TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
********

NGUYEN TH± PHƯƠNG LIÊN

BORNO ĐÚ

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI
HOC
Chuyên ngành: Giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc

TS. TRAN VĂN BANG

Hà N®i - 2013



LèI CÁM ƠN

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS.Tran Văn Bang Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em trong suot
thòi gian hoc t¾p tai trưòng cũng như trong quá trình hoàn thành khóa
lu¾n tot nghi¾p. Đong thòi em xin chân thành cám ơn Ban chn nhi¾m
khoa và các thay cô trong các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành tot bài khóa lu¾n
này.
Trong khuôn kho cna m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n ve thòi gian, do
trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc cho nên đe
tài cna em không tránh khói nhung thieu sót nhat đ%nh. Vì v¾y em rat

mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna quý thay cô và ban đoc đe đe tài cna
em đưoc hoàn thi¾n hơn.
Cuoi cùng em xin chúc các thay cô luôn manh khóe, công tác tot đe cong
hien th¾t nhieu cho sn nghi¾p giáo duc cna đat nưóc và thành công hơn
nua trên con đưòng nghiên cúu khoa hoc cna mình.
Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Th% Phương Liên

i


LèI CAM ĐOAN

Khóa lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p
và nghiên cúu dưói sn hưóng dan t¾n tình cna thay Tran Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu đe hoàn thành bán khóa lu¾n tot nghi¾p này em đã
sú dung m®t so tài li¾u tham kháo cna các nhà khoa hoc vói lòng biet ơn
sâu sac.
Em xin cam đoan ket quá cna đe tài "Borno đú" không có sn trùng l¾p
vói ket quá cna các đe tài khác.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà N®i, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyen Th% Phương Liên

ii



Mnc lnc

Mé ĐAU

iv

1 Kien thNc chuan b%

1

1.1. Không gian véctơ............................................................................... 1
1.2. M®t so khái ni¾m cơ bán ve borno................................................. 4
1.3. Sn h®i tu theo borno....................................................................7
1.4. Cau trúc cna m®t không gian borno loi và sn so sánh vói
cau trúc cna m®t không gian véctơ loi đ%a phương......................11
2 Borno đú

13

2.1. Đĩa b% ch¾n đn...............................................................................13
2.2. Không gian borno loi đn..................................................................16
2.2.1. Cau trúc cna không gian borno loi đn...........................16
2.2.2. Tính on đ%nh...................................................................... 17
2.2.3. Không gian véctơ borno tách huu han chieu.................19
2.2.4. Borno đn liên ket vói m®t borno véctơ tách.................20
2.2.5. Không gian véctơ topo đn theo borno...........................21
KET LU¾N

23


TÀI LIfiU THAM KHÁO

24

iii


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Lý thuyet Borno là m®t lý thuyet "đoi ngau" vói lý thuyet Topo, trong
khi lý thuyet topo xuat phát tù khái ni¾m lân c¾n (hay t¾p mó) thì lý
thuyet borno xuat phát tù khái ni¾m b% ch¾n. Ve cơ bán hai lý thuyet này
có các ket quá tương tn nhau. Gan đây, lý thuyet borno đã đưoc úng dung
rat hi¾u quá trong vi¾c nghiên cúu dưói vi phân tong quát trong các công
trình cna Mordukhovich, Borwein,... .M¾t khác, trong lý thuyet giái tích
hàm chúng ta đã biet không gian Banach đưoc xây dnng dna trên cơ só là
không gian đ%nh chuan và moi dãy Cauchy trong nó đeu h®i tu. Hay nói
cách khác không gian Banach là không gian đ%nh chuan đ¾c bi¾t. Tương
tn như v¾y trong không gian véctơ borno ngưòi ta cũng đi xây dnng khái
ni¾m không gian borno đn dna vào khái ni¾m đĩa b% ch¾n sinh đn. Vói
mong muon có đưoc sn hieu biet ve lý thuyet này nên em đã chon đe tài
"Borno đn" làm khóa lu¾n tot nghi¾p. Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 2
chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%
Chương 2: Borno đn
2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
- Nghiên cúu ve lý thuyet borno.
- Nghiên cúu ve các không gian borno loi đn.

3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu


T¾p chung nghiên cúu ve tính đn cna borno trên các không gian véctơ,
không gian véctơ topo và không gian đ%nh chuan.
4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh, tong hop kien thúc.

v


Chương 1

Kien thNc chuan b%
1.1.

Không gian véctơ

Đ%nh nghĩa 1.1. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K và A, B là hai t¾p con cna E. Khi đó, ta nói:
(i) A là t¾p loi neu ∀λ, µ ∈ R+ : λ + µ = 1 thì λA + µA ⊂ A.
(ii) A là t¾p tròn neu ∀λ ∈ K : |λ| ≤ 1 thì λA ⊂ A.
(iii) A là t¾p đĩa neu A vùa loi, vùa tròn.
(iv) A đưoc goi là hap thu B neu ∃α ∈ R, α > 0 sao cho λA ⊃ B, ∀|λ| ≥ α.
(v) A là t¾p hút trong E neu A hap thu moi t¾p con m®t phan tú cna E.
(vi) A đưoc goi là m®t đĩa hút neu A vùa là t¾p đĩa, vùa là t¾p hút.
(vii) A là t¾p compact neu moi dãy bat kỳ (xn) nhung phan tú cna A đeu
có m®t dãy con (xnk ) h®i tu đen m®t phan tú cna A.
Đ%nh nghĩa 1.2. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K. Khi đó ta nói:

*) M®t núa chuan trên E là m®t ánh xa p : E −→ R thóa mãn 3 tiên đe
(i) ∀x ∈ E ⇒ p(x) ≥ 0.
(ii) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ p (λx) = |λ|p(x).
(iii) ∀x, y ∈ E ⇒ p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
*) p đưoc goi là m®t chuan trên E neu p là m®t núa chuan và thóa mãn
đieu ki¾n: ∀x ∈ X, p(x) = 0 ⇒ x = 0.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho A là m®t đĩa hút trong không gian véctơ E.
Hàm cõ cna A ký hi¾u là pA là m®t ánh xa đi tù E vào R+ xác đ%nh như

1


sau:
Vói moi x ∈ E thì pA(x) = inf{α ≥ 0 : x ∈ αA}.
M¾nh đe 1.1. Hàm cõ cúa m®t đĩa hút trong không gian véctơ E là m®t
núa chuan.
Chúng minh. Giá sú, A là m®t đĩa hút trong E. Khi đó hàm cõ cna t¾p A
là:
pA :E −→ R+
x −→ pA(x)
trong đó pA(x) = inf{α ≥ 0 : x ∈ αA}.
Th¾t v¾y ta can chúng minh pA là m®t núa chuan.
- Ta có: pA(x) ≥ 0, ∀x ∈ E.
- ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K
· Neu λ = 0 ⇒ pA(λx) = pA(0) = inf{α ≥ 0 : 0 ∈ αA}.
Ta có: 0 ∈ αA, ∀α ≥ 0 ⇒ pA(0) = 0 ⇒ pA(λx) = |λ|pA(x).
· Neu λ ƒ= 0 ta có:
α
pA(λx) = inf{α ≥ 0 : λx ∈ αA} = inf{α ≥ 0 : x ∈ }A .
Mà theo giá thiet A là đĩa hút nên hien nhiên A là t¾pλtròn.

.
α
Do đó α α
A= A = A
..
. |λ|
α
.
.
λ
λ
⇒ pA(λx) = inf{α ≥ 0 : x
A} (1).
|λ|
∈
M¾t khác, ta lai có:
|λ|pA(x) = |λ| inf{β ≥ 0 : λx ∈ βA} = inf{|λ|β = α ≥ 0 : x ∈ βA}
α
⇒ |λ|pA(x) = inf{α ≥ 0 : λx
} = inf{α ≥ 0 : x ∈ βA}(2).
|λ|
∈
Tù (1) và (2) suy ra pA(λx) = |λ|pA(x).
+ ∀x, y ∈ E. Vì A là t¾p hút trong E nên suy ra ton tai α, β > 0 sao cho
x ∈ αA, y ∈ βA. M¾t khác, ∀α, β > 0 : x ∈ αA, y ∈ βA
⇒ x + y ∈ αA + βA ⇒ x + y ∈ (α + β)A ⇒ pA(x + y) ∈ α + β.
Do đó pA(x + y) ≤ pA(x) + pA(y). V¾y p là m®t núa chuan.
Nghĩa là hàm cõ cna m®t đĩa hút trong E là m®t núa chuan trên E.
Đ%nh nghĩa 1.4. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K, A là m®t đĩa trong E. Ta ký hi¾u EA là không gian véctơ sinh bói A.



Túc là, EA =

S

λA =

λ>0

S

λA. Khi đó A là m®t đĩa hút trong EA nên ta

λ∈K

có the trang b% cho EA m®t núa chuan pA là hàm cõ cna t¾p A. Núa chuan
này đưoc goi là núa chuan chính tac cna EA.
Đ%nh nghĩa 1.5. Cho X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K. Khi đó X cùng vói m®t chuan trên X đưoc goi là không gian tuyen tính
đ%nh chuan (hay goi tat là không gian đ%nh chuan).
Đ%nh nghĩa 1.6. Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không gian Banach
neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tu.
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho X là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng
K. M®t topo trên X đưoc goi là m®t topo véctơ (hay topo tương thích vói
cau trúc véctơ) neu vói topo đó các ánh xa sau là liên tuc:
(i)Phép c®ng:
X × X −→ X
(x, y) −→ (x + y)
Túc là, vói moi lân c¾n V cna (x + y) ton tai lân c¾n Ux, Vy : Ux + Vy ⊂

V . (ii)Phép nhân vói m®t vô hưóng:
K × X −→ X
(α, x) −→ αx
Túc là, vói moi lân c¾n V cna (αx) ton tai lân c¾n Ux, ∃ε > 0 : ∀β ∈ K
⇒ βUx ⊂ V .
Đ%nh nghĩa 1.8. M®t không gian véctơ X mà trên đó đưoc trang b% m®t
topo véctơ đưoc goi là không gian véctơ topo.
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho X là m®t không gian véctơ topo. Khi đó X đưoc
goi là không gian loi đ%a phương neu nó có m®t cơ só lân c¾n cna goc gom
các t¾p loi.
M¾nh đe 1.2. Giá sú E là không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K và
A ⊂ E. Khi đó bao loi cúa A trong E là t¾p hop có dang:
. n
.
n
.
.
coA
λixi, λi ≥ 0, xi ∈ A, ∀i = 1, n,
λi = 1
=
.
i=1

i=1


M¾nh đe 1.3. Cho I ƒ= ∅ là m®t t¾p chs so, giá sú (Ei)i∈I là m®t ho các
không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K và vói moi i ∈ I thì Ai là m®t
đĩa trong EQ

i vói hàm cõ ||.||i.
Đ¾t E =
Ei là không gian véctơ tích cúa các không gian véctơ Ei và
i∈I
Q
A = Ai. Khi đó A là m®t đĩa và ta có:
i∈I

(i) EA = {x = (xi) : sup ||xi||i < +∞}.
(ii) pA(x) = sup ||xi||i trong đó pA là hàm cõ cúa A.
i∈I

1.2.

