Lài cám ơn
Em xin trân trong bày tó sn biet ơn sâu sac tói PGS.TS. Khuat Văn
Ninh, thay đã t¾n tình hưóng dan chí báo giúp đõ em hoàn thành khóa
lu¾n này.
Em cũng trân trong cám ơn các thay cô trong to Giái tích và toàn the
các ban sinh viên trong khoa đã nhi¾t tình góp ý giúp đõ em trong suot
thòi gian hoc t¾p và nghiên cúu đe hoàn thành khóa lu¾n.
Do trình đ® chuyên môn còn han che, thòi gian nghiên cúu eo hep nên
n®i dung khóa lu¾n này còn ton tai nhieu thieu sót. Em kính mong nh¾n
đưoc sn phê bình góp ý cna thay cô cùng toàn the các ban đe n®i dung
khóa lu¾n này tró nên hoàn thi¾n hơn.
Em xin trân trong cám ơn!

Hà N®i, tháng 05 năm 2013.
Sinh viên
Lai Th% Thúy

1


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p: "Chuoi Fourier và

Nng

dnng" là công trình nghiên cúu cna bán thân. Nhung phan sú dung tài
li¾u tham kháo trong khóa lu¾n đã đưoc nêu rõ trong phan tài li¾u tham
kháo. Các ket quá trình bày trong khóa lu¾n là hoàn toàn trung thnc, neu
sai tôi xin ch%u hoàn toàn trách nhi¾m và ch%u moi ký lu¾t cna khoa và
nhà trưòng đe ra.
Hà N®i, tháng 05 năm 2013.

Sinh viên
Lai Th% Thúy


Lài nói đau
1. Lý do chon đe tài.
Trong giáo trình giái tích các hàm so m®t bien chúng ta đã đưoc làm
quen vói khái ni¾m chuoi Fourier cna các hàm khá tích và xét sn h®i tu
cna nó. Đây là m®t lĩnh vnc quan trong cna Toán hoc và có nhieu úng
dung thiet thnc trong V¾t lý, Cơ hoc, Ky thu¾t công ngh¾, ... cho nên đã
đưoc quan tâm nghiên cúu rat nhieu. Các ket quá ve lĩnh vnc này vô cùng
phong phú, đa dang và nhung gì chúng ta biet trong giáo trình giái tích
nói trên mói chí là nhung kien thúc ban đau. Chính vì v¾y trong khóa
lu¾n tot nghi¾p em đã lna chon đe tài ve chuoi Fourier và úng dung cna
nó đe tiep tuc tìm hieu và nghiên cúu ve chuoi Fourier.
2. Mnc đích nghiên cNu.
Tìm hieu ve khái ni¾m, m®t so tính chat và m®t so úng dung cna chuoi
Fourier.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu.
- Nghiên cúu ve chuoi Fourier.
- Nghiên cúu m®t so úng dung cna chuoi Fourier.
4.Đoi tưang và pham vi nghiên cNu.
- Đoi tưong: Chuoi Fourier và úng dung.
- Pham vi: Chuoi so, chuoi hàm.
5. Phương pháp nghiên cNu.
- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u tham kháo.


Khóa lu¾n tot nghi¾p


Trưàng ĐHSP Hà N®i 2

- Phân tích, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu.
6. Cau trúc
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot nghi¾p
gom ba chương:
- Chương 1: Kien thúc chuan b%.
- Chương 2: Chuoi Fourier.
- Chương 3: Úng dung cna chuoi Fourier.

