- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
03 định thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.37 KB, 18 trang )
Bài 3.
Định thức
I.
Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)
II.
Các tính chất cơ bản của định thức
I.
Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)
1.
Định thức cấp 1
A a11 1�1 ;
n 1
det A a11
Định thức cấp 1 bằng phần tử duy nhất của nó
I.
Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)
2.
Định thức cấp 2
�a11 a12 �
A�
;
�
a 21 a 22 �
�
2�2
n2
det A a11a 22 a12a 21
2 4
2 20 22
5 1
I.
Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)
3.
Định thức cấp 3
�a11 a12
A�
a 21 a 22
�
�
a 31 a 32
�
a13 �
a 23 �
�
a 33 �
�
3�3
Cách tính 1
det A T11
T3
4T
22 43
Phần Dương
Cách tính 2
T6
T14 4 2T5 43
Phần Âm
I.
Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)
3.
Ví dụ:
Định thức cấp 3
Tính định thức
2 6 1
2 3 6�
3 2 4 2 ��
3 3 2 �
4 �
2
3 2 1 ��
2 1 6 ��
4 �
1 1 ��
1 2 3
12 24 6 2 54 16
30 72
102
Giá trị của định thức
4 1 5
3 9 7
3
4
1
50:50
A: 43
B: - 72
C: 58
D: 97
Giá trị của định thức
4 7 1
1 4 5
3 2 4
50:50
A: 91
B: 46
C: 63
D: - 52
Giá trị của định thức
9 4
1 3
3
5
6
6 2
50:50
A: - 389
B: 206
C: 715
D: - 122
Giá trị của định thức
9
4
4
6
3 5
2
2
1
50:50
A: 288
B: 388
C: - 152
D: 714
II.
Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 1:
Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị
của nó.
det A det A�
Từ tính chất 1 cho thấy các dòng và các cột trong định thức có vai trò như
nhau, do đó tất cả các tính chất đúng với các dòng đều đúng với các cột.
Ví dụ:
2 1
13
3 5
2 1 4
4 5 1 175
3 5 2
2 3
13
1 5
2 4 3
1 5 5 175
4 1 2
Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 2:
Nếu tất cả các phần tử nào đó của một dòng của định thức bằng 0 thì
định thức bằng 0.
Tính chất 3:
Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng
còn lại thì định thức đổi dấu.
1 2
1
3 5
3 5
1
1 2
1 2 3
4 3 1
2 1 1
44
đổi dấu
Ví dụ:
đổi dấu
II.
1 2 3
2 1 1 44
4 3 1
Hệ quả:
Định thức bằng 0 nếu có hai dòng bằng nhau.
II.
Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 4:
Nếu nhân một dòng nào đó của định thức d với một số α (nghĩa là nhân
mỗi phần tử của dòng đó với số α) thì định thức mới nhận được bằng định
thức cũ nhân với α.
a11
a12
L
L
a i1 a i2
L
L
a n1 a n 2
L
L
L
L
L
a1n
L
a in
L
a nn
a11 a12
L
L
a i1 a i2
L
L
a n1 a n 2
L
L
L
L
L
a1n
L
a in
L
a nn
NX: Ta có thể đưa bội của một dòng ra ngoài dấu định thức.
Hệ quả:
Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ.
Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của
det kA kA
tính theo
A
là:
50:50
A: k.|A|
B: nk.|A|
C: kn.|A|
D: Đ.A khác
II.
Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 5:
Nếu trong định thức.
a11
L
d bi1 ci1
L
a n1
a12
L
bi2 ci2
L
an2
L
L
L
L
L
a1n
L
bin cin
L
a nn
Dòng thứ i được viết dưới dạng tổng của hai dòng:
a i1 ,a i2 ,K ,a in bi1 , bi2 ,K , bin ci1 ,ci2 ,K ,cin
Thì ta có thể tách định thức d thành tổng của hai định thức:
d d1 d 2
Trong đó
a11 a12
L
L
d1 bi1 bi2
L
L
a n1 a n 2
L
L
L
L
L
a1n
L
bin
L
a nn
a12
L
a1n
L
L
d 2 ci1 ci2
L
L
a n1 a n 2
L
L
L
L
L
cin
L
a nn
a11
I.
Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 6:
Nếu ta cộng vào một dòng của định thức tích của một dòng khác với một
số k tùy ý thì định thức không thay đổi.
X1
L
Xi
L
Xj
L
Xn
�k
X1
L
X i kX j
L
Xj
L
Xn
tách dòng i
X1
L
Xi
L
Xj
L
Xn
X1
L
kX j
L
Xj
L
Xn
{
0
IV.
Các tính chất cơ bản của định thức
Tính chất 7:
Với A, B là các ma trận vuông cùng cấp thì
AB A . B
Định thức của một tích bằng tích các định thức.
Suy ra:
Ak A . A K A A
1 42 43
k
k
Có thể đưa lũy thừa ra ngoài dấu định thức
Giả sử A là ma trận vuông cấp n, khi đó giá trị của
det A
k
A
k
tính theo
A
là:
50:50
A: α.|A|k
B: αn.|A|k
C: αk.|A|
D: Đ.A khác
II.
Các tính chất cơ bản của định thức
Ví dụ:
Tính
�4 4 �
det � A � với
�3 �
�2 1 4 �
�
A�
4
2
5
�
�
�7 1 3 �
�
�
A 23
3
4 4 �4 �
17909824
4
A � �. 23
3
27
�3 �
