Dạng giải tích của định lý Hahn - Banach
1. Định lý Hahn - Banach cho không gian tuyến tính thực
Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K. Hàm số φ: X → R thỏa mãn
1. φ(λx) = λφ(x)
2. φ(x + y) ≤ φ(x) + φ(y)
đúng với mọi x, y � X và λ ≥ 0, được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên
X. Từ định nghĩa suy ra φ(0) = 0.
Để chứng minh định lý Hahn - Banach, trước hết ta nhắc lại quan hệ thứ tự trên
một tập hợp và tiên đề Zorn. Cho S là một tập hợp, trên S ta trang bị một quan
hệ, ký hiệu là “≤”, thỏa mãn:
1. a ≤ a;
2. a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c;
3. a ≤ b và b ≤ a thì a = b,
với a, b, c � S. Khi đó “≤” được gọi là quan hệ thứ tự trên S và S được gọi là
sắp thứ tự một phần theo quan hệ đó. Cho P � S là một tập con của S, nếu  a,
b � P, ta luôn có quan hệ a ≤ b hoặc b ≤ a thì P được gọi là sắp thứ tự tuyến tính
(trong S).
Với tập S sắp thứ tự một phần, ta nói a � S là phần tử tối đại của S nếu với mọi
b � S mà a ≤ b thì a = b. Với một tập con P � s, ta nói a �S là một cận trên của
P nếu  b � P, ta luôn có b ≤ a.
Tiên đề Zorn: Nếu S là một tập sắp thứ tự một phần và mỗi tập con sắp thứ tự
tuyến tính của S đều có cận trên thì S có phần tử tối đại.
Định lý: Cho X là một không gian tuyến tính thực, L là không gian con tuyến
tính của X, φ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X. Khi đó với mỗi phiếm
hàm tuyến tính f: L → R thỏa mãn
f(x) ≤ φ(x) với mọi x � L,
luôn tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F: X → R sao cho
F\L = f, F(x) ≤ φ(x) với mọi x � X.
Chứng minh:

Kí hiệu X’L là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính g xác định trên một
không gian con Lg nào đó chứa L của X, sao cho g\L = f và g(x) ≤ φ(x) với mọi x
� Lg. Khi đó X’L ≠ � vì f � X’L. Ta trang bị cho X’L một quan hệ thứ tự một
phần như sau: Với g1, g2 �X’L, g1 ≤ g2 nếu
xác định trên
trên X’L.

Lg1

, g2 xác định trên

Lg2

Lg1 �Lg2

và g2\

Lg1

= g1, trong đó g1

. Khi đó “≤” là quan hệ thứ tự một phần

Bổ đề: Nếu P là một tập sắp thứ tự tuyến tính trong X’L thì P có cận trên.
Chứng minh: Với mỗi g � X’L, ta kí hiệu Lg là tập xác định của g.
Hiển nhiên L � Lg với mọi g � P
Đặt

LP  U Lg
g�P


Do tính sắp thứ tự tuyến tính của P nên với x, y �LP tùy ý, tồn tại g �P sao cho
x, y �Lg

x �Lg y �Lg
là một không gian con tuyến tính chứa L của X (vì nếu
,
,
1

2

g1 , g 2 �P , khi đó g1 �g 2 hay g 2 �g1 , nghĩa là x, y �Lg1 hoặc x, y �Lg2 ). Do đó LP
là một không gian con tuyến tính của X , L �LP và Lg �LP với mọi g �P . Chú

x �Lg �Lg
ý rằng, do P sắp thứ tự tuyến tính nên nếu
thì g1 ( x)  g 2 ( x) .
1

2

Gọi gˆ : LP � � là một phiếm hàm xác định như sau: với mọi x �LP , tồn tại g �P
sao cho

x �Lg

, khi đó gˆ ( x)  g ( x) . Ta chứng minh gˆ là tuyến tính. Thật vậy, với

x, y �LP tùy ý, tồn tại g �P sao cho x, y �Lg , với mọi  ,  ��, ta có

gˆ ( x   y )  g ( x   y )   g ( x )   g ( x )   gˆ ( x )   gˆ ( y )

x �Lg
Như vậy gˆ là tuyến tính. Ngoài ra, với mọi x �LP , tồn tại g �P sao cho
,
ˆ
g
(
x
)

g
(
x
)
�

(
x
)
khi đó

Kéo theo gˆ ( x ) � ( x) với mọi x �LP . Như vậy gˆ �X L�và g �gˆ với mọi g �P , tức
là gˆ là lân cận trên của P . Bổ đề được chứng minh.
Ta tiếp tục chứng minh định lý, theo tiên đề Zorn, tồn tại phân tử tối đại của X L�.
Gọi F là phần tử tối đại của X L�, khi đó F là một phiếm hàm tuyến tính được
xác định trên một không gian con H của X thỏa mãn L �H và
F L f

