TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SƯ PHẠM TOÁN TIN

NGUYỄN MINH NHỰT

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

ĐỒNG THÁP - 06/2017



Mục lục
CHƯƠNG 1 VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
1.1 Khái niệm vectơ. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc
1.1.1 Vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với một số thực
1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính .
1.2 Tích vô hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Định nghĩa tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . .

tuyến tính
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
7
8
8
8
9

CHƯƠNG 2 HỆ TỌA ĐỘ AFIN
2.1 Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Mục tiêu afin trong mặt phẳng . . . . . . . . . . .
2.1.2 Đổi tọa độ afin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Hệ tọa độ afin trong không gian . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian
2.2.3 Đổi tọa độ afin trong không gian* . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

10
10
10
11
11
12
12
12
13

.
.
.
.
.
.

14
14
14
14
15
15
15


.
.
.
.

15
15
15
16

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

CHƯƠNG 3 HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN
3.1 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn . .
3.1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn
trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian* . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Tích hỗn hợp của ba vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN
4.1 Đường thẳng trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phương trình tham số đường thẳng . . . . . . . . . . .
4.1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . .
3

PHẲNG
18
. . . . . . . 18
. . . . . . . 18
. . . . . . . 19



4.2

4.1.3
4.1.4
4.1.5
Đường
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6
4.2.7
4.2.8
4.2.9
4.2.10

Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . .
Chùm đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
thẳng và mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . .
Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian . .
Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình tham số của mặt phẳng . . . . . . . . . . . .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . . . .
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . .
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . .
Chùm mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nửa không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN
5.1 Đường thẳng trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng . . . .
5.1.3 Điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . .
5.1.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Hình chiếu trực giao của một điểm lên một mặt phẳng . . . . . .
5.2.3 Điểm đối xứng của điểm qua mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . . . .
5.2.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.7 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . .
5.2.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
5.2.9 Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . .
CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG BẬC
HAI TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN
6.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Đường bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai . .
6.1.3 Giao của đường bậc hai và đường thẳng . . .
6.1.4 Tâm của đường bậc hai . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Tiếp tuyến của đường bậc hai . . . . . . . . .
6.1.6 Phương tiệm cận và đường tiệm cận . . . . .
6.1.7 Đường kính liên hợp . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Mặt bậc hai trong không gian . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Phương trình bậc hai và mặt bậc hai . . . . .
6.2.2 Phương trình chính tắc của mặt bậc hai . . .
6.2.3 Giao của mặt bậc hai và đường thẳng . . . . .
4

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

19
19
20
20
20
21
21
21
22

22
23
23
23
24

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

25
25
25
25
26
26
26

26
26
26
27
27
27
27
27
28
28

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

30
30
30
30
31
31

32
32
32
33
33
33
34

HAI, MẶT BẬC
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.


6.2.4
6.2.5
6.2.6
6.2.7

Tâm của mặt bậc hai . . . . . . . . . .
Phương tiệm cận của mặt bậc hai (S) .
Giao của mặt bậc hai và mặt phẳng . .
Mặt kính liên hợp . . . . . . . . . . . .

5

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.

34
35
35
35


Chương 1
VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
♦
1.1

1.2

1.1
1.1.1

Khái niệm vectơ. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

4

1.1.1

Vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.1.2

Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với một số thực . . . . . .

5

1.1.3

Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính . . . . . .

7

Tích vô hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Góc giữa hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Định nghĩa tích vô hướng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

1.2.3

Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Khái niệm vectơ. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và
phụ thuộc tuyến tính
Vectơ

−→
• Đoạn thẳng AB được sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một vectơ, ký hiệu: AB
−→
−→
• Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài hay môđun của vectơ AB , ký hiệu: |AB|
−→
−−→
• Hai vectơ AB và CD được gọi là hai vectơ cùng phương hay hai vectơ cộng tuyến
nếu các đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau
−→
−−→
• Hai vectơ cùng phương AB và CD gọi là cùng hướng nếu xẩy ra một trong hai
trường hợp sau:
– AB song song CD và hai điểm B và D nằm cùng phía đối với đường thẳng
AC
6



B

D

A

C

– AB và CD trùng nhau và một trong hai tia AB (gốc A) và tia CD (gốc C)
chứa tia kia
C

D

A

B

• Hai vectơ cùng phương không cùng hướng gọi là hai vectơ ngược hướng
• a = b nếu cùng hướng và cùng môđun, dễ thấy bằng nhau là một quan hệ tương
đương
(i) a = a
(ii) a = b thì b = a
(iii) a = b và b = c thì a = c
• Đặc biệt vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ không, ký hiệu 0

1.1.2

Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với một số thực


Phép cộng vectơ
Cho a, b là hai vectơ bất kì, khi đó tồn tại một vectơ c gọi là tổng của hai vectơ đã cho và
−→
−−→
ký hiệu là c = a+ b được xác định như sau: lấy các điểm A, B, C sao cho AB = a, BC = b,
−→
ta có AC = c
B

b

a

A

C
c=a+b

7


Phép nhân vectơ với một số thực
• Phương: Vectơ ka cùng phương với vectơ a
• Hướng:
– Vectơ ka cùng hướng với vectơ a nếu k ≥ 0
– Vectơ ka ngược hướng với vectơ a nếu k < 0
• |ka| = |k|.|a|
Đối với mọi a, b, c và với mọi số thực k, l, m phép toán cộng hai vectơ và nhân một số với
một số thực có các tính chất sau:
• a + (b + c) = (a + b) + c

• a+b=b+a
• a+0=a
• a + (−a) = 0
• k(a + b) = ka + k b

k∈R

• (k + l)a = ka + la
• (kl)a = k(la)
• 1.a = a
Một số hệ quả
• 0a = 0
• k0 = 0
• (−k)a = −(ka) ⇒ (−1).a = −a
• k(a − b) = ka − k b
Chú ý
• |a + b| ≤ |a| + |b|
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng hướng
• |a − b| ≥ |a| − |b|
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng hướng và |a| ≥ |b|
8


Đặt vectơ trên mặt phẳng (hoặc trong không gian)
−−→
Cho a và một điểm O bất kì, khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho: OM = a
M
a

O


Các quy tắc thường dùng
−→ −−→ −→
• Với bất kỳ A, B, C : AB + BC = AC
−→ −−→ −→
• Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
B

C

A

D

−−→ −−→ −−→
• Cho hai điểm M, N thì với một điểm O bất kì: M N = ON − OM

1.1.3

Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa
Hệ n vectơ a1 , a2 , ..., an được gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tìm được các số k1 , k2 , ..., kn
không đồng thời bằng 0 sao cho:
k1 a1 + k2 a2 + · · · + kn an = 0
(k1 a1 + k2 a2 + · · · + kn an được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1 , a2 , ..., an )
Hệ vectơ độc lập tuyến tính
Định nghĩa
Hệ n vectơ a1 , a2 , ..., an là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi nếu k1 a1 +k2 a2 +· · ·+kn an = 0

thì k1 = k2 = · · · = kn = 0
Điều kiện để hai vectơ PTTT hay ĐLTT
Định lí
Hai vectơ a, b PTTT khi và chỉ khi chúng cùng phương (cộng tuyến)
9


Hệ quả
Hệ hai vectơ a, b ĐLTT khi và chỉ khi chúng không cùng phương (không cộng tuyến)
Điều kiện để ba vectơ PTTT hay ĐLTT
Định lí
Ba vectơ PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng
Sự PTTT của bốn vectơ trong không gian
Định lí
Bốn vectơ bất kì trong không gian điều phụ thuộc tuyến tính
Phân tích một vectơ theo hai hoặc ba vectơ ĐLTT
Định lí
Cho hai vectơ ĐLTT a và b. Nếu c là vectơ sao cho a, b, c PTTT thì c có thể viết một
cách duy nhất dưới dạng: c = ka + lb
Định lí
Nếu ba vectơ a, b, c ĐLTT thì với mọi d đều viết được một cách duy nhất dưới dạng
d = ka + lb + mc và nói rằng d được phân tích một cách duy nhất theo ba vectơ a, b, c

