TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
****************

TR±NH TH± HONG NHUNG

DANG JORDAN PHÚC VÀ ÚNG DUNG

TÓM TAT
KHOÁ LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành: Hình hoc

Ngưòi hưóng dan khoa hoc
Pham Thanh Tâm

Hà N®i - 2013


LèI Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Đai so tuyen tính là m®t môn hoc cơ bán cna Toán cao cap,
đưoc úng dung vào hàng loat các lĩnh vnc khác nhau, tù Giái tích tói
Hình hoc vi phân, tù Cơ hoc, V¾t lý tói Ky thu¾t. Nhung kien thúc cơ
bán cna Đai so tuyen tính như ánh xa tuyen tính, cau trúc cna tn
đong cau là nhung kien thúc quan trong, không the thieu. Hơn nua,
vi¾c tìm cho moi tn đong cau (trong trưòng hop có the) m®t cơ só cna
không gian sao cho trong cơ só đó tn đong cau có ma tr¾n đơn gián,
cu the là càng gan ma tr¾n chéo càng tot chính là tìm dang Jordan
cna ma tr¾n là m®t bưóc cơ bán trong các bài toán. Thay đưoc tam
quan trong cna nó nên khi ta nghiên cúu các van đe này ta không

dùng lai nghiên cúu trên trưòng so thnc mà còn mó r®ng trên trưòng
so phúc thông qua vi¾c phúc hóa không gian vectơ và tìm hieu úng
dung cna nó.
Thay đưoc tam quan trong cna van đe, cùng vói sn hưóng
dan nhi¾t tình cna thay Pham Thanh Tâm tôi đã chon đe tài ”
Dang Jordan phNc và Nng dnng ” .
2. Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài.
Nghiên cúu ve dang Jordan phúc và úng dung.
3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu cúa đe tài.
Dang Jordan phúc và nhung úng dung quan trong cna nó.
4. Giái han và pham vi nghiên cNu cúa đe tài.
Nghiên cúu ve dang Jordan phúc và úng dung cna nó trong pham vi
cna môn đai so tuyen tính.
5. Nhi¾m vn nghiên cNu cúa đe tài.
2


Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen dang Jordan
phúc .
6. Phương pháp nghiên cNu.
Nghiên cúu tài li¾u tham kháo theo phương pháp : h¾ thong lai các
kien thúc có liên quan, phân tích, tong hop.
7. Ket cau cúa khóa lu¾n .
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n và danh muc tài li¾u tham kháo, khóa
lu¾n gom 2 chương:
Chương 1: Kien thúc cơ só.
Chương 2: Dang Jordan phúc và úng dung.
Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n không nhieu, kien thúc còn han
che nên khi làm khóa lu¾n không tránh khói nhung han che và sai sót.
Tác giá mong nh¾n đưoc sn góp ý và nhung ý kien phán bi¾n cna quý

thay cô và ban đoc. Xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, ngày 15 tháng 5 năm
2013
Sinh viên
Tr%nh Th% Hong Nhung


Chương 1
Kien thNc cơ sá.
1.1.
1.1.1.

Ánh xa tuyen tính.
Đ%nh nghĩa, tính chat cúa ánh xa tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho V, W là hai không gian vectơ trên trưòng K.
Ánh xa f : V → W đưoc goi là m®t ánh xa tuyen tính neu:
→−
→−
f (→−α +
β ) = f (→−α ) + f (
β)
f (k →−α ) = kf (→−α )
vói
moi

→−α , →−β ∈ V và moi k ∈ K. Ánh xa tuyen tính còn đưoc
goi là


đong cau tuyen tính, hay m®t cách van tat là đong cau.
Kí hi¾u: Hom(V, W) là t¾p các ánh xa tuyen tính tù V vào W.
Tính chat 1.1. Ánh xa tuyen tính có m®t so tính chat cơ bán:
Giá sú f : V → W là ánh xa tuyen tính.Khi đó:
→−
→−
1) f (
0)=
0
2) f (−→−α ) = −f (→−α ), ∀→−α ∈ V