M®t so khái ni¾m cơ bán ve borno

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho X là m®t t¾p hop bat kỳ. M®t borno trên X là
m®t ho ß các t¾p con cna X
S thóa mãn các tiên đe sau đây:
(i) ß phn X. Túc là, X =
B.
B∈ß

(ii) ß có tính chat lưu giu t¾p con. Túc là, ∀B ∈ ß, A ⊂ B ⇒ B ∈ ß.
(iii) ß kín đoi vói phép hop huu han.
n
S
Bi ∈ ß.
Túc là, ∀B1, ..., Bn ∈ ß
i=1

⇒
Đ%nh nghĩa 1.11. M®t t¾p borno là m®t c¾p (X, ß) trong đó X là m®t
t¾p hop bat kỳ và ß là m®t borno trên X. Các phan tú cna ß là các t¾p
con b% ch¾n cna X.
Đ%nh nghĩa 1.12. Giá sú E là không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K.
Borno ß trên E đưoc goi là borno véctơ (hay borno tương thích vói cau trúc
véctơ) neu ß on đ%nh vói 3 phép toán sau đây:
(i) Phép c®ng. Túc là, ∀A, B ∈ ß ⇒ A + B ∈ ß.
(ii) Phép v% tn. Túc là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ⇒ λA ∈ ß. S
(iii) Phép lay bao tròn. Túc là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ⇒
λA ∈ ß.
|λ|≤1

Đ%nh nghĩa 1.13. Cho E là m®t không gian véctơ và ß là m®t borno
véctơ trên E. Khi đó c¾p (E, ß) đưoc goi là không gian véctơ borno.
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho ß là m®t borno véctơ trên E. Khi đó borno ß đưoc
goi là borno véctơ loi neu ß on đ%nh đoi vói phép lay bao loi.


Đ%nh nghĩa 1.15. Cho (E, ß) là m®t không gian véctơ borno. Khi đó:
(i) (E, ß) là m®t không gian borno loi neu borno ß trên E on đ%nh vói
phép lay bao loi. Nghĩa là neu A ∈ ß thì coA ∈ ß.
(ii) (E, ß) là m®t không gian véctơ borno tách neu {0} là không gian véctơ
con b% ch¾n duy nhat cna E.
Ví dn 1.1. Goi ß là m®t ho tat cá các t¾p con b% ch¾n trong R2. Khi đó
ß = {A ⊂ R2 : ∃M > 0 : ||x|| ≤ M, ∀x ∈ A} là m®t borno trên R2 và
đưoc goi là borno thông thưòng trong R2.
Chúng minh. (1) ß là m®t borno trên R2.
Đe chúng minh ß là m®t borno trên R2 ta phái đi kiem tra 3 tiên đe sau:
2

ß phn R
. Ta có {x} là m®t t¾p con b% ch¾n trong R2
S
{x} ⊂
⇒ R2 =
S B. V¾y ß phn R2.
(i)

x∈R2

B∈ß

ß có tính chat lưu giu t¾p con.
Giá sú, ∀A ∈ ß, B ⊂ A. Khi đó ta có, ∀x ∈ B ⊂ A ⇒ x ∈ A.
M¾t khác, vì A b% ch¾n nên ⇒ ||x||
≤ M (Vói M là m®t so nào đó).
Do đó B là t¾p b% ch¾n trong R2 hay B ∈ ß.
V¾y ß có tính chat lưu giu t¾p con.
(iii) ß đóng kín vói phép hop huu han.
Giá sú, ∀B1, B2, ..., Bn ∈ ß. Vì Bi ∈ ß mà ß là ho các t¾p con b% ch¾n
(ii)

⇒ ∃Mi > 0 : ||x|| ≤ Mi, ∀x ∈ Bi. Đ¾t:
M = max Mi Mi
M, i = 1, n
⇒
≤
∀
1≤i≤n
Khi đó, ∀x

∈

Sn

Bi ⇒ ∃i0 : x ∈ Bi0 . Vì ß0 b% ch¾n nên

i=1

⇒ ||x|| ≤ Mi0 ≤ M, ∀x

Sn

Bi. Như v¾y, ∀x ∈

i=1

n
S

Bi ⇒ ||x|| ≤ M .

i=1

∈
Do đó

Sn

Bi là t¾p b% ch¾n trong R2 hay B ∈ ß.


i=1

V¾y ß on đ%nh đoi vói phép hop huu han.
Tù (i),(ii),(iii) suy ra ß là m®t borno trên R2.
(2) ß là m®t borno véctơ trên R2. Đe chúng minh ß là m®t borno
véctơ trên R2 ta can chí ra ß on đ%nh đoi vói 3 phép toán sau:


(i) Phép c®ng: Túc là, ∀A, B ∈ ß ta phái chúng minh: A + B ∈ ß.