1.2
1.2.1

Tích vô hướng của hai vectơ
Góc giữa hai vectơ

−→

−−→
Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Từ O ta vẽ OA = a và OB = b. Khi đó AOB được gọi
là góc hợp bởi hai vectơ a và b, ký hiệu: (a; b)
B
b

O

1.2.2

a

A

Định nghĩa tích vô hướng

Cho hai vectơ a, b. Số thực |a|.|b|. cos(a; b) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ
Chú ý:
Tích vô hướng của hai vectơ là một số
10


Đặc biệt
a2 = |a|2 , tức là bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nó
Điều kiện để hai vectơ vuông góc
a.b = 0 ⇔ |a|.|b|. cos(a; b) = 0
Điều đó xẩy ra trong các trường hợp sau đây:
• Hai vectơ a, b đều khác vectơ 0 và cos(a; b) = 0
• a hoặc b hoặc cả hai a, b là 0
⇒ Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0


1.2.3

Các tính chất của tích vô hướng

Với a, b, c và các số thực λ
• a.b = b.a
• (λa).b = λ(a.b)
• a.(b + c) = a.b + a.c
Một số hệ quả
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
• (a + b).(a − b) = a2 − b2
• |a + b|2 + |a − b|2 = 2|a|2 + 2|b|2

11


Chương 2
HỆ TỌA ĐỘ AFIN
♦
2.1

2.2

2.1
2.1.1

Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


10

2.1.1

Mục tiêu afin trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.2

Đổi tọa độ afin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.3

Tâm tỉ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Hệ tọa độ afin trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12


2.2.2

Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian

. . . . .

12

2.2.3

Đổi tọa độ afin trong không gian* . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng
Mục tiêu afin trong mặt phẳng

Định nghĩa
Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến i, j. Khi đó bộ ba
(O; i, j) được gọi là một mục tiêu afin hay hệ tọa độ afin
• Cặp có thứ tự (i, j) gọi là cơ sở vectơ của hệ tọa độ
• Ta cũng kí hiệu mục tiêu đó là Oxy với Ox, Oy là các đường thẳng đi qua O và có
vectơ chỉ phương lần lượt là i, j
• Điểm O gọi là gốc tọa độ, các đường thẳng Ox và Oy gọi là các trục tọa độ Ox là
trục hoành, Oy là trục tung
12


j


i
O

Tọa độ vectơ
u(x; y) ⇔ u = (x; y) ⇔ u = xi + y j
• Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau
u = (x; y), v = (x ; y ) nếu u = v ⇔

x= x
y= y

• u(x; y), v(x ; y ) và k ∈ R thì u + v = (x + x ; y + y ) và ku = (kx; ky)
• Nếu u(x; y) và v(x ; y ) là các vectơ khác 0 và cộng tuyến thì các tọa độ của chúng
x y
tỉ lệ x : x = y : y hay một cách tương đương
=0
x y
Tọa độ của điểm
−−→
M (x; y), N (x ; y ) thì M N = (x − x; y − y)

2.1.2

Đổi tọa độ afin*

2.1.3

Tâm tỉ cự

Định nghĩa

Cho hệ n điểm A1 , A2 , ..., An và cho n số k1 , k2 , ..., kn mà k1 + k2 + · · · + kn = 0. Điểm M
được gọi là tâm tỉ cự của n điểm Ai với n số tương ứng ki (i = 1, 2, ..., n) nếu:
n

−−→
ki M Ai = 0

i=1

Trong trường hợp k1 = k2 = · · · = kn = 0 thì M được gọi là trọng tâm của hệ Ai
n

