CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

1

Một số bài tập toán nâng cao
LỚP 9

•

•

PHẦN I: ĐỀ BÀI

•

Chứng minh

•

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

•

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

•

Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

•

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :

•

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

•

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

•

Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

•

Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

•

Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

•

Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: a + b > a − b

•


a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

•

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

•

Chứng minh các bất đẳng thức:

•

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

•

Tìm các giá trị của x sao cho:

•

a) | 2x – 3 | = | 1 – x |

•

Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

•

Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá


7 là số vô tỉ.

a+b
≥ ab .
2

bc ca ab
+ +
≥a+b+c
a
b
c

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

b) x2 – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
•

Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

•

Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

•


x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

•

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

1
x − 4x + 9
2


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

2

•

So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :

•

a)

•

c)

•

Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn


•

Giải phương trình :

•

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

•

Cho S =

•

Hãy so sánh S và 2.

•

Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì

•

Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

•

a)

•


b) 

•

7 + 15 và 7
23 − 2 19
và
3

27

b)

17 + 5 + 1 và

d)

3 2 và

2 3

2 nhưng nhỏ hơn

3

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 − 2x − x 2 .

1
1

1
1
+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 − k + 1)
1998 − 1
1998
.
1999

x y
+ ≥2
y x
 x 2 y2   x y 
+ 2 ÷−  + ÷ ≥ 0
2
x  y x
y

 x 4 y4   x 2 y2   x y 
c)  4 + 4 ÷−  2 + 2 ÷+  + ÷ ≥ 2 .
x  y
x  y x
y

•


Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :

•

a)

•

b) m +

•

Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

•

45

1+ 2
3
với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
n

x y
x 2 y2
Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 4 ≥ 3  + ÷.
y
x
y x


•

x 2 y2 z2 x y z
Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 ≥ + + .
y
z
x
y z x

•

Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

•

Chứng minh các bất đẳng thức :

•

(a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

a là số vô tỉ.


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

3

•


(a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

•

(a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).

•

Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

•

Chứng minh rằng :

•

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

[ x ] + [ y] ≤ [ x + y] .
1
.
x − 6x + 17
2

x y z
+ +
với x, y, z > 0.
y z x


•

Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =

•

Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.

•

Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

•

Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

•

ab và

•

a + b và

•

a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)

•


Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

•

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

•

Chứng minh rằng [ 2x ] bằng 2 [ x ] hoặc 2 [ x ] + 1

•

Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n. Chứng

a
là số vô tỉ.
b
a
là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
b

a
b
c
d
+
+
+
≥2
b+c c+d d+a a+b


minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
•

Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

•

A= x 2 − 3

B=

1
x 2 + 4x − 5

C=

1
x − 2x − 1

D=

1
1− x2 − 3

E= x+

G = 3x − 1 − 5x − 3 + x 2 + x + 1
•


a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?

•

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
•

•

c) Giải phương trình:

M = x 2 + 4x + 4 + x 2 − 6x + 9 .
4x 2 + 20x + 25 + x 2 − 8x + 16 = x 2 + 18x + 81

2
+ −2x
x


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

4

•

Giải phương trình: 2x 2 − 8x − 3 x 2 − 4x − 5 = 12 .

•

Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :


•

A = x2 + x + 2

B=

1
1 − 3x

C = 2 − 1 − 9x 2

D=

1
x 2 − 5x + 6

•

E=

1

G=

2x + 1 + x

x
+ x−2
x −4


H = x 2 − 2x − 3 + 3 1 − x 2

2

x 2 − 3x
=0
x −3

•

Giải phương trình:

•

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

•

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = 3 − x + x

•

48. So sánh : a) a = 2 + 3 và b=

•

c)

•


Với

n + 2 − n + 1 và
giá

trị

nào

x +x.

3 +1
2

b)

5 − 13 + 4 3 và

3 −1

n+1 − n (n là số nguyên dương)
của

x,

biểu

thức


sau

đạt

giá

trị

nhỏ

nhất

:

A = 1 − 1 − 6x + 9x 2 + (3x − 1) 2 .
•

Tính

a)

:

4−2 3

b)

11 + 6 2

c)


27 − 10 2

•

d) A = m 2 + 8m + 16 + m 2 − 8m + 16

e) B = n + 2 n − 1 + n − 2 n − 1

(n ≥ 1)
•

Rút gọn biểu thức : M =

8 41
45 + 4 41 + 45 − 4 41

.

•

Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) 2 + (y − 2) 2 + (x + y + z) 2 = 0

•

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 25x 2 − 20x + 4 + 25x 2 − 30x + 9 .