Th¾t v¾y, ∀(x + y) ∈ A + B, x ∈ A, y ∈ B. Vì x ∈ A và A b% ch¾n
nên
⇒ ||x|| ≤ M1 (vói M1 là m®t so nào đó).Tương tn, vì y ∈ B và B b% ch¾n
nên ⇒ ||y|| ≤ M2 (Vói M2 là m®t so nào đó).
Khi đó ta có: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ≤ M1 + M2 = M, ∀x ∈ A, y ∈ B.
⇒ ||x + y|| ≤ M, ∀(x + y) ∈ A + B.
Do đó, A + B là t¾p b% ch¾n trong R2 hay A + B ∈ ß.
(ii) Phép v% tn: Túc là, ∀A ∈ ß, ∀λ ∈ K ta phái chúng minh: λA ∈ ß
Th¾t v¾y, ∀(λx) ∈ λA, x ∈ A.
Vì x ∈ A và A là b% ch¾n nên ⇒ ||x|| ≤ M (vói M là m®t so nào đó).
Xét: ||λx|| = |λ|.||x|| ≤ |λ|.M = N ⇒ ||λx|| ≤ N, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ A.
Do đó λA là t¾p b% ch¾n trong R2 hay λA ∈ ß.
S
(iii) Phép lay bao tròn: Túc là, ∀x ∈ A ta phái chúng minh:
λA ∈ ß.
|λ|≤1
S
Th¾t v¾y, ∀x ∈
λA ⇒ ∃λ0 : |λ0| ≤ 1 và y ∈ A : x = λ0y

|λ|≤1

Xét ||x|| = ||λ0.y|| = |λ0|.||y|| ≤ ||y||.
S Mà y ∈ A ⇒ ||y|| ≤ N (vói N là
m®t so nào đó) ⇒ ||x|| ≤ N, ∀x ∈
λA.
S
|λ|≤1
S
2
Do đó
λA là t¾p b% ch¾n trong R hay
∈ ß.
|λ|≤1

|λ|≤1

V¾y ß là m®t borno véctơ trên R2.
(3) ß là m®t borno loi (túc là ß on đ%nh vói phép lay bao loi).
Giá sú A ∈ ß, ta can chúng minh coA ∈ ß.
n.
n
.
Th¾t v¾y, ∀x ∈ coA ⇒ x =
λixi, λi ≥ 0, xi ∈ A,
λi = 1.
i=1

i=1


.n
Xét ||x|| = || λixi|| ≤ ||λ1x1||+...+||λnxn|| = |λ1|.||x1||+...+|λn|.||xn||.
i=1

M¾t khác, xi ∈ A mà A là t¾p b% ch¾n nên
⇒ ||xi|| ≤ M, ∀i = 1, n (vói M làn m®t so nào đó). n
.
.
⇒ ||x|| ≤ λ1.M + ... + λn.M =
λi.M

λi = 1)

i=1

= M (vì
i=1

⇒ ||x|| ≤ M, ∀x ∈ coA. Do đó, coA là b% ch¾n trong R2 hay coA ∈ ß.
(4) ß là m®t borno véctơ tách. Túc là, {0} là không gian con b% ch¾n duy
nhat cna R2.
Th¾t v¾y, giá sú A là m®t không gian véctơ con b% ch¾n cna R2. Khi đó ta
can chúng minh: A = {0}


Th¾t v¾y, ∀x ∈ A, ∀λ ∈ K. Vì A là không gian con nên λx ∈ A.
M¾t khác, vì A b% ch¾n nên ⇒ ||λx|| ≤ M (Vói M là m®t so nào đó)
M
M
⇒ |λ|.||x|| ≤ M ⇒ ||x|| ≤

. Khi λ → ∞ thì
→ 0.
|λ|
|λ|
⇒ 0 ≤ ||x|| ≤ 0 ⇒ ||x|| = 0 ⇒ x = 0 ⇒ A = {0}.
Túc là {0} là không gian con b% ch¾n duy nhat cna R2.
Do đó ß là borno tách.
Ví dn 1.2. Cho E là m®t không gian véctơ topo.
T¾p con A đưoc goi là b% ch¾n neu nó b% hap thu bói moi lân c¾n cna
0. Ho ß tat cá các t¾p con b% ch¾n trong không gian véctơ topo E theo
nghĩa trên là m®t borno véctơ trên E và đưoc goi là borno Newmann cna
E hay borno chính tac cna E.
Ví dn 1.3. Giá sú X là không gian borno tách. Ho tat cá các t¾p compact
tương đoi cna X l¾p thành m®t borno trên X có ho các t¾p con compact
là m®t cơ só. Borno đó đưoc goi là borno compact cna X.
Đ%nh nghĩa 1.16. Cho X, Y là các t¾p borno. Khi đó ánh xa u : X −→ Y
đưoc goi là ánh xa b% ch¾n neu u ánh xa moi t¾p b% ch¾n trong X thành
t¾p b% ch¾n trong Y .
Đ%nh nghĩa 1.17. Giá sú X, Y là các không gian véctơ borno. Khi đó
ánh xa u : X −→ Y đưoc goi là ánh xa tuyen tính b% ch¾n neu u vùa là
ánh xa tuyen tính vùa là ánh xa b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.18. M®t đang cau borno giua 2 t¾p borno là m®t song ánh
sao cho cá u và u−1 đeu b% ch¾n.
1.3.

