.

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN

NGUYEN TH± LANH

CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO
TOÀN Đ®
ĐO TRONG KHÔNG GIAN
ERGODIC

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành :

GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc:
T.S TA NGOC TRÍ

HÀ N®I - 2013

1


LèI CÁM ƠN
Em xin cám ơn bo me và nhung ngưòi thân trong gia đình đã luôn bên canh đ®ng
viên em trong suot quá trình hoc t¾p. Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các
thay cô giáo trong to Giái tích, các thay giáo cô giáo trong khoa toán, các thay giáo cô
giáo trong trưòng ĐHSP Hà N®i 2 và các ban sinh viên. Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng
biet ơn sâu sac cna mình tói T.S Ta Ngoc Trí ngưòi đã t¾n tình giúp đõ em trong suot

quá trình hoàn thành khóa lu¾n này.
Do lan đau tiên làm quen vói công tác nghiên cúu khoa hoc, hơn nua trong m®t
thòi gian ngan và năng lnc cna bán thân còn han che, m¾c dù rat co gang nhưng chac
chan không tránh khói nhung thieu sót. Em kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien
cna các thay cô giáo và các ban đe khóa lu¾n cna em đưoc hoàn thi¾n hơn và bán thân
em có thêm nhieu kien thúc.
Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyen Th%
Lanh


LèI CAM ĐOAN
Khóa lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu,
bên canh đó em đưoc sn quan tâm và tao đieu ki¾n cna các thay giáo cô giáo trong
khoa toán Trưòng ĐHSP Hà N®i 2, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna T.S Ta Ngoc
Trí.
Trong khi nghiên cúu hoàn thành khóa lu¾n này em có tham kháo m®t so tài li¾u
đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo. Em xin cam đoan rang khóa lu¾n này là trung
thnc, không sao chép tù các tài li¾u có san, tên đe tài không trùng l¾p vói bat cú tên
đe tài nào khác.

Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyen Th%
Lanh



Mnc lnc
1 CÁC KIEN THÚC CƠ Sé
1.1

1.2

Không gian đ® đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Các đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Các ví du cna không gian đ® đo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Các đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

1.2.2

Các không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Các đ%nh lí h®i tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4

Đ%nh lý bieu dien Riesz..........................................................................10

2 CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO TOÀN Đ® ĐO
2.1

2.2

2.3

11

Đ® đo bat bien vói phép bien đoi liên tuc..........................................................11
2.1.1


Đ® đo bat bien......................................................................................... 11

2.1.2

Đ® đo bat bien vói các phép bien đoi liên tuc.......................................12

Không gian cna các đ® đo bat bien................................................................14
2.2.1

Sn ton tai cna các đ® đo bat bien...........................................................14

2.2.2

Các tính chat cna M(X,T)....................................................................15

Các ví du ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo.................................................16
2.3.1

Sú dung đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov.................................................16

2.3.2

Sú dung chuoi Fouries..........................................................................19

3 Đ® ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC
3.1

6

21


Đ%nh nghĩa cna Ergodic......................................................................................21


3.2

Đ¾c trưng cna Ergodic.........................................................................................22

3.3

Các ví du...........................................................................................................23

3.4

Sn ton tai cna các đ® đo Ergodic........................................................................25

3.5

Phép truy toán và Ergodic đơn tr%......................................................................28
3.5.1

Đ%nh lý phép truy toán cna Poincare.................................................28

3.5.2

Ergodic đơn tr%........................................................................................29

3.5.3

Ví du.........................................................................................................31