3) f (λ1 −α→1 ) + λ2 −α→2 + · · · + λm −α→m ) = λ1 f (−α→1 ) +
λ2 f (−α→2 ) + · · · + λm f (−α→m )


Ví dn 1.1. 1) Ánh xa đao hàm

d
x

d
d
x

: R [x] → R [x]; trong đó R[x] là không
gian các đa thúc m®t an x cho bói:
d
(anxn + · · · + a1x +
a0) = nanxn−1 + · · ·

+ a1
ánh xa tuyen tính .
2) Coi C là m®t R - không gian
vectơ. Phép lay liên hop:
ϕ: C →C
z

›→ z

là ánh xa tuyen tính.

3) C
h
o

A

=

(
a
i
j

)
m


×n


∈ Math(m × n, K).

Ánh xa f : K

→K

cho
bói:

f + gn : V n→ W
→−α
›→
(f + g)

 1
.x
.





.



x
1

.




(→−α ) +
g(→−α ).
Vói λ ∈ K và f : V → W là ánh xa



 tính,
 ta goi là tích cúa ánh xa
tuyen
.

.

f vói vô hưóng λ là m®t ánh xa, ký
hi¾u là λ.f, xác đ%nh bói:

  → A  
xn
xn
là m®t ánh xa tuyen tính neu coi
moi vectơ (x1, . . . , xn) ∈ Kn là
m®t ánh
x .
a
.
c 
®

t:

x

(→−α ) = f

 1
x 
. .

n

Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú V, W là
các K không gian vectơ và f, g : V
→W
là hai ánh xa tuyen tính. Ta goi
tong cúa f và g là m®t ánh xa,
kí hi¾u là f + g, xác đ%nh bói:

λ.f : V → W
→−α ›→
(λ.f )
(→−α )
= λ.f
(→−α )


Nh¾n xét 1.1. Các ánh xa f + g và λ.f là nhung ánh xa tuyen tính
tù
V vào W.

Đ%nh lý 1.1. Giá sú V là m®t không gian vectơ n - chieu. Khi đó, moi
ánh xa tuyen tính tù V đen W đưoc hoàn
xác đ%nh →−
bói ánh cúa nó
→−εtoàn
→−
trên
m®t
cơ
só.
Túc
là,
neu
(ε)
=
{
,
ε
,
.
.
.
,
εn } là
1
2
m®t cơ só cúa V
cò →
, . . . , là n vectơ nào đó cúa W. Khi đó có m®t và chs m®t
n

, − →
β
−→
β

1−
2

n

β
ánh xa tuyen tính f : V → W sao cho f (→−εi , i = 1, n.
→−
)=
βi
Chúng minh. a) Sn ton tai: Vói moi →−α = x1 →−ε1 +x2 →−ε2
+· · · +xn →−εn ∈
V, ta đ¾t:

− →
f (→−α ) + → + . . .
β ∈ W.
→−
x2
xn
= x1
β1
−
2


n

β
Khi đó f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính thóa mãn f (→−εi ) , 1, n.
→−
=
βi
b) Sn duy nhat: Giá sú g : V

W là ánh xa tuyen tính thóa mãn đ%nh
n
.
→−
→−
→−
lý và f (
εi ) = g(
εi ), i = 1, n thì vói moi
α =
x (→−ε ) ∈ V ta đeu có:
i

→

i

i=1
n

f (→−α ) = f (

n

i=1

.

n

xi →−εi ) =
i=1
n

.

xi f (→−εi )


.

.
→−
=
xi g(
εi ) = g( xi →−εi ) =
g(→−α ).
i=1

i=1

⇒ g = f . V¾y ton tai cna f là duy nhat.


Q

Đ%nh nghĩa 1.3. Cho f : V → W là ánh xa tuyen tính trên trưòng K.
Khi đó:
a) f là m®t đơn cau neu f đơn ánh.
b) f là m®t toàn cau neu f toàn ánh.
c) f là m®t đang cau neu f song ánh.
Neu có m®t đang cau f : V → W thì ta nói rang V đang cau vói
W và viet V ∼= W.


Nh¾n xét 1.2. Quan h¾ đang cau giua nhung không gian vectơ là m®t
quan h¾ tương đương.
Đ%nh lý 1.2. Cho V và W là hai không gian vectơ huu han chieu trên
trưòng K. Khi đó V đang cau vói W khi và chs khi dim V =dim W .
Chúng minh:
Đieu ki¾n can: Giá sú V đang cau vói W, khi đó có m®t đang cau
f : V → W. Túc là, neu {→−ε1 , →−ε2 , . . . , →−εn } là m®t cơ só cna
V thì h¾
{f (→−ε1 ), f (→−ε2 ), . . . , f (→−εn )} là m®t cơ só cna W. Th¾t v¾y:
→−
→−
Giá sú
β là m®t vectơ bat kì trong W, khi đó ton tai
α
∈
W đe
n
.

→−
β = f (→−α ). Túc là, neu có →−α = (ai →−εi ) thì:
i=1
n
.n
.
→−
→−
β =f(
α ) = f ( (ai
εi ) =
→−
(
εi ).

→−

i=1

ai f

i=1

Khi đó →−
β bieu th% tuyen tính qua h¾ {f (→−ε1 ), f (→−ε2
), . . . , f (→−εn )}.
n
.
→−
→−

Neu
β còn bieu th% tuyen tính
β =
bi f (→−εi ) thì:
i=1

→−α = f −1 (→−β ) = b −α→ + · · · + b −α→ .
1
1
n
n
Vì (−α→1 , . . . , −α→n ) là m®t cơ só cna V cho nên a1 = b1 , . . . ,
→−
an = bn . Như v¾y moi vectơ
β bieu th% tuyen tính duy nhat
qua h¾ {f (→−ε1 ),


f (→−ε2 ), . . . , f (→−εn )} nên h¾ này là m®t cơ só cna W. Nói cách
khác dimV =
dimW.
Đieu ki¾n đn: Giá sú dimV = dimW = n. Chon các cơ só
→−
−→
−
→
−
→
{ α 1 , . . . , α n } cna V và {β1 , . . . , βn } cna W. Ánh xa tuyen tính
duy nhat

− →
ϕ : →−
V → W đưoc xác đ%nh bói ϕ(−α→1 ) , . . . , ϕ(−α→) = β là
=
β
m®t đang
1

cau tuyen tính.

n

n


Th¾t v¾y, ngh%ch đáo cna ϕ là ánh xa tuyen tính ψ : W → V
đưoc
− →
→−
xác đ%nh bói đieu ki¾n
) = −α→, . . . , ψ( β ) = −α→.
ψ(
β
1

1.1.2.

1

n


Q

n

Ma tr¾n cúa ánh xa tuyen tính.

Đ%nh nghĩa →−
1.4. Giá sú V,
W là nhung K - Không gian vectơ huu
→−
→−han
chieu,(e)
=
{
e
,
.
.
.
,
e
}
là
m®t
cơ
só
cúa
V,
(ε)

=
{
ε1 ,
1
n
. . . , −ε→m } là m®t cơ
só cúa W. Theo đ%nh lý (1.1), moi ánh xa tuyen
tính f : V → W →−
đưoc xác
→−
đ%nh duy nhat
bói
h¾
vectơ
(f
(e))
=
{f
(
e
),
.
.
.
,
f
(
en }.
1
Các vectơ f→−

(→−ej ) lai−bieu
th%
tuyen
tính
m®t
cách
duy
nhat
qua
cơ
só (ε) = {
ε1 , . . . , ε→m }
cúa
n
.
W:
→−
f(
e )=
a →−ε , j = 1, n.
j

ij

i

i=1

trong đó các aij đeu thu®c trưòng K.
Đ¾t A là ma tr¾n xác đ%nh bói:

 a11

a12


 a21 a22
A=
... ...

am1 am2

. . . a1n 


. . . a2n 
 = (aij )m×n
... ...

