ,  ,
1


f khả tích Lesbesgue trên  ,   , ta định nghĩa

chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau:

(1.1)

a 0   a cos nx  b sin nx
n
n
2 n1
Trong đó
a


(1.2)

1

n




f (x ) cos nx dx ,

n  0, 1, 2....

 

1 f x sin nxdx,
bn 
  
 

n  1, 2, 3....

Mối liên hệ (1.1) – (1.2) cũng được kí hiệu là:
( )~
f x
an

a0


2






cos

nx



bn

sin

nx



n1

và lưu ý rằng kí hiệu “ ~” không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi
trên, đơn giản nó chỉ mối liên hệ (1.1) – (1.2) mà thôi. Nếu f là hàm tuần
hoàn chu kì 2 , ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự như trên,


trong đó các hệ số an bn được tính trên một đoạn tùy ý  a, a  2
, .


Nếu f


là hàm tuần hoàn chu kì 2l , bằng phép đổi biến t 

x

, ta đưa về trường

l

hợp tuần hoàn chu kì 2 .
1.1.2.

Sự hội tụ

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên a, b  , mỗi phân hoạch P của

 a, b
P  a x x x

 b  ( n  □ )
0
1
n
x i  xi  1 , □ f 
f  xi   f  xi  1  : là
thành n phần tùy ý. Ta kí hiệu □ xi 




giao độ của hàm i  1, n

.

Biến phân của hàm f trên a, b kí hiệu V f   V  f , a,
b
bởi:

xác định

n

V f   sup □ f
 i
P

i1

Nếu V f  hữu hạn thì ta nói hàm f có biến phân bị chặn.
Bổ đề  Tích phân Dirichlet) Cho f là hàm số thực hoặc phức xác định
trên khoảng  a, b

và thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet dưới

đây:
(i) Tồn tại các giá
trị


f  a  , f  b  và f có biến phân bị chặn trên




a, b ( ta coi hàm f xác định trên a, b
f  a  f a và f  b  f b ).
 
 




với giá trị biên


b sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý

(ii) Có hữu hạn điểm thuộc

a,
của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn
lại của a, b  , hơn nữa f  L1  a, b
Khi đó:

th lim b
 f  x sin  x
a) Nếu 0  a  ì
b
dx

 

b) Nế
a
u
0,

a

x

f  0  và f có biến phân bị chặn trên


a  b , tồn
tại

0,     a, b với   0



th lim  f  x 
ì
dx
 0

Định lí 1.1.
Cho
trong    ,  
x , 


0.

sin  x



 f 0

x

0

.

2

f  L1    ,   . Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet
f  x  tại các điểm

thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ
về
mà
về tại đó hàm f liên tục, hội tụ

1

 f  x  



2
1

x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về  f   

x



nếu các giới
hạn

f  



 và

f 






2
tồn tại.

f  x 



nếu


f   




tại


Chứng minh
Đặt
S  x 
n

a0

sin kx  .

n

2

   a cos kx 
b
k

k


k1

Ta có:
S 
n

1
2







f 1x2 cos xcos x  sin xsin x
 dx


 ....  2  cos nx cos nx  sin nx 'sin nx  




1

 f  x  1  2 cos  x  x   ..  2 cos n  x '  x   dx



2  

1

=

 f  x '

1

sin

 2n 1 x  x 2

2 

sin

1

 x  x 2

do công thức:
sin

1

n

 2n 1 1u 2

sin

1  2 cos ku 
k1

Suy ra
S 
n

sin

1

x

 f  x 

2 



1

u

dx

1

 x  x

2
1
sin  2n  1 x  x



2 

2

 2n  1 x  x 2
sin

1

dx

f  x 

2

x

Đổi biến  

sin

x  x
2


1

 x  x

dx

2

và  

x  x
2

lần lượt trong tích phân thứ nhất và

tích phân thứ hai của đẳng thức trên, ta được:
1
(1.3)

Sn 




x   / 2



0


1



f x  2

  x / 2



sin  2n 1
sin 

d
0


f  x  2 

sin  2n 1

sin 
d


Với x    ,  

cố định, ta có các hàm theo biến  là

f

x

 2  ( theo

biến  ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng
 x  x
0,
và 0,
. Do đó, nếu f x và f x tồn tại, theo bổ đề
 
 




2 
2 


tích phân Dirichlet, ta có:



1   f  x  
f  x 

n
n

1  2

2
  f  x   f  x  


2
● Nếu f liên tục tại x


f
f x   f x  
thì
lim S

của f hội tụ
về

 x

 x  . Khi đó chuỗi Fourier

f  x .

● Vớ   , do (1.3) ta có:
i x
S  x 
n

1 f   2
0





sin  2n  1
sin

d




 1  f 
sin  2n  1

 d
 2 
sin
0
f 
1 
sin  2n  1

2
d




  
sin




1 

2n  1
 f   2  sin sin
d


0



 1  f  2x
sin  2n  1 x

dx

x
0
trong đó, ta đổi biến x    


phân Dirichlet, ta suy ra:

sin
ở tích phân thứ hai, áp dụng bổ đề về tích

lim S

n

 x 

1

 f    

n

2




f    




● Với x    , chứng minh tương tự. Ta cũng có
lim S

 x 

1

 f    

f    



n


2
Vậy định lí đã được chứng minh.
n



Sự hội tụ đều

1.1.3.

Định lí 1.2.
Cho

f  L1    ,   . Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều

kiện Dirichlet trên   ,   . Giả sử f liên tục trên khoảng

 u, v    ,   . Khi đó, chuỗi Fourier của
đoạn bất kì  a, b   u, v . Chứng

f hội tụ đều về f trên một

minh
Trước hết, ta thác triển f thành một hàm xác định trên □ , tuần hoàn chu kì
2 bằng công thức

f  x  2  

f  x .

Khi đó, trong bất kì đoạn nào, ví dụ đoạn  ,   , f được biểu diễn dưới
dạng
f  F  G,
với F và G là các hàm bị chặn, không âm, đơn điệu tăng. Ngoài ra, F và
G liên tục tại các điểm mà f liên tục.
Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số   0 bất kì, ta sẽ tìm
được số n0  N sao cho với mỗi n  n0 , bất đẳng thức
" Sn  x  
ta có

f  x

  " đúng cho  x   a, b . Thật vậy, với mỗi x  a, b ,


1

Sn  x  

 f  x


2 

sin


1

 2n 1 x  x 2

   x /2

1


/2

 

1

 x  x 2
  sin  2n 1
fx 2 

sin

 1   x  / 2
 

dx

f  x  2




 /2

sin
sin  2n  1
sin

d



d

trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x  x  2

trong tích phân thứ hai

và tính tuần hoàn chu kì 2 của f trong tích phân thứ ba.
Do
f

F
Sn  x 

G , tách cận tích phân và biến đổi ta được



1  /2

  F  x  2 


1



 / 2

/2

 G  x  2 

 / 2

sin  2n 1
d
sin
sin  2n 1
d
sin

 /2
 1 
sin  2n 1
F  x  2 
d
0
sin
/2
1 
sin  2n 1

F  x  2 
d
sin
0
sin  2n 1
1  /2 

d

G x  2

 0
sin
sin  2n 1
1  /2



d
G x  2
 0
sin

từ đây suy ra:


1
S n  x   f  x




 Sn  x   F  x   G  x 
sin  2n 1
1 /2 

 

 F x  2

d 

F x
2
d  1
F  x
2

sin 

0

1  /2
sin  2n 1
   F  x  2 
sin
0

(1.4)

1  /2






0

1  /2





0



G x  2

sin  2n  1



G x  2
y

Vì các hàm F và G bị chặn, hàm

y


sin
sin  2n 1
sin
sin

1



d  G
x2
1



d 
G
x2

là liên tục và

  d
0

lim
y

y

0


sin



d 


2

( ta thừa nhận điều này), do đó tồn tại hằng số C  0 sao cho:
d
C.
F  x
y
C, G  x 
sin
C,



 
0
với mọi x   2 , 2  và mọi
thỏa mãn:

uca

y  0 . Tiếp theo, ta chọn hai số c, d cố định


bd

 v.