, F ( x) � ( x) với mọi x �H



Ta cần chứng minh X  H . Giả sử X \ H ��, khi đó tồn tại x0 �X \ H . Với mọi
x1 , x2 �H , ta có
F ( x1 )  F ( x2 )  F ( x1  x2 ) � ( x1  x2 )
  ( x1  x0  ( x2  x0 ))
� ( x1  x0 )   ( x2  x0 )

Suy ra  F ( x2 )   ( x2  x0 ) � ( x1  x0 )  F ( x1 ) đúng với mọi x1 , x2 �H . Kéo theo
  sup   F ( x )   ( x  x0 ) �inf   ) x  x0 )  F ( x)  
x�H

x�H

(2.1)

Gọi  là một số thực thỏa mãn  � � và H1 là không gian tuyến tính sinh bởi
H � x0 

. Khi đó với mỗi y �H1 , y biểu diễn duy nhất dưới dạng y  x   x0 ,
trong đó x �H ,  ��.
Gọi g là phiếm hàm xác định trên H1 xác định như sau
g ( y )  g ( x   x0 )  F ( x )  

Khi đó dễ chứng minh được g là phiếm hàm tuyến tính xác định trên H1 và
g

H

F


. Ta chứng minh g ( y ) � ( y ) với mọi y �H1 .

g F
Thật vậy, nếu y �H1 thì từ H
thì g ( y )  F ( y) � ( y) với mọi y �H .

Nếu y �H1 \ H , khi đó y  x   x0 �H1 , trong đó x �ιH ,  �,  0 . Từ (2.1) ta có
x
x
x
x
 F ( )   (  x0 ) � � (  x0 )  F ( )





Trường hợp , sử dụng bất đẳng thức thứ hai trong bất đẳng thức kép trên , ta có
+ F(x)
Tương đương với
+ F(x)
Điều đó kéo theo

Nếu , sử dụng bất đẳng thức thứ nhất, ta cũng có


Suy ra
với mọi y
Như vậy F và F , mâu thuẫn với tính tối đại trong của F. Suy ra X = H và F là

phiếm hàm thỏa mãn định lý.
Định lý hahn-banach cho không gian tuyến tính
Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K. Hàm số thỏa mãn
1.
2. = ;
3.
Với mọi và , được gọi là một nửa chuẩn trên X. Từ định nghĩa nửa chuẩn, ta có
các tính chất đơn giản sau
1.
2.
Trong đó . Sau đây ta xem xét một dạng định lý Hanhn-Banach cho không gian
tuyến tính.
Định lý 2.2. cho X là không gian tuyến tính trên K, L là không gian con tuyến
tính của X và p là ột nửa chuẩn trên X. Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính
thỏa mãn
với mọi ,
Tồn tại một phiếm hàm tuyến tính sao cho
và với mọi
Chứng minh: nếu X là không gian tuyến tính thực thì L là không gian tuyến tính
thực, là phiếm hàm tuyến tính thực trên L. Do p là nửa chuẩn trên p cũng là
phiếm hàm dưới duyến tính và do suy ra
với mọi .
theo định lý 2.1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính thực F trên X sao cho
và với mọi
Do , kết hợp với bất đẳng thức trên ta có
với mọi .


Nếu X là không gian tuyến tính phức thì L là không gian con tuyến tính phức và
là phiếm hàm tuyến tính phức trên L. Khi đó tồn tại hai phiếm hàm tuyến tính

thực trên L, sao cho với mọi
(2.2)
Mặt khác, do tính chất tuyến tính của , ta có

Suy ra
.

(2.3)

Từ (2.2) và (2.3), ta có

f1  x    f1  ix 

.