LèI Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Toán hoc là m®t trong nhung môn hoc có v% trí quan trong trong nhà trưòng, day
toán là day phương pháp suy lu¾n khoa hoc. Hoc toán là rèn luy¾n khá năng tư duy
lôgic, còn giái toán là m®t phương ti¾n rat tot trong vi¾c nam vung tri thúc, phát trien
tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xáo. Giái tích hàm là m®t ngành toán hoc đưoc xây
dnng đau the kí XX và đen nay van đưoc xem là m®t ngành toán hoc co đien. Trong
quá trình phát trien giái tích hàm đã tích lũy đưoc m®t so n®i dung het súc phong
phú, nhung ket quá mau mnc, tong quát cna giái tích hàm đã xâm nh¾p vào tat cá
các ngành toán hoc có liên quan và sú dung đen công cu giái tích và không gian vectơ.
Chính đieu đó đã mó r®ng không gian nghiên cúu cho các ngành toán hoc.
Vói mong muon đưoc nghiên cúu, tìm hieu sâu sac ve b® môn này và bưóc đau tiep
c¾n vói công vi¾c nghiên cúu khoa hoc cùng vói sn giúp đõ cna T.S Ta Ngoc Trí, em
đã chon đe tài:” Các phép bien đoi báo toàn đ® đo trong không gian Ergodic ”.
2. Cau trúc cúa khóa lu¾n
Khóa lu¾n này gom 3 chương
Chương 1: Các kien thúc cơ só.
Chương 2: Các phép bien đoi báo toàn đ® đo.
Chương 3: Đ® đo trong không gian Ergodic.
3. Mnc đích nghiên cNu
Bưóc đau làm quen vói công vi¾c nghiên cúu khoa hoc và tìm hieu sâu hơn ve giái
tích hàm, đ¾c bi¾t là lý thuyet Ergodic.
Nghiên cúu ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo, đ® đo Ergodic.
4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh tong hop.


Chương 1

CÁC KIEN THÚC CƠ Sé
1.1
1.1.1

Không gian đ® đo
Các đ%nh nghĩa

Đ%nh nghĩa 1.1: M®t lóp M các t¾p con cna X đưoc goi là đai so neu:
i. ∅ ∈ M;
ii. Neu A, B ∈ M thì A ∪ B ∈ M;
iii. Neu A ∈ M thì Ac ∈ M.
Đ%nh nghĩa 1.2: M®t lóp β các t¾p con cna X đưoc goi là σ-đai so neu:
i. ∅ ∈ β;
ii. Neu E ∈ B thì phan bù cna nó X\E ∈ β;
iii. Neu En ∈ β, n=1,2,3. . . là dãy đem đưoc các t¾p hop trong β thì
∞

[

En ∈ β.

n=1

Đ%nh nghĩa 1.3: Cho X là m®t không gian metric compact. M®t t¾p hop σ-đai so
Borel β(X) đưoc xác đ%nh là σ -đai so nhó nhat các t¾p con cna X mà bao hàm tat cá
các t¾p con mó cna X.
Cho X là m®t t¾p và β là m®t σ-đai so các t¾p con cna X, ta có:
Đ%nh nghĩa 1.4: M®t hàm so µ : β → R+ ∪ {∞} đưoc goi là m®t đ® đo neu:
i. µ(∅) = 0;



ii. Neu En là các t¾p hop đem đưoc, đôi m®t phân bi¾t trong β thì:
∞
[∞
.
µ( En) =
µ(En).
n=1

n=1

Ta goi (X, β, µ) là không gian đ® đo.
Neu µ(X) < ∞ thì µ là đ® đo huu han.
Neu µ (X) = 1 thì µ là đ® đo xác suat và (X, β, µ) tương úng là không gian xác suat.
Đ¾t M (X) = {µ|µ (X) = 1} là t¾p hop tat cá các đ® đo xác suat trên (X, β).
Đ%nh nghĩa 1.5: M®t dãy các đ® đo xác suat µn h®i tu yeu đen µ khi n → ∞ neu vói
moi f ∈ C (X, R)

¸

¸
fdµ n →

fdµ

X

khi n → ∞.

X


Đ%nh nghĩa 1.6: Ta nói m®t tính chat đúng hau khap nơi trên X neu t¾p hop các
điem mà không có tính chat đó có đ® đo 0.
Chang han f=g h.k.n neu µ ({x ∈ X|f (x) ƒ= g (x)}) = 0.

