MỤC

LỤC

MỞ ĐẦU................................................................................................... 2
1. Lý do chọn đề tài.............................................................................. 2
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài ............................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài .............................................. 3
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài ...........................3
5. Giả thuyết khoa học .................................................................... 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ............................................... 3
7. Phương pháp nghiên cứu ............................................................ 3
8. Nội dung công trình nghiên cứu ............................................... 4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................5
1.1 Không gian metric .................................................................... 5
1.2 Tập mở và tập đóng ................................................................. 9
1.3 Không gian topo ..................................................................... 15
1.4 Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương .. 18
1.5 Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi..........................................21
CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
............................................................................................................. 23
2.1 Các tiên đề tách

Ti..................................................................23

2.2. Một số định lý và hệ quả........................................................27
2.3. Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian
compact...............................................................................................36
2.4. Các phản ví dụ..........................................................................40
KẾT LUẬN...........................................................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................59

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích hiện đại một nội dung có

vai

trò

quan

trọng và cũng khá hấp dẫn với chúng ta là nghiên

cứu

về

không gian topo. Nhưng bản thân không gian

lại

quá

topo

rộng làm ta không thể tìm hiểu sâu về nhiều vấn đề hay cùng
một lúc. Không gian topo cụ thể thì càng có nhiều vấn đề để

bàn. Với mong muốn được tìm hiểu và nắm vứng kiến thức cơ
bản của môn học đồng thời là bước đầu tiếp cận với

việc

nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo
Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài “Các tiên đề tách và ứng
dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Bước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học và
tìm hiểu sâu hơn về hình học đặc biệt là các tiên đề tách và
một số ứng dụng của nó. Các tiên đề tách đề cập tới việc tách
điểm, tách điểm và tập hợp đóng hoặc tách các tập hợp đóng
thông qua khái niệm T0 - không gian, T1 - không gian, T2 - không
gian,

T3 - không gian, T 1 - không gian, T4 - không gian; các định
3

2

lý đặc trưng, hệ quả và các nhận xét; các phản ví dụ chứng tỏ
tồn tại những không gian tách “nhỏ hơn”

nhưng

không

là


không gian tách “lớn hơn” và một số ứng dụng của các tiên đề
tách.

2


3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu về các tiên đề tách và một số vấn đề có liên
quan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng.
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Giới hạn nội dung: nghiên cứu các tiên đề tách và một số
vấn đề liên quan.
Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách.
Giới hạn thời gian: 5 tháng.
5. Giả thuyết khoa học
Hệ thống lý thuyết về các tiên đề tách làm thành tài

liệu

chuyên sâu giúp các bản thân em có thể tìm hiểu sâu hơn về
vấn đề này.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu một số phần kiến thức nhỏ là chuẩn bị cơ bản
liên quan đến toán học.
7. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện bài này tác giả khóa luận đã sử dụng các
phương pháp nghiên cứu sau đây:
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
Nghiên cứu sách giáo trình, các sách tham khảo và các tài
liệu liên quan đến vấn đề này.

Quá trình làm khóa luận đã sử dụng nhiều

phương

pháp

ngiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng hợp kiến thức
từ các tài liệu được lấy làm tài liệu tham khảo.


8. Nội dung công trình nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric
1.2 Tập hợp mở và tập hợp đóng
1.3 Không gian topo
1.4 Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương
1.5 Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi
Chương 2: Các tiên đề tách và một số ứng dụng
2.1

Các tiên đề tách Ti

2.2

Một số định lý và hệ quả

2.3


Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian

compact
2.4

Các phản ví dụ


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về không
gian metric, không gian topo, tập đóng tập mở, không gian
con, tích Descartes, không gian thương, ánh xạ liên

tục

và

phép đồng phôi.
d,

1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Không gian metric là một cặp

trong đó X là một tập hợp, d : X  X
định trên
X

□

X,


là một hàm xác

 X thỏa mãn các tiên đề sau:

(i), Tiên đề đồng nhất
d  x, y   0 , với mọi x, y  X ;
d  x, y   0  x

 y.

(ii), Tiên đề đối xứng
d  x, y   d  y, x  với mọi x, y  X ;
,
(iii), Tiên đề tam giác
d  x, z   d  x, y 

 d  y, z  , với mọi x, y, z  X .

d gọi là metric trong X và d  x, y  là khoảng cách giữa
hai điểm x, y  X . Mỗi phần tử trong X được gọi là một điểm
của X .
Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số thực ℝ và tập hợp các số
phức

ℂ

là

những


d  x, y  

không

gian

metric,

| x  y |, x, y  □ (hoặc ℂ).

với

metric


Ví dụ 1.1.2. Không gian ơclit (Euclide) ℝ

k

là không gian

metric với metric d xác định như sau:
Nếu x    , ...,   và
1
k

y  1, ...,k 

k

d  x, y     i
 i 1

thì

là hai phần tử của ℝ

k

1

2



2

 i

Hiển nhiên d thỏa mãn hai tiên đề đồng nhất và đối xứng.
Ta kiểm tra tiên đề tam giác. Trước hết, để ý rằng nếu
a1 ,, ak , b1 ,, bk là những số thực thì
k

1

k

i 1 i


1
2

k


2

   ai    bi 
  i 1

 i 1

 ab
i

2 2

(Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Cosi (Cauchy)).
k

   | | ,    bi
i1 a
i 1
i

Thật vậy, đặt
Ta có

k

2

 t  2 t   

Do đó

2

và 

k

  | aibi |.
i1

0 với mọi số thực t.

’   2  

 0,

Tức là ta có bất đẳng thức Cosi.
Bây

giờ

z  (  1 ,,  k )

giả


sử

x  (1, ,  k ), y

 (1 ,,  k )

là ba phần tử bất kì của □ k . Khi đó:
d  x, y  

k



 
i



k



i 1
i

i 1

2

  

i

i

  
i

2
i

và


k

k

2

   i  i

 2  i   i

i 1

2





k

i 1






k

i 1

  

2

ii

i 1



2

Từ đó



 i


i

2

  
ii

i 1

i   i

2

i 1
2

k



i 1

k

2

2

  i   i


i   i

i 1

k

 i  i

k

k



i 1

2

i   i


   d  x, y   d  y, z   2 .



d  x, z   d  x, y 

 d  y, z  .


Ví dụ 1.1.3. Gọi □  a, b là tập hợp các hàm số thực liên tục
trên khoảng đóng hữu hạn

 a, b  .

Dễ dàng chứng minh được

rằng □ a, b
  là một không gian metric với metric
d  x, y   sup x  t   y  t  , x, y  □ .
a t b

Giả sử M là một tập hợp con của không gian metric

 X , d  . Dễ thấy rằng hàm số
hợp M . Không gian metric
không gian metric

d M d

 M , dM 

 X, d  ; d

M M

là một metric trên tập

gọi là không gian con của


gọi là metric cảm sinh bởi

M

metric d trên M .
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {xn} những phần tử của không gian
metric

  0,

X,d

được gọi là hội tụ đến phần tử a  X , với mọi

tồn tại n 
no

Ký hiệu: x 
n

sao cho d (xn ,
a)
a
n

 

.

hay lim

xn

a.

n

Khi đó a được gọi là giới hạn của dãy {xn}.
Theo định nghĩa, ta suy ra:


xn  a  d  xn , a   0  n  



hay lim  xn , a   0 .
n


Cho dãy {xn} bất kì và n  k  1, 2, 
k

là dãy các số tự

nhiên thỏa mãn điều kiện n1  n2  ...  nk  ... thì dãy {x } được
n
gọi là dãy con của dãy {xn}.
Ví dụ 1.1.4. Trong không gian ℝ và ℂ,
lim xn  xo  lim xn  xo  0 .
n
n


Ví dụ 1.1.5. Trong không gian □ k,
Giả sử



x  
n

 n

, ..., 

 n

,n

 
o

x   , ..., 

 1, 2, ... ,
và

1
k

o


1

o 

.
k

Khi đó
kn

lim x  x  lim  
n

n

o

 lim 
n

n




i

 i 1
o


, i  1, ..., k

i

n

o 

2

i

1
2

 0



i

Vì vậy, người ta nói rằng sự hội tụ trong không gian Ơclit
ℝ k là sự hội tụ theo các tọa độ.
Ví dụ 1.1.6. Trong không gian □  a,b ,
lim xn  x
n
o   x n  t   xo  t  , với
Thật vậy lim
xn


t   a, b .

 xo  lim d  xn , xo   0 , nghĩa là
n

n

 
sup
at b

 0, no  □ , n  □
xn  t   xo  t   

xn  t   xo  t   

 n  no   d  xn , xo     , tức là
với mọi n  no , cũng tức là

với mọi n  no và với mọi t   a, b  .


Định nghĩa 1.1.3. Dãy  xn 

X,d

trong không gian metric

gọi là dãy cơ bản nếu:
  0, no : m, n  no , d  xn , xm   

 
Ta

 0, no : n  no , p  1, 2, ...
có thể viết

 xn 

lim d  xn , xm  

ta có d  xn  p , xn    .

là dãy cơ bản khi và chỉ khi

hay

0

lim d  xn p , xn   0, p  1, 2, ...
n

n
m

Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric mà trong nó mọi dãy
cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ.
Ví dụ 1.1.7. Không gian metric rời rạc là một không gian
metric đủ.
Ví dụ 1.1.8. Không gian ℂ  a, b  là một không gian đủ.
1.2 Tập mở và tập đóng

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử
a X

X là một không gian metric,

và r là một số dương. Ta định nghĩa như sau:

Hình

cầu
tâm

mở

a,

bán

S  a, r    x  X
Hình

cầu

đóng

tâm

a

kính


r

là

tập

hợp

là

tập

hợp

: d  x, a   r .
bán

S  a, r    x  X

kính

r

: d  x, a   r  .

Ví dụ 1.2.1. Trong không gian rời rạc X , với a  X
ra:
S  a,1   a
S  a,1  X


ta suy


Ví dụ 1.2.2. Trong không gian ℝ
S  a, r    x  □ :
S  a, r    x  □ :
Định nghĩa 1.2.2.

x  a  r   a  r, a  r 
x  a  r  a  r, a  r

 



Cho không gian metric

X , tập hợp

A  X ta nói
Điểm x  X

được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một

hình cầu S (x,  tâm x chứa trong A (hay 
)

 0 : S  x,    A).


A được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm thuộc A đều là
điểm trong của A .
A được gọi là tập hợp mở nếu Ac  X \ A (phần bù của A )
là tập hợp mở.
∅ là một tập hợp mở.
Định lý 1.2.1. Trong không gian metric X ta có
(i) Hình cầu mở là một tập hợp mở.
(ii) Hình cầu đóng là một tập hợp đóng.
Chứng minh
(i) Giả sử S  a, r  là hình cầu mở trong X , x  S  a, r 
Suy ra

d  x, a   r

Đặt
Khi đó

  r  d  x, a   0.
y  S  x,    d  y, x   

Mặt khác, d  y, a   d  y, x   d  x, a   
 y  S  a, r   S  x,   

 d  x, a   r
S  a, r  .

Do đó x là điểm trong của S  a, r  . Suy ra S  a, r  là tập
hợp mở.
10



(ii) Chứng minh tương tự ta được X \ S  a, r 

là tập hợp

mở.
Suy ra S  a, r  là tập hợp đóng.
Định lý 1.2.2. Trong không gian metric X , ta có:
∅ và X là các tập hợp mở.