SN h®i tn theo borno

Đ%nh nghĩa 1.19. Cho E là m®t không gian véctơ borno. Dãy (xn) trong
E đưoc goi là h®i tn theo borno tói 0 neu ton tai m®t t¾p con tròn, b% ch¾n
B

cna E và m®t dãy (λn) các vô hưóng tien tói 0 sao cho xn ∈ λnB, ∀n ∈ N.
Sn h®i tu theo borno còn đưoc goi là sn h®i tn theo Mackey và đưoc ký
hi¾u là: xn −→
0.
M


M

Dãy (x ) đưoc goi là h®i tu theo borno tói x ∈ E neu dãy (x − x)
n
n
M
0. Ký hi¾u: x
x.
−→
n
−→
M¾nh đe 1.4. Giá sú E là m®t không gian véctơ borno và (xn) là m®t
dãy trong E. Khi đó các khang đ%nh sau là tương đương:
(i) Dãy (xn) h®i tn theo borno tói 0.
(ii) Ton tai m®t t¾p tròn, b% ch¾n B ⊂ E và m®t dãy giám (αn), αn → 0
sao cho xn ∈ αnB, ∀n ∈ N.
(iii) Ton tai m®t t¾p tròn, b% ch¾n B ⊂ E sao cho ∀ε > 0, ∃N (ε) sao cho
xn ∈ εB, ∀n ∈ N.
Neu borno cúa E là borno loi thì (i), (ii), (iii) còn tương đương vói
khang đ%nh sau:
(iv) Ton tai m®t đĩa b% ch¾n B ⊂ E sao cho (xn) chúa trong không gian
núa chuan EB và h®i tn tói 0 trong EB.
M¾nh đe 1.5. Không gian véctơ borno E là tách khi và chs khi moi dãy

h®i tn theo borno trong E đeu có giói han duy nhat.
Chúng minh. Đieu ki¾n can: Giá sú E là không gian tách, (xn) ⊂ E h®i
M

M

tu theo borno
tói 2 phan tú x và y. Túc là, xn −→ x, xn −→
y
M
M
⇒ xn − xnM−→ x − y. Đ¾tMzn = xn − xn , z = x − y ⇒ zn −→ z
⇒ zn − z −→ 0 hay z − zn −→ 0. Khi đó, ton tai m®t t¾p con tròn, b%
ch¾n
B ⊂ E và m®t dãy các vô hưóng (λn) tien tói 0 sao cho:
z − zn ∈ λnB, ∀n > 1. Do đó z ∈ λnB, ∀n > 1 (vì zn = 0). Giá sú
neu z ƒ= 0 ⇒ đưòng thang sinh bói z (hay không gian con sinh bói
Kz) chúa trong B, mà B ⊂ E. Đieu này mâu thuan vói giá thiet E là
không gian tách (túc là, {0} là không gian con b% ch¾n duy nhat cna E).
Do đó z = 0 ⇒ x − y = 0 ⇒ x = y. V¾y giói han cna moi dãy (xn) h®i
tu theo
borno là duy nhat.
Đieu ki¾n đn: Giá sú giói han cna moi dãy h®i tu theo borno là duy nhat.
Giá sú ton tai z ƒ= 0, z ∈ E sao cho không gian Kz b% ch¾n. Khi đó,
ton
.
.
1 B, ∀n > 1.
tai m®t t¾p b% ch¾n B ⊂ E : z
M

n
∈
Suy ra, dãy (zn = z) h®i tu tói 0. M¾t khác, rõ ràng zn = −→ z. Do đó
z
theo tính duy nhat cna giói han thì z = 0 (mâu thuan vói z ƒ= 0).
Như


v¾y, không ton tai z ∈ E, z ƒ= 0 sao cho không gian con Kz b% ch¾n.
Túc là E là không gian tách.
Đ%nh lý 1.1. Cho I ƒ= ∅ là m®t t¾p chs so, (Xi, ßi)i∈I là m®t ho các
t¾p borno và X là t¾p hop bat kỳ. Giá sú vói moi i ∈ I ui : X −→ Xi
là ánh
xa cho trưóc. Goi ß là ho tat cá các t¾p con A cúa X có các tính chat
sau đây: "Vói moi i ∈ I, ui(A) b% ch¾n trong Xi ". Khi đó:
(i) ß là m®t borno trên X, và là borno thô nhat trên X sao cho moi ánh
xa ui đeu b% ch¾n.
Neu X là không gian véctơ và vói moi i ∈ I, Xi là không gian véctơ,
ßi
là borno véctơ (tương úng: borno loi) trên Xi, ui là ánh xa tuyen tính thì ß
là borno véctơ (tương úng: borno loi) trên X.
(ii)

Đ%nh nghĩa 1.20. Giá sú (X, ß) là m®t t¾p borno, Y là m®t t¾p con cna
X và cho u : Y −→ X là phép nhúng chính tac. Khi đó borno cám sinh
trên Y bói (X, ß) là borno đau trên Y xác đ%nh bói ánh xa u.
Đ%nh nghĩa 1.21. T¾p Y đưoc trang b% borno cám sinh bói (X, ß)
đưoc goi là t¾p borno con cna (X, ß).
Đ%nh lý 1.2. Cho I ƒ= ∅, (Xi, ßi)i∈I là m®t ho các t¾p hop borno và X
là m®t t¾p hop bat kỳ. Giá sú rang vói moi i ∈ I, vi : Xi −→

S X là m®t
ánh xa cho trưóc. Goi ß là borno trên X sinh bói ho A =
vi (ßi). Khi
đó
i∈I