1.1.2

Các ví dn cúa không gian đ® đo

Đ® đo Lebesgue trên [0,1]. Lay X=[0,1] và lay M là lóp cna các hop huu han
tat cá các khoáng con cna [0,1]. Vói moi đoan con [a,b], đ%nh nghĩa:
µ ([a, b]) = b − a
là đ® đo Lebesgue.
Đ® đo Lebesgue trên R/Z. Lay X=R/Z=[0,1) mod 1 và lay M là lóp cna các
hop huu han tat cá các khoáng con cna [0,1).Vói m®t đoan con [a,b], đ%nh nghĩa:
µ ([a, b]) = b − a
là đ® đo Lebesgue trên đưòng tròn.
Đ® đo Dirac. Cho X là không gian xác suat và β là m®t σ -đai so bat kì. Cho
x ∈ X. Đ%nh nghĩa đ® đo δx bói:

1 ,x∈A
δx(A) =
 0 , x ∈/ A .


Thì δx là đ® đo xác suat. Nó đưoc goi là đ® đo Dirac tai x.

1.2

Tích phân


Cho (X, β, µ) là không gian đ® đo.

1.2.1

Các đ%nh nghĩa

Đ%nh nghĩa 1.7: Cho hàm so f : X → R là đo đưoc neu f −1 ((c, ∞)) ∈ β vói
∀c ∈ R.
Đ%nh nghĩa 1.8: M®t hàm so f : X → R là đơn gián trên X neu nó có the viet như
to hop tuyen tính các hàm đ¾c trưng cna các t¾p trong β, nghĩa là
f =

.r

aiχiA

i=1
r


 1, x ∈ A

S
Ai, χA (x) = 
vói ai ∈ R, Ai ∈ β, Ai đôi m®t không giao nhau và X
0, x ∈/ A
i=1
=
Đ%nh nghĩa 1.9: Vói m®t hàm đơn gián f : X → R. Tích phân cna hàm f trên X kí

¸
hi¾u là fdµ xác đ%nh bói
X
¸
.r
fdµ =
aiµ (Ai).
i=1

X

Đ%nh nghĩa 1.10: Vói m®t hàm đo đưoc f : X → R, neu f ≥ 0 thì ton tai m®t
dãy hàm đơn gián tăng fn sao cho fn ↑ f khi n → ∞. Khi đó tích phân cna hàm đo
đưoc không âm xác đ%nh bói:

¸

fdµ = lim

¸
fndµ.

n→∞
X

X

Đ%nh nghĩa 1.11: Vói m®t hàm đo đưoc f : X → R, neu f có dau bat kì, ta đ¾t
f =f


+

− f− , vói f

+

= max {f, 0} ≥ 0 và f− = max {−f, 0} ≥

0. Khi đó tích phân cna hàm đo đưoc có dau bat kì xác đ%nh bói:
¸
¸
¸
−
+
fdµ = f dµ − f dµ.
X

X

X


Đ%nh nghĩa 1.12: f đưoc goi là khá tích trên X neu:
¸
fdµ < +∞.
X

1.2.2

Các không gian Lp


Đ%nh nghĩa 1.13: ( Không gian L1 )
Hai hàm đo đưoc f, g : X → C tương đương neu f = g − h.k.n. Ta viet L1 (X) =
¸
{f : X → C} sao cho |f | dµ < +∞. L1 là không gian đ%nh chuan vói chuan "f"1 =
X
¸
|f | dµ.

X

Khi đó, đ¾t: d(f, g) = "f − g"1 thì d (f, g) là metric trên L1 (X).
Đ%nh nghĩa 1.14: ( Không gian Lp)
¸
p
Vói p > 1, ta viet Lp (X) = {f : X → C} sao cho |f | < +∞. Lp là không gian đ
%nh
X

.1/
p
¸
|f | dµ
.
chuan vói chuan "f"p =
.

p

X


Khi đó, đ¾t: d (f, g) = "f − g"p thì d (f, g) là metric trên Lp (X) .
Neu (X, β, µ) là không gian đ® đo huu han và neu 1 ≤ p < q thì
Lq (X, β, µ) ⊂ Lp(X, β, µ).