−−→
M Ai = 0

i=1

Đặc biệt
• Trọng tâm của hệ hai điểm là trung điểm đoạn thẳng
13


– M (x; y) là trung điểm của A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 )
x=

y1 + y2
x1 + x2
,y =
2
2


– M (x; y; z) là trung điểm của A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )
x=

x1 + x2
y1 + y2
z1 + z2
,y =
,z =
2
2
2

• Trọng tâm của hệ ba điểm không thẳng hàng A, B, C là trọng tâm của tam giác
ABC
– G(x; y) là trọng tâm của ba điểm không thẳng hàng A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), C(x3 ; y3 )
x=

x1 + x 2 + x3
y1 + y2 + y3
,y =
3
3

– G(x; y; z) là trọng tâm của ba điểm không thẳng hàng A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 ), C(x3 ; y3 ; z3 )
x=

x1 + x2 + x3
y1 + y2 + y3
z1 + z2 + z3

,y =
,z =
3
3
3

Nếu cho biết tọa độ các điểm Ai là (xi ; yi ), (i = 1, 2...n) thì tọa độ (x; y) của tâm tỉ cự M
n

i=1


k x + k2 x2 + · · · + kn xn

 x = 1 1
−−→
k1 + k2 + · · · + kn
ki M Ai = 0 ⇔
k1 y1 + k2 y2 + · · · + kn yn

 y =
k1 + k2 + · · · + kn

với
k1 + k2 + ... + kn = 0
Chia đoạn thẳng theo tỉ số k
Định nghĩa
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, A = B. Số k được gọi là tỉ số đơn của bộ ba điểm thẳng
−→
−−→

hàng có thứ tự (A, B, C) nếu CA = k CB với (k = 1). Khi đó còn nói: điểm C chia đoạn
thẳng AB theo tỉ số k và kí hiệu (A, B, C) = k
Nếu A(x1 ; y1 ); B(x2 ; y2 ) thì tọa độ C

x − kx2

 x= 1
−→
−−→
1−k
CA = k CB ⇔
y1 − ky2

 y=
1−k
với
k=1
Nếu k > 0 ta gọi C là điểm chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k, còn nếu k < 0 ta gọi
C là điểm chia trong của đoạn AB theo tỉ số k
14


2.2
2.2.1

Hệ tọa độ afin trong không gian
Định nghĩa

Trong không gian cho một điểm O và i, j, k không đồng phẳng. Khi đó (O; i, j, k) được
gọi là một mục tiêu afin hay một hệ tọa độ afin trong không gian.

• Điểm O gọi là gốc tọa độ;
• Các bộ ba vectơ (i; j; k) gọi là một cơ sở vectơ của hệ tọa độ;
• Các đường thẳng Ox, Oy, Oz với các vectơ chỉ phương tương ứng là i, j, k gọi là các
trục tọa độ. Ta có kí hiệu hệ tọa độ afin đó là Oxyz

2.2.2

Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian

u = (x; y; z) ⇔ u(x; y; z) ⇔ u = xi + y j + z k
Tính chất
−−→
• M (x; y; z), N (x ; y ; z )thì M N (x − x; y − y; z − z)
• u(x; y; z), v(x ; y ; z )thì
– u + v = (x + x ; y + y ; z + z )
– ku = (kx; ky; kz)

k∈R

• Nếu u(x; y; z) và v(x ; y ; z ) là các vectơ khác vectơ 0 và cộng tuyến thì kv = u, k = 0
suy ra các tọa độ của chúng tỉ lệ x : x = y : y = z : z

2.2.3

Đổi tọa độ afin trong không gian*

15


Chương 3

HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN
♦
3.1

3.2

3.1
3.1.1

Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.1.2

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn

14

3.1.3

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2.2

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn
trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2.3

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian* . . . . . . . . . .

