BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CAO THỊ LIÊN

ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY
TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán giải
tích

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CAO THỊ LIÊN

ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY
TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học. TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ
Giải tích khoa Toán và các bạn sinh viên. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận
tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khoá
luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả xin chân
thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và
các bạn sinh viên.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Cao Thị Liên


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Hào, khóa luận tốt nghiệp "Áp dụng của thặng dư Cauchy
tính một số dạng tích phân" được hoàn thành, không trùng với
bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả

Cao Thị Liên


Mục lục
Mở đầu................................................................................................3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
6
1.1. Số phức và mặt phẳng phức.................................................6
1.1.1. Khái niệm về số phức...................................................................................6
1.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức........................................................6

1.2. Hàm chỉnh hình....................................................................... 7
1.3. Chuỗi lũy thừa.......................................................................11
1.4. Tích phân của hàm biến phức............................................16
1.5. Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình..........................22
1.6. Khai triển chuỗi lũy thừa của một số hàm sơ cấp...................24
Chương 2. Lý thuyết chuỗi, lý thuyết thặng dư...........25
2.1. Chuỗi Taylor..................................................................... 25
2.2. Chuỗi Laurentz...................................................................... 27
2.3. Lý thuyết thặng dư..........................................................31
2.3.1. Không điểm và cực điểm...........................................................................31
2.3.2. Cách tính thặng dư.....................................................................................34

Chương 3. Áp dụng của thặng dư Cauchy tính một số dạng
tích phân 38
3.1. Tích phân của các hàm lượng giác...............................................38
3.2. Tích phân suy rộng của hàm hữu tỷ........................................... 41
3.3. Các tích phân có cực nằm trên trục thực................................... 49


3.4. Tích phân của hàm rẽ nhánh........................................................51
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............
55

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........
56

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Giải tích phức là một trong những ngành
cổ điển của toán học, lý thuyết này được bắt nguồn từ khoảng thể
kỷ 19 và thậm chí có thể là sớm hơn trước đó. Một số nhà toán học
nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này phải kể đến như Euler, Gauss,
Riemann, Cauchy, Weierstrass,.... Tới thế kỷ 20 - 21, đây là một trong
những lĩnh vực đang phát triển rất mạnh tới việc nghiên cứu trong
các không gian vô hạn chiều. Ngoài xu hướng mở rộng trên đây,
người ta cũng rất qua tâm tới khía cạnh ứng dụng của nó trong toán
học cũng như các ngành khoa học khác và ứng dụng trong thực tế.
Một trong những ứng dụng có tính nổi bật trong giai đoạn đương đại
phải kể đến là: Lý thuyết của ánh xạ bảo giác trong cơ khí; Ứng
dụng trong động lực phức fractal và lý thuyết dây, ....
Những kết quả mang tính đột phá của lý thuyết tích phân hàm biến
phức được dựa trên một nguyên lý quan trọng có tính cốt yếu. Đó là
lý thuyết tích phân Cauchy. Cũng từ lý thuyết này mà các nhà toán
học xây dựng nên một lý thuyết đẹp đẽ trong giải tích phức - lý thuyết
thặng dư. Trên cơ sở đó mà chúng ta có được cách nhìn minh bạch
về dáng điệu của một hàm tại các cực điểm của nó.
Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản
chất của các điểm kỳ dị. Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết
thặng dư dùng để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đôi khi ta
không thể giải quyết được khi sử dụng các phương pháp thông

thường, đặc biệt khi mà hàm dưới dấu tích phân có dạng bất thường.
Bởi tầm quan trọng của định lý thặng dư Cauchy và được sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài "Áp dụng
của thặng dư Cauchy tính một số dạng tích phân " để hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Toán
h ọ c.


Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương
Chương 1. Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về số phức
và mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, tích phân của hàm biến phức,
khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình và khai triển chuỗi
lũy thừa của một số hàm sơ cấp.
Chương 2. Chương này giành cho việc trình bày một số kiến thức
quan trọng về lý thuyết thặng dư Cauchy. Phần đầu chương, chúng tôi
đưa ra một số khái niệm và các kết quả căn bản về các chuỗi Taylor
và chuỗi Laurentz liên quan đến việc nghiên cứu thặng dư. Qua đây,
chúng ta sẽ thấy được sự ảnh hưởng của các chuỗi tới đặc tính của
một hàm. Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm thặng dư và một
số cách tính thặng dư của một hàm. Công thức thặng dư được đưa ra
ở cuối chương nhằm phục vụ cho việc trình bày các ứng dụng của
định lý thặng dư Cauchy trong chương 3.
Chương 3. Chúng tôi trình bày một số ứng dụng của định lý thặng
dư Cauchy để tính: Tích phân của các hàm lượng giác; tích phân suy
rộng của hàm hữu tỷ; các tích phân có cực nằm trên trục thực; tích
phân của hàm rẽ nhánh.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các loại điểm kỳ dị cô lập tới đặc
tính của một hàm, vấn đề thặng dư Cauchy.
- Nghiên cứu ứng dụng của định lý thặng dư Cauchy trong các vấn

đề sau: Tính tích phân lượng giác; tính tích phân vô hạn của hàm
hữu tỷ, hàm đa cực trên trục thực và một số hàm phức tạp hơn nữa.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về đặc trưng của điểm kỳ dị của hàm chỉnh hình.
- Nghiên cứu lý thuyết thặng dư.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý thuyết thặng dư Cauchy.

4


4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm về số phức
Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 =
−1.
Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được
đồng nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy ›→ (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách
thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng
i2 = −1. Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
và
z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2
= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)
1.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức
+ Tính chất giao hoán
z1 + z2 = z2 + z1; z1.z2 = z2.z1


+ Tính chất kết hợp
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3).
+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3.
Với mỗi số thực z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
,
|z| = x2 + y2.
Modul của các số phức có tính chất
(i) . |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w
∈C
(ii) . ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C
(iii) . |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C

1.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
hàm chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0)
; khi h 0,
(1.1)
→
h

r

ở đó z + h với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0) và
gọ i
là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0. Như vậy, ta có
r

f (z0 + h) − f
(z0) h
.
h→0

f (z0) = lim

Hàm f (z) gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm
của Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f
chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm f chỉnh hình trên
C được gọi là hàm nguyên.


Ví dụ 1.1. Hàm f là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C
và
r
f (z) = 1. Thật vậy, ta có
r
f (z0 + h) − f =
(z0 + h) − = 1.
lim
f (z0) = lim
z0 h

(z0) h
h→0
h→0
Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1z + ... + anzn−1. Điều đó
được suy ra từ mệnh đề 1.1 đưới đây.
Ví dụ 1.2. Hàm f (z) = là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C
1
1
z
r

không chứa điểm gốc và f (z) = −

. Thật vậy, ta có
1
1
−
r
z+h z
f (z0) = lim f (z0 + h) − f =
h→∞
h
lim
(z0)
h→∞
h
.
1
= lim .−
h→∞

z(z 1
+ h) = − 2 .
z
Ví dụ 1.3. Hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình. Thật vậy, ta thấy
f (z0 + h) − f
(z0) h

z

2

z¯ + h¯ − z¯
h¯
h
h=

(z + h) z¯
= −

=
h
không có giới hạn khi h → 0. Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z)
là chỉnh hình tại z nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h),

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ
nhiên,


h→0

r

ta có a = f (z0). Từ công thức (1.2) ta cũng thấy ngay nếu hàm f
chỉnh
hình thì f cũng là hàm liên tục.
Mệnh đề 1.1. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trong Ω, thì
r


(i). f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g) = f r + gr
r
r
r = f g + fg
(ii). f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g)
f
chỉnh hình tại z0 và
(iii). Nếu g(z0) ƒ= 0,
g
thì
.