1.2.3

Các đ%nh lí h®i tn

Đ%nh lí 1.1: (Đ%nh lí h®i tn đơn đi¾u)
Giá sú fn : X → R là m®t dãy tăng các hàm khá tích trên (X, β, µ). Neu

¸

fn dµ

là dãy b% ch¾n cna các so thnc thì lim
¸

fn ton tai h.k.n và khá tích và
¸
lim fndµ = lim
fndµ.
n→∞

n→∞

n→∞

X


X

Đ%nh lí 1.2: (Đ%nh lí h®i tn tr®i)
Giá sú rang g : X → R là khá tích và fn : X → R là m®t dãy các hàm đo đưoc vói
|fn| ≤ g h.k.n và lim fn = f h.k.n. Thì f khá tích và
n →∞

lim

¸

¸
fndµ =

n→∞
X

fdµ.
X


1.2.4

Đ%nh lý bieu dien Riesz

Cho X là m®t không gian metric compact và C (X, R) = {f : X → R} cho sao cho
f liên tuc - bieu th% không gian cna tat cá các hàm so liên tuc trên X. Trang b% C (X,
R) vói m®t metric
d (f, g) = "f − g"∞ = sup |f (x) − g (x)| .

x∈X

Cho β là σ - đai so Borel trên X và cho µ là m®t đ® đo xác suat trên (X, β) thì có the
coi µ là hàm so tác đ®ng trên C (X, R), cu the
µ : C (X, R) → R
¸
f ›→ fdµ.
Ta thưòng viet µ (f ) cho
fdµ.

¸

X

X

Đ%nh lý bieu dien Riesz
Cho ω : C (X, R) → R là hàm so sao cho
i. ω là b% ch¾n: nghĩa là, neu f ∈ C (X, R) thì |ω (f )| ≤ "f"∞;
ii. ω là tuyen tính: ω (λ1f1 + λ2f2) = λ1ω (f1) + λ2ω (f2);
iii. ω là dương: nghĩa là neu f ≥ 0 thì ω (f ) ≥ 0;
iv. ω là tam thưòng: nghĩa là: 1 (x) ≡ 1.
Thì ton tai duy nhat đ® đo xác suat Borel µ ∈ M (X) sao cho
¸
ω (f ) = fdµ.
X


Chương 2
CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO

TOÀN Đ® ĐO
2.1
2.1.1

Đ® đo bat bien vái phép bien đoi liên tnc
Đ® đo bat bien

Cho (X, β, µ) là m®t không gian xác suat. M®t phép bien đoi T : X → X đưoc goi
là đo đưoc neu T −1 B ∈ β vói ∀B ∈ β.
Đ%nh nghĩa 2.1: Ta nói rang T là m®t phép bien đoi báo toàn đ® đo hay µ đưoc goi
là đ® đo T-bat bien neu µ(T −1 B) = µ(B) vói ∀B ∈ β.
Bo đe 2.1
Cho T : X → X. Các m¾nh đe sau tương đương:
i. T là m®t phép bien đoi báo toàn đ® đo;
ii. Vói moi f ∈ L1 (X, β, µ), ta có
¸
¸
f ◦ T dµ.
fdµ =
X

ChNng minh:
X
1
(ii) ⇒ (i). Vói B ∈ β, χB ∈ L (X, β, µ) và χB ◦ T = χT −1B , ta có
¸
¸
χB ◦ T dµ
µ (B) = χBdµ =
X


X


¸
=

.
.
χT −1Bdµ = µ T −1 B .

X

V¾y µ là đ® đo T- bat bien.
(i) ⇒ (ii). Ngưoc lai, giá sú rang T là m®t phép bien đoi báo toàn đ® đo. Vói hàm
đ¾c trưng bat kì χB , B ∈ β,

¸

¸

¸

.
.
χBdµ = µ (B) = µ T −1 B =

χT −1Bdµ =

χB ◦ T dµ.


