TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

BÙI TH± NHUNG

ĐA TAP HAI CHIEU TRONG E 3
VÀ ÚNG DUNG

KHÓA LU¾N TOT NGHI›P ĐAI HOC
Chuyên ngành: HÌNH HOC

Ngưài hưáng dan khoa
hoc NGUYEN NĂNG
TÂM

Hà N®i - 2013


LèI CÁM ƠN
Em xin chân thành cám ơn các thay cô trong to Hình hoc, các
thay cô và các ban sinh viên trong khoa Toán Trưòng Đai Hoc Sư
Pham Hà N®i 2, ban chn nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho
em hoàn thành tot khóa lu¾n này.
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Nguyen Năng Tâm,
thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thành
khoá lu¾n này.
Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Bùi Th% Nhung

LèI CAM ĐOAN
Khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc
t¾p và nghiên cúu. Bên canh đó, em đưoc sn quan tâm cna các thay
cô giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna thay
Nguyen Năng Tâm.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành khoá lu¾n này em đã tham
kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo.
Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Đa tap hai chieu trong
E3 và úng dung” không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài
khác.

Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Bùi Th% Nhung


Mnc lnc
Má đau..........................................................................................4
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%.....................................6
1.1. Không gian Euclide..............................................................6
1.2. Hàm vectơ.............................................................................8
1.2.1. Hàm vectơ............................................................................................................8
1.2.2. M®t so phép toán đai so ve hàm vectơ............................................................8
1.2.3. Giói han cna hàm vectơ............................................................................9
1.2.4. Đao hàm cna hàm vectơ m®t bien....................................................................9

1.3. Trưòng vectơ trên không gian Euclide En...........................11
1.3.1. Vectơ tiep xúc.........................................................................................11

1.3.2. Trưòng vectơ tiep xúc.............................................................................11
1.3.3. Trưòng muc tiêu......................................................................................12

1.4. Cung tham so......................................................................12
1.5. Cung và cung đ%nh hưóng.....................................................15
1.5.1. Cung.......................................................................................................15
1.5.2. Cung đ%nh hưóng.............................................................................................15

1.6. Cung chính quy..................................................................16
1.6.1. Điem chính quy, điem kì d%.............................................................................16
1.6.2. Cung chính quy, m®t dìm........................................................................16


1.7. Cung song chính quy..........................................................17
1.8. Cung hình hoc....................................................................17
1.8.1. Cung hình hoc.........................................................................................17
1.8.2. Cung tham so kieu đo th%...............................................................................18

1.9. Đưòng hình hoc..................................................................20
1.9.1. Đưòng hình hoc.................................................................................................20
1.9.2. Dau hi¾u nh¾n biet m®t t¾p điem là đưòng hình hoc..................................21

1.10. Đưòng xác đ%nh bói phương trình an..............................22
1.10.1. Đưòng xác đ%nh bói phương trình an trong E2............................................22
1.10.2. Đưòng xác đ%nh bói phương trình an trong E3............................................22

1.11. Mánh tham so...................................................................23
1.11.1. Mánh tham so..................................................................................................23
1.11.2. Điem chính quy, điem kì d%, mánh chính quy...............................................23


1.12. Mánh hình hoc..................................................................24
1.12.1. Mánh hình hoc......................................................................................24
1.12.2. Mánh tham so kieu đo th%............................................................................24

Chương 2. Đa tap hai chieu trong E3 . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.1. Đa tap...............................................................................31
2.2. Đa tap hai chieu trong E3...............................................32
2.3. Dau hi¾u nh¾n biet m®t t¾p điem là đa tap hai chieu trong
E3 ................................................................................................32
Chương 3. Úng dnng cúa đa tap hai chieu trong E3 .