•

Giải các phương trình sau:


•


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

5

•

d) x − x 4 − 2x 2 + 1 = 1
•

e) x 2 + 4x + 4 + x − 4 = 0

h) x 2 − 2x + 1 + x 2 − 6x + 9 = 1

g) x − 2 + x − 3 = −5

i) x + 5 + 2 − x = x 2 − 25

•

k) x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1
•

•

l) 8x + 1 + 3x − 5 = 7x + 4 + 2x − 2


x 2 + y2
≥2 2.
Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:
x−y
Rút gọn các biểu thức :

•

a) 13 + 30 2 + 9 + 4 2

b) m + 2 m − 1 + m − 2 m − 1

c) 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3

57. Chứng minh rằng
•

2+ 3 =

d) 227 − 30 2 + 123 + 22

6
2
.
+
2
2

58. Rút gọn các biểu thức :


•

a) C =

6+2

(

)

6 + 3+ 2 − 6−2

(

6− 3+ 2

)

2

b) D =

9−6 2 − 6
3

.
•

59. So sánh :


•

a)

6 + 20 và 1+ 6

b)

•

60. Cho biểu thức : A =

•

Tìm tập xác định của biểu thức A.

•

Rút gọn biểu thức A.

•

61. Rút gọn các biểu thức sau:

17 + 12 2 và

x − x 2 − 4x + 4

2 +1


c)

28 − 16 3 và 3 − 2


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

•

a)

11 − 2 10

6

3 + 11 + 6 2 − 5 + 2 6

c)

9 − 2 14

b)

2 + 6 + 2 5 − 7 + 2 10

62. Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức:
•


1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b c
a b c

•

63. Giải bất phương trình :

•

64. Tìm x sao cho :

•

65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :

x 2 − 16x + 60 < x − 6 .

x2 − 3 + 3 ≤ x2 .

•

x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1

•


66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:

•

a) A =

•

1

b) B =

x − 2x − 1

67. Cho biểu thức : A =

x + x 2 − 2x
x − x − 2x
2

(1)

16 − x 2
+ x 2 − 8x + 8 .
2x + 1
−

x − x 2 − 2x
x + x − 2x
2


.

•

Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.

•

b) Rút gọn biểu thức A.

•

68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :

•

69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x -

•

70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1

•

71. Trong hai số :

•

72. Cho biểu thức A = 7 + 4 3 + 7 − 4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách.


•

73. Tính : ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 − 5)( 2 − 3 + 5)( − 2 + 3 + 5)

•

74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

•

75. Hãy so sánh hai số : a = 3 3 − 3 và b=2 2 − 1 ;

•

76. So sánh

•

77. Rút gọn biểu thức : Q =

•

78. Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức

c) Tìm giá trị của x để A < 2.

0,9999....9 (20 chữ số 9)
2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5


n + n + 2 và 2 n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?

3+ 5 ;

3 − 2 ; 2 2 +3
2 + 5 và

5 +1
2

4 + 7 − 4 − 7 − 2 và số 0.
2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

7

bậc hai
•

79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1 .

•

80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A = 1 − x + 1 + x .

•


81. Tìm giá trị lớn nhất của : M =

•

82. CMR trong các số 2b + c − 2 ad ; 2c + d − 2 ab ; 2d + a − 2 bc ; 2a + b − 2 cd

(

a+ b

)

2

với a, b > 0 và a + b ≤ 1.

có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
•

83. Rút gọn biểu thức : N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 .

•

84. Cho x + y + z =

•

85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.


•

86. Chứng minh :

•

87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác

(

xy + yz + zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.

a+ b

)

thì các đoạn thẳng có độ dài

•

•

2

≥ 2 2(a + b) ab

a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

ab − b 2
a

88. Rút gọn : a) A =
−
b
b

(x + 2) 2 − 8x
b) B =
.
2
x−
x

89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :

•

90. Tính: A = 3 + 5 + 3 − 5 bằng hai cách.

•

91. So sánh : a)

•

92. Tính : P =

3 7 +5 2
và 6,9
5
2+ 3

2 + 2+ 3

(a, b ≥ 0).

+

b)

2− 3
2 − 2− 3

a2 + 2
a +1
2

≥ 2 . Khi nào có đẳng thức?

13 − 12 và

7− 6

.

•

93. Giải phương trình :

•

94. Chứng minh rằng ta luôn có : Pn =


1.3.5...(2n − 1)
1
<
; ∀n ∈ Z+
2.4.6...2n
2n + 1

•

95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì

a+ b≤

x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2 .

a2
b2 .
+
b
a


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

8

x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 
1 
.1 −

÷.
2
x
−
1


x − 4(x − 1)

•

96. Rút gọn biểu thức :

•

97. Chứng minh các đẳng thức sau : a)

A=

a b +b a
1
:
= a − b (a, b > 0 ; a ≠
ab
a− b

b)
•

 14 − 7

15 − 5 
1
b) 
+
= −2
÷:
1− 3  7 − 5
 1− 2

 a + a  a − a 
c) 1 +
÷1 −
÷= 1 − a
a + 1 
a −1 


(a > 0).
•

98. Tính : a)


c) 


•

•


•

c)

•

•

•

3 + 5 và 15

18 + 19 và 9

7 + 48 .
b) 2 + 15 và 12 + 7

16
và 5. 25
2

d)

a + a2 − b
a − a 2 − b (a, b > 0 và a2 – b > 0).
±
2
2

a± b =

Áp

a)

•


28 − 16 3 ÷.