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

4


Mnc lnc
Lài cám ơn

1

Lài cam đoan

2

Lài nói đau

3

1 KIEN THÚC CHUAN B±


8

1.1 CHUOI SO.........................................................................................8

Đ%nh nghĩa...................................................................................8
1.1.2 Chuoi so h®i tn.................................................................8
1.1.3 Phan dư cúa chuoi h®i tn..............................................9
1.1.4 Đieu ki¾n đe m®t chuoi h®i tn..................................9
1.1.1

1.2

DÃY HÀM.......................................................................................10

Dãy hàm so......................................................................10
1.2.2 Su h®i tn đeu cúa dãy hàm........................................11
1.2.1
1.3

CHUOI HÀM...................................................................................11

Đ%nh nghĩa.................................................................................11
1.3.2 Su h®i tn đeu cúa chuoi hàm.....................................12
1.3.3 Đieu ki¾n h®i tn đeu cúa chuoi hàm......................12
1.3.4 Tính chat cúa tong chuoi hàm..................................13
1.3.1

1.4

KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHÁ TONG....................................14

1.4.1

Không gian L1[−π, π].............................................14
5


1.4.2
1.5

Không gian L2[−π, π]............................................14

H› TRUC GIAO, H› TRUC CHUAN....................................15

Vectơ truc giao, h¾ truc giao...................................15
1.5.2 H¾ truc chuan.................................................................16
1.5.3 H¾ lưong giác................................................................16
1.5.1

1.6 HÀM SO LIÊN TUC TUY›T ĐOI............................................17
2 CHUOI FOURIER

18

2.1 H› HÀM LƯeNG GIÁC TRUC GIAO..................................18
2.2 CHUOI LƯeNG GIÁC...............................................................19
2.3 CHUOI FOURIER......................................................................20

Chuoi Fourier..................................................................20
2.3.2 Tong riêng thn n cúa chuoi Fourier (tong
Dirichlet)...........................................................................21

2.3.1

2.4 SU H®I TU CÚA CHUOI FOURIER.......................................24
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5

Đieu ki¾n Dini...............................................................24
Đieu ki¾n Lipschitz......................................................28
Hàm liên tnc tnng khúc, hàm khá vi tnng khúc 29
Nguyên lý đ%a phương...............................................30
Đ%nh lý ve su h®i tn cúa chuoi Fourier...............31

2.5 M®T SO ĐIEU KI›N H®I TU ĐEU CÚA CHUOI FOURIER 32

Đ%nh
2.5.2 Đ%nh
2.5.3 Đ%nh
2.5.4 Đ%nh
2.5.1

lý
lý
lý
lý

2.6.....................................................................32
2.7.....................................................................35

2.8.....................................................................35
2.9.....................................................................35

2.6 KHAI TRIEN THÀNH CHUOI FOURIER...............................39
2.6.1

Khai trien Fourier trong khoáng [−π, π]..............39

Khai trien m®t hàm không tuan hoàn trên
đoan [−π, π]...................................................................41
2.6.3 Khai trien chan và khai trien lé cúa hàm f
2.6.2


trên [−π, π]................................................................42
2.6.4 Khai trien tuan hoàn trong đoan [-l, l] bat kỳ 44
2.6.5 Khai trien m®t hàm tuan hoàn trên [a, b]. . . 44
2.6.6

M®t so ví dn
3 CÁC ÚNG DUNG CÚA CHUOI FOURIER

45
52

3.1 Úng dung đe tính tong cna m®t chuoi so.......................................52
3.2 Bài toán dây rung.......................................................................53
3.3 Bài toán dao đ®ng tn do cna dây rung......................................55
3.4 Dao đ®ng tn do cna thanh.........................................................57
3.5 Dao đ®ng cna màng hình chu nh¾t...........................................58

3.6 M®t so ví du....................................................................................60
Ket lu¾n

62

Tài li¾u tham kháo

63


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1

CHUOI SO

1.1.1

Đ%nh nghĩa

• Cho dãy so: a1, a2, ..., an, ...
• L¾p dãy so mói: A1 = a1.
A2 = a1 + a2 .
.........................
An = a1 + a2 + ... +
an =

n
.
k=1


ak .
n

+∞

• Ký hi¾u hình thúc:

.

ak =

An =

lim
k=1

.
goi

lim
n→+∞

+∞

ak và

n→+∞

.