X

X
X

Suy ra đang thúc đúng cho hàm đơn gián bat kì. Cho bat kì f ∈ L1 (X, β, µ) vói f ≥ 0,
ta có the tìm đưoc m®t dãy tăng cna các hàm so đơn gián fn vói fn → f khi n → ∞.
Vói moi n ta có

¸

¸
fndµ =

X

fn ◦ T dµ.
X

Áp dung đ%nh lý h®i tu đơn đi¾u cho cá hai ve, ta có
¸
¸
f ◦ T dµ.
fdµ =
X

Vói f có dau bat kì ( f = f
quá


+

X

− f− ) bang cách xét phan âm và phan dương ta có ket

¸

¸
fdµ =

X

2.1.2

f
X

+

¸ −
f ◦ T dµ.
◦ T dµ −
X

Đ® đo bat bien vái các phép bien đoi liên tnc

Cho X là m®t không gian metric compact, β là σ - đai so Borel và T là m®t ánh xa
liên tuc (T đo đưoc) thì T cám sinh ra m®t ánh xa trên M (X) như sau:
Đ%nh nghĩa 2.2. Đ%nh nghĩa đ® đo cám sinh T∗ : M (X) → M (X) bói:

.
.
(T∗µ) (B) = µ T −1 B .
Nh¾n xét: µ đưoc goi là T - bat bien neu và chí neu T∗µ = µ. Viet
M (X, T ) = {µ ∈ M (X) |T∗µ = µ} .


Bo đe 2.2 Vói f ∈ C (X, R) , ta có
¸

f ◦ T dµ.

¸
fd (T ∗ µ) =
χB ◦ T dµ.

X
X

ChNng minh: Ta luôn có vói B ∈ β,
¸
¸
χBd (T ∗ µ) =
X
X

Do đó, ket quá này đúng vói các hàm đơn gián. Vói f ∈ C (X, R) sao cho f ≥ 0, ta có
the chon m®t dãy tăng cna các hàm đơn gián fn h®i tu đen f. Ta có
¸
fn ◦ T dµ.

¸
fnd (T∗µ) =
X
X

Áp dung đ%nh lý h®i tu đơn đi¾u vói moi ve ta có:
¸
¸
f ◦ T dµ.
fd (T∗µ) =
X

Vói f có dau bat kì ( f = f

+

X

− f− ) bang cách xét cá phan âm và dương ta có ket

quá
¸
¸
fd (T ∗ µ) =

¸
f

+


◦ T dµ −

f− ◦ T dµ.

X

X
X

Bo đe 2.3
Cho T : X → X là m®t ánh xa liên tuc cna các không gian metric compact.
Các m¾nh đe sau đây tương đương:


i. T∗µ = µ;
ii. Vói ∀f ∈ C (X, R), ta có:

¸

fdµ =

X

¸

f ◦ T dµ.

X

ChNng minh:

i ⇒ ii. Hien nhiên theo bo đe 2.1 và vì C (X) ∈ L1 (X, β, µ).
ii ⇒ i. Xây dnng 2 hàm so tuyen tính ω1, ω2 : C (X, R) → R như sau:
¸
¸ fdT∗ µ.
ω1 (f ) = fdµ,ω2 (f ) =
X

X


Ta thay cá ω1 và ω2 là các hàm tuyen tính, b% ch¾n dương trên C (X, R). Hơn nua,
theo bo đe 2.2
¸ fdµ = ω1 (f ).
¸
¸
ω2 (f ) = fdT ∗ µ = f ◦ T dµ =
X

X

X

Nên ω1 và ω2 xác đ%nh cùng m®t hàm so tuyen tính. Theo tính duy nhat trong đ%nh lý
bieu dien Riesz có: T∗µ = µ.