r

f
g

.


r

= f g−
fg
g2

r


Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì
hàm hợp g◦f : Ω → C cũng hàm chỉnh hình và thỏa mãn quy tắc dây
xích
r

r

r

(g ◦ f ) (z) = g (f (z)) .f (z).
Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và
phức. Thực tế, ví dụ 1.3 đã cho ta thấy sự khác biệt đáng kể giữa
khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai
biến. Thực
vậy, dưới dạng của các biến thực hàm f (z) z¯ tương ứng với ánh
=
xạ
F : (x, y) ›→ (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo
hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức
Jaco- bian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa
độ. Nhớ lại rẳng hàm F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) được gọi là khả vi

tại một điểm P (x0, y0) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R2
→ R2 sao cho
|F (P0 + H) − F (P0) − J (H)|
|H|
0;

khi H → 0, H ∈ R2.

→

Một cách tương đương, ta có thể viết
F (P0 + H) − F (P0) = J (H) + |H| .ψ(H);

(1.3)

với |ψ(H)| → 0 khi |H| → 0. Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất
và gọi là đạo hàm của F tại P0. Nếu F khả vi thì các đạo hàm
riêng của u, v tồn tại và


∂ u ∂u
 ∂x ∂y 
J = JF (x, y) =
∂
∂ .
v
v∂y
∂x
r


Trong trường hợp khả vi phức đạo hàm f (z0). Trong khi đó, đạo
hàm


theo nghĩa thực là một ma trận. Tuy nhiên, chúng có mối quan hệ
đặc biệt. Để tìm được quan hệ đó, ta xét giới hạn trong (1) trong hai
trường hợp sau
+ Trước hết khi h là số thực, tức là h = h1 + ih2 mà h2 = 0, (hi ∈
R).
Thế thì, nếu ta viết z = x + iy, z0 = x0 + iy0 và f (z) = f (x, y)
thì ta


thấy
rằng

r

f (x0 + h1, y0) − f (x0, ∂ f
f (z0) = y0)
(z0).
=
∂x
lim
h1

(1.4)

h1 →0


+ Bây giờ, lấy h là số phức thuần túy ảo, tức là h = ih2. Bằng lập
luận tương tự cho
(1.5)
1 (z0).
r
x0, (y0 + h2) − f
f (z0) = lim
(x0, y0) ih2 = ∂ f
h1 →0
i
∂y
Do đó, nếu hàm f chỉnh hình tại z0 thì ta phải có
1 ∂f .
=
∂x
i ∂y

∂f

(1.6)

Viết f = u + iv và sau khi tách các phần thực và phần ảo đồng thời
sử
1
dụng bất đẳng thức = −i, chúng ta thấy rằng các đạo hàm riêng
i của
u, v tồn tại và chúng thỏa mãn các mối quan hệ không tầm thường
.
.
∂f

1
∂u
1
∂v
+i
.
∂f
∂u
=
∂v
=
⇔
+i
∂x
i
∂x
i ∂y
∂y
∂y
∂x
Từ đó, ta nhận được phương trình Cauchy- Riemann
∂u
∂x

=

∂v

∂u
∂v =

.
− ∂y
∂y và ∂
x

(1.7)

Chúng ta có thể làm rõ hơn mối quan hệ này, bằng việc xác định
hai toán tử vi phân
.
∂
1
∂
12


=
+
2

∂z

∂x

.

1 ∂

và


i
∂y

∂
∂
∂z¯

1
=

.
−

2

1 ∂

.
.

i ∂y

∂x

Mệnh đề 1.2. Nếu f chỉnh hình tại z0, thì
∂f

∂f

r


(z0) = 0 và f
∂z¯ (z0) =

∂z
2

∂u
(z0) =

∂z

(z0).

Cũng vậy, nếu viết F (x, y) = f (z), thì F khả vi theo nghĩa của hàm
hai biến thực và
.
fdet
(z JF (x0, y0).=r )..2.
.
0 .