36

3.1. Bài t¾p áp dung dau hi¾u nh¾n biet.........................................36
3.1.1. Áp dung dau hi¾u 1..........................................................................................36


3.1.2. Áp dung dau hi¾u 2..........................................................................................45
3.1.3. Áp dung dau hi¾u 3............................................................................................57

3.2. Bài t¾p áp dung mánh hình hoc là đa tap hai chieu . .
3.3. M®t so bài t¾p khác

64
76

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
80

Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
81


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Đa tap hai chieu trong E3 là m®t máng kien thúc trong môn
hình hoc vi phân, đóng vai trò quan trong trong toán hoc.
Sau khi hoc xong chương trình toán dành cho cú nhân sư pham,
đ¾c bi¾t là sau khi hoc xong môn hình hoc vi phân, em mong muon
hoc hói và tìm hieu sâu thêm ve đa tap hai chieu trong E3 và úng
dung cna nó. Tù đó, xây dnng m®t h¾ thong bài t¾p ve đa tap hai
chieu trong E3 đay đn nhat cho bán thân theo tùng dang. Đong
thòi rèn luy¾n tư duy logic, tính chính xác và can th¾n cho mình.
Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trong
khuôn kho cna bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng
dan t¾n tình cna thay Nguyen Năng Tâm em đã chon đe tài “Đa
tap hai chieu trong E3 và úng dung”. Hy vong, đe tài này giúp em
có cơ h®i hoc t¾p tot hơn.
2. Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài
Muc đích chính cna đe tài là h¾ thong lai nhung lý thuyet cơ
bán và phân dang các bài t¾p m®t cách chi tiet nhat ve đa tap hai
chieu trong E3 .


3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu là đa tap hai chieu trong E3 .
Pham vi nghiên cúu là lý thuyet và bài t¾p ve đa tap hai chieu

trong E3 .
6. Nhi¾m vn nghiên cNu cúa đe tài
H¾ thong lai nhung lý thuyet cơ bán ve đa tap hai chieu trong
E3.
H¾ thong các dang bài t¾p ve đa tap hai chieu trong E3 .
7. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.
8. Cau trúc khóa lu¾n
Khóa lu¾n gom 3 chương:
Chương 1. M®t so kien thúc chuan b%.
Chương 2. Đa tap hai chieu trong E3 .
Chương 3. Úng dung cna đa tap hai chieu trong E3 .


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Chương này trình bày m®t so đ%nh nghĩa và đ%nh lý: không gian
Euclide, hàm vectơ, trưòng vectơ trên không gian Euclide E n , cung
tham so, cung và cung đ%nh hưóng, cung chính quy, cung song chính
quy, cung hình hoc, đưòng hình hoc, đưòng xác đ%nh bói phương
trình an, mánh tham so, mánh hình hoc.

1.1. Không gian Euclide
Đ%nh nghĩa 1.1. Không gian vectơ n−chieu trên →−
trưòng so thnc
goi là không gian vectơ
Euclide
hi¾u nlà →−
E n nneu vói
→−n−chieu, kí→−

→−
moi c¾p có thú tn .
a,
b . thu®c
E ×
E
→− xác đ
%nh m®t→−
so thnc
vô hưóng
cna hai vectơ →−a ,
b . Kí
→−goi là tích →−
→−
hi¾u là
a.
b ho¾c .
a,
b.
thóa mãn tiên đe sau:
→− →−
→− n
Vói moi →−a ,
b,
c ∈
E , ∀λ ∈ R ta có:
→−a .→−b = →−b .→−a ,
(ii) →−a . .→−b + →−c . = →−a .→−b + →−a .→−c ,
(i)



(iii)

→−
→− →−
(λ→−a ).
b = λ(
b.
a ),

(iv)

→−a .→−a ≥ 0, dau bang xáy ra khi và chí khi →−a là
vectơ không.

Đ%nh nghĩa 1.2. Không gian Euclide n−chieu En→−
là không gian
afin liên ket vói không gian vectơ Euclide n−chieu
E n.
Nh¾n xét 1.1. Vói moi điem M thu®c →−E n , moi →−x
vectơ

thu®c

→− n
→− n
E
ta
luôn
tìm

đưoc
duy
nhat
điem
N
cna
E sao cho
− −→
− −→
→−
→−
M
N=
x . Neu M
N =
x thì viet N = M +
→−
x.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho không gian vectơ Euclide n−chieu →−
α ∈
vectơ

→−

E n,
√
E n , ta goi so α2 là đ® dài (chuan/mođun) cna →
−

Khoáng cách giua hai điem M , N ∈ E n là giá tr%

hi¾u

− −→
.
M
N .αKí

d(M, N ) là khoáng cách giua hai điem M , N . Khi đó
− −→
d(M, N ) =
M
N .
Đ%nh nghĩa 1.4. H¾ {→−ei }i=1,n đưoc goi là h¾ vectơ trnc chuan
neu


0 khi i = j
→−e .→−e =

i
j
1 khi i ƒ= j.
→−e )n , trong đó
Muc
tiêu
(0,
là cơ só trnc chuan cna
i
{→−ei }
1


không gian

i=1,n


→−
En
đưoc goi là
muc tiêu
trnc chuan
cna không
gian
Euclide En và thưòng goi là h¾ toa đ® Descartes vuông góc.