. . . amn

Khi đó A đưoc goi là ma tr¾n cúa ánh xa tuyen tính f : V → W đoi vói
c¾p cơ só (e) và (ε).
Bieu thNc toa đ® cúa ánh xa tuyen tính.
Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính có ma tr¾n A = (aij )m×n
đoi vói c¾p cơ só (e) và ε. Moi vectơ →−α ∈ V có toa đ® (x , . . . , x )
1

n

trong

 1

cơ só (e), viet dưói dang c®t: →− x.. 
 .  . Khi đó, toa đ® cna vectơ
α = xn


f (→−α ) ∈ W trong cơ só ε là (y1 , . . . , yn ), viet dưói dang c®t:
 1
.
→− y
f(
α
)=
  cho bói công thúc:

.
 .
yn
y = Ax.
(1)

y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn



 y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..............................................




 ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn
hay là:

n

.
yi =
aijxj

(2)

j=1



i = 1, 2, . . . , m
Ta goi công thúc trên là bieu thúc toa đ® cna ánh xa tuyen tính f đoi
vói c¾p cơ só (e) và (ε) đã cho.
Th¾t v¾y, ta có:
n
.

n

yi →−ε1
xj f (→−εj ).
i=1

=


.

.

n

xj
j=1

n

= f (→−α ) = f (
j=1
m
a
. ij

.

→−
εj

j=1
m .

=.
i=1

.


xj →−εj ) =

n
a
. ijxj

.

.

→−ε .
j

j=1

i=1

Dang (1) đưoc goi là dang ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính f ; dang
(2) đưoc goi là dang tưòng minh cna f .
Đ%nh lý 1.3. Neu f : V → W và g : W → U là nhung ánh xa tuyen
tính thì ánh xa tích g ◦ f : W → U cũng là ánh xa tuyen tính.


→−
Chúng minh. Th¾t v¾y, vói ∀→−α ,
β ∈ W; ∀λ, β ∈ K ta có:
→−
→−
(g ◦ f )(λ→−α + µ

β ) = g(λf (→−α ) + µf (
β ))
→−
= λg(f (→−α )) + µg(f (
β ))
→−
= λ(g ◦ f )(→−α ) + µ(g ◦ f )(
β)
V¾y gf là ánh xa tuyen tính trên K
1.1.3.

Q

Hat nhân, ánh cúa ánh xa tuyen tính.

Đ%nh lý 1.4. Giá sú f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính. Khi đó:
a) Neu T là m®t không gian vectơ con cúa V thì ánh f (T) cúa nó qua f
là m®t không gian vectơ con cúa W.
b) Neu U là m®t không gian vectơ con cúa W thì ngh%ch ánh f −1 (U) cúa
U là m®t không gian vectơ con cúa V.
→−
→−
→−
Chúng minh. a) Vì f (
0)=
0 nên
0 ∈ f (T). Hơn
→− r
nua, neu →−α r ,
β

→−α r = f (→−α ),
là nhung vectơ thu®c f (T) thì chúng có
→− r
→−
dang
β =f(
β)
→−
→−λ bat kì thu®c
trong đó →−α ,
β ∈ T. Lúc đó, vói→−
vô hưóng
→−K,
→−
do T là không gian
vectơ
con
cna
V,
α
+
β
∈
T
và
λ
α
∈ T. Do đó f (→−α +
β ) ∈ f (T)
và f (λ→−α ) ∈ f (T).