13


Định lý 1.1. Giả sử f = u + iv là hàm phức xác định trên tập mở
Ω. Nếu u và v là các hàm khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình
Cauchy- Riemann trên Ω, thì f chỉnh hình trên Ω và
r
∂f

f (z) = .
∂z

1.3. Chuỗi lũy thừa
Ví dụ căn bản về chuỗi lũy thừa là hàm mũ phức được xác định bởi
∞
.
zn
z
e =
;z
C.
n! ∈
n=0

Khi z là biến thực, định nghĩa này trùng với hàm mũ thông thường đã
được xét trong giải tích thực. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối với mọi z ∈
C. Để thấy được điều đó, ta lưu ý rằng
. n .≤
n
. z . |z|
..n1..
n!
= e|z| < ∞. Thực ra, đánh giá
∞ |z|n
.
nên |ez | có thể so sánh với
chuỗi
n=0 n!
này chứng tỏ chuỗi xác định ez hội tụ đều trong mọi đĩa nằm trong

C. Trong phần này chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ez là chỉnh hình trong
C và đạo hàm của nó có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm từng
số hạng của chuỗi. Do đó
(ez )r

=
z
n

∞
.

n−1

∞

=.

1

∞

m
= . z = ez

m!
(n −
m=0
1)!
z

và như vậy đạo hàm của e bằng chính nó. Trái lại, chuỗi hình
học
1
chỉ hội tụ tuyệt đối trong đĩa |z| < 1 và tổng của nó là
1−
hàm
n=1

n!

zn−

n=
1

∞

.
zn
n=0
z

chỉnh


hình trong tập mở C \ {1}. Đẳng thức này được chứng minh như khi
z
là thực. Trước hết ta nhận xét rằng
∞


N +1

.
n=0

1−z
zn = 1 − z

và lưu ý rằng |z| < 1, ta phải có lim zN +1 = 0.
N →∞

Trong trường hợp tổng quát, một chuỗi lũy thừa là khai triển có dạng
∞
.
anz n
(1.8)
n=0

trong đó an ∈ C. Để kiểm tra tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi này,
ta phải nghiên cứu chuỗi
.∞
n
|an| |z| .
n=0

Trước hết ta nhận xét rằng nếu chuỗi (1.8) hội tụ tại điểm z0 nào
đó, thì nó cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi z trong đĩa |z| < |z0|. Bây giờ,
ta sẽ chứng minh luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.8) hội
tụ tuyệt đối.
Định lý 1.2. (Hadamard) Cho chuỗi lũy

thừa số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

∞
.

anzn. Khi đó tồn

tại

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

n=0

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
1
1 = 0 thì số R được tính
Hơn nữa„ nếu ta sử dụng quy ước
= ∞ và
0
∞
bởi công
thức

1
R

1

=
lim


sup |an|n .

n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (1.8) và miền |z| < R
được gọi là đĩa hội tụ.
1
Chứng minh. (i) Đặt L = , với R được xác định như công thức
phát


R
biểu trong định lý. Giả sử L ƒ= 0, +∞. Bởi vì
|z| < R ⇒ 1

>
|z|

1

= L ⇒ |z| .L < 1.

R
Theo nguyên lý trù mật của tập số thực chọn được ε > 0 đủ nhỏ sao
cho
|z| L < |z| L + ε |z| < 1.


Do đó, nếu |z| < R, thì ta có thể chọn được số ε > 0 đủ nhỏ sao cho

(L + ε) |z| = r <
1. 1
sup |an|n nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên
dương

Bởi vì , L =
lim
N sao cho

n→∞

.
.
.
..
1
n
sup |an| − L < ε; ∀n ≥ N.
..
..
.
.

Hay
1
sup |an|n < L + ε; ∀n ≥ N.