1.2. Hàm vectơ
1.2.1. Hàm vectơ
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho t¾p mó U ⊂ Rm, (m ≥ 1). Moi ánh xa
→−ϕ : U → →−E n còn goi là m®t hàm vectơ trên U . é đây Rm
→− n
đưoc
xét
vói
tôpô
thông
thưòng
và
E là không gian vectơ
Euclide n−chieu.

Đ%nh nghĩa 1.6. Neu trong →− n
E cho cơ só (→−e1 , ...,
→−e ) thì vói
n
→−
p ∈ U,
ϕ (p) có các toa đ® phu thu®c p, kí hi¾u
vectơ
là
→−ϕ (p) = (ϕ (p), ..., ϕ (p)).
1

n

Ta goi ϕi : U → R, p ›→ ϕi(p) là hàm toa đ® i cna ϕ. Vì
p có m toa đ® trong Rm nên ϕi là m®t hàm so m bien ϕi (t1, ...,
tm), p = (t1, ..., tm).
1.2.2. M®t so phép toán đai so ve hàm vectơ
→−
→− n
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho →−ϕ ,
ψ :U →
E , f : U → R thì
có các hàm vectơ và hàm so sau đây:
→− n
→−
→−ϕ + →−ψ
:U →
E , p ›→ →−ϕ (p) +
ψ (p),

→− n
f →−ϕ : U →
E , p ›→ f (p).→−ϕ (p),
→−ϕ , →−ψ . : U → R, p ›→ .→−ϕ (p), →−ψ (p). là tích
→−
vô
hưóng cna hai →−
vectơ →−ϕ (p) và
ψ (p) (còn viet .→−ϕ
→−
→−
,
ψ . là
ϕ.
ψ ),
"→−ϕ " : U → R , p ›→ "→−ϕ (p)".
.

Vói n =
3 ta lay m®t hưóng
→−
cna trong
E 3.

→− 3
E và có phép tích có
hưóng


Khi đó có the xác đ%nh thêm tích có hưóng cna hai hàm vectơ

→−ϕ ∧ →−ψ : U → →−E 3 , p ›→ →−ϕ (p) ∧ →−ψ
(p),
→−
ó đó →−ϕ (p) ∧
ψ (p) là tích có hưóng cna hai vectơ →−ϕ (p)
và

→−
ψ (p).

1.2.3. Giái han cúa hàm vectơ
→−ϕ : U → →−E n , điem p ∈
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho hàm vectơ
U . Nói
n
là giói han cna →−ϕ khi x tien đen p trên U
rang vectơ →−v
→−
neu
∈
E
cho ε > 0, có δ > 0 đe khi d (x, p) < δ thì "→−ϕ (x) − →−v " < ε,
kí hi¾u
lim →−
ϕ (x) = →−v .
Nh¾n xét 1.2. Neu lim→−ϕ (x) = →−ϕ (p) thì nói ϕ liên tuc
tai p. Khi
x→p,x∈U

x→p


→−ϕ liên tuc tai moi p ∈ U thì nói →−ϕ liên tuc trên U .
Neu đã cho m®t h¾ toa đ® trong →−

En

thì vói

→−v = (v , ...,
1
vn ) ta

thay: Ton tai lim→−ϕ (x) = →−v khi và chí khi ton tai
lim→−ϕ (x) = →−v ,
i

i

x→p

x→p

(i = 1, ..., n) và do đó →−ϕ liên tuc tai p khi và chí khi ϕi liên
tuc tai
p.