là

ak

k=1

k=1

m®t chuoi so, ak đưoc goi là so hang thú k cna chuoi so.
1.1.2

Chuoi so h®i tn

• Xét chuoi so:

+∞
.

ak
k=1

(1.1)


8


Khóa lu¾n tot
nghi¾p
n

• Đ¾t: An .
ak .
=

Trưàng ĐHSP Hà N®i
2

k=1

• Khi đó:
– An đưoc goi là tong riêng thú n cna chuoi so (1.1).
– Dãy {An} là dãy tong riêng cna chuoi (1.1).
+∞

Neu dãy {An} h®i tu và lim An = A thì ta nói chuoi
•
→+∞
so
n
+∞
tu và có tong bang A. Viet là: .
ak = A.

.

k=
1

ak h®i


k=1

• Neu dãy An không có giói han huu han thì ta nói chuoi so (1.1) phân
kỳ.

1.1.3

Phan dư cúa chuoi h®i tn

• Xét chuoi so h®i tu:

+∞
.

ak
+∞

• Đ¾t rn
=

. ak
k=n+ =
1

(1.2)

k=1

+∞
.


an+k.
k=1

• Khi đó rn đưoc goi là phan dư thú n cna chuoi h®i tu (1.2).
• Giá sú A
=

+∞

.
=

ak và An

n
.
k=1

ak thì ta có rn = A − An

k=1

⇒

lim rn = 0.
→+∞

n


1.1.4

Đieu ki¾n đe m®t chuoi h®i tn

• Đ%nh lý 1.1:(Đ%nh lý ve đieu ki¾n can)
+∞

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

10


Khóa lu¾n tot .
nghi¾pNeu chuoi
ak h®i tu thì

Trưàng ĐHSP Hà N®i
ak2= 0.

lim
k=1

k→+∞

• Đieu ki¾n can và đn đe chuoi so h®i tu

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

11



– Xét chuoi so:

+∞
.

ak
n
.

(1.3)

k=1

ak .
có dãy tong riêng là An
k=1
=
– Theo nguyên lý Cauchy đe chuoi (1.3) h®i tu đieu ki¾n can và đn
là: ∀ε > 0 cho trưóc ∃n0 = n0(ε), n0 ∈ N ∗ sao cho:
∀n > n0, ∀p ∈ N ∗ thì |An+p − An| < ε.
– Đieu này nghĩa là: |an+1 + an+2 + ... + an+p| < ε
V¾y ta có:
• Đ%nh lý 1.2:
Đieu ki¾n can và đn đe chuoi

+∞
.
k=1


ak h®i tu là:

∀ε > 0 cho trưóc ∃n0 = n0(ε), n0 ∈ N ∗ sao cho ∀n > n0, ∀p ∈ N ∗
ta đeu có: |an+1 + an+2 + ... + an+p| < ε.
+∞
.
Tù đ%nh lý này ta suy ra chuoi so
an phân kỳ khi và chí khi
ton
∗

n=1

tai m®t so ε0 > 0 đe ∀n ∈ N , ∃p0 ∈ N ∗ sao cho: |An+p0 − An| ≥
ε0 .

1.2

DÃY HÀM

1.2.1

Dãy hàm so

• Cho U là m®t t¾p con cna t¾p so thnc R.
A là t¾p tat cá các hàm so xác đ%nh trên U .
• Ánh xa F: N −→ A
n −→ un (x) ∈ A
u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), ... (n = 1, 2, 3...) đưoc goi là dãy
hàm so xác đ%nh trên t¾p U .

Ký hi¾u: {un(x)}, ∀n = 1, 2, 3, ...