15

3.2.4

Tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


3.2.5

Tích hỗn hợp của ba vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng
Định nghĩa

Hệ tọa độ afin (O; i, j) có cơ sở vectơ (i; j) gồm hai vectơ đơn vị vuông góc với nhau được
gọi là hệ tọa độ trực chuẩn
• Hệ tọa độ trực chuẩn còn gọi là hệ Đềcác vuông

i2 = j 2 = 1 và i.j = 0
16


j

i
O

Những tính chất đúng đối với hệ tọa độ afin cũng đúng đối với hệ tọa độ trực chuẩn.
Ngược lại hệ tọa độ trực chuẩn có những tính chất riêng không còn đúng trong một hệ
tọa độ afin bất kì.

3.1.2

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực
chuẩn


• u(x; y) thì u2 = x2 + y 2
• M (x; y), N (x ; y ) thì M N =

(x − x)2 + (y − y)2

• u(x; y), v(x ; y ) thì u.v = xx + yy
• u(x; y), v(x ; y ) là hai vectơ khác 0 thì góc α tạo bởi hai vectơ đó được tính:
cos α =

3.1.3

3.2
3.2.1

xx + yy
x2 + y 2 . x 2 + y 2

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn*

Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian
Định nghĩa

Hệ tọa độ afin (O; i, j, k) có cơ sở vectơ (i; j; k) gồm những vectơ đơn vị và đôi một vuông
góc, tức là i2 = j 2 = k 2 = 1 và i.j = j.k = k.i = 0 thì mục tiêu đó được gọi là mục tiêu
trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (còn gọi là hệ Đềcác vuông)
Những tính chất đúng đối với hệ tọa độ afin trong không gian cũng đúng đối với hệ tọa độ
trực chuẩn trong không gian. Ngược lại hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian có những
tính chất riêng không còn đúng trong một hệ tọa độ afin trong không gian bất kì.


3.2.2

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực
chuẩn trong không gian

u(x; y; z), v(x ; y ; z )
• Tích vô hướng: u.v = xx + yy + zz
• Độ dài vectơ u(x; y; z) : |u| =

x2 + y 2 + z 2
17


• Gọi α là góc giữa hai vectơ u(x; y; z) và v(x ; y ; z ) đều khác vectơ 0 thì ta có:
cos α =

xx + yy + zz
x2 + y 2 + z 2 . x 2 + y 2 + z 2

• M (x; y; z) và N (x ; y ; z ) thì khoảng cách M N là :
MN =

(x − x)2 + (y − y)2 + (z − z)2

3.2.3

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian*

3.2.4


Tích có hướng

Định nghĩa
Cho hai vectơ a, b của không gian với hệ mục tiêu trực chuẩn (O; i, j, k). Tích có hướng
(tích vectơ) của hai vectơ a và b là một vectơ u, kí hiệu là u = [a; b], được xác định như
sau:
• Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì [a; b] = 0
• Nếu a, b khác vectơ 0 thì:
(i) Vectơ [a; b] vuông góc với a và b tức là [a; b].a = [a; b].b = 0
(ii) Bộ ba (a; b; u) cùng hướng với bộ ba cơ sở vectơ (i; j; k) của hệ mục tiệu trực
chuẩn (O; i, j, k)
(iii) |[a; b]| = |a||b| sin(a; b)
Chú ý
• Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ
Hệ quả
• Môđun tích có hướng của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ
đó
• Trong không gian hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tích có hướng của chúng
bằng 0
Các tính chất
• [a; b] = −[b; a]
• [ka; b] = k[a; b]

k∈R

• [a; b + c] = [a; b] + [a; c]
Biểu thức tọa độ của tích có hướng
u(x; y; z), v(x ; y ; z )
[u; v] =


