Khãa luËn tèt
nghiÖp

Trêng §HSP Hµ Néi
2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
--------------------------------------

ĐẶNG THỊ THÚY

ĐẠI SỐ HOPF
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN HUY HƯNG

HÀ NỘI - 2013
Đặng Thị Thúy – Lớp K35 D


LờI CảM ƠN
Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, ThS.
Nguyễn Huy Hng, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn,
chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề
tài này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô
trong tổ Đại số và toàn thể các thầy cô khoa Toán trờng
Đại học S Phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và

nghiên cứu tại đây.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.

Hà Nội, tháng 5 năm
2013 Sinh viên

Đặng Thị Thúy


LờI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong
quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em nhận
đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo ThS. Nguyễn
Huy Hng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em có
tham khảo một số tài liệu đã nêu trong phần tài liệu tham
khảo.
Vì vậy em khẳng định đề tài ĐạI Số HOPF
không có sự trùng lặp với các đề tài của tác giả khác.
Sinh viên
ĐặNG THị THúY


LờI Mở ĐầU
Ngày nay, cùng với sự phát triển vợt bậc của khoa
học kĩ thuật, Toán học cũng đã tạo đợc những bớc đi
vững chắc cho mình, đặc biệt là chuyên ngành Đại số.
Nhiều ngời đã đi vào nghiên cứu và đã đạt
đợc một số thành công nhất định. Những t tởng phơng

pháp và kết quả của Đại số đã góp phần to lớn trong
việc nghiên cứu các lĩnh vực khác của Toán học nh Tô
pô, Xác suất Trong đó Đại số Hopf đóng vai trò quan
trọng.
Đại số Hopf có xuất xứ từ Tô pô. Ngày nay, nó là một
cấu trúc đại số có mặt trong nhiều lĩnh vực khác nhau
của Toán học. Đại số nhóm là một đại số Hopf, đại số bao
phổ dụng của một đai số Lie là một đại số Hopf, nhóm
lợng tử là một đại số Hopf
Đợc sự gợi ý, động viên và giúp đỡ của thầy giáo
ThS. Nguyễn Huy Hng cùng với việc mong muốn tìm
tòi kiến thức mới, em đã nghiên cứu và thực hiện
khóa luận tốt nghiệp với đề tài ĐạI Số HOPF.
Khóa luận của em gồm hai chơng. Chơng 1. Các
kiến thức mở
đầu. Trong chơng này em trình bày những khái niệm
mang tính chất làm tiền đề nh: không gian véc tơ,
tích ten xơ.Ngoài việc nhắc lại kiến thức, chơng 1
còn cố định các kí hiệu sẽ đợc sử dụng trong toàn bộ
khóa luận. Chơng 2. Đại số Hopf. Tại đây em tập trung
giới thiệu những khái niệm cơ bản nhất của đại số Hopf.


Bên cạnh đó, đề tài cũng nêu một số tính chất của đại
số Hopf và ứng dụng của đại số Hopf.
Do khuôn khổ thời gian và trình độ chuyên môn
còn nhiều hạn chế nên nhiều ứng dụng lí thú khác em
cha trình bày đợc ở đây, em hi vọng thời gian tới sẽ có
dịp tìm hiểu sâu sắc hơn. Kính mong nhận đợc sự
góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài của

em ngày một hoàn chỉnh. Em xin chân thành cảm ơn.


CHƯƠNG 1. CáC KIếN THứC Mở ĐầU

1.1. Không gian véc tơ
1.1.1. Trờng
ĐịNH NGHĩA 1.1.1. Cho tập hợp k có ít nhất hai
phần tử. Trên k xét hai phép toán là phép cộng (kí hiệu là
+) và nhân (kí hiệu là . hoặc ). k cùng với hai phép toán
trên lập thành một trờng nếu thỏa mãn 9 tính chất sau:
1.Phép cộng có tính chất kết hợp:
(a + b) + c = a + (b + c), a, b, c k .
2.Có phần tử 0 k sao cho: 0 + a = a + 0 , a k . Phần tử
0
đợc gọi là phần tử trung lập.
3.Với mỗi phần tử a k luôn tồn tại phần tử a k sao cho: a
+ a= a + a = 0. Phần tử a đợc gọi là phần tử đối của a
và kí hiệu là (- a).
4.Phép cộng có tính chất giao hoán: a + b = b + a, a, b k
.

5.Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), a, b, c
k .
6.Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b = b.a, a, b k .
7.Phép nhân phân phối với phép cộng:
a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = b.a + c.a, a, b, c k .
8.Có phần tử 1 k sao cho với mọi phần tử a ta có 1.a = a.1
= a. Phần tử 1 đợc gọi là phần tử đơn vị của phép nhân
trên k .