SN h®i tn đeu cúa dãy hàm

1.2.2

• Giá sú un(x) là m®t dãy hàm xác đ%nh trên U ∈ R.
• Dãy hàm so {un(x)}, ∀n = 1, 2, 3, ... đưoc goi là h®i tu đeu tói hàm
u(x) trên t¾p U neu vói moi ε > 0 đeu ton tai n sao cho
( ∀n > nε) (∀x ∈ U ) thì |un(x) − u(x)| < ε.
• Đ%nh lý 1.3: Dãy hàm {un(x)} h®i tu đeu tói hàm u(x) trên A khi
và chí khi lim
sup |un(x) − u(x)| = 0 vói moi x ∈ A.
n→+∞
A

1.3

CHUOI HÀM

1.3.1

Đ%nh nghĩa

Cho dãy hàm {un(x)} cùng xác đ%nh trên m®t t¾p U ⊂ R.
Chuoi hàm là tong hình thúc:
+∞


u1(x) + u2(x) + ... + un(x) + ... =

.

un(x) (1.4)

n=1

Neu tai x0 ∈ U chuoi
so
cna chuoi hàm (1.4), neu

+∞
.

un(x0) h®i tu thì ta nói x0 là điem h®i

tu
n=1
+∞
.

un(x0) phân kỳ thì chuoi hàm (1.4) phân

kỳ

tai điem x0.

n=1


T¾p tat cá các điem h®i tu cna m®t chuoi hàm đưoc goi là mien h®i tu
cna chuoi hàm đó. Giá sú A là mien h®i tu cna chuoi hàm (1.4), khi đó vói
+∞
.
un(x) có tong là S(x).
moi x ∈ A
chuoi

n=1

Như v¾y: S(x)
= hàm.

+∞

.

n=1

un(x), ∀x ∈ A. Ta goi S(x) là tong cna chuoi


1.3.2

SN h®i tn đeu cúa chuoi hàm

Giá sú

+∞
.

k=1

uk(x) là m®t chuoi hàm xác đ%nh trên U .
+∞
.

Ta nói chuoi
hàm

uk(x) h®i tu đeu đen tong S(x) trên t¾p U ,

hay
k=1

∀ε > 0 cho trưóc đeu ∃nε > 0 sao cho (∀n > nε), (∀x ∈ U ) thì:
|Sn(x) − S(x)| < ε.
1.3.3

Đieu ki¾n h®i tn đeu cúa chuoi hàm

• Đ%nh lý 1.4: (Đieu ki¾n can và đn Cauchy)
+∞
.
Chuoi hàm
uk(x) h®i tu đeu trên t¾p U khi và chí khi ∀x > 0
cho
k=1

trưóc ton tai so tn nhiên n0 = n0(ε) (không phu thu®c vào x) sao cho
n+m

.
∗
∀n > n0, ∀m ∈ N đeu xáy ra |
uk(x)| < ε, vói moi x ∈ U .
k=n+
1

• Đ%nh lý 1.5: (Dau hi¾u Weierstrass)
+∞
.
Cho chuoi
un(x) gom các hàm un xác đ%nh trên t¾p U .
n=1
hàm
Giá thiet ton tai m®t dãy so dương {Cn} sao cho:
∗
i) |un(x)| ≤ C
n ∀x ∈ U , ∀n ∈ N .
+∞
.
ii) Chuoi so
Cn h®i tu.
n=1

Khi đó chuoi
hàm

+∞
.
n=1


un(x) h®i tu đeu trên U .

• Đ%nh lý 1.6: (Dau hi¾u Dirichlet)
Cho hay dãy hàm {an}, {bn} cùng xác đ%nh trên t¾p U .
Giá thiet:
i) Dãy tong riêng An(x) cna chuoi
hàm
Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

+∞
.

un(x) b% ch¾n đeu

trên
12


n=1

U có nghĩa là tonntai m®t so M > 0 sao cho:
.
|An(x)| = |
ak(x)| ≤ M , ∀n, ∀x ∈ U .
k=1

ii) Dãy hàm {bn} đơn đi¾u có nghĩa là vói moi so x ∈ U dãy bn(x)

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán


12


là dãy so đơn đi¾u và dãy hàm {bn(x)} h®i tu đeu trên U đen 0.
+∞
.
Khi đó chuoi
an(x).bn(x) h®i tu đeu trên U .
n=1
hàm
1.3.4

Tính chat cúa tong chuoi hàm
+∞
.