y z
z x
x y
;
;
y z
z x
x y
18


3.2.5

Tích hỗn hợp của ba vectơ

Định nghĩa
Trong không gian với mục tiêu trực chuẩn (O; i, j, k) cho bộ ba vectơ a, b, c. Tích vô hướng
[a; b].c của vectơ [a; b] với vectơ c được gọi là tích hỗn hợp của ba vectơ có thứ tự (a; b; c),
kí hiệu: [a; b].c = (a; b; c)
Chú ý
Tích hỗn hợp của ba vectơ là một số
Các hệ quả suy ra từ định nghĩa
• (a; b; c) = (b; c; a) = (c; a; b)
• (a; b; c) = −(b; a; c)
• (k.a; b; c) = k(a; b; c)

k∈R

• (a + a ; b; c) = (a; b; c) + (a ; b; c)
Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp

u(x; y; z), v(x ; y ; z ), w(x ; y ; z )
x
(u; v, w) = x
x

y
y
y

z
z
z

Ứng dụng tính diện tích, thể tích
Trong hệ tọa độ trực chuẩn của không gian Oxyz các điểm A, B, C, D có tọa độ tương
ứng là (xi ; yi ; zi ), i = 1, 2, 3, 4.
−→
AB(x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1 )
−→
AC(x3 − x1 ; y3 − y1 ; z3 − z1 )
−−→
AD(x4 − x1 ; y4 − y1 ; z4 − z1 )
SABC =

1 −→ −→
1
[AB; AC] =
2
2


2

2

y2 − y1 z2 − z1
z − z1 x2 − x1
x − x1 y 2 − y 1
+ 2
+ 2
y3 − y1 z3 − z1
z3 − z1 x3 − x1
x3 − x1 y 3 − y 1

Đặc biệt nếu A, B, C nằm trong mặt phẳng Oxy, tức z = 0 thì ta có:
SABC =

1 x2 − x1 y2 − y1
2 x3 − x1 y3 − y1

Thể tích tứ diện:
VABCD =

x − x1 y2 − y1 z2 − z1
1 −→ −→ −−→
1 2
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
(AB; AC; AD) =
6
6
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1


19

2


Chương 4
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN
♦
4.1

4.2

Đường thẳng trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.1.1

Phương trình tham số đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.1.2

Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . .

19


4.1.3

Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . .

19

4.1.4

Chùm đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.1.5

Nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . .

20

4.2.1

Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian

. .

20


4.2.2

Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian . .

21

4.2.3

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian . . . .

21

4.2.4

Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2.5

Phương trình tham số của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . .

22

4.2.6

Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . .

22


4.2.7

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2.8

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

. . . . . . .

23

4.2.9

Chùm mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2.10 Nửa không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

20


4.1


Đường thẳng trong mặt phẳng

4.1.1

Phương trình tham số đường thẳng

Giả sử trong mặt phẳng đã chọn một mục tiêu afin Oxy, cho đường thẳng d đi qua
−
M0 (x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương →
u (p; q)(p2 + q 2 = 0). Khi đó điểm M (x; y) thuộc đường
−−−→
−
u , về phương diện tọa độ:
thẳng d khi và chỉ khi có số t sao cho M0 M = t→
x − x0 = pt
⇔
y − y0 = qt

x = x0 + pt
y = y0 + qt

t tham số

• Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0 (x0 ; y0 ) và

Oy là: x − x0 = 0

• Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0 (x0 ; y0 ) và

Ox là: y − y0 = 0


Phương trình chính tắc đường thẳng
x − x0
y − y0
=
p
q
Phương trình đoạn chắn
A(a; 0), B(0; b)

x y
+ =1
a b

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm
Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M1 (x1 ; y1 ) và M2 (x2 ; y2 )
y − y1
x − x1
=
x2 − x1
y2 − y1
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ afin Oxy cho ba điểm phân biệt M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ), M3 (x3 ; y3 )
x3 − x1
y3 − y1
=
x2 − x1
y2 − y1
hay
x1 y 1 1

x2 y 2 1 = 0
x3 y 3 1

4.1.2

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Ax + By + C = 0 với A2 + B 2 = 0 có một vectơ chỉ phương là u(B; −A)
• Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0 (x0 ; y0 ) và nhận vectơ u(u; v) làm vectơ
chỉ phương là:−v(x − x0 ) + u(y − y0 ) = 0
• Một phương trình (d ) song song với (d) : Ax+By +C = 0 và đi qua điểm M0 (x0 ; y0 )
là:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0
21