Nhưng f tuyen tính nên
→−
f (→−α +
β ) = f (→−α ) + f
→−
→− r
(
β ) = →−α r +
β .f
(λ→−α ) = λf (→−α ) = λ→−α r .
→− r
V¾ →−α r +
β ∈ f (T) và do đó f (T) là m®t không gian
y cna W. vectơ con
→−
→−
→−
b) Vì f (
0)=
0 nên
0 ∈ f −1 (U).
Neu


→−α →−β ∈ f −1 (U) thì f (→−α ), f (→−β ) ∈ U. Vì f là ánh xa
,

tuyen tính



nên:

→−
→−
f (→−α +
β ) = f (→−α ) + f (
β)∈U
f (λ→−α ) = λf (→−α ) ∈ U, ∀λ ∈ K.
→−
Vì the →−α +
β và λ→−α đeu thu®c f −1 (U).
V¾y f −1 (U) là m®t không gian con cna V.
Q
Đ%nh nghĩa 1.5. Giá sú f : V → W là m®t ánh xa
tuyen tính. Ta goi:
→−
a) Không gian vectơ con f −1 (
0 ) = {→−x ∈ V | f
→−
(→−x ) =
0 } cúa V là hat
nhân (hay hach) cúa f và ký hi¾u là Kerf. So chieu
cúa Kerf goi là khuyet cúa f.
b) Không gian vectơ con f (V) cúa W là ánh cúa f và
ký hi¾u là Imf.
So chieu cúa Imf goi là hang cúa f và ký hi¾u là
rankf.
Tính chat 1.2.
a) Đong cau f : V → W là m®t toàn cau khi và chí khi
rank(f ) = dimW.

b) Cho đong cau f : V → W khi đó các m¾nh đe sau
tương đương:
(i) f là đơn cau.
(ii) Ker(f{ ) =

→−

0 }.

(iii) Ánh bói f cna m®t h¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính là
m®t h¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính.
(iv)Ánh bói f cna moi cơ só cna V là m®t h¾ vectơ đ®c
l¾p tuyen tính trong W.


(v) Án
h

(vi) Rank(f ) = dimV.
c) Giá sú f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính. Khi đó ánh

cn

xa

a

f : V/Ker(f ) → W cho bói f ([→−α ]) = f (→−α )

m

®t
cơ
só
nà
o
đó
cn
a
V
là
m
®t
h¾
đ®
c
l¾
p
tuy
ên
tín
h
tro
ng
W.

là m®t đơn cau, lúc này nó


gây nên m®t đang cau tù V/Ker(f ) lên Im(f ).
d) Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính cna không gian vectơ huu

han chieu V. Khi đó:
dimV = dimKer(f ) + dimIm(f ).
e) Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính. Khi đó, vói moi không
gian vectơ con U cna V ta có:
dimf (U) ≤ dimf (U)
f) Giá sú f : V → W là m®t tn đong cau cna không gian vectơ huu han
chieu V. Khi đó m¾nh đe sau tương đương:
(i) f là m®t đang cau.
(ii) f là m®t đơn cau.
(iii) f là m®t toàn cau.
Đ%nh nghĩa 1.6. Ta goi moi ánh xa tuyen tính tù không gian vectơ V
vào chính nó là m®t tn đong cau cúa V. M®t tn đong cau cúa V đong
thòi là m®t đang cau đưoc goi là m®t tn đang cau cúa V. Không
gian vectơ tat cá các tn đong cau cúa V đưoc ký hi¾u là End(V).
T¾p hop tat cá các tn đang cau cúa V đưoc ký hi¾u là GL(V).
Khi f ∈ End(V), ta se goi ma tr¾n cúa f trong c¾p cơ só
(e) = {→−e1 , . . . , →−en }, {→−e1 , . . . , →−en } là ma tr¾n cúa f
trong cơ só (e).
M¾nh đe 1.1. Giá sú (e) = {→−e1 , . . . , →−en } và (ε) = {→−ε1 ,
. . . , →−εn } là hai cơ só cúa không gian vectơ V, C là ma tr¾n chuyen
tù cơ só (e) sang cơ só (ε) và f : V → W là m®t tn đong cau cúa V.
Khi đó, neu f có ma tr¾n là A trong cơ só (e), có ma tr¾n là B trong
cơ só (ε) thì ma tr¾n A đong dang vói ma tr¾n B. Cn the là ta có B =
C−1 AC.