9.Với mỗi phần tử a 0 luôn có phần tử a k sao cho: a.a =
a.a = 1. Phần tử a đợc gọi là phần tử nghịch đảo của a
và kí hiệu là a-1.
Các tính chất trên còn đợc gọi là các tiên đề của trờng.


Ví dụ 1.1.1. Xét các tập số , với các phép toán
cộng và nhân thông thờng.
Phần tử 4 nhng không có phần tử a sao cho
a + 4 = 0 nên tập số tự nhiên không phải là một trờng.
Số nguyên 2 0 nhng không có số nguyên a sao
cho 2.a = 1 nên tập các số nguyên không phải là một trờng.
Tính chất cơ bản:
Cho k là một trờng a, b, c k . Khi đó:
1.Luật giản ớc đối với phép cộng: nếu a + b = a + c thì b =
c.
2.Quy tắc chuyển vế: định nghĩa a - b = a + (-b). Khi đó,
nếu a + b = c thì a = c - b.
3. 0.a = a.0 = 0.
4. Nếu a.b = 0 thì hoặc a = 0
hoặc b = 0. 5. a.(-b) = (-b).a = (ab).
6. Nếu a.b = a.c và a 0 thì b =c.
7. a(b - c) = a.b - a.c.
1.1.2. Không gian véc tơ
ĐịNH NGHĩA 1.1.2. (Không gian véc tơ). Cho V là
một tập hợp mà các phần tử đợc kí hiệu là , , , k là
một trờng mà các phần tử
đợc kí hiệu là a, b, c, x, y, z. Trên V, ta xét hai phép toán:

Phép cộng hai phần tử của V:
+: V V V
(, ) +
Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của k
:


 : k  V  V (x,)
x


Giả sử đối với mọi , , V, mọi x, y k các điều
kiện sau
đợc thỏa mãn:
1. ( + ) + = + ( + ).
2.Tồn tại véc tơ sao cho + = + = .
3.Với mỗi có một phần tử sao cho + = +
= . 4. + = + .
5. x. ( + ) = x. + x..
6. (x + y). = x. + y..
7. (x.y). = x. + y..
8. 1. = , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trờng k .
Khi đó, ta nói rằng V là một không gian véc tơ
trên trờng k (hoặc V là k - không gian véc tơ). Ta cũng
nói V là không gian tuyến tính trên trờng k .
Ví dụ 1.1.2. (Không gian tọa độ).
Với mọi số nguyên dơng n, không gian của tất cả các
bộ n - phần tử của F tạo nên một không gian véc tơ n
chiều trên F mà ta gọi là không gian tọa độ và kí hiệu là
Fn. Mỗi phần tử của F đều đợc viết dới dạng

x = (x1, x2, , xn) xi
F Các phép toán trên F đợc xác định bởi:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn)
x = (x1, x2, ,
xn) 0 = (0, 0, ,
0)
-x = (- x1, -x2, , -xn)


Trêng hîp phæ biÕn nhÊt lµ khi F lµ trêng sè thùc
□ cho ta kh«ng gian täa ®é □

n

hay khi F lµ trêng sè phøc

□ sÏ cho ta kh«ng gian täa ®é □ n.


Không gian véc tơ Fn có cơ sở chuẩn tắc là:
e1 = (1, 0, , 0)
e2 = (0, 1, , 0)
..
. en= (0, 0,
, 0)
Với 1 là đơn vị của phép nhân trong F.
ĐịNH NGHĩA 1.1.3. (Không gian con). Giả sử V là
một không gian véc tơ trên trờng k . Tập con W của V
đợc gọi là không gian véc tơ con (hay không gian con)
của không gian véc tơ V nếu các điều kiện sau đợc

thỏa mãn:
1. , W: + W.
2. W: x. W, (với x k
). Ta có một số nhận xét sau:
1.Vì W nên W, theo điều kiện 2, ta có 0. = W.
Vậy mọi không gian con đều chứa .
2.Giả sử W là không gian con của V. Dễ thấy, 8 điều kiện
trong
định nghĩa một không gian véc tơ đợc thỏa mãn, do đó
W là một k - không gian véc tơ. Ngợc lại, nếu W là một tập
con của V và W là một k - không gian véc tơ đối với hai
phép toán xác định trên V thì W là một không gian
con của V.
Ví dụ 1.1.3.
Không gian véc tơ V bất kì đều có hai không gian
con là bản thân tập V và tập



chỉ gồm một véc tơ


không. Các không gian con này gọi là các không gian con
tầm thờng.
ĐịNH NGHĩA 1.1.4. (ánh xạ tuyến tính)
Cho hai không gian véc tơ V và W trên trờngk . Một ánh
xạ : V W
đợc gọi là ánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau đợc thỏa
mãn:



i) (u + v) = (u) + (v) u, v V.
ii)(u) = (u) k , u V.
Hạch của ánh xạ tuyến tính đợc định nghĩa là tập:
Ker() := v V | f (v) 0 V
Ker () là không gian con của V.
ảnh của ánh xạ tuyến tính :
Im( f ) : f (v) | v V W
Im() là không gian con của W.
ĐịNH NGHĩA 1.1.5. ánh xạ tuyến tính : V W đợc
gọi là:
i) Đơn cấu nếu Ker() = 0
ii) Toàn cấu nếu Im() = 0
iii) Đẳng cấu nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính khả nghịch g: W
V sao cho g : V V và g : W W là các ánh xạ đồng
nhất.
Mệnh đề 1.1.6. ánh xạ tuyến tính : V W là:
i) Đơn cấu khi và chỉ khi nó là đơn ánh.
ii) Toàn cấu khi và chỉ khi nó là toàn ánh.
iii) Đẳng cấu khi và chỉ khi nó là song ánh.
Một ánh xạ tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi
nó đồng thời là
đơn cấu và toàn cấu.
Ví dụ 1.1.4.
Xét phép quay góc trong 2, ánh xạ : 2 2
(x, y) (x cos - y sin, x sin + y cos). Ta có là ánh xạ
tuyến tính và là đẳng cấu.
1.1.3. Không gian véc tơ thơng
Giả sử U V là các k - không gian véc tơ. Với mỗi v V
xét tập



con cã
d¹ng

v  U : v  u | u U

cña V. Mét tËp nh vËy ®îc gäi
lµ


lớp ghép của v theo U. Ta thấy các lớp ghép của các véc tơ
v và v theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau.
Tập các lớp ghép của các phần tử của V theo U đợc gọi là
tập thơng của V theo U.
Điều kiện để v + U và v + U trùng nhau là v - v V
Trên một tập thơng V/U có một cấu trúc không gian
véc tơ đợc
định nghĩa nh sau:
(v +U) + (v + U) := (v + v) + U
(v + U) := (v) + U

(1.1.1)

Tập V/U với cấu trúc này đợc gọi là không gian véc
tơ thơng của V theo ánh xạ U. ánh xạ tự nhiên q: V V/U,
v v + U, gọi là
ánh xạ thơng, một ánh xạ tuyến tính.
Không gian thơng U/V có tính chất phổ dụng sau:
Giả thiết : V W là một ánh xạ tuyến tính biến U vào

0. Khi đó
cảm sinh ánh xạ
tuyến tính

f : V / U W , xác định bởi:

f (v U) : f (v)
là hợp thành với ánh xạ thơng, vì vậy là duy nhất. Ta
của
có sơ đồ
sau:
q
V
V/U



f


W
1.1.4. Bµi to¸n phæ dông
Kh¸i niÖm bµi to¸n phæ dông cã thÓ ®îc gi¶i thÝch
®¬n gi¶n th«ng qua c¸c vÝ dô sau:


Ví dụ 1.1.5. (Tích trực tiếp của tập hợp).
Giả thiết S1 và S2 là hai tập hợp. Tích trực tiếp
hoặc tích Descartes của hai tập hợp này là tập hợp:
S1 S2 : (s1, s2 ) | si Si ,i 1, 2

Ta có các ánh xạ hiển nhiên pri : S1 S2 Si gọi là các
phép chiếu pri : (s1, s2) si , i = 1, 2. Tập hợp S1 S2 và hai
ánh xạ pri này có tính chất hiển nhiên sau:
Với mọi cặp ánh xạ i : T Si, tồn tại duy nhất ánh xạ :T
S1 S2 thỏa mãn:
i = pri.

đồ:

Thật vậy, đợc xác định bởi: (t) = ((t1), (t2)). Mô tả
bằng sơ
T

2

1

S1 S2
pr2

pr1

Si

(1.1.2)

S2
Ta nói bộ ba (S1 S2, pr1, pr2) thỏa mãn tính chất phổ
dụng: (1, 2),
thỏa mãn sơ đồ (1.1.2).

Ta cũng nói bộ ba này thỏa mãn bài toán phổ
dụng (1.1.2). Ví dụ 1.1.6. (Tổng trực tiếp).
Tổng trực tiếp của hai không gian véc tơ cũng
thỏa mãn bài toán phổ dụng. Cụ thể, nó là tích trực


tiÕp cña hai kh«ng gian vÐc t¬ theo nghÜa cña vÝ dô
1.1.5:


T


2

1

V1 V2
p2

V1

p1

(1.1.3)

V2
Nhận xét rằng ( V1 V2, j1, j2) cũng đồng thời thỏa
mãn bài toán phổ dụng ở với các ánh xạ nhúng. Cụ thể:
V1

j2
V2

j1

g1
V1 V2

(1.1.4)
g

g2
T

nghĩa là (V1 V2, j1, j2) đồng thời là đối tích của hai
không gian véc tơ V1 và V2.
Ví dụ 1.1.7. (Tập một phần tử).
Tập có duy nhất một phần tử đợc kí hiệu . Ta có
nhận xét sau: từ một tập hợp bất kì tồn tại duy nhất ánh xạ
tới . Tính phổ dụng của

đợc mô tả nh sau:
S, : S .

(1.1.5)


Ta nói




là vật cuối trong phạm trù các tập hợp cùng

các ánh xạ giữa chúng.
1.2. Tích ten xơ
1.2.1.ánh xạ đa tuyến tính
Cố định một trờng k và xét các không gian véc tơ
trên k , không nhất thiết hữu hạn chiều.
Giả thiết V, W, U là các không gian véc tơ. Một ánh xạ:
:VWU
đợc gọi là song tuyến tính nếu các điều kiện sau đợc
thỏa mãn:
(v1 + v2, w) = (v1, w) + (v2, w)
(v,w1+w2) = (v, w1) + (v, w2)

(1.2.1)

(v, w) = (v, w).
Trong trờng hợp U = k , đợc gọi là một dạng song
tuyến tính.
Tập hợp tất cả các dạng song tuyến tính từ V W
vào U đợc kí hiệu là B(V W, U). Tập B(V W, U) đợc
trang bị một cấu trúc không gian véc tơ nh sau:
()(v, w) := (u, w)
( + g)(v, w) := (v, w) + g(v, w)
Ta thấy rằng cấu trúc này chỉ phụ thuộc vào cấu
trúc không gian véc tơ trên U.
Tổng quát: Khi ta cho các không gian véc tơ V1, V2,
,Vp. Một
ánh xạ từ V1 V2 Vp vào một không gian véc tơ U đợc

gọi là đa tuyến tính nếu khi cố định p - 1 biến bất kì
ta thu đợc một ánh xạ tuyến tính theo biến còn lại.
1.2.2.

Tích ten xơ


Trªn V  W tån t¹i mét cÊu tróc kh«ng gian vÐc t¬ lµm
cho nã ®¼ng cÊu víi V  W. Tuy nhiªn, mét ¸nh x¹ song
tuyÕn tÝnh tõ V  W tíi U nãi


chung không là một ánh xạ tuyến tính từ V W tới U và
ngợc lại. Hay hai tập hợp B(V W, U) và L(V W, U) là
hoàn toàn khác nhau. Tích ten xơ V W của V và W
chính là không gian thay thế cho V W để hai không
gian B(V W,U) và L(V W, U) đẳng cấu với nhau.
ĐịNH NGHĩA 1.2.2. Cho V, W là hai không gian véc
tơ. Tích ten xơ của chúng là một cặp (V W, ) trong đó
V W là một không gian véc tơ và : V W V W là ánh
xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn tính chất phổ dụng
sau:
() Với mọi ánh xạ song tuyến tính : V W U tồn
tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính g : V W U thỏa mãn:
g = .
Ta có thể mô tả bằng sơ đồ
nh sau:
VW




VW
g



(1.2.2)

U

nhiê
n:

Hay nếu nói một cách khác đi, ánh xạ xác định một
song ánh tự
L(V W,U) B(V W,U ), g g
Ta thấy rằng ánh xạ này cũng là một ánh xạ tuyến
tính. Vậy nó là

một đẳng cấu tuyến tính.
Giả sử
cặp


(T , □ ) còng tháa
m·n ®iÒu kiÖn
cña tÝch ten x¬
cña V
vµ W. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh  : V
 W  T tháa m·n s¬ ®å giao ho¸n:



VW


VW

(1.2.3)

~


T



Ta đã biết rằng đối với một bài toán phổ dụng thông
thờng thì khi nghiệm tồn tại thì nó là duy nhất. Theo giả
thiết cặp (T , ) thỏa mãn điều kiện (). Do đó, theo
định nghĩa của (V W, ) ta có duy nhất một ánh xạ
thỏa mãn sơ đồ (1.2.3). Để chứng minh là đẳng cấu ta
đi xây dựng
ánh xạ ngợc của nó. Cũng theo
giả thiết

(T ,
)

là tích ten xơ của
V và


W điều đó có nghĩa là nó thỏa mãn điều kiện (). Từ đó,
ánh xạ thỏa
mãn:

VW
~


VW

(1.2.4)



T



Để chứng minh ánh xạ . và . là các ánh xạ đồng
nhất, ta thấy rằng . và idT là hai ánh xạ từ T vào chính
nó cùng thỏa mãn sơ
đồ:
VW



T