Thế vào (2.2) ta được f  x   f1  x   if1  ix  với mọi x �L .

(2.4)

Chú ý rằng, trên tập hợp các phần tử của một không gian tuyến tính phức, ta chỉ
xét phép toán nhân vô hướng đối với các số thực thì ta sẽ được một không gian
tuyến tính thực. Ký hiệu X R , L R là các không gian tuyến tính thực xuất phát từ
X, L bằng cách nào đó. Hiển nhiên
F1 |LR  f1

và | F1 ( x ) |�p( x) với mọi x �X R .

Với mỗi x �X  X R , đặt F ( x)  F1 ( x)  iF1  ix  . Khi đó F là phiến hàm phức trên
X và F |L  f .
Tiếp theo ta chứng minh F ( x) �p( x) với mọi x �X . Thật vậy, giả sử

F ( x)  rei , khi đó | F(x) | F ( x)ei  F (ei x), do đó

| F(x) | F (ei x)  F1 (ei x) �p(ei x) | e i | p(x)  p(x)

.

Như vậy F là phiếm hàm cần tìm. Định lý được chúng minh.

2. Định lý Hanh-Banach cho không gian định chuẩn
Cho X là một không gian định chuẩn trên K. Một toán tử tuyến tính liên tục X
vào k được gọi là một phiến hàm tuyến tính liên tục trên X. Ta thường ký hiệu
các phiếm hàm tuyến tính liên tục là f, g, .... Với một phiếm hàm tuyến tính liên
tục f trên X, chuẩn của f được tính bởi
| f ( x) |
.
PxP�
1 Px P

P f P sup | f ( x) | sup | f ( x) | sup
Px P�
1

Px P1


Định lý sau đây cho thấy sự tồn tại thác triển không tăng chuẩn của một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên một không gian định chuẩn.
Định lý. Cho X là một không gian định chuẩn, L là một không gian con của X.
Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên L, tồn tại một phiếm hàm
tuyến tính liên tục F trên X sao cho F |L  f và P F PP f P.

Chứng minh:
Đặt p( x) P f P. Px P, với mọi x �X . Khi đó p là nửa chuẩn trên X và
| f(x) |�Pf P. Px P p(x) với mọi x �L .
Theo Định lý trên, tồn tại phiếm hàm tuyến tính F trên X sao cho F |L  f và
| F( x) |�p( x) với mọi x �X .
Hiển nhiên | F( x) |�p ( x) P f P. Px P với mọi x �X .
Suy ra F giới nội và P F P�P f P. Ngoài ra, do F là thác triển của f nên P f P�P F P.
Như vậy P F PP f P. Định lý được chứng minh.
Định lý trên được gọi là định lý Hanh-Banach (cho không gian định chuẩn).
Dựa vào định lý đó ta có các hệ quả sau:
Hệ quả 2.4: Với mỗi phần tử x≠0 của một không gian định chuẩn X, luôn tồn
tại một phiếm hàm tuyến tính giới nội F trên X sao cho F = 1 và F ( x ) = x
Chứng minh
Kí hiệu L là không gian tuyến tính sinh bởi x và f : L � K là phiếm hàm xác
định như sau:
f (y) = l x

với y=λx ∈ L

Khi đó f là phiếm hàm tuyến tính giới nội trên L và f = 1,

f (x) = x

Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn tại phiếm hàm tuyến
tính giới nội F trên X sao cho F L = f và

F = f =1

Hiển nhiên F(x) = f (x) = f =1 . Hệ quả được chứng minh
Hệ quả 2.5: Cho L là một không gian con của không gian định chuẩn X và

x∈X sao cho

r (x, L) = inf y - x > 0
y�L

. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính

liên tục F trên X sao cho F(x)=1, F(y)=0 với mọi y ∈ L và F = 1 / r(x, L)


Chứng minh
Gọi H là không gian tuyến tính sinh bởi L∪{x}.
Khi đó với mọi z ∈ L thì z có biểu diễn duy nhất
z=λx + y, trong đó λ ∈ �, z∈ L
Xét phiếm hàm f : H � K xác định bởi f(z)= λ, với z=λx + y ∈ H
Dễ chứng minh được f là phiếm hàm tuyến tính trên H và f(x)=1, f(y)=0 với mọi
y∈L
Ngoài ra, với mỗi z=λx + y ∈ H
y
l x +y
1
l
f (z) = f (l x + y) = l �
=
�
z
r (x, L)
r (x, L)
r(x, L)
l x+