Chúng minh. Giá sú C = (ckj ), A = (ajk), B = (bli) thì ta có
tương úng các đang thúc:
n


.
→−ε = (c →−e ),j = 1, . . . , n
j
kj
k
k=1 n

.

f (→−ek ) =
j=
1
n

f (→−εi ) =

ajk →−ej ,

.

k = 1, . . . , n

bli→−εl , i = 1, . . . , n

l=1

The thì ta có : .
f (→−εi
) = f


.

n

.

cki

→−

ek

n
.

=

k=1

k=1

=

.

.

n

cki


.

n
→−
a
ej
. jk

M¾t khác:

n

n

n

.
→−
f (
εi ) =
.
→−
bli
εl =
bli
→−
ej
. cjl
l=1


l=1

.

n

=.

j=1

k=1

ckif (→−ek )

j=1

.

.

=

.

n
a
. jk ckj

.


→−e .
j

k=1

n

.

n

.

→−e .
j

. cjlbli
j=
1

j=1

l=1

Suy ra tù hai đang thúc trên:
n
.

n


ajkcki =
1, . . . , n

.

i = 1, . . . , n,

j=

V¾y có A.C = C.B. Do đó C khá ngh%ch nên ta có B = C−1AC.

Q

k=1

cjlbli

l=1


H¾ quá 1.1. . a) Hai ma tr¾n đong dang vói nhau khi và chs khi chúng
là ma tr¾n cúa cùng m®t tn đong cau, cúa m®t không gian vectơ trong
cơ só tương úng nào đó cúa không gian này.
b) Đ%nh thúc cúa ma tr¾n cúa m®t tn đong cau tuyen tính trong nhung
cơ só khác nhau cúa không gian là như nhau.


Đ%nh nghĩa 1.7. Cho f ∈ End(V). Goi A = (aij )m×n là ma tr¾n cúa f
trong m®t cơ só nào đó cúa V. Ta goi:

a) det A là đ%nh thúc cúa tn đong cau f và ký hi¾u là det f.
b) Tong các phan tú nam trên đưòng chéo chính cúa ma tr¾n A là vet
cúa f, ký hi¾u là tr(f ):
tr(f ) =

n
.

aii.
i=1

Ta cũng goi so này là vet cúa ma tr¾n A, ký hi¾u là tr A.
Tính chat 1. 3.
a) Tuyen tính. Cho A, B là hai ma tr¾n vuông cùng cap và c là hang so,
khi đó:
tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
tr(c.A) = c.tr(A).
b) Giao hoán. Cho A là ma tr¾n m hàng n c®t, còn B là ma tr¾n n hàng và
m c®t, thì:
tr(AB) = tr(BA).
c) Vet cúa ma tr¾n liên hop. Cho A là ma tr¾n vuông cap n bat kì, cho P là
ma tr¾n vuông cap n và khá ngh%ch. Liên hop cna A theo P là
P AP −1 , khi đó:
tr(A) = tr(P AP −1 ).
Như v¾y khi lay liên hop thì vet cna nó không thay đoi.
d) Vet cúa ma tr¾n chuyen v%. Cho A là ma tr¾n vuông cap n bat kì, At
là ma tr¾n chuyen v% cna nó. Ta có:
tr(A) = tr(At).



1.2.
1.2.1.

Cau trúc cúa tN đong cau tuyen tính thNc.
Giá tr% riêng và vectơ riêng, đa thNc đ¾c trưng.