(i) ß là borno m%n nhat trên X sao cho các ánh xa vi b% ch¾n.
(ii) Neu X là không gian véctơ và vói moi i ∈ I, Xi là không gian véctơ,
ßi là borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi), vi là ánh xa tuyen tính thì
borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi) trên X sinh bói A là borno véctơ
(tương úng: borno véctơ loi) m%n nhat trên X sao cho moi ánh xa vi b%
ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.22. Borno ß trên X đưoc xây dnng trong Đ%nh lý 1.1 (i)
(tương úng: Đ%nh lý 1.1 (ii)) đưoc goi là borno cuoi (tương úng: borno véctơ
cuoi, tương úng: borno loi cuoi) trên X xác đ%nh bói các ánh xa vi.
Đ%nh nghĩa 1.23. Giá sú I ƒ= ∅ là t¾p chí so đ%nh hưóng, (Xi, vji)
là m®t ho quy nap các t¾p hop sao cho vói moi i ∈ I, Xi là m®t t¾p
borno
vói borno ßi. Khi đó ho (Xi, vji) đưoc goi là ho quy nap cna các t¾p
borno neu ánh xa vji : Xi −→ Xj b% ch¾n, ∀i ≤ j.


Đ%nh lý 1.3. Giá sú (Xi, vji) là m®t ho quy nap cúa các t¾p borno (tương
úng là không gian véctơ borno, tương úng: không gian borno loi) và cho X
là m®t t¾p (tương úng: không gian véctơ). Vói moi i ∈ I, ta goi ßi là
borno
cúa Xi và vi : Xi −→ X là ánh xa chính tac tù Xi vào X.
Khi đó borno giói han quy nap trên X tương úng vói các borno ßi là borno
cuoi trên X xác đ%nh bói các ánh xa vi.
Đ%nh nghĩa 1.24.

S Vói moi i ∈ I, đ¾t vi (ßi) = {vi (Ai) : Ai ∈ ßi}.
Khi đó ho ß =
vi (ßi) là borno cuoi trên X và borno ß đưoc goi là
borno giói
i∈I

han quy nap cúa ho quy nap các t¾p borno (Xi, vji).
Neu (Xi, vji) là m®t ho quy nap các không gian véctơ borno (tương úng là
không gian borno loi) thì theo Đ%nh lý 1.1 borno giói han quy nap trên X
là m®t borno véctơ (tương úng: borno véctơ loi).
X cùng vói borno giói han quy nap đưoc goi là giói han quy nap borno cúa
ho quy nap borno (Xi, vij ) và đưoc ký hi¾u là:
X = lim (Xi, vij ) .
− ∈→
i
I

Đ%nh nghĩa 1.25. Giá sú E là m®t không gian véctơ borno. T¾p A ⊂ E
đưoc goi là đóng borno ho¾c Mackey-đóng
(viet tat là b-đóng, ho¾c M M
đóng) neu ∀ (x )
⊂ A mà x → x trong E thì ta có x ∈ A.
n n∈N

n

Nh¾n xét 1.1. Ta có the chs ra rang: Ton tai m®t topo trên không
gian véctơ E có các t¾p đóng chính là các t¾p con b-đóng cúa E.
M¾nh đe 1.6. M®t không gian véctơ borno E là tách khi và chs khi không
gian véctơ con {0} là b-đóng trong E.

Chúng minh. Đieu ki¾n can: Giá sú E là không gian véctơ borno tách và
đ¾t A = {0}. Giá sú (xn) là m®t dãy trong A h®i tu tói m®t phan tú
x trong E. M¾t khác, vì xn = 0, ∀ n nên dãy này cũng h®i tu tói 0 trong
E.
Do đó theo M¾nh đe 1.4 ve sn ton tai duy nhat cna giói han borno trong
không gian tách thì ta có: x = 0 ⇒ x ∈ A.
Như v¾y, ∀(xn) ⊂ A : xn → x trong E thì ta có x ∈ A. Do đó không gian
M
véctơ con {0} là b-đóng trong
E.
Đieu ki¾n đn: Giá sú rang {0} là b-đóng trong E và (xn) là m®t dãy h®i
tu theo borno tói phan tú x và y trong E. Túc là, xn M
→ x và xn → y
trong E.


M

Khi đó dãy xn − xn = 0 h®i tu tói x − y theo borno. M¾t khác, vì
{0}
là b-đóng trong E nên x − y = 0 ⇒ x = y. Túc là giói han cna moi dãy
h®i tu theo borno trong E đeu là duy nhat. Do đó theo M¾nh đe 1.4 thì
không gian véctơ borno E là tách.
M¾nh đe 1.7. Giá sú E là m®t không gian véctơ borno và M là m®t
không gian con cúa E. Khi đó thương E/M là tách khi và chs khi M là
đóng borno trên E.
Chúng minh. Neu E/M tách thì {0} là b-đóng trong E/M .
Neu ϕ : E → E/M là ánh xa chính tac thì M = ϕ−1(0) là b-đóng trong
E (theo Nh¾n xét 1.1).
Ngưoc lai, giá sú M là b-đóng trong E và H là m®t không gian con b%

ch¾n cna E/M . Đe chúng minh E/M là tách ta phái chúng minh H =
{0}.
Th¾t v¾y, giá sú ϕ(x) ∈ H, x ∈ E. Khi đó ton tai m®t t¾p tròn, b% ch¾n
A ⊂ E sao cho Kϕ(x) ⊂ ϕ(A) ⇒ Kx ⊂ A + M .
Do đó vói moi n ∈ N, nx ∈ A + M ⇒ ∃ (xn) ⊂ M : nx − xn ∈ A.
⇒ (x − yn) .
. x ∈ M ⇒ yn −→
M x.
A trong đó yn
n
1
.
∈
.
=
n
n
Vì M là b-đóng nên x ∈ M ⇒ ϕ (x) = 0. Mà ϕ (x) ∈ H, ∀x ∈ E
⇒ H = {0}. V¾y thương E/M là tách.
1.4.