(i)

(ii) Hợp của một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp
mở.
(iii) Giao của một số hữu hạn các tập hợp mở là một tập
hợp mở.
Chứng minh
(i) Hiển nhiên.
(ii) Giả sử

 Gt 

tT

là một họ tập hợp mở trong không gian

metric X nên với mọi x 

G
tT


Vì G

to

trong của

Gt . Suy ra tồn tại S  x,    Gt o 
o

G
tT



tT

, tồn tại to  T sao cho x  Gto.

là tập hợp mở và x  G nên ta suy ra x là điểm
to

Do đó x là điểm trong của
Vậy

t

t

G.

tT

t

.

G là một tập hợp mở.
t

(iii) Giả sử Gi  i  1, ..., n 

là các tập hợp mở, với

n

x

G
i 1

thì

i

x  Gi  i  1, ..., n  .
Vì
Gi

là tập hợp mở nên x là điểm trong của Gi . Suy ra
11



tồn tại

sao cho S  x,  i   Gi  i  1, ..., n  .

i  0

Đặt   min    . Khi đó, hiển nhiên
i
1i n

S  x,    S  x,  i   Gi  i

 1, ..., n  , do đó S  x,   

n

G.
i

i 1

n

Vậy x là một điểm trong của
hợp mở.□

G
i 1


i

hay

n

G
i 1

là một tập

i

Định lý 1.2.3. Trong không gian metric X , ta có
(i)
(ii)

∅ và X là các tập hợp đóng.
Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là một tập

hợp đóng.
(iii) Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp đóng là một tập
hợp đóng.
Chứng minh
(i) Hiển nhiên.
(ii) Giả sử
metric X
.


tT

là một họ tập hợp đóng trong không gian

Khi đó X \ 

t T,
với mọi X
Vậy

F

 t

F
tT

t

\
Ft

Ft

tT

  X

\ Ft  là một tập hợp mở, vì


tT

là một tập hợp mở.

là một tập hợp đóng.

12


(iii) Chứng minh tương tự câu (ii)
Giả sử

 F ini 1

là một họ tập hợp đóng trong không gian

metric X .
n

n

Khi đó X \



 X

\ Fi  là một tập hợp mở, vì với mọi

i 1




Fi
(i  1, ...n),
X

\
Fi

n

Vậy

i 1

 Fi

là một tập hợp mở.

là một tập hợp đóng. □

i 1

Định nghĩa 1.2.3. Cho X là không gian metric, với x  X
Tập hợp mở U chứa x được gọi là một lân cận mở chứa x.
Lân cận của x là một tập hợp

V 


chứa một lân cận mở

của x.
Hình cầu mở S  x,   còn được gọi là một lân cận của x.
Ký hiệu:
Họ t

x

Vx     S  x,   .
tập hợp các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân

cận của x nếu với mọi lân cận V của x thì tồn tại U  t

x

sao

cho x  U  V .
Nếu t

x

là họ đếm được thì x được gọi là điểm có cơ sở

lân cận điểm đếm được.
Định lý 1.2.4. Mọi điểm của không gian metric đều có cơ
sở lân cận đếm được.
Chứng minh
Giả sử x  X

t  
U

là không1 gian metric. Khi đó họ


, n  1, 2, ...
 S x,


là
sở lân
cậncơđếm

x
n



được
của
x.


n







Định nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian metric và tập hợp
A là tập hợp con của

X . Ta định nghĩa phần trong của A là tập
 hoặc IntA.
hợp tất cả các điểm của A. Ký hiệu: A
Phần trong của một tập hợp có thể là tập hợp rỗng. Hiển
nhiên ta có:
Phần trong của một tập hợp là một tập hợp mở, và đó là
tập hợp mở lớn nhất chứa trong A.
Tập hợp A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA  A .
Nếu A  B thì IntA  IntB .
Định nghĩa 1.2.5. Cho không gian metric X , tập hợp A là
tập hợp con của X . Điểm x  X được gọi là điểm dính của A
nếu mọi lân cận V của x thì V  A   .
Tập hợp tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng
của A. Ký hiệu: A hoặc clA.
Chú ý: Vì X là một tập hợp đóng chứa A nên bao đóng
của tập hợp A luôn tồn tại.
Hiển nhiên ta có:
(i) Nếu x  A thì x  A nên suy ra A  A .
(ii) A là một tập hợp đóng và đó là một tập hợp đóng nhỏ
nhất chứa A .


(iii) Tập hợp A là tập hợp đóng khi và chỉ khi A  A .
(iv) Nếu A  B thì    .



Định lý 1.2.5. Giả sử A là một tập hợp con của không gian
metric X và x  X . Khi đó x  A

khi và chỉ khi mỗi lân cận V

của x đều có điểm chung với A.
Chứng minh
Nếu x   thì V
điểm chung với
sao cho
V

 X \  là một lân cận của x không chứa

A. Đảo lại, nếu tồn tại một lân cận V của x

A

thì X \ V là một tập hợp đóng chứa A.

\ V . Vậy x  .□

Do đó   X

Định nghĩa 1.2.6. Cho X là không gian metric tập hợp
A, B là các tập hợp con của X ta định nghĩa
A trù mật trong B nếu B   .
X được gọi là khả ly nếu tồn tại tập hợp A đếm được và
trù mật trong X tức là A  X .
1.3 Không gian topo

Định nghĩa 1.3.1. Không gian topo là một cặp
đó

là một tập hợp và 

X

X   2
(i)

X



X,

trong

là một họ tập hợp con của

thỏa mãn các điều kiện sau:
  , X   .

(ii) Nếu U1   và U2   thì
(iii) Nếu

U

 t


Ut   với mọi t  T

tT

U1  U 2   .

là một họ những tập hợp con của X và
thì

 U  .
tT

t


Tập hợp X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là
các điểm của không gian, mỗi phần tử của  gọi là một tập hợp
mở của không gian X . Họ  gọi là một topo trên tập hợp X .
Định nghĩa 1.3.4. Cho
G X

 X,

được gọi là tập mở trong

là một không gian topo. Tập

 X,

nếu G  .


Ngược lại, G được gọi là tập mở nếu G không phải tập mở.
Nhận xét
∅ và X là các tập mở.
Hợp của một họ các tập mở là một tập mở.
Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở.
Tập G là đóng khi và chỉ khi X \ G là tập mở.
Hợp hữu hạn của một họ các tập đóng là một tập đóng.
Giao một họ bất kì các tập đóng là một tập đóng.
Ví dụ 1.3.1. Cặp

 X,

trong đó X là một không gian

metric và  là họ tất cả các tập hợp mở trong X là một không
gian topo. Vì họ các tập hợp mở trong một không gian metric
thỏa mãn các điều kiện của một topo.
Ví dụ 1.3.2. Nếu  là họ các tập hợp con của tập hợp số
thực mở rộng □ sao cho với mọi A  □ , A   khi và chỉ khi A
là

hợp

của

một

họ


nào

đó

những

tập

hợp

có

dạng

 a, b  ,  , c  ,  d ,   , a, b, c, d  □ , a  b

thì cặp

không gian topo.
Định nghĩa 1.3.3. Cho A  X

 X . V được gọi là

và
V

 □ , 

một lân cận của tập hợp A nếu tồn tại G   sao cho
AGV.


là một


Nếu A   x

thì V được gọi là một lân cận của điểm x.

Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A.
Định nghĩa 1.3.4. Cho họ Bx  Vx là một cơ sở lân cận của
điểm x (hay cơ sở địa phương của không gian X tại điểm x )
nếu với mọi V  V , tồn tại B 
x
Bx

sao cho x  B  V .