2.2
2.2.1

Không gian cúa các đ® đo bat bien
SN ton tai cúa các đ® đo bat bien


Đ%nh lý 2.4. Cho T : X → X là m®t ánh xa liên tuc cna m®t không gian metric
compact thì ton tai ít nhat m®t đ® đo xác suat T-bat bien.
ChNng minh
Cho σ ∈ M (X) là m®t đ® đo xác suat. Đ%nh nghĩa dãy µn ∈ M (X) bói
n−1

1.
µn =
Vói B ∈ β, ta
có

n

j

T
j=0

· σ
.

−(n−1)

1

.
.
µn (B) =
σ (B) + σ T

n
.
T

1
−

.
B + ... + σ

B

..

.

Vì M(X) là compact yeu nên có dãy con µnk h®i tu đen m®t đ® đo µ ∈ M (X) khi
k → ∞. Ta se chí ra rang µ ∈ M (X, T ).
Vói f ∈ C (X, R), ta có
.
.¸
.
. f ◦ T dµ
−
..
X

¸

X


.
.
.
.¸
.
.
fdµ. = lim
f ◦ T dµnk
.
−
.
. k→∞
.
.

.
. ¸ nk −
1.
.1
= lim .
k→∞ .
nk

X

.

¸


X

.
.

f ◦ T j+1 − f ◦ T j.
.

.
.
.
fdµnk .
.
.
.

dσ

.


.

X

j=0

.



Do đó

¸

fdµ =

X

¸

.
.
..
.. 1 ¸ (f ◦ T nk − f ) dσ
.
= k→∞
lim n
.
. k
.
.
X
2"f"∞
= lim
nk
.
k→∞
f ◦ T dµ ∀f ∈ C (X, R).

X


Theo bo đe 2.3 có T∗µ = µ túc µ ∈ M (X, T ).

2.2.2

Các tính chat cúa M(X,T)

Đ%nh lý 2.5
i. M(X,T) là loi, nghĩa là µ1, µ2 ∈ M (X, T ) ⇒ αµ1 + (1 − α) µ2 ∈ M (X, T ) vói
0 ≤ α ≤ 1.
ii.M(X,T) là đóng yeu và do đó compact.
ChNng minh:
i. Neu µ1, µ2 ∈ M (X, T ) và 0 ≤ α ≤ 1 thì
.
.
(αµ1 + (1 − α) µ2) T −1 B
.
.
.
.
= αµ1 T −1 B + (1 − α) µ2 T −1 B
= αµ1 (B) + (1 − α) µ2 (B) = (αµ1 + (1 − α) µ2) (B) .
Vì v¾y αµ1 + (1 − α) µ2 ∈ M (X, T ).
ii. Cho µn là m®t dãy trong M(X,T) và giá sú rang µn h®i tu yeu đen µ ∈ M (X, T )
khi n → ∞. Vói f ∈ C (X),
¸

¸
fdµ n =


f ◦ T dµn .

X

Cho n → ∞, ta có

X

¸

f ◦ T dµ.
¸

fdµ =
X
X

Suy ra µ ∈ M (X, T ). Đieu này chí ra rang M (X, T ) là đóng. Nó là compact vì nó
là t¾p con đóng cna t¾p compact M(X.


2.3

Các ví dn ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo

Phan này chúng ta se đưa ra m®t so ví du ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo
bang cách sú dung đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov và sú dung chuoi Fourier.

2.3.1


SN dnng đ%nh lý má r®ng Kolmogorov

Đ%nh lý 2.6(Đ%nh lý má r®ng Kolmogorov)
Cho M là m®t đai so các t¾p hop con cna X. Giá sú µ : M → R+ thóa mãn:
i. µ (∅) = 0;
ii. Ton tai huu han ho¾c đem đưoc các t¾p Xn ∈ M sao cho X =

S

Xn và µ (Xn) <

n

∞;

S En ∈ M thì

iii. Neu En ∈ M, n ≥ 1 đôi m®t không giao nhau và neu

∞

n=
1

µ

.
[

∞


En

.
=

n=1

∞
.

µ (En).

n=1

Thì có m®t đ® đo duy nhat µ : β (M ) → R+ là mó r®ng cna µ : M → R+.
H¾ quá 2.7 .
Cho M là m®t đai so các t¾p con cna X. Giá sú µ1 và µ2 là 2 đ® đo trên β (M )
sao cho µ1 (E) = µ2 (E) vói ∀E ∈ M thì µ1 = µ2 trên β (M ).
Đe chí ra T báo toàn m®t đ® đo xác suat µ ta phái chí ra rang T∗µ = µ. Bang h¾
quá trên ta chí can chí ra rang T∗µ = µ trên m®t đai so. Túc đe chí ra rang T xác đ
%nh trên X báo toàn m®t đ® đo µ trên m®t t¾p huu han thì ta can chí ra
T∗µ (a, b) =

1

(a, b) = µ (a, b) .

µT −
M®t so ví dn:

i)Phép quay cúa đưàng tròn
· Đ¾t
X = R/Z = {x + Z|x ∈ R}
= [0, 1) mod 1.


· Phép bien đoi đưoc xác đ%nh như sau T : R/Z → R/Z
x ›→ x + α mod 1
là phép quay đưòng tròn theo góc α.
Đong thòi T báo toàn đ® đo Lebesgue trên X.
Th¾t v¾y, ta có
T −1 (a, b) = {x|T (x) ∈ (a, b)} = (a − α, b − α) .
T∗µ (a, b) =
µT −

Do đó

1

(a, b)

= µ (a − α, b − α)
= (b − α) − (a − α)
= b − a = µ (b, a) .
Do đó T∗µ = µ trên đai so cna hop huu han các khoáng con. Vì đai so này tao ra σ
- đai so Borel, theo tính duy nhat trong đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov ta thay rang
T∗µ = µ, nghĩa là đ® đo Lebesgue là T -bat bien.
ii)Ánh xa kép
Cho X = [0, 1]. Xét ánh xa T : X → X xác đ%nh bói:
T (x) = 2x mod 1.

Ta có T báo toàn đ® đo Lebesgue µ.
Th¾t v¾y, ta có

.

T −1 (a, b) = {x|T (x) ∈ (a, b)}
=

Do đó

.
a b
.
,
2 2 ∪

a+ b+ 1
1
2

T ∗ µ (a, b) = µT −1 (a, b)
..
b+ 1
=µ
a , 1 .∪ .
b
a
+
2
2 2,

2
b
a b+1 a+1
= − +
2
2 −
2
2

..

,

2

.
.


= b − a = µ (b, a) .
Do đó T∗µ = µ trên đai so cna hop huu han các khoáng con. Khi núa đai so này tao
ra σ -đai so, theo tính duy nhat trong đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov, ta thay T∗µ = µ,
nghĩa là đ® đo Lebesgue là T- bat bien.
iii )Ánh xa liên phân so
Ánh xa liên phân so T : [0, 1) → [0, 1) đưoc xác đ%nh bói:

 0, x = 0
. .
T (x) =  1 = 1
x

x mod 1, 0 < x < 1
De dàng thay rang ánh xa liên phân so không báo toàn đ® đo Lebesgue vì ton tai
B ∈ β sao cho T −1 B và B có đ® đo khác nhau.
M¾c dù ánh xa liên phân so không báo toàn đ® đo Lebesgue nhưng nó báo toàn đ®
đo Gauss’ đưoc xác đ%nh bói
1 ¸

µ (B) =

ln
2

Th¾t v¾y, trưóc het, chú ý rang:

T

−1

n=1

Do đó
µ (T −1 (a,
b))
=

1
ln 2

1
a+n


¸

.∞
n=1

=

1
.∞
ln 2

n=1

.∞

B

dx.

1+

x

.
∞[

(a, b) =

1


1

1

.

,
.
b+n a+n

1 dx
1+x

1

.b+n .
ln 1
+

1
a+n

.