• Đ%nh lý 1.7: (Tính liên tuc) Chuoi hàm

n=1

un(x). Giá thiet rang:

i) un là các hàm liên tuc trên t¾p U , ∀ n = 1, 2, 3, ...
+∞
.
ii) Chuoi hàm
un(x) h®i tu đeu trên U đen tong S(x)
n=1


Khi đó S là m®t hàm liên tuc trên U .
• Đ%nh lý 1.8: (Đ%nh lý
Dini) Giá thiet rang:
+∞
.
un(x) h®i tu trên [a, b] đen tong S(x).
– Chuoi hàm
n=1

– un (n = 1, 2, 3, ...) là các hàm liên tuc trên [a, b] và
un(x) ≥ 0 (ho¾c un(x) ≤ 0) ∀x ∈ [a, b], ∀n = 1, 2, 3, ...
– S là hàm liên tuc trên [a, b]
+∞
.
Khi đó chuoi
un(x) h®i tu đeu trên [a, b].
n=1
hàm
• Đ%nh lý 1.9: (Tích phân tùng so hang)
+∞
.
Cho chuoi
un(x). Giá sú rang:
n=1
hàm
– un là các hàm khá tích trên [a, b], ∀n = 1, 2, 3, ...
+∞
.
– Chuoi hàm
un(x) h®i tu đeu trên [a, b] và có tong là

S(x).
n=1
khi đó:
i) S là hàm khá tích trên [a, b].
b
+∞ b
.
¸
un(x)dx.
ii)¸ S(x)dx
a =
n=1
a

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

13


Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

13


1.4
1.4.1

KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHÁ TONG
Không gian L1[−π, π]


Đ%nh nghĩa:
¸π

T¾p L1[−π, π] gom các hàm đo đưoc Lebesgue trên đoan [−π, π] và
|f (x)|dµ < +∞.

−π

Trong L1[−π, π] ta đưa vào m®t chuan bang công thúc:
¸π
||f || = |f (x)|dµ và quy ưóc f = g khi và chí khi f (x) = g(x) hau
−π
khap
nơi trên [−π, π]. Khi đó L1[−π, π] cùng vói chuan xác đ%nh m®t không
gian đ%nh chuan.
Trong L1[−π, π] ta đưa vào khoáng cách bang công thúc:
ρ(f, g) = ||f − g||. L1[−π, π] cùng vói khoáng cách này tao thành
m®t không gian metric vói quy ưóc f = g khi và chí khi f (x) = g(x)
hau khap nơi trên [−π, π].
Sn h®i tu theo nghĩa này cna m®t dãy các hàm khá tong đưoc goi là sn
h®i tu trung bình.
Đ%nh lý 1.10: Không gian C[−π, π] trù m¾t khap nơi trong không gian
L1[−π, π].
1.4.2

Không gian L2[−π, π]

Đ%nh nghĩa:
T¾p L2[−π, π] gom tat cá các hàm có bình phương khá tong
trên đoan [−π, π] túc là các hàm f đo đưoc Lebesgue trên đoan [−π,

π

π] mà
¸
2
|f (x)| dµ < +∞.

−π

Trong L2[−π, π] ta đưa vào m®t chuan bang công thúc :
Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

19


||f || = (

¸π

vói quy ưóc f = g khi và chí khi f (x) = g(x)
|f (x)| dµ) hau
2

−π

1
2

khap nơi trên đoan [−π, π]. L2[−π, π] cùng vói chuan trên xác đ%nh m®t
không gian đ%nh chuan.