Do đó, ta có

n


n

|an| |z| < [(L + ε). |z|] =
rn .
.
∞

Việc so sánh với chuỗi hình
học

n

r chứng tỏ
chuỗi

∞
.
n=0

anzn hội tụ.

n=0

(ii) Nếu |z| > R thì bằng lập luận tương tự ta chứng minh được chuỗi
phân kỳ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R thì chuỗi có thể hội tụ
cũng có thể phân kỳ. Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ
trong toàn mặt phẳng phức là các hàm lượng giác cos z và sin z được
xác định bởi các công thức

2n
.
∞.
∞
2n+1
n
z
cos z = (−1)
và sin z = (−1)n
.
z
n=0

2n
!

n=0

(2n + 1)!


Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được công thức Euler dưới dạng
mũ phức
eiz − −iz
cos z = eiz +
e .
và sin z
−iz
2
e

=
2
∞
.
anzn xác định một hàm
Định lý 1.3. Chuỗi lũy thừa f
chỉnh
(z) =
n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f cũng là một chuỗi lũy thừa


thu được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi biểu diễn hàm z0,
tức là
r
∞
.
f (z) =
nanzn−1.
r
n=1
Hơn nữa, f
có cùng bán kính hội tụ với f.
Chứng minh. Bởi vì, lim

1

n→∞


n n = 1, nên ta có
1

lim

1

sup |an|n = sup |nan|n .
nlim

n→∞

→∞

∞
.

Do đó,
chuỗi

anz

∞
.

n

nanzn−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng

n=1


và
n=1

minh khẳng định thứ nhất, chúng ta đi chứng minh chuỗi
g(z) =

∞
.

nanzn−1

n=1

bằng đạo hàm của f . Kí hiệu R là bán kính hội tụ của f và giả sử
|z0| < r < R. Ta viết
f (z) = SN (z) + EN (z)
∞

∞

vớ
i

SN (z) =

.

anzn và EN


. a nz n.
n=N
+1

(z) =
n=
1

Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
.
f (z0 + h) − f
S N (z0 + h) − SN (z0)
(z0)
h
=

− g(z0)

h

.
r

− SN (z0)


+ .SrN (z0)
−
Chúng ta thấy
.

.
EN (z0 + h) − EN (z0)
.
.

h

.≤
.

∞

.
n=N
+1

.

.

g(z ) + E N (z0 + h) − EN
.
0
(z 0)
h
.
.
∞
(z0 + h)n − zn
n

.
.
.

|an|.
.

h

0.

.
≤ n=N |an| .nr

+1

1

−

.


Ở đó ta đã sử dụng |z0| < r và |z0 + h| < r. Biểu thức ở vế phải
là phần dư của một chuỗi hội tụ, bởi vì g hội tụ tuyệt đối trên |z| <
R. Do đó, với mọi ε >. 0 tồn tại N1 sao cho với. mọi n ≥ N1 ta có
EN (z0 + h) − EN (z0)
ε
..
..

.
. < 3.
h
r

Bởi vì
lim SN (z0) = lim
nanzn−1
N →0

N ≥ N2 ta
có

N →0

= g(z0) nên tìm được N2 mà với
mọi

0

.
. ε
r
.
.
SN (z0) − g(z0 < .
.
.
3
Từ việc đạo hàm của một đa thức thu được bằng việc đạo hàm từng

số hạng của nó, nên với mỗi N ≥ max {N1, N2} cố định thì ta có
thể tìm được δ >. 0 sao cho |h| < δ thì
.
S (z + h) − SN (z0) r
ε
.. N 0
− SN (z0.). < .
.
. 3
h
Do đó

.
.
f
(z
+
h)
−
f
(z
)
0
0
..
− g(z0.). < ε
.
.
h


khi h <
δ.
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của
nó. Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng
cách lấy đạo hàm của từng số hạng của nó.
Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích ( hoặc có
khai
∞
.
an(z −
triển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy
n
z0)
thừa
n=0

tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
f (z) =

.∞
n=0

an(z − z0)n;