4.1.3

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

(d) : Ax + By + C = 0; (d ) : A x + B y + C = 0
• (d) và (d ) cắt nhau ⇔
Ax + By + C = 0
Ax+By+C =0
• (d)

A
A

(d ) ⇔


• (d) ≡ (d ) ⇔

A
A

=
=

B
B
B
B

=
=

A
A

=

B
B

và giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

C
C
C

C

Điều kiện để ba đường thẳng đồng quy
(d) : Ax + By + C = 0; (d ) : A x + B y + C = 0; (d ) : A x + B y + C = 0
A
A
A

4.1.4

B
B
B

C
C =0
C

Chùm đường thẳng

Định nghĩa
Tập hợp tất cả các đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là chùm đường thẳng có tâm,
điểm chung đó gọi là tâm của chùm. Tập hợp tất cả các đường thẳng cùng song song với
nhau được gọi là một chùm đường thẳng song song
Nếu một chùm có tâm xác định bởi hai đường thẳng (d), (d ) phân biệt có phương trình
lần lượt là: Ax + By + C = 0 (d) và A x + B y + C = 0 (d ) thì đường thẳng (d ) thuộc
chùm khi và chỉ khi có phương trình dạng
k(Ax + By + C) + l(A x + B y + C ) = 0 k 2 + l2 = 0

4.1.5


Nửa mặt phẳng

Cho đường thẳng (a) có phương trình Ax + By + C = 0, hai điểm M (x1 ; y1 ) và N (x2 ; y2 )
không nằm trên (a) tức là: Ax1 + By1 + C = 0 và Ax2 + By2 + C = 0

M
a

N

Điều kiện cần và đủ để hai điểm M (x1 ; ; y1 ), N (x2 ; y2 ) nằm trong hai nửa mặt phẳng khác
nhau có chung bờ (a) với phương trình Ax + By + C = 0 là:
(Ax1 + By1 + C)(Ax2 + By2 + C) < 0
Điều kiện cần và đủ để hai điểm M (x1 ; ; y1 ), N (x2 ; y2 ) nằm trong cùng một nửa mặt phẳng
có bờ (a) với phương trình Ax + By + C = 0 là:
(Ax1 + By1 + C)(Ax2 + By2 + C) > 0
22


4.2
4.2.1

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian

Phương trình tham số
Giả sử trong không gian đã chọn một mục tiêu afin Oxyz cho đường thẳng (d) đi qua
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ phương u(p; q; r), (p2 + q 2 + r2 ) = 0. Điểm M (x; y; z) thuộc
−−−→

(d) khi và chỉ khi có số t sao cho M0 M = tu, tức là:


 x − x0 = pt
 x = x0 + pt
y − y0 = qt ⇔
y = y0 + qt


z − z0 = rt
z = z0 + rt

t tham số

Phương trình chính tắc
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
p
q
r
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
M1 (x1 ; y1 ; z1 ), M2 (x2 ; y2 ; z2 )
x − x1
y − y1
z − z1
=
=

x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
M1 (x1 ; y1 ; z1 ), M2 (x2 ; y2 ; z2 ), M3 (x3 ; y3 ; z3 )
y3 − y1
z3 − z1
x3 − x1
=
=
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1

4.2.2

Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian
Ax + By + Cz + D
Ax+By+C z+D

