PHẦN I- ĐẶT VẤN ĐỀ
I. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI
Trong xu hướng phát triển chung, xã hội luôn đặt ra những yêu cầu mới cho
sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy, việc dạy và học cũng không ngừng đổi
mới để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Trước tình hình đó, mỗi giáo
viên cũng phải luôn tìm tòi, sáng tạo, tìm ra phương pháp dạy mới phù hợp với
đối tượng học sinh để phát huy cao nhất tính chủ động, sáng tạo, tích cực của
người học, nâng cao năng lực phân tích, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn
luyện và hoàn thành các kỹ năng vận dụng thành thạo các kiến thức một cách chủ
động, sáng tạo trong thực tế cuộc sống.
Vấn đề đổi mới phương pháp giáo dục đào tào tạo theo định hướng lấy học
sinh làm trung tâm đã được những người làm công tác giáo dục ở nước ta đặt ra từ
lâu. Thực hiện được điều này cho phép ngành giáo dục đào tạo nên thế hệ những
con người có khả năng tư duy sáng tạo và có khả năng thích ứng cao với sự phát
triển đang diễn ra từng ngày. Thực hiện được điều này cũng có nghĩa là chúng ta đã
giải quyết được vấn đề quan trọng hàng đầu trong giai đoạn CNH – HĐH đất nước,
đó là yếu tố con người.
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ
lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu
biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về
đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng
giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác
đồng dạng(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ
thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp
các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, tôi mạnh dạn nghiên cứu và đưa ra một vài kinh
nghiệm nhỏ về “phân dạng bài toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong
Đại số lớp 7”.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1. Đối tượng: Học sinh lớp 7 THCS
2. Phạm vi của đề tài: Chương I, môn đại số lớp 7
VI. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Rèn kỷ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toán về tỷ lệ thức, dãy tỷ số
bằng nhau. Học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải bài tập và làm
được một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau như: Tìm số hạng chưa
biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai
lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau, sau này vận
dụng trong hình học 8 về định lý TaLet và tam giác đồng dạng.


- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập nhằm nâng cao chất lượng giờ
dạy, nâng cao trình độ cho bản thân, thông qua đó giới thiệu cho bạn bè đồng
nghiệp vận dụng vào quá trình giảng dạy môn Toán trường THCS đạt kết quả cao.
- Học sinh tìm tòi phát hiện nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức kỷ năng đã thu nhận được.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận:
- Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự
mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh
hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần
phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo.
Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo cho học sinh là một quá
trình lâu dài.
- Tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh được thể hiện