Cau trúc cúa m®t không gian borno loi và sN so sánh vái
cau trúc cúa m®t không gian véctơ loi đ%a phương
Giá sú E là m®t không gian borno loi. Vói hai đĩa bat kỳ A và B

trong E sao cho A ⊂ B, ta ký hi¾u πBA : EA −→ EB là phép nhúng chính
tac tù EA vào EB . Khi đó ho (EA, πBA) là ho quy nap các không gian
borno loi, vì EA là các không gian núa đ%nh chuan và E là giói han quy
nap cna ho (EA, πBA). Hơn nua, neu E là tách đưoc thì khi đó moi không
gian EA là không gian đ%nh chuan và ta nh¾n đưoc Đ%nh lý sau đây



Đ%nh lý 1.4. Moi không gian borno loi E đeu là giói han quy nap borno
cúa m®t ho các không gian núa chuan và cúa m®t ho các không gian đ%nh
chuan neu E là tách đưoc.
Đ%nh lý này cho thay sn khác nhau giua cau trúc cna m®t không
gian borno loi và không gian loi đ%a phương.


Chương 2

Borno đú
Chương này dành chon cho lý thuyet borno đn và các không gian
borno loi đn. Đó là các không gian borno loi tách đ¾c bi¾t giong như các
không gian Banach là các không gian đ%nh chuan đ¾c bi¾t. Vì moi không
gian borno loi tách là "hop cna các không gian Banach".
Trong Muc 2.2.3, chúng ta se chí ra tính chat đ¾c trưng cna các borno
véctơ tách trên m®t không gian véctơ huu han chieu bang cách chí ra rang
chí có m®t borno như v¾y (sai khác m®t đang cau).
é Muc 2.2.4, vói moi không gian véctơ borno tách ta đeu liên ket vói m®t
borno đn trên cùng không gian và gan nhat có the vói borno đã cho. Borno
đó rat huu ích trong các bài toán can tói tính đn.
Cuoi cùng, Muc 2.2.5 giói thi¾u các khái ni¾m ve tính đay đn borno cna
m®t không gian loi đ%a phương. Khái ni¾m này không ch¾t bang các khái
ni¾m đay đn thông thưòng, nhưng van đn đe đáp úng nhu cau nghiên cúu
cna giái tích hàm.
2.1.

Đĩa b% ch¾n đú


Đ%nh nghĩa 2.1. Cho E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K.
Đĩa A ⊂ E đưoc goi là m®t đĩa sinh đú neu không gian EA sinh bói A
cùng vói núa chuan cho bói hàm cõ cna A là m®t không gian Banach.
M®t t¾p con A cna m®t không gian véctơ topo tách E đưoc goi là đú theo
dãy neu moi dãy Cauchy trong A đeu h®i tu tói m®t phan tú cna A.


T¾p A đưoc goi là đóng theo dãy neu nó chúa giói han cna moi dãy trong
A mà h®i tu trong E.
Ví dn 2.1. Ta thay hình tròn đơn v% A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}
là m®t đĩa và không gian sinh bói nó là không gian Banach nên A là đĩa
sinh đn (ó đây không gian sinh bói t¾p A là toàn b® không gian R2).
Nh¾n xét 2.1. Neu A là đn theo dãy thì λA cũng là đn theo dãy, ∀λ ∈ K.
Chúng minh. Giá sú A là đn theo dãy. Ta phái chúng minh: λA đn theo
dãy. Th¾t v¾y, giá sú (xn) là m®t dãy Cauchy trong A. Vì A là đn
theo dãy nên (xn) h®i tu tói m®t phan tú x, x ∈ A. Do đó dãy (λxn) h®i
tu tói phan tú λx, ∀λ ∈ K. V¾y λA là đn theo dãy, ∀λ ∈ K.
M¾nh đe 2.1. Giá sú E là m®t không gian véctơ topo tách. Khi đó moi
đĩa đú theo dãy và b% ch¾n A ⊂ E đeu là đĩa sinh đú.
Chúng minh. Ta can chúng minh rang EA là m®t không gian Banach.
Th¾t v¾y, do A là đĩa và trên EA đưoc trang b% m®t núa chuan pA chính là
hàm cõ cna A nên EA là không gian núa chuan. M¾t khác, vì E là không
gian véctơ topo tách nên pA là m®t chuan trên E. Do đó EA là không gian
đ%nh chuan.
Bây giò ta còn phái chúng minh moi dãy Cauchy trong EA đeu h®i tu.
Th¾t v¾y, giá sú (xn) là m®t dãy Cauchy trong EA.
Do A b% ch¾n trong E nên phép nhúng chính tac tù EA vào E là tuyen
tính và liên tuc. Vì v¾y, (xn) là m®t dãy Cauchy trong E. M¾t khác,
vì
(xn) b% ch¾n trong EA nên (xn) ⊂ λA. Mà λA là đn theo dãy nên (xn)