1.2.4. Đao hàm cúa hàm vectơ m®t bien
Đ%nh nghĩa 1.9. Kí hi¾u J là khoáng, đoan, núa khoáng cna R
(ke cá trưòng hop J có mút ∞ hay −∞)

→− vàn goi là khoáng tong quát
→−
cna R. Xét hàm vectơ→− ϕ : J →
E . Cho to ∈ J . Neu ton
tai
ϕ (t) − →−ϕ (to )
lim
= →−v ,
t−
t→to
to
→−
thì
han
v này goi là đao hàm cúa ϕ tai to và kí hi¾u là
→−giói
r
ϕ (to )
d→−ϕ
ha
(to).
y
dt


Thưòng viet ∆t = t − to và giói han trên đưoc viet thành
→−ϕ (t + ∆t) − →−ϕ (t )
o
o
lim

= →−v .
∆t→0

∆t

→− r
→− n
Neu cho h¾ toa đ® trong
E thì
ϕ (to ) (neu ton tai) là
→− r
ϕ (to ) = (ϕ1 (to ), ..., ϕn (to ))
r

r

Đ%nh nghĩa 1.10. Đ%nh nghĩa đao hàm cap cao theo quy nap: Giá
sú ϕ(k) xác đ%nh tai lân c¾n to thì ϕ(k) là m®t hàm vectơ tai lân c¾n
đó và giá sú hàm này có đao hàm tai to, kí hi¾u là ϕ(k+1)(to) thì
ϕ(k+1)(to) =
.
.
(k)
ϕ

r

(to).

Ta nói ϕ khá vi lóp C k tai to neu ton tai các đao hàm cap 1, 2, . . . ,

k
tai lân c¾n cna to và ϕ(k) liên tuc tai to.
Đ%nh lý 1.1. Cho các hàm vectơ khá vi → → →−
γ :
− − J →

→−
n

E

và

ϕ, ψ,
hàm khá vi f : J → R thì có các đang thúc sau (khi đao hàm ó ve
phái ton tai thì đao hàm ó ve trái ton tai):
→−
→−
r
(→−ϕ +
ψ )r = →−ϕ +
ψ r,
r
(f.→−ϕ )r = f.→−ϕ + f r .→−ϕ ,
.

→−ϕ , →−ψ .r = .→−ϕ , →−ψ r . + .→−ϕ r , →−ψ .,


→−ϕ r (t) = →−0 , ∀t ∈ V khi và →−ϕ là hang trên V , ó đó V

là

chí khi

lân c¾n liên thôn nào đó nam trong J .
Nói riêng khi n = 3, ta có
→− r →− r →−
→−ϕ ∧r
∧
ψ +
ϕ ∧
ψ.
=
→−
→
ψ.
−ϕ
.


Đ%nh lý 1.2. Cho →−ϕ

: J →

− →n
E
, t ›→ ϕ(t) và λ :

I → J,
s ›→ t = λ(s) là nhung ánh xa khá vi thì

(→−ϕ ◦ λ)r (s) = λr (s).→−ϕ r (t).

1.3. Trưàng vectơ trên không
gian Euclide E n
1.3.1. Vectơ tiep xúc
Đ%nh nghĩa 1.11. Giá sú E n là không gian
− →
Euclide và E n là không
gian vectơ Euclide liên ket vói nó.
→−α
n
Vói moi p ∈ E và
∈
− →n
E
,
c¾p (p, →−α ) đưoc goi là m®t vectơ tiep
xúc vói E n tai p, còn viet
(p, →−α ) = αp . Kí hi¾u Tp E n = {p} ×
→− n
E và đưoc goi là không gian
n
tiep
xúcgian
vóivectơ
En −
taiEuclide
p.
cócách
cau trúc

không
tn
→ TpEm®t
n
nhiên chuyen tù E .

1.3.2. Trưàng vectơ tiep xúc
Đ%nh nghĩa 1.12. Neu U là t¾p mó trong
→− n
E n , đ¾t T U = U ×
E
và goi là không gian các vectơ tiep xúc cna
U , hay phân thó tiep xúc trên U.


M®t trưòng
vectơ trên mó U
⊂ En là ánh xa
X

:

U

→

T
U

=


U×

→−
E

n

,
p ›→ X(p) ∈
TpEn.

Như v¾y, m®t trưòng vectơ X trên U là
ánh xa
X:U
→
T
U
=
U
×
→
−
E
n
,
p
›→
X(
p)

=
(p,
−
X
−
−
(
→
p))
.