Khoáng cách giua hai phan tú f, g trong L2[−π, π] đươc đ%nh nghĩa:
1
¸π
2
ρ(f, g) = ||f − g|| = ( |f (x) − g(x)|2dµ) . L2[−π, π] cùng vói khoáng
−π

cách này tao thành m®t không gian metric vói quy ưóc f = g khi và chí
khi f (x) = g(x) hau khap nơi trên đoan [−π, π].
Sn h®i tu trong L2[−π, π] cna dãy các hàm khá tong đưoc goi là sn h®i
tu trung bình phương.
Trong L2[−π, π] ta trang b% m®t tích vô hưóng giua hai phan tú f và g
¸π
bang (f, g) = f (x)g(x)dµ.
−π

L2[−π, π] cùng vói tích vô hưóng trên tao thành m®t không gian
Hilbert.
Chú ý: Các tích phân trong khóa lu¾n này là tích phân Lebesgue. Khái
ni¾m hàm khá tong hay còn goi là khá tích xem trong sách Giái tích hi¾n
đai (Hoàng Tuy, NXB Giáo duc).

1.5
1.5.1

Hfi TRUC GIAO, Hfi TRUC CHUAN.
Vectơ trNc giao, h¾ trNc giao

• Trong khôn gian Hilbert H, hai vectơ x, y đưoc goi là trnc giao vói
nhau neu (x, y) = 0. Ký hi¾u: x⊥y.

• H¾ các vectơ {xn} đưoc goi là m®t h¾ trnc giao neu các vectơ xn đôi
m®t trnc giao vói nhau.


1.5.2

H¾ trNc chuan

• M®t h¾ {en}n≥1 các phan tú trong không gian Hilbert H đưoc goi
là m®t h¾ trnc chuan neu (ei, ej ) = δij túc là:

1 khi i = j
δij = 
0 khi i ƒ= j
• Neu m®t h¾ {en}n≥1 các phan tú trong không gian Hilbert H
đưoc goi là m®t h¾ trnc chuan đay đn neu vói moi vectơ trnc giao
vói h¾
{en}n≥1 đeu là vectơ 0. Túc là neu x⊥en thì x = 0, (∀n = 1, 2, ...).
• Đ%nh lý 1.11:
a) Cho (xi)i=1,n là ho n vectơ trnc giao tùng đôi m®t, ta có:
+∞ .2
+∞
.
2
"
=
||xi|| .
i=1
xi"
i=1


b) Cho {en} là h¾ trnc chuan gom n vectơ, (ti)i=1,n là n so thnc
(hay phúc), ta có:

+∞

.

2

+∞
.

2

"
=
|ti| .
i=1
tie i"

i=1

c) Bat đang thúc Bessel: Neu h¾ (en)n≥1 là m®t h¾ trnc chuan nào đó
trong không gian.Hilbert H thì ∀x ∈
2 H ta có bat đang thúc Bessel:
2
|(x, en)| ≤ ||x|| .
n≥1


• Đ%nh nghĩa: M®t h¾ trnc chuan (en)n≥1 đưoc goi là đay đn (hay cơ
so đay đn) neu vói moi x trong H, ta có đang thúc Parseval sau đây:
.
2
|xn| ≤ ||x||.
n≥1

1.5.3

H¾ lưang giác

Trong không gian L2[−π, π], các hàm 1, cosnx, sinnx (n = 1, 2, 3,
...)
tao thành m®t h¾ trnc giao đay đn goi là h¾ lưong giác.


1

cosnx sinnx

H¾ √
2π
;

1.6

√

π


; √
π

(n = 1, 2, 3, ...) là m®t h¾ trnc chuan đay đn.

HÀM SO LIÊN TUC TUYfiT ĐOI.