h®i tu tói điem x ∈ λA ⊂ EA. Ta còn phái chúng minh (xn) h®i tu tói x
trong không gian đ%nh chuan EA.
Mà ta lai có (xn) là m®t dãy Cauchy trong EA nên vói moi ε > 0 ton tai
m®t so nguyên N (ε) sao cho (xm − xn) ∈ εA; ∀m, n ≥ N (ε).
Co đ%nh m ≥ N (ε) và cho n −→ +∞ thì (xm − xn ) −→ (xm − x) trong
E. Do đó, (xm − x) ∈ εA (vì εA là đóng theo dãy).
Vì v¾y (xm − x) ∈ εA, ∀m ≥ N (ε). Túc là xm −→ x trong EA .
H¾ quá 2.1. Giá sú E là m®t không gian véctơ xác đ%nh trên trưòng K
và A là m®t đĩa trong E. Khi đó neu A là compact đoi vói m®t topo véctơ


tách nào đó trên E thì A là đĩa sinh đn.
Chúng minh. Th¾t v¾y, vì A là compact đoi vói m®t topo véctơ tách
trên E nên theo M¾nh đe 2.1 thì A là đĩa sinh đn. Do đó, ta chí can chúng
minh rang moi đĩa compact A cna m®t không gian véctơ topo tách E đeu
là đn theo dãy. Giá sú (xn) là m®t dãy Cauchy trong A. Ký hi¾u Fn là
bao đóng
T
T
cna t¾p {xp : p ≥ n}. Do A là compact
∞ Fn ƒ= ∅. Lay x
∞ F n.
nên

n=
1

∈

n=

1

Vì (xn) là m®t dãy Cauchy nên vói moi lân c¾n tròn V cna 0 trong E đeu
ton tai m®t so nguyên N sao cho (xp − xq) ∈ V ; ∀p, q ≥ N .
Do đó ta có xn − x = (xq − xp) + (xp − xq) ∈ V + V . Tù đây ta có
đieu
phái chúng minh.
M¾nh đe 2.2. Giá sú E, F là các không gian véctơ borno tách và ánh xa
u : E −→ F là m®t ánh xa tuyen tính b% ch¾n. Khi đó neu A là m®t đĩa
b% ch¾n sinh đú trong E thì u(A) là m®t đĩa b% ch¾n sinh đú trong F.
Chúng minh. Th¾t v¾y, Fu(A) đang cau vói m®t không gian thương tách
cna không gian Banach EA. Do đó, Fu(A) là m®t không gian Banach.
M¾nh đe 2.3. Cho I ƒ= ∅ là t¾p chs so và (Ei)i∈I là m®t ho các không
gian
Q véctơ. Vói moi i ∈ I, goi Ai là m®t đĩa sinh đú trong Ei. Neu E =
Ei
i∈I
Q
và A = Ai thì A là m®t đĩa đú trong E.
i∈I

Chúng minh. Ta can phái chúng minh EA là không gian Banach.
Theo M¾nh đe 1.3 ta có:
.
.
EA
x = (xi) : sup pAi (xi) < +∞ trong đó pAi là hàm cõ cna Ai. Khi
=
i∈I
đó EA là không gian núa chuan.

Hơn nua, pA(x) = sup pAi (xi) và vói moi i ∈ I vì Ai là đĩa sinh đn
trong
i∈I

Ei do đó A là đn trong E. V¾y E là không gian đn.
M¾t khác, moi không gian đn đeu là không gian tách nên E là không gian
tách. Khi đó, pA là m®t chuan và ta có EA là không gian đ%nh chuan.


Bây giò giá sú (xn) là m®t dãy Cauchy trong EA. Ta can chúng minh (xn)
h®i tu đen x trong EA.


(n)

Th¾t v¾y vói moi i ∈ I,
(x ) là m®t dãy Cauchy trong (Ei)iA . Vì (Ei)A
(n) i
là không gian đn nên (x ) se h®i tu ve m®t phan tú xi ∈ (Eii)A .
i

Như v¾y rõ ràng x = (xi) ∈ EA và dãy

i

) h®i tu tói x trong EA.

(xn
2.2.


Không gian borno loi đú

Đ%nh nghĩa 2.2. M®t borno loi trên m®t không gian véctơ đưoc goi là
borno loi đú neu nó có m®t cơ só gom các đĩa sinh đn.
M®t không gian borno loi đưoc goi là m®t không gian borno loi đú neu
borno cna nó là borno loi đn.
Không gian borno loi đn bao giò cũng là không gian tách.
Ví dn 2.2. Giá sú E là m®t không gian Mackey-đn và A là m®t t¾p con
.∞
λnxn
Γˆ (A) là t¾p tat cá các chuoi h®i tu có
n=
dang:
1
vói (xn) là m®t dãy trong A và (λn) là m®t dãy các vô hưóng sao cho
.∞
|λn| ≤ 1. Khi đó E là m®t không gian borno loi đn.
cna E. Kí hi¾u:

n=
1

2.2.1.

Cau trúc cúa không gian borno loi đú

Giá sú E là m®t không gian borno loi đn và B là m®t cơ só cna borno
gom các đĩa sinh đn. Vói moi A ∈ B, EA là m®t không gian Banach. Như
trong Đ%nh lý 1.3 ta đã chí ra rang E là giói han quy nap cna các không
gian Banach EA. Ngưoc lai, rõ ràng moi giói han quy nap borno cna m®t

ho quy nap borno (Ei, uji) các không gian Banach vói tat cá các ánh xa
uji đơn ánh là m®t không gian borno loi đn. Vì v¾y chúng ta có ket quá
sau:
H¾ quá 2.2. M®t không gian borno loi là đn neu và chí neu nó là giói
han quy nap borno cna các không gian Banach vói các ánh xa đơn ánh.
Do đó các không gian borno loi đn là các không gian borno loi tách đ¾c
bi¾t giong như không gian Banach là không gian đ¾c bi¾t.