Nhận xét:
Hợp các lân cận của x là một lân cận của x .
Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của
x.
Nhận xét: Trên một tập hợp X có thể cho nhiều topo khác
nhau.
Định nghĩa 1.3.5. Cho

1 ,  2

X . Ta nói  mạnh hơn  ( 
1
2

2

là hai không gian topo trên

yếu hơn 1 ) nếu 1  2

tức là

mỗi tập hợp mở đối với topo  cũng là một tập hợp mở đối
2
với topo  . Ký hiệu:    .
1
1
2
Hiển nhiên, topo rời rạc trên một tập hợp

X là mạnh

nhất và topo phản rời rạc trên X là yếu nhất trong tất cả các
topo trên X .
Không phải hai topo bất kì trên cùng một tập hợp X bao
giờ cũng so sánh được. Giả sử A và B là hai tập hợp con thực
sự không rỗng khác nhau của một tập hợp X . Trên X ta trang
bị hai topo    X , , A ; 
A
B
là không so sánh được: 
mạnh hơn  .
A


A

  X , , B .

Dễ thấy  A và  B

không mạnh hơn

B ,

 B không


Định nghĩa 1.3.6. Giả sử

X,

là một không gian topo,

A  X . Điểm x được gọi là điểm biên của tập hợp A khi và

c

chỉ khi x  A  A . Tập hợp tất cả các điểm biên của A được
gọi là biên của tập hợp A , ký hiệu:  A.
Định nghĩa 1.3.7. Giả sử A là một tập hợp con của không
gian topo X . Điểm x  X

gọi là một điểm tụ của tập hợp A


nếu x  A \  x  . Tập hợp tất cả các điểm tụ của A gọi là tập
hợp dẫn xuất của A , ký hiệu: Ad .
Các điểm của tập hợp A \
d
A

gọi là các điểm cô lập của tập

hợp A . Điểm x của không gian topo X là một điểm cô lập của
X khi và chỉ khi

 x

là một tập hợp mở. Thật vậy, x là một

điểm cô lập của X khi và chỉ khi x  X \  x  , điều này tương
đương với

X \  x  X

\  x  , tức là

X \  x

là một tập hợp

đóng.
1.4 Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương
Khái niệm: Giả sử
một tập hợp con của


 X,

X . Đặt  M  V  M : V  M  U ,U    .

Dễ dàng thấy rằng  M

 M , M 

là một không gian topo, M là

là một không gian topo trên M . Cặp

gọi là không gian con của không gian topo

X, .


 M gọi là topo cảm sinh bởi topo  .
Định lý 1.4.1. Giả sử X là một không gian topo và M là
một không gian con của
(i) Tập hợp
AM

X. . Khi đó

AM

là đóng trong


M

khi và chỉ khi

 F trong đó F là một tập hợp đóng trong X .
,

(ii) Bao đóng cl A của tập hợp A trong không gian M và
M
bao đóng A của tập hợp A trong không gian X liên hệ với
nhau bởi hệ thức clM A  A  M .
Chứng minh
(i),

Nếu

M \ A M U,

A

là

một

trong

tập

hợp


đó

U

A  M \  M \ A  M \  M  U  

đóng
là

mở

trong

M

trong

thì
X.

M \ U  M X \ U M F,

trong đó F  X \ U là đóng trong X .
Đảo lại, nếu A  M  F trong đó F là một tập hợp đóng
,
trong
M \AM \

M


X

thì

F  M \ F  M X \ F  M U
,

U là mở trong X . Vậy
M

trong đó

\ A là mở trong M . Do đó A là

đóng trong M .
(ii) Theo định nghĩa của bao đóng, cl A là giao của tất cả
M
các tập hợp đóng trong M chứa