.
ln
1
−


1
b+n

..

+

= ln12 n= [ln (a + n + 1) − ln (a + n) − ln (b + n + 1) + ln (b + n)]
1
.
N
= lim 1
[ln (a + n + 1) − ln (a + n) − ln (b + n + 1) + ln (b + n)]
=

ln 2
N→∞
1
n=1
lim
ln 2 N→∞ [ln
1

= ln 2
= 1

(a + N + 1) − ln (a + 1) − ln (b + N + 1) + ln (b + 1)]
. a+N +1 ..
.ln (b + 1) − ln (a + 1) +
b+N +1

lim
N→∞


ln 2

(ln (b + 1) − ln (a + 1))


=

1
ln 2

¸b

1
1+x
a

dx = µ (a, b).

Do đó T∗µ = µ trên đai so cna hop huu han các khoáng con. Vì đai so này tao ra σ
-đai so, theo tính duy nhat trong đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov ta thay rang T∗µ = µ,
nghĩa là đ® đo Gauss là T -bat bien.

2.3.2

SN dnng chuoi Fouries


Cho β là σ -đai so Borel trên R/Z và µ là đ® đo Lebesgue f ∈ L1 (R/Z, β, µ).
Chuoi Fourier cna f ó dang phúc có dang:
∞

.
i=−∞

ó đó cn =

¸1

cne2πinx

f (x)e−2πinxdµ.

0

Bo đe 2.8(Bo đe Riemann-Lebesgue)
Neu f ∈ L1 (R/Z, β, µ) thì cn → 0 khi |n| → ∞, nghĩa là:
1

lim

¸ f (x)e2πinxdµ = 0.

n→∞
0

Goi sn (x) là tong riêng thú n cna chuoi, ta có
n


sn (x) =

.
l=−n

c1 e2πilx

và σn (x) là trung bình cna n tong riêng đau tiên
1
σn (x) =

(s0 (x) + s1 (x) + ... + sn−1 (x)) .
.
.
¸
2
2
Đ¾t L (X, β, µ) = f : X → R| |f | dµ < ∞ .
n

Đ%nh lý 2.9
i. Neu f ∈ L2 (R/Z, β, µ) thì sn h®i tu đen f trong L2, nghĩa là:
khi n → ∞.

¸

2

|sn − f| dµ → 0



ii. Neu f ∈ C (R/Z) thì δn h®i tu đeu đen f khi n → ∞, nghĩa là: "δn − f" ∞ → 0
khi n → ∞.
M®t so ví dn:
i)Phép quay m®t đưàng tròn
Cho T (x) = x + α mod 1 là phép quay đưòng tròn. Ta se chí ra µ là T-bat bien
bang sú dung chuoi Fourier. Ta đã biet: µ là T-bat bien neu và chí neu
¸
¸ fdµ
f ◦ T dµ =
X

X

vói ∀f ∈ C (X, R).
Ta thay

¸

 0, n ƒ= 0
 1, n = 0

f (x)e2πinxdµ =

Neu f ∈ C (X, R) có chuoi Fourier

.

cne2πinx thì f ◦ T có chuoi Fourier


.

cne2πinαe2πinx.
x∈Z

Ta có

¸

¸
f ◦ T dµ =
X

x∈Z

.
cne2πinαe2πinxdµ
x∈Z

¸

X

=

.

e2πinxdµ


cne2πinα

x∈Z

¸

= c0 =

X

fdµ.
X

ii)Ánh xa kép
Cho T : X → X xác đ%nh bói T (x) = 2x mod 1.
Ta se chí ra rang µ là T-bat bien bang sú dung chuoi Fourier.
.
.
Neu f có chuoi Fourier
cne2πinx thì f ◦ T có chuoi Fourier
cne2πi2nx. Do đó
¸

n

f ◦ T dµ =

¸

n


.
cn

c ne

2πi2nx

dµ =

.¸

e2πi2nxdµ


X

X

n

n

¸
= c0 =

fdµ.
X

X