100. Cho hằng đẳng thức :

•

•

7 + 48 −

99. So sánh : a)

•

; b) 2 3 + 5 − 13 + 48 .

5 − 3 − 29 − 6 20

c)

dụng


2+ 3
2 + 2+ 3

kết

+

quả

2− 3
2 − 2− 3

; b)

để

3−2 2
17 − 12 2

rút

−

gọn

3+ 2 2
17 + 12 2

2 10 + 30 − 2 2 − 6
2

:
2 10 − 2 2
3 −1

101. Xác định giá trị các biểu thức sau :

a) A =

b) B =

xy − x 2 − 1. y 2 − 1
xy + x − 1. y − 1
2

2

a + bx + a − bx
a + bx − a − bx

với x =

với x =

1
1
 a + ÷, y =
2
a

1

1
b + ÷
2
b

2am
, m < 1.
b ( 1 + m2 )

(a > 1 ; b > 1)

:


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

9

2
102. Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 1
2

3x − 4x + 1

•

Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).


•

Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.

•

103. Cho biểu thức

•

Rút gọn biểu thức A.

•

Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.

•

104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

•

a) 9 − x 2

b) x − x (x > 0)

e) 1 − 2 1 − 3x

g) 2x 2 − 2x + 5


A=

x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2
.
4 4
− +1
x2 x

c) 1 + 2 − x

d) x − 5 − 4

•

•

105. Rút gọn biểu thức : A =

•

106. Rút gọn các biểu thức sau : a)

•

b)

h) 1 − − x 2 + 2x + 5

i)


1
2x − x + 3

x + 2x − 1 − x − 2x − 1 , bằng ba cách ?
5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

94 − 42 5 − 94 + 42 5 .

c)

•

107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥

•

a)

(

a + b ± a − b = 2 a ± a2 − b

b

)

b)


a + a2 − b
a − a2 − b
a± b =
±
2
2
•

108. Rút gọn biểu thức : A =

•

109. Tìm x và y sao cho :

•

110. Chứng minh bất đẳng thức :

a 2 + b2 + c2 + d 2 ≥

•

111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :

a2
b2
c2
a+b+c
.
+

+
≥
b+c c+a a +b
2

•

112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

x + 2 2x − 4 + x − 2 2x − 4

x+ y−2 = x + y − 2

( a + c)

2

2
+ ( b + d) .


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

10

a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

•

a)


•

113. CM:

(a

2

+ c2 ) ( b2 + c2 ) +

a +b + b+c + c+a ≤ 6 .

b)

(a

2

+ d 2 ) ( b 2 + d 2 ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d >

0.
•

114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + x .

•

115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =


•

116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.

•

117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x +

•

118. Giải phương trình :

x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2

•

119. Giải phương trình :

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

•

120. Giải phương trình : 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2

•

121. Giải phương trình :

•


122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

•

123. Chứng minh

•

124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

•

(x + a)(x + b)
.
x
2−x .

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 − 2x − x 2
3− 2

;

2 2+ 3

x−2 + 4−x ≤ 2.

a 2 + b 2 . b 2 + c 2 ≥ b(a + c)

với a, b, c > 0.


(a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 0.

•

125. Chứng minh

•

126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác
thì các đoạn thẳng có độ dài

•

a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

(a + b) 2 a + b
127. Chứng minh
+
≥ a b + b a với a, b ≥ 0.
2
4
a
b
c
+
+
> 2 với a, b, c > 0.
b+c
a +c
a+b


•

128. Chứng minh

•

129. Cho x 1 − y 2 + y 1 − x 2 = 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.

•

130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

•

131. Tìm GTNN, GTLN của A = 1 − x + 1 + x .

•

132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

•

133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = − x 2 + 4x + 12 − − x 2 + 2x + 3 .

x − 2 x −1 + x + 2 x −1

x 2 + 1 + x 2 − 2x + 5



CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

11

(

•

134. Tìm GTNN, GTLN của : a) A = 2x + 5 − x 2

b) A = x 99 + 101 − x 2

•

135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

)

a b
+ = 1 (a và b là hằng số
x y

dương).
•

136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

•

137. Tìm GTNN của A =


•

138.

Tìm

GTNN

xy yz zx
+ +
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
x2
y2
z2
A=
+
+
x+y y+z z+x

của

biết

x,

y,


z

>

0

,

xy + yz + zx = 1 .
•

139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A =

•

b)

B=

(

a+ b

) +(
4

a+ c

) +(

4

(

a+ b

a+ d

) +(
4

)

2

với a, b > 0 , a + b ≤ 1

b+ c

•

với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.

•

140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.

•

141. Tìm GTNN của A =


•

142. Giải các phương trình sau :

) +(
4

b+ d

) +(
4

c+ d

)

4

b
c
với b + c ≥ a + d; b, c > 0; a, d ≥ 0.
+
c+d a+b

•

a) x 2 − 5x − 2 3x + 12 = 0

b) x 2 − 4x = 8 x − 1


c) 4x + 1 − 3x + 4 = 1

•

d) x − 1 − x + 1 = 2

e) x − 2 x − 1 − x − 1 = 1

h) x + 2 − 4 x − 2 + x + 7 − 6 x − 2 = 1

g) x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2
i) x + x + 1 − x = 1

•

k) 1 − x 2 − x = x − 1

l) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2x + 2

•

m) x 2 + 6 = x − 2 x 2 − 1

•

o) x − 1 + x + 3 + 2

n) x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5


( x − 1) ( x 2 − 3x + 5 )

= 4 − 2x


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

12

•

p) 2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 − x + 2 = 1 + 2 x + 2 .

•

q) 2x 2 − 9x + 4 + 3 2x − 1 = 2x 2 + 21x − 11

•

143. Rút gọn biểu thức : A = 2 2 − 5 + 3 2

•

144. Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta luôn có : 1 +

•

145. Trục căn thức ở mẫu : a)

•


(

1
1
1
+
+ .... +
>2
2
3
n
1

b)

x + x +1

(

)

n +1 −1 .
.

Tính

5 − 3 − 29 − 6 20

(


•

147. Cho a = 3 − 5. 3 + 5

•

148. Cho b =

•

)

18 − 20 + 2 2 .

1
1+ 2 + 5

146.

a)

)(

3− 2 2
17 − 12 2

−

:


b) 6 + 2 5 − 13 + 48

)(

c)

5 − 3 − 29 − 12 5

)

10 − 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.

3+ 2 2
17 + 12 2

. b có phải là số tự nhiên không ?

149. Giải các phương trình sau :

a)

(

c)

( 5 − x)

•


)

3 −1 x − x + 4 − 3 = 0
5 − x + ( x − 3) x − 3
5−x + x −3

b)
=2

(

)

3 −1 x = 2

(

)

3 +1 x − 3 3

d) x + x − 5 = 5

•

150. Tính giá trị của biểu thức:

•

M = 12 5 − 29 + 25 + 4 21 − 12 5 + 29 − 25 − 4 21


•

151. Rút gọn : A =

•

152. Cho biểu thức : P =

•

a) Rút gọn P.

•

153. Tính : A =

•

154. Chứng minh : 1 +

•

155. Cho a = 17 − 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a 5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a –

1
1
1
1
+

+
+ ... +
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n −1 + n
1
1
1
1
−
+
− ... +
2− 3
3− 4
4− 5
2n − 2n + 1
b) P có phải là số hữu tỉ không ?

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100

1
1
1
+
+ ... +
> n.
2
3
n


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

13

17)2000.
•

156. Chứng minh :

•

157. Chứng minh : x 2 − x +

•

158. Tìm giá trị lớn nhất của S =

•


159. Tính giá trị của biểu thức sau với a =

•

160. Chứng minh các đẳng thức sau :

•

a) 4 + 15

(

)(

a − a −1 < a − 2 − a − 3

10 − 6

)

1
>0
2

(a ≥ 3)

(x ≥ 0)

x − 1 + y − 2 , biết x + y = 4.
3

1 + 2a
1 − 2a
.
: A=
+
4
1 + 1 + 2a 1 − 1 − 2a

4 − 15 = 2

b) 4 2 + 2 6 =

2

(

3 +1

)

•

(

c) 3 − 5 3 + 5

)(

)


10 − 2 = 8 d)

7 + 48 =

2
2

(

)

3 + 1 e) 17 − 4 9 + 4 5 = 5 − 2

161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
•

•

•

•

a)

27 + 6 > 48

b)

5+ 5 5− 5
+

− 10 < 0
5− 5 5+ 5



5 +1
5 − 1 
1
c) 
+
+ 2 ÷ 0, 2 − 1,01 > 0
÷ 3 − 4
3
 1 + 5 + 3 1 + 3 − 5 

d)
e)

2 + 3 −1
2− 3
3
3  1
+
+
+ 3− 2 > 0

÷−
2+ 6
2 6 2− 6 2+ 6 
2

2 +2

2 −1 +

2 −2

2 − 1 > 1,9

g)

17 + 12 2 − 2 > 3 − 1

•

)

h)

(

•

162. Chứng minh rằng : 2 n + 1 − 2 n <

•

•

3+


5+

7 −

(

2004 < 1 +

)

3+ 5+ 7 <3

i)

2 + 2 + 3 2− 2
< 0,8
4

1
< 2 n − 2 n − 1 . Từ đó suy ra:
n

1
1
1
+
+ ... +
< 2005
2
3

1006009

163. Trục căn thức ở mẫu : a)

2+ 3+ 4
2+ 3+ 6+ 8+4

b)

3
.
2+ 2 + 3 4
3


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

14

3+ 2
3− 2
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
và y=
3− 2
3+ 2

•

164. Cho x =


•

165. Chứng minh bất đẳng thức sau :

•

166. Tính giá trị của biểu thức : A =

•

167. Giải phương trình :

•

168.