Do F và G liên tục đều trên c, d  nên ta có    0,  / 2
F  x  2   F  x
(1.5)




8C

sao cho:


đúng với mọi

G  x  2  
x   a, b .



G  x




8C



Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.4). Ta có
 /2
 / 2 sin 2n 1

 1  2n cos 2k d 
d





sin
k1
2
0
0

Do đó, ta đánh giá các số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.4) như sau:
(1.6)
1  /2



0

sin  2n 1
F  x  2 
sin


d 

1

F  x

2
sin  2n  1



1 /2 
–
F
x

 0 [ F x  2 ]
sin 
sin  2n 1
1

d
  F  x  2   F  x  





0
sin

1 /2


  sin  2n 1

 F x  2 – F x
  
sin

Ta lại có hàm 

 F  x  2   F 
x

tăng trên một đoạn tùy ý; hàm 

d

d

là hàm bị chặn, dương và đơn điệu

  / sin 

cũng bị chặn, dương, đơn

điệu tăng trên (0,  / 2]. Do đó, theo định lí về giá trị trung bình của tích
phân, tồn tại    0,   sao cho:
1   F   2   F  x  sin  2n  1
d


x
0
sin
1
sin  
  F  x  2    F  x  
. sin 2n 1





d


sin

1
  F  x  2   F 
 2n  1 

x  
 sin d
.
sin



 2n  1

1
/2
  F  x  2   F  x  
. 2C,


sin   / 2


Kết hợp với (1.5), ta có
 F  x  

  F  x  2 

(1.7)

sin  2n

1





0

sin

1


d 

.




8

 
Cũng từ định lí giá trị trung bình thứ hai, ta có     ,

1 /2



 F
  


x  2




–F x


1









 F x  

– F
x

2C 

 sin  2n 1 
sin 
  

Mặt khác, với 0 

p

sin 

d

F   2   F  x    sin  2n  1
 x



(1.8)



2 

1



q


sin  2n 1 

sao cho



p
q

 

sin
sin  2n  1 
sin 

/2






sin  2n 1 
sin 



d

d 

, áp dụng định lí trung bình thứ hai, ta được:

d
r

1  sin 2n 1 d 
sin p p
r
1  sin  2n 1 d






2


sin






/2





sin  2n 1





d

q

1 sin 2n 1 d

sin q r
 q sin  2n 1 d








sin p  p
4
  2n 1sin p

r



ở đây p  r  q ; ( tính toán trực tiếp ta có bất đẳng thức sau cùng). Áp
dụng điều này vào (1.8) và chú ý rằng sin    sin  , suy ra:


(1.9)
1





16C

/2

  F x  2




sin  2n 1


–F x


d 

sin

 2n 1 sin 

Từ (1.6) đến (1.9) dẫn đến đánh giá sau cùng cho số hạng thứ nhất bên vế
phải của (1.4)
1  /2

F  x  2 

sin  2n 1

0

d


sin

1




F  x  

2

16C

.

 2n 1 sin 

8

Ta cũng có kết quả đánh giá hoàn toàn tương tự cho các số hạng còn lại bên
vế phải của (1.4), từ đó suy ra
S x
f
x  
n







64C



2

 2n  1 sin 

.

Bây giờ ta chọn n0  N sao cho:
64C
 2n  1 sin 




2

cách chọn này không phụ thuộc vào x   a, b .
Vậy định lí đã được chứng minh.
1.1.4.

Sự hội tụ trong
2
L

 L 2   ,  

 L2   ,  là không gian các hàm f xác định trên  ,   ,



tích Lebesgue trên  ,   .

L2   , 



 f

xác
định

2

f

khả