= 0 (A2 + B 2 + C 2 = 0)
= 0 (A 2 + B 2 + C 2 = 0)

trong đó: (A : B : C) = (A : B : C ) và có thể lấy vectơ chỉ phương là
v=

4.2.3

B
B


C
C
;
C
C

A
A B
;
A
A B

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

(d1 ) đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ; z1 ) có vectơ chỉ phương là u1 (p1 ; q1 ; r1 ), (d2 ) đi qua điểm
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) có vectơ chỉ phương là u2 (p2 ; q2 ; r2 ).
23


d1

u1

M1

u2
M2

d2


p1
q1
r1
p2
q2
r2
D=
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
• D = 0 và (p1 : q1 : r1 ) = (p2 : q2 : r2 ) thì hai đường thẳng cắt nhau
• (p1 : q1 : r1 ) = (p2 : q2 : r2 ) = (x2 − x1 : y2 − y1 : z2 − z1 ) thì (d1 )

(d2 )

• (p1 : q1 : r1 ) = (p2 : q2 : r2 ) = (x2 − x1 : y2 − y1 : z2 − z1 ) thì (d1 ) ≡ (d2 )
• D = 0 hai đường thẳng chéo nhau

4.2.4

Mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian đi qua điểm M0 và có cặp vectơ chỉ phương là u1 và u2 là
−−−→
tập hợp các điểm M sao cho ba vectơ M0 M , u1 , u2 đồng phẳng
−−−→
{M : M0 M = t1 u1 + t2 u2 , t1 , t2 ∈ R}

4.2.5

Phương trình tham số của mặt phẳng


Trong không gian với hệ tọa độ afin Oxyz, cho mặt phẳng (P ) đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 )
và có cặp vectơ chỉ phương là u1 (a1 ; b1 ; c1 ), u2 (a2 ; b2 ; c2 ). Điều kiện cần và đủ để điểm
−−−→
M (x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P ) là:M0 M = t1 u1 + t2 u2

 x = x0 + a1 t1 + a2 t2
y = y0 + b1 t1 + b2 t2 t1 , t2 là các tham số

z = z0 + c1 t1 + c2 t2
• Phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và

(Oyz) là: x − x0 = 0

• Phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và

(Oxz) là: y − y0 = 0

• Phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và

(Oxy) là: z − z0 = 0

24


4.2.6

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong hệ tọa độ afin Oxyz cho mặt phẳng (P ) đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp vectơ

chỉ phương u1 (a1 ; b1 ; c1 ) và u2 (a2 ; b2 ; c2 ). Ta có: Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên
−−−→
mặt phẳng (P ) là ba vectơ M0 M , u1 , u2 đồng phẳng, tức là:
x − x0 y − y0 z − z0
a1
b1
c1
=0
a2
b2
c2
Khai triển định thức ta có phương trình của mặt phẳng là:
Ax + By + Cz + D = 0
Định nghĩa
Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 = 0. Khi A = 0 một cặp
vectơ chỉ phương là u −B
; 1; 0 và v −C
; 0; 1
A
A
• Phương trình mặt phẳng (P ) (P ) Ax + By + Cz + D = 0 và đi qua M0 (x0 ; y0 ; z0 )
là: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
Phương trình đoạn chắn
A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

x y z
+ + =1
a b c

Phương trình của mặt phẳng qua ba điểm

Cho ba điểm không thẳng hàng Mi (xi ; yi ; zi ), i = 1, 2, 3 viết phương trình của mặt phẳng
đi qua ba điểm đó
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
Điều kiện để bốn điểm trong không gian cùng thuộc một mặt phẳng
Cho bốn điểm không thẳng hàng Mi (xi ; yi ; zi ), i = 1, 2, 3, 4
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 = 0
x4 − x1 y4 − y1 z4 − z1

4.2.7

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

(P ) : Ax + By + Cz + D = 0
(P ) : A x + B y + C z + D = 0
•

A
A

=

B
B

=

C

C

=

D
D

⇒ (P ) ≡ (P )

•

A
A

=

B
B

=

C
C

=

D
D

⇒ (P )


(P )
25