Giải

3 3 + 5x ≥ 72

2002
2003
+
> 2002 + 2003 .
2003
2002
x 2 − 3xy + y 2
với x = 3 + 5 và y = 3 − 5 .
x+y+2


6x − 3
= 3 + 2 x − x2 .
x − 1− x
bất

b)

các

pt

a)

1
10x − 14 ≥ 1 c) 2 + 2 2 + 2x ≥ 4 .
4

•

169. Rút gọn các biểu thức sau :

•

a) A = 5 − 3 − 29 − 12 5

•

c) C =

b) B = 1 − a + a(a − 1) + a


x + 3 + 2 x2 − 9

d) D =

2x − 6 + x 2 − 9

a −1
a

x 2 + 5x + 6 + x 9 − x 2
3x − x 2 + (x + 2) 9 − x 2

1
1
1
1
−
+
− ... −
1− 2
2− 3
3− 4
24 − 25

•

E=

•


170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =

•

171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

•

172. Tìm GTLN của : a) A =

B=

:

1
2 − 3 − x2

.

2
1
với 0 < x < 1.
+
1− x x
x − 1 + y − 2 biết x + y = 4 ;

b)

y−2

x −1
+
x
y

•

173. Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?

•

174. Tìm GTNN, GTLN của : a) A =

1
5+2 6−x

2

b) B = − x 2 + 2x + 4 .

•

175. Tìm giá trị lớn nhất của A = x 1 − x 2 .

•

176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.

•


177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

15

•

178. Tìm GTNN, GTLN của A = x x + y y biết

•

179. Giải phương trình :

•

180. Giải phương trình : x 2 + 2x − 9 = 6 + 4x + 2x 2 .

•

181. CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có :

•

182. Cho

A=

x + y = 1.


1 − x + x 2 − 3x + 2 + (x − 2)

x −1
= 3.
x−2

1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n

1
1
1
1
+
+
+ ... +
. Hãy so sánh A và
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1


1,999.
•

x + y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số

183. Cho 3 số x, y và

x ; y đều là

số hữu tỉ
•

3+ 2
− 2 6 ; b = 3 + 2 2 + 6 − 4 2 . CMR : a, b là các số hữu
3− 2

184. Cho a =
tỉ.

•



2+ a
a − 2  a a + a − a −1
−
. (a > 0 ; a ≠
÷.
a

 a + 2 a +1 a −1 

185. Rút gọn biểu thức : P = 
1)

•

 a +1

a −1
1
−
+ 4 a ÷ a −
a +1
a
 a −1


186. Chứng minh : 

( x + 2)

187. Rút gọn :

•

188. Rút gọn :  a +





•

(0 < x < 2)

b − ab  
a
b
a+b
+
−
÷: 
÷
a + b   ab + b
ab − a
ab 

(

189. Giải bất phương trình : 2 x + x + a

(

(a > 0 ; a ≠ 1)

2

− 8x
2
x−

x

•


÷ = 4a .


)

2

2

)≤

5a 2
x2 + a2

(a ≠ 0)

 1 − a a
 1 + a a

+ a ÷
− a ÷ + 1
 1 − a
 1 + a
 


•

2
190. Cho A = 1 − a : 

•

a) Rút gọn biểu thức A.

•

Với giá trị nào của a thì | A | = A.

b) Tính giá trị của A với a = 9.


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

191. Cho biểu thức : B =

•

a) Rút gọn biểu thức B.

•

So sánh B với -1.


•

192. Cho A = 



16

a + b −1
a− b
b
b 
+
+

÷.
a + ab
2 ab  a − ab a + ab 
b) Tính giá trị của B nếu a = 6 + 2 5 .

1

 a − a−b

a+b 
 
÷
÷: 1 +
a + a+b  
a−b 

1

+

•

a) Rút gọn biểu thức A.

•

Tính giá trị của A khi a = 5 + 4 2 ; b = 2 + 6 2 .

•

193. Cho biểu thức A = 

•

Rút gọn biểu thức A.

•

b) Tìm giá trị của A nếu a =

b) Tìm b biết | A | = -A.

 a +1

a −1
1 

−
+ 4 a ÷ a −
÷
a +1
a
 a −1


6
2+ 6

194. Cho biểu thức A = 

•

a) Rút gọn biểu thức A.

•

195. Thực hiện phép tính : A = 

•

196. Thực hiện phép tính : B =

•

A > A.

b) Tìm giá trị của A để A = - 4


 1+ a
1− a   1+ a
1− a 
+
−
÷: 
÷
1+ a   1− a
1+ a 
 1− a
2+ 3
2 + 2+ 3

+

2− 3
2 − 2− 3

197. Rút gọn các biểu thức sau :


x − y  1 1 
1
a) A =
:  + ÷.
+
xy xy  x y  x + y + 2 xy



•

với x = 2 − 3 ; y = 2 + 3 .