A, tức là giao của tất cả các

tập hợp có dạng M  F , trong đó F là tập hợp đóng trong X


và
F

 A.
Từ đó suy ra
clM A  M  A. □



Ví dụ 1.4.1. Không gian I 

0, 1

với topo tự nhiên là

không gian con đóng của không gian các số thực với

tôpô

tự

nhiên. Nếu A là một tập hợp con của ℝ thì tôpô tự nhiên trong
A được hiểu là tôpô cảm sinh vào A bởi tôpô tự nhiên trên ℝ.
Khi nói tới các khoảng hoặc các tập hợp những số

thực

mà

không có giải thích gì thêm thì ta hiểu các tập hợp đó được
trang bị topo tự nhiên. Dễ dàng chứng minh được rằng hai
khoảng mở bất kì, hai khoảng đóng bất kì không suy biến thành
một điểm, hai khoảng nửa đóng bất kì là đồng phôi với nhau.
Đường thẳng ℝ được nhúng đồng phôi vào khoảng đóng
J   1,1 .

Phép nhúng đồng phôi f : □  J được xác định bởi


công thức

f x 

x
(R đồng phôi với khoảng mở  1, 1 ).
1 x

Định nghĩa 1.4.1. Tập hợp

X   Xs

với topo đầu  xác

sS

định bởi họ ánh xạ
gian topo

  X ,  
s

s

 ps 
sS

sS


gọi là tích Descartes của họ không

, còn được gọi là topo Tykhonoff

(được

định nghĩa ở chương sau).
Nếu  X s 

sS

là một họ không gian topo thì ký hiệu



Xs

sS

luôn luôn đúng để chỉ không gian topo

X,

xác định như

trên.
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là một không gian topo, R là
một quan hệ tương đương trong

lớp tương đương và


i:
X

X.
Gọi

X / R là tập hợp các

 X / R, x  i  x   x
22

( x là lớp tương



đương chứa x ) là ánh xạ thương.
Đó là topo mạnh nhất trong các topo trang bị trên
sao cho ánh xạ i liên tục. Tập hợp

X /R

X / R với topo thương gọi

là không gian thương.
1.5 Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi
Định nghĩa 1.5.1. Cho hai không gian topo

 Y , Y  . Ánh xạ


f :X Y

mỗi lân cận V của điểm
cho

X,X

gọi là liên tục tại điểm xo  X

và
nếu

f  xo   Y tồn tại lân cận U của xo sao

f U   V .
f gọi là liên tục (trên X ) nếu f liên tục tại mọi điểm x

của X .
Ví dụ 1.5.1. Nếu X là một không gian topo rời rạc và Y là
một không gian topo tùy ý thì mọi ánh xạ

f :X Y

đều liên

tục.
Ví dụ 1.5.2. Trên tập hợp X trang bị hai topo 1 và
Ánh xạ I : X ,   X , 



1
2

2 .

xác định bởi I  x   x là liên tục

khi và chỉ khi 1 mạnh hơn 2 .
Định nghĩa 1.5.3. Giả sử

f :X Y

là một ánh xạ từ

không gian topo X vào không gian topo Y .
f gọi là một ánh xạ mở nếu ảnh f  A

của mỗi tập hợp A

mở trong X là một tập hợp mở trong Y.
f gọi là một ánh xạ đóng nếu ảnh f  B  của một tập hợp B
đóng trong X là một tập hợp đóng trong Y .
Giả sử f : X  Y là một song ánh từ không gian topo X
vào không gian topo Y.
23


f gọi là một phép đồng phôi nếu f và ánh xạ ngược

f 1


của nó đều liên tục.
Ví dụ 1.5.1. Nếu X là một không gian topo thì ánh xạ
đồng nhất trên X (tức là ánh xạ 1X : X  X

xác định bởi

1X  x   x, x  X ) là một phép đồng phôi.
Chương này, em đã trình bày một số kiến thức cơ bản về
không gian metric, không gian topo, tập đóng tập mở, không
gian con, tích Descartes, không gian thương, ánh xạ liên tục và
phép đồng phôi chuẩn bị cho chương sau.

24