− −− →
Neu hàm X
( p) là hàm vectơ hang thì trưòng vectơ X
đưoc goi
là trưòng vectơ song song.
1.3.3. Trưàng mnc tiêu
Đ%nh nghĩa 1.13. Giá sú U là t¾p mó trong E n . Ho n trưòng vectơ
{X1, ..., Xn} trên U đưoc goi là m®t trưòng muc tiêu neu vói
moi p ∈ U, {X1(p), ..., Xn(p)} là cơ só cna không gian vectơ
T pEn. Khi moi Xi là trưòng vectơ song song, thì trưòng muc tiêu
{X1, ..., Xn} đưoc goi là trưòng muc tiêu song song.
→− n
Neu {→−e 1 , ..., →−e n } là cơ só trnc chuan trong
E , Ei(p)
= (p, →−e i),
∀i = 1, ..., n và ∀p ∈ U , thì trưòng muc tiêu {E1, ..., En} đưoc goi
là trưòng muc tiêu chính tac trên U (úng vói cơ só đó).


1.4. Cung tham so
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho J là m®t khoáng tong quát cna R. Moi ánh
xa ρ : J → En goi là m®t cung tham so trong E n . T¾p điem ρ(J )
goi là ánh cúa cung đó, còn J goi là mien tham so cna ρ.
→ đưoc hàm
Đ%nh→−
nghĩa 1.15.→−
Lay điem
O co
đ%nh cna−En−ta −
l¾p
→−
n
→−
vectơ
ρ
:
J
→
E
,
t
›→
ρ
(t)
=
O
ρ
(
t). Khi đó

ρ đưoc goi là hàm
bán kính vectơ cna ρ úng vói goc O.
Nh¾n xét 1.3. Giá sú →−
γ :
J →
vectơ cna ρ úng vói goc Q nào đó.

→− n
E cũng là m®t hàm bán
kính


→−ρ (t) = −O−ρ−(→t) = −O→Q + −O−ρ−(→t) =
Vì
− →
→−ρ khá vi khi và chí khi →−γ khá vi
O Q + →−γ (t)
nên
→− r
→− r
−
→
và →−ρ r (t) = ( O Q)r +
γ (t) =
γ (t).


V¾y tính khá vi và đao hàm cna hàm bán kính vectơ không phu
→−
thu®c vào cách chon goc.

ρ
→−Vì r the ngưòi ta nói ρ khá vi khi
khá vi và goi đao hàm
ρ là đao hàm cna ρ.
xa →ρ đưoc
− Ánh
− −
→−
goi là khá
vi lóp C k neu hàm vectơ
ρ (t) = O ρ ( t) khá
vi lóp C k .
Đ%nh nghĩa 1.16. Giá sú ρ : J → En là m®t cung tham so.
Khi đó ánh xa X : J → T E n sao cho vói moi t ∈ J ,
→−
n
X(t) = .ρ(t),
đưoc goi là trưòng vectơ doc ρ.
o X t . ∈ Tp(t) E
Khi
→−

X

(t) =

→−ρ r (t) thì trưòng vectơ ρr (t) = .ρ(t), →−ρ r (t).
đưoc goi là

trưòng vectơ tiep xúc doc ρ.

− − →
Nh¾n xét 1.4. Trong không gian afin neu có →−v = O M
ngưòi ta còn dùng cách viet khác là M = O + →−v . Do đó bieu
thúc xác đ%nh ρ còn có the viet là ρ(t) = O + →−ρ (t) (trong đó
→−ρ là m®t hàm vectơ
cho trưóc).
Neu trong En cho m®t h¾ toa đ® afin (thưòng dùng toa đ®
trnc chuan) (x1, x2, ..., xn) thì bieu thúc ρ(t) đưoc viet dưói dang
ρ(t) = (x1(t), ..., xn(t)) . Ta goi bieu thúc này là bieu thúc toa
đ® cna ρ (hay phương trình cna ρ) đoi vói h¾ toa đ® đã cho.
Ví dn 1.1.
1) Cung hang: ρ(t) = Mo, ó đây Mo là m®t điem co đ%nh cna E n .
2) Cung thang: ρ(t) = M + t→−v , (M là m®t điem co đ%nh cna
o

o

→− n
→−
E n còn →−v ƒ=
0 là m®t vectơ không đoi cna
E ).