•

b) B =

•

c) Tìm giá trị của a để

 a
1  a − a a + a 
−
−
÷
÷.
a −1 
 2 2 a  a + 1

•

•

.

c) C =

x + x 2 − y2 − x − x 2 − y2

2(x − y)
2a 1 + x 2
1+ x2 − x

với x =

(


 1
1 
.
+
÷
3 
 x
÷
y
x+ y 


2

)

với x > y > 0

1  1− a
a 
−


÷
2 a
1− a 

; 0

CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

•

d) D = (a + b) −

e) E =

(a

2

+ 1) ( b 2 + 1)
c2 + 1

17

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1

x + 2 x −1 + x − 2 x −1

x + 2x − 1 + x − 2x − 1

. 2x − 1

x2 − 4
+
x

x2 − 4
2x + 4
=
x
x

•

198. Chứng minh :

•

199. Cho a =

•

200. Cho a = 2 − 1

•

Viết a2 ; a3 dưới dạng

•

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.

•

201. Cho biết x =

x+

x−

với x ≥ 2.

−1 + 2
−1 − 2
. Tính a7 + b7.
,b=
2
2

m − m − 1 , trong đó m là số tự nhiên.

2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 với các hệ số

hữu tỉ. Tìm các nghiệm còn lại.

1
1
1

+
+ ... +
< 2 n − 2 với n∈ N ; n ≥ 2.
2
3
n

•

202. Chứng minh 2 n − 3 <

•

203. Tìm phần nguyên của số

•

204. Cho a = 2 + 3. Tính a)

•

205. Cho 3 số x, y,

(có 100 dấu căn).

6 + 6 + ... + 6 + 6
a 2 

b)

a 3  .

x + y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số

x , y đều là số

hữu tỉ

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
(n + 1) n

•

206. CMR, ∀n ≥ 1 , n ∈ N :

•

207. Cho 25 số tự nhiên a 1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :

1
1
1

1
+
+
+ ... +
=9.
a1
a2
a3
a 25

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
•

•

208. Giải phương trình

2+ x
2 + 2+ x

209. Giải và biện luận với tham số a

+

2− x
2 − 2− x

= 2.

1+ x + 1− x

= a.
1+ x − 1− x


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

18

 x ( 1 + y ) = 2y

210. Giải hệ phương trình  y ( 1 + z ) = 2z

 z ( 1 + x ) = 2x

•

211. Chứng minh rằng :

•

Số

(

•

Số

( 7 + 4 3)

•

212. Kí hiệu an là số nguyên gần

8+3 7

)

7

có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.

10

có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy.

n nhất (n ∈ N*), ví dụ :

•

1 = 1 ⇒ a1 = 1 ;

2 ≈ 1, 4 ⇒ a 2 = 1 ;

3 ≈ 1,7 ⇒ a 3 = 2 ;

4 = 2 ⇒ a4 = 2

1 1 1
1
+ + + ... +
.
a1 a 2 a 3
a1980

•

Tính :

•

213. Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) :

•

b)

a) a = 2 + 2 + ... + 2 + 2
n
c)

a n = 4 + 4 + ... + 4 + 4

a n = 1996 + 1996 + ... + 1996 + 1996
•

214. Tìm phần nguyên của A với n ∈ N : A = 4n 2 + 16n 2 + 8n + 3

•

215. Chứng minh rằng khi viết số x =

(

3+ 2

)

200

dưới dạng thập phân, ta được chữ

số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
•

•

Tìm chữ số tận cùng của phần nguyên của

(

3+ 2

)

250

.

Tính tổng A =  1  +  2  +  3  + ... +  24 

•

Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 – x) với x ≥ 0.

•

219. Giải phương trình : a)

•

220. Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b không nếu : a)

3

x +1 + 3 7 − x = 2

b)

3

x − 2 + x +1 = 3 .

a+ b= 42.
•

221. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : a)

3

5

b)

3

2+34

a+ b= 2

b)


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

19

•

222. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :

•

223. Cho a, b, c, d > 0. Biết

abcd ≤
•

•

a+b+c 3
≥ abc .
3

a
b
c
d
+
+
+
≤ 1 . Chứng minh rằng :
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d

1
.
81

x 2 y2 z2 x y z
224. Chứng minh bất đẳng thức : 2 + 2 + 2 ≥ + +
với x, y, z > 0
y
z
x
y z x
225. Cho a = 3 3 + 3 3 + 3 3 − 3 3 ; b = 2 3 3 . Chứng minh rằng : a < b.
n

•

 1
a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có : 1 + ÷ < 3 .
 n

•

Chứng minh rằng trong các số có dạng

•

227. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

•

228. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 – x) biết x ≤ 4.

•

229. Tìm giá trị lớn nhất của A = x 2 9 − x 2 .

•

230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.