• Đ%nh nghĩa:
M®t hàm f (x) xác đ%nh trên đoan [a, b] đưoc goi là liên tuc
tuy¾t đoi trên đoan [a, b] neu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho vói moi ho
huu han nhung khoáng đôi m®t ròi rac nhau (ak, bk) (k = 1, n) mà
có tong đ®
dài nhó hơn δ.
n
.
Túc là:
(bk − ak) < δ thì ta có bat đang thúc:
k=1

n

.

|f (bk) − f (ak)| < δ

k=1

.
• Đ%nh lý 1.11: (Đ%nh lý Lebesgue)
Đao hàm cna m®t hàm liên tuc tuy¾t đoi trên đoan [a, b] thì khá

tong trên đoan đó vói moi x ∈ [a, b] ta có:
¸x
f (t)dt = F (x) − F (a), trong đó F là nguyên hàm cna f
trên
a

đoan [a, b] .


Chương 2
CHUOI FOURIER
2.1

Hfi HÀM LƯeNG GIÁC TRUC GIAO

Đ%nh nghĩa
Giá sú {ϕn}+∞ là dãy các hàm khá tích trên [a, b]. Khi đó:
b n=1

• Neu ϕn(x).ϕm(x)dx = 0 vói ∀n, m ∈ N (n ƒ= m) thì ta nói {ϕn}
¸ là
a

h¾ hàm lưong giác trnc giao trên [a, b].
• Xét h¾ hàm lưong giác trên [−π, π]
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx, ...
•

(2.1)


Ta có the de dàng kiem tra đưoc rang:

¸π
0 khi k ƒ= n
coskx.cosnxdx = 
 π khi k = n
−π

¸π
0 khi k ƒ= n
sinkx.sinnxdx = 
 π khi k = n
−π
¸π
sinkx.cosnxdx = 0 vói moi k, n.
−π

Như v¾y h¾ hàm lưong giác (2.1) là h¾ hàm lưong giác trnc giao trên
[−π, π]. Hơn nua nó là m®t h¾ hàm lưong giác đay đn.
18


Khóa lu¾n tot
nghi¾p

2.2

Trưàng ĐHSP Hà N®i
2


CHUOI LƯeNG GIÁC

• Chuoi lưong giác là chuoi hàm có dang:
+∞
.
a0
+ (a cosnx + sinnx)
n
2 n=1 bn

(2.2)

– Trong đó a0, an, bn (n = 1, 2, 3, ...) là nhung so thnc.
– So hang tong quát: un(x) = ancosnx + bnsinnx.
2π
, liên tuc và khá vi moi cap.
– Hàm tuan hoàn vói chu kỳ
n
• Neu chuoi (2.2) h®i tu và có tong f (x) thì f là m®t hàm liên tuc, tuan
hoàn vói chu kỳ 2π. Vì the sau đây ta chí can xét chuoi hàm lưong
giác trên m®t đoan có đ® dài 2π, chang han trên [−π, π].
• Giá sú chuoi hàm (2.2) h®i tu đeu trên [−π, π] và:
+∞

f (x)
=

a0
.+
2


(ancosnx + bnsinnx), x ∈ [−π, π]

(2.3)

n=
1

• Tìm h¾ so a0, an, bn (n = 1, 2, 3, ...)
Trưóc tiên ta đi lay tích phân tù −π tói π cna chuoi hàm ó ve phái
cna bieu thúc (2.3). Ta tính đưoc:
π
+∞
¸πa
. π¸
0
dx
. (ancosnx + bnsinnx)dx
¸ f (x)dx =
+
2
n=1 −π
−π
−π
π

¸a0
¸⇔ f (x)dx =

π


2

dx = πa0

−π
−π

⇔ a0 =

π

1
.π

¸ f (x)dx

−π

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

24


Khóa lu¾n tot
Trưàng ĐHSP Hà N®i
nghi¾p
2 . Sau đó lay tích phân 2
• Tính ak: Nhân hai ve cna (2.3) vói coskx
ve cna đang thúc nh¾n đưoc trên [−π, π] và do tính trnc giao cna h¾

hàm lưong giác ta có:

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán

25