3) Cung tròn: ρ(t) = O + r(cost→−e1 + sint→−e2 ), (r là m®t
hang so dương, (O, →−e , →−e ) là m®t muc tiêu trnc chuan
1

cna E 2 ).


2


4) Cung elip: ρ(t) = O + acost→−e1 + bsint→−e2 , (a, b > 0, (O,
→−e , →−e )
1
2
là m®t muc tiêu trnc chuan cna E2).
5) Cung hypebol: r(t) = O + acht→−e 1 + bsht→−e 2 , (a ƒ=
0, b ƒ= 0, (O, →−e1 , →−e 2 ) là m®t muc tiêu trnc chuan cna
E 2 . Tùy theo a > 0 hay a < 0 mà ánh cna nó là nhánh phái hay
nhánh trái cna
hypebol

2
2

x−
a

y2 = 1).
2
b

t2
→−
6) Cung parabol: ρ(t) = O + t
e1+
→−e , (η ƒ= 0, (O,
2

2η
2
→−e , →−e ) là
m®t muc tiêu trnc chuan cna E ).
1
2
7) Cung đinh oc tròn (đinh oc tru): ρ(t) = (acost, asint, bt), (a >
0, b ƒ= 0) (toa đ® ó đây là toa đ® Descartes vuông góc trong
E3). Ánh cna cung nam trên m¾t tru tròn xoay x2 + y2 = a2.
8) Cung đinh oc nón: ρ(t) = a(tcost, tsint, t), (a ƒ= 0) (toa đ® ó
đây là toa đ® Descartes vuông góc trong E3). Ánh cna cung nam
trên m¾t nón tròn xoay x2 + y2 − z2 = 0.
9) Cung Strophoid:

.

t2 −

t(1 −
.
ρ(t) =
1
t2 )
a2
,a 2
t +
t +1

,a>0


1
(toa đ® ó đây là toa đ® Descartes vuông góc trong E2). Ta kháo sát
ánh cna cung này.
Mien xác đ%nh cna ρ là J = R
Vói t = ±1 suy ra x = 0, y = 0, do đó ρ(J ) đi qua goc toa
đ®; Vói t = 0 suy ra x = −a, y = 0 do đó ρ(J ) cat truc
hoành tai


A(−a, 0), ρ(J ) nh¾n truc hoành làm truc đoi xúng vì ρ(t) và ρ(−t)
đoi xúng vói nhau qua truc hoành.


Vói x = a không có t tương úng vói x. Do đó de thay ρ(J )
có ti¾m c¾n đúng x = a và nam trong giái −a ™ x ™ a.

1.5. Cung và cung đ%nh hưáng
1.5.1. Cung
Đ%nh nghĩa 1.17. Cho hai cung tham so ρ : J → E n , γ : I → En .
Neu có m®t vi phôi λ : J → I (túc λ là song ánh khá vi mà λ−1
cũng khá vi) sao cho ρ = γ ◦ λ thì ta nói ρ tương đương vói γ và
viet ρ ∼ γ. Rõ ràng quan h¾ tương đương này là tương đương theo
lí thuyet t¾p hop. Moi lóp tương đương theo quan h¾ đó đưoc goi
là m®t cung.
Vi phôi λ goi là phép đoi tham so tù ρ sang γ.
Moi cung tham so đai di¾n cho cung goi là m®t tham so hóa cna
cung đó.
1.5.2. Cung đ%nh hưáng
Đ%nh nghĩa 1.18. Cho hai cung tham so tương đương ρ : J → En ,
γ : I → En . Giá sú λ : J → I là phép đoi tham so tù ρ sang γ thì

λ đơn đi¾u tăng ho¾c đơn đi¾u giám (vì λ là vi phôi). Suy ra ho¾c
λr(t) > 0 vói ∀t ∈ J ho¾c λr(t) < 0 vói ∀t ∈ J . Neu λr(t) > 0 ta
nói λ là phép đoi tham so báo ton hưóng và nói ρ và γ cùng hưóng.
Neu λr(t) < 0 ta nói λ là phép đoi tham so đáo hưóng và nói ρ và
γ ngưoc hưóng. Rõ ràng quan h¾ cùng hưóng là m®t quan h¾ tương