•

231. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người ta

n

n (n là số tự nhiên), số

3

3 có giá trị lớn nhất

x2 + x +1 + x2 − x +1 .

cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp.
Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.
•

232. Giải các phương trình sau :

•

a) 1 + 3 x − 16 = 3 x + 3

•

c)

3

e)

3

•

h)

3

(x + 1) 2 + 3 (x − 1) 2 + 3 x 2 − 1 = 1

•

k)

4

1− x2 + 4 1 + x + 4 1 − x = 3

•

b)

x + 1 + 3 x − 1 = 3 5x
x 3 − 3x − ( x 2 − 1) x 2 − 4
2

Rút gọn A =

3

a 2 + 3 ab + 3 b 2

g)
i)
l)

.

7−x − 3 x −5
=6−x
3
7− x + 3 x −5
3

= 2− 3

a 4 + 3 a 2b2 + 3 b4
3

2 − x + x −1 = 1

d) 2 3 2x − 1 = x 3 + 1

tham số)
•

3

4

3

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

a − x + 4 b − x = 4 a + b − 2x (a, b là


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

20

•

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

•

Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x 3 + ax2 +

x2 − x +1 + x2 + x +1

bx + 12 = 0 là 1 + 3 .
•

Chứng minh

•

Làm phép tính : a)

•

Tính : a = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 .

•

Chứng minh :

•

Tính : A =

•

Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : x = 3 3 + 3 9 .

•

3
Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với x = 7 + 5 2 −

(

3

3 là số vô tỉ.

3

4

3

1 + 2 .6 3 − 2 2

b)

6

9 + 4 5. 3 2 − 5 .

7 + 5 2 + 3 7 − 2 5 = 2.

)

7 + 48 − 4 28 − 16 3 . 4 7 + 48 .

1
3

•

Giải các phương trình : a)

•

b)

•

Tìm GTNN của biểu thức : A =

•

Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 4 abcd .

•

•

•

•

3

3

x + 2 + 3 25 − x = 3 .

x − 9 = (x − 3) 2 + 6

8−x
Rút gọn: P =
2− 3 x

.

7+5 2

x 2 + 32 − 2 4 x 2 + 32 = 3

c)

(

)

(

)

x3 + 2 1 + x 3 + 1 + x3 + 2 1 − x 3 + 1 .

3

x2
:2+

2+ 3 x


 3
2 3 x  3 x2 − 4 
÷+  x + 3
÷; x>0, x ≠ 8
÷ 3 2
÷ 
÷
x
−
2

x
+
2
x





CMR: x = 3 5 − 17 + 3 5 + 17 là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0.
Cho x =

1
3

4 − 15

+ 3 4 − 15 . Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987.
a + 2 + 5.

Chứng minh đẳng thức :
3

9−4 5

2 − 5. 3 9 + 4 5 − 3 a 2 + 3 a

= − 3 a −1.

3


9 + 4 5 + 3 2 + 5 ÷. 3 5 − 2 − 2,1 < 0 .



•

Chứng minh bất đẳng thức : 

•

Rút gọn các biểu thức sau:


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

•

•

a) A =

3

a + a b + b
4

3

3

2

2

3

4

a 2 + 3 ab + 3 b 2


b
b) 
−
 b+8



21

(

3

 a 3 a − 2a 3 b + 3 a 2 b 2 3 a 2 b − 3 ab 2
+ 3
c) C = 

3 2
3

a−3b
a
−
ab

Cho M =


  1+ 23 1
4b
b
÷.
3 ÷
1
b + 2 ÷  1 − 2.
3

b


)


÷ 24
÷−
÷ b+8
÷



 1
÷. 2 .
÷ 3a


x 2 − 4a + 9 + x 2 − 4x + 8 . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng:

•

x 2 − 4x + 9 − x 2 − 4x + 8 = 2 .

•

253. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P =

•

Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì :

•

abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)

•

Tìm giá trị của biểu thức | x – y | biết x + y = 2 và xy = -1

•

Biết a – b =

•

A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.

•

Tìm x, y, z biết rằng : x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y − 3 + 6 z − 5 .

•

Cho y =

2 +1,b–c=

x 2 − 2ax + a 2 + x 2 − 2bx + b 2

(a < b)

2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :

x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một

hằng số.
•

259. Phân tích thành nhân tử : M = 7 x − 1 − x 3 − x 2 + x − 1

•

260. Trong tất cả các hình chữ nhật có đường chéo bằng 8 2 , hãy tìm hình chữ nhật có

(x ≥ 1).

diện tích lớn nhất.
•

261. Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng
minh rằng ta luôn có : c ≥

a+b
.
2

•

262. Cho các số dương a, b, c, a’, b’, c’. Chứng minh rằng :

•

Nếu

•

263. Giải phương trình : | x2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3.

•

264. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào x, y :

aa' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') thì

a b c
.
= =
a' b ' c '


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

C=

•

•

22

x+y
−
−
x+ y
x+y  2 x y
−
÷
x+y
x+ y÷


1





( x + y)

4

4xy

với x > 0 ; y > 0.

265. Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:

 2+ a
a − 2  a a + a − a −1
D=
−
÷
a
 a + 2 a +1 a −1 

•

•


c − ac 

B= a +
÷−
266. Cho biểu thức
a
+
c



•

Rút gọn biểu thức B.

•

Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24

•

Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.

•

267. Cho biểu thức : A=  m+




•

a) Rút gọn biểu thức A.

•

Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

•

268.

với a > 0 ; a ≠ 1

1
a
c
a+c .
+
−
ac + c
ac − a
ac

2mn
2mn 
1
+
m
−
1+ 2
2

2 ÷
1+n
1+ n 
n

với m ≥ 0 ; n ≥ 1

b) Tìm giá trị của A với m = 56 + 24 5 .

Rút

gọn


 1
1+ x
1− x
1− x 
x
D=
−
−
1
−
÷
÷
2
x 1− x + 1− x2
1 − x 2 − 1 + x  x
 1+ x − 1− x



  2 x
1
2 x
−
÷:  1 −
÷ với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
 x −1 x x + x − x −1   x + 1 

•

269. Cho P = 

•

a) Rút gọn biểu thức P.

•

270. Xét biểu thức y =

•

Rút gọn y. Tìm x để y = 2.

•

Giả sử x > 1. Chứng minh rằng: y - | y | = 0

•

Tìm giá trị nhỏ nhất của y?

b) Tìm x sao cho P < 0.

x2 + x
2x + x
.
+1−
x − x +1
x


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

•

1. Giả sử

23

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

7 là số hữu tỉ ⇒ 7 =

m
m2

(tối giản). Suy ra 7 = 2 hay 7n 2 = m 2 (1).
n
n

2
7 mà 7 là số nguyên tố nên m M7. Đặt m = 7k (k ∈ Z), ta
Đẳng thức này chứng tỏ m M

có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n 2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 M7
và vì 7 là số nguyên tố nên n M7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số
giản, trái giả thiết. Vậy
•

7 không phải là số hữu tỉ; do đó

m
không tối
n

7 là số vô tỉ.

2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) ⇒ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

24

•

3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.

•

Vậy min S = 2 ⇔ x = y = 1.

•

Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :

•

(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ 2. ⇒ mim S = 2 khi x = y = 1

•

4.

b)

Áp

dụng

bất

đẳng

bc
ca bc

ab ca
ab
và
;
và
;
và
,
a
b a
c b
c

thức

Cauchy
ta

cho

các

lần

cặp

số

dương

lượt

có:

bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
ca ab
+ ≥2
. = 2c;
+
≥2
. = 2b ; +
≥2
. = 2a
a
b
a b
a
c
a c
b
c
b c
cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
•

Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :

⇔

3a + 5b
≥ 3a.5b .
2

(3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤

12
⇒ max P =
5

12
.
5
•

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 ⇔ a = 2 ; b = 6/5.

•

5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a 3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a =
½.

•

Vậy min M = ¼ ⇔ a = b = ½ .

•

6. Đặt a = 1 + x ⇒ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x) 3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x 2 – x3 = (1 –
x)3.

•

Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.

•

Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.

•

7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).

•

8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2

⇔

4ab > 0 ⇔ ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.

•

a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.

•

Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều
dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.

•

a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).

•

Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :


CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 9

•

•

25

3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

 2x − 3 = 1 − x
3x = 4
⇔ 
⇔
a) 2x − 3 = 1 − x ⇔ 
 2x − 3 = x − 1
x = 2

4

x = 3

x = 2

•

x2 – 4x ≤ 5 ⇔ (x – 2)2 ≤ 33 ⇔ | x – 2 | ≤ 3 ⇔ -3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇔ -1 ≤ x ≤ 5.

•

2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 ⇔ (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có thể : 2x – 1 = 0

•

Vậy : x = ½ .

•

12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a 2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai
vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a 2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta
có :

•

a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.

•

2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998.

•

a + b − 2 = 0

Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : a − 1 = 0
Vậy min M = 1998 ⇔ a = b = 1.
b − 1 = 0


•

Giải tương tự bài 13.

•

Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.

•

16. A =

•

a)

7 + 15 < 9 + 16 = 3 + 4 = 7 . Vậy

•

b)

17 + 5 + 1 > 16 + 4 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = 49 > 45 .

•

c)

•

Giả

1
1
1
1
=
≤ . max A= ⇔ x = 2 .
2
x − 4x + 9 ( x − 2 ) + 5 5
5
2

7 + 15 < 7

23 − 2 19 23 − 2 16 23 − 2.4
<
=
= 5 = 25 < 27 .

3
3
3

3 2> 2 3 ⇔

sử

(

) (
2

3 2

>

2 3

)

2

⇔ 3 2 > 2 3 ⇔ 18 > 12 ⇔ 18 > 12 .

•

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên :

•

Các số đó có thể là 1,42 và

•

Viết lại phương trình dưới dạng :

•

Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức

3 2 > 2 3.

2+ 3
2
3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1) 2 + 16 = 6 − (x + 1) 2 .