Kéo theo f là giới nội trên H. Ta tính chuẩn của f:
f = sup
0�z�H

f (z)
f (l x + y)
= sup
= sup
z
l x +y
y�L,l �0
y�L,l �0

= sup
y�L,l �0

1
x+

y
l

=

l
l x+

y
l


1
r (x, L)

Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn tại một phiếm hàm
tuyến giới nội F trên X sao cho
1
F L =f F = f
;
= r (x, L)

Hệ quả được chứng minh.
2.1.3 Định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn
Cho X là không gian định chuẩn trên �. Một toán tử tuyến tính liên tục X vào �
được gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Ta thường kí hiệu các
phiếm hàm tuyến tính liên tục là f, g, ...Với một phiếm hàm tuyến tính liên tục f
trên X, chuẩn của X được ính bởi
f = sup f (x) = sup f (x) = sup
x �1

x =1

x �0

f (x)
x

Định lý sau đây cho thấy sự tồn tại thác triển không tăng chuẩn của một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trong không gian định chuẩn



Định lý 2.3: Cho X là một không gian định chuẩn, L là một không gian con của
X. Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên L, tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên X sao cho
F

L

=f

và F = f

Chứng minh
Đặt p(x) = f . x , với x ∈X.
Khi đó p là nửa chuẩn trên X và
f (x) � f . x = p(x)

với mọi x∈L

Theo định lý Hahn-Banach cho không gian tuyến tính, tồn tại phiếm hàm tuyến
tính F trên X sao cho
F

L

=f

và F(x) �p(x) với mọi x∈X

Hiển nhiên

F(x) �p(x) = f . x

với mọi x∈X

Suy ra F giới nội và F � f . Ngoài ra, do F là thác triển của f nên f � F
Như vậy F = f . Định lý được chứng minh
Định lý 2.3 được gọi là định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn
Hệ quả 2.4: Với mỗi phần tử x≠0 của một không gian định chuẩn X, luôn tồn
tại một phiếm hàm tuyến tính giới nội F trên X sao cho F = 1 và F ( x ) = x
Chứng minh
Kí hiệu L là không gian tuyến tính sinh bởi x và f : L � K là phiếm hàm xác
định như sau:
f (y) = l x

với y=λx ∈ L

Khi đó f là phiếm hàm tuyến tính giới nội trên L và f = 1,

f (x) = x

Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn tại phiếm hàm tuyến
tính giới nội F trên X sao cho F L = f và

F = f =1

Hiển nhiên F(x) = f (x) = f =1 . Hệ quả được chứng minh


Hệ quả 2.5: Cho L là một không gian con của không gian định chuẩn X và
x∈X sao cho


r (x, L) = inf y - x > 0
y�L

. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính

liên tục F trên X sao cho F(x)=1, F(y)=0 với mọi y ∈ L và F = 1 / r(x, L)
Chứng minh
Gọi H là không gian tuyến tính sinh bởi L∪{x}.
Khi đó với mọi z ∈ L thì z có biểu diễn duy nhất
z=λx + y, trong đó λ ∈ �, z∈ L
Xét phiếm hàm f : H � K xác định bởi f(z)= λ, với z=λx + y ∈ H
Dễ chứng minh được f là phiếm hàm tuyến tính trên H và f(x)=1, f(y)=0 với mọi
y∈L
Ngoài ra, với mỗi z=λx + y ∈ H
y
l x +y
1
l
f (z) = f (l x + y) = l �
=
�
z
r (x, L)
r (x, L)
r(x, L)
l x+

Kéo theo f là giới nội trên H. Ta tính chuẩn của f:
f = sup

0�z�H

f (z)
f (l x + y)
= sup
= sup
z
l x +y
y�L,l �0
y�L,l �0

= sup
y�L,l �0

1
x+

y
l

=

l
l x+

y
l

1
r (x, L)


Theo định lý Hahn-Banach cho không gian định chuẩn, tồn tại một phiếm hàm
tuyến giới nội F trên X sao cho
1
F L =f F = f
;
= r (x, L)

Hệ quả được chứng minh