Co đ%nh m®t không gian vectơ thnc V có chieu ít nhat bang 1 và
m®t tn đong cau tuyen tính f : V → V.
Đ%nh nghĩa 1.8. So thnc λ đưoc goi là giá tr% riêng cúa f neu ton
tai
→−v ƒ= →−0

m®t
vectơ

sao cho:

Khi
đó

f (→−v ) = λ→−v .

→−v đưoc goi là vectơ riêng cúa f úng vói giá tr% riêng
λ.

Đ%nh nghĩa 1.9. So thnc λ đưoc goi là giá tr% riêng cúa ma tr¾n vuông
A cap n neu ton tai m®t
vectơ

→−v ƒ= →−0 sao cho:

A→−v = λ→−v .

Khi
đó

→−v đưoc goi là vectơ riêng cúa A úng vói giá tr% riêng
λ.

Ví dn 1.2. a) Moi vectơ
khác

→−
0 đeu là vectơ riêng cúa ánh xa
tuyen

tính thuan nhat ho¾c ánh xa 0. Vói ánh xa tuyen tính đong nhat giá tr%
riêng là 1, còn ánh xa 0 giá tr% riêng là 0.

b) Neu f là phép quay trên m¾t phang quanh goc toa đ® m®t góc
0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá tr% riêng neu α ƒ= π.
Neu


α = π thì nó có giá tr% riêng là -1 và moi vectơ

→−
0 đeu là

khác riêng.


vectơ

Đ%nh nghĩa 1.10. Đa thúc đ¾c trưng cúa f, ký hi¾u là Pf (t), đưoc đ
%nh nghĩa là đ%nh thúc cúa ánh xa f − t.id, trong đó id là ánh xa
tuyen tính
đong nhat.


là
λ.

Đe đơn gián ký hi¾u, tù nay tró đi phép v% tn λ.id se đưoc ký
hi¾u
Đ%nh lý 1.5. So thnc λ là giá tr% riêng cúa f khi và chs khi nó là
nghi¾m cúa đa thúc đ¾c trưng Pf (t).
Chúng minh. Giá thiet Pf (t) = 0. Co đ%nh m®t cơ só
(e) = {→−e1 , . . . , →−en } cna V và ký hi¾u A là ma tr¾n cna
f , [x] là toa đ®
cn →−x theo cơ só này. Khi đó det(A − λ) = 0. Tù đó h¾
a
phương trình
tuyen tính thuan
nhat:

(A − λIn) [x] = 0

có nghi¾m không tam thưòng. Nghi¾m cna h¾ này chính là
vectơ riêng cna f úng vói giá tr% riêng λ.
→−
→−

Ngưoc lai, giá sú
v ƒ=
0 là nghi¾m cna h¾
(A − λIn ) [x] = 0 ta có:
(A − λIn) [v] = 0 ↔ A[v] − λ[v] = 0 ↔ A[v] = λ[v]
Suy ra λ chính là giá tr% riêng cna f .
Q Đe đơn gián bài toán, ta chí xét tn đong cau f mà đa thúc
đ¾c trưng cna f có đn các nghi¾m thnc. Khó khăn duy nhat
mà chúng ta
phái đoi m¾t là đa thúc này có the có nghi¾m b®i.
Đ%nh lý 1.6. Giá thiet Pf (t) có đú n nghi¾m thnc khác nhau λi.
Khi đó ton tai m®t cơ só mà ma tr¾n cúa f là ma tr¾n đưòng
chéo vói các phan tú trên đưòng chéo là các so λi.
Chúng minh. Ta chí can chúng minh các
vectơ


→− e có the giá thiet ton tai các so a1, . . . , an, vói a1 ƒ= 0, thóa
mãn:
vi
n
a1 →−v1 + · · · + an →−vn = 0
(1)
đ®c
l¾p
tuy
tín
h.
Giá
sú

trái
lai,
khi
đó
khô
ng
ma
t
tín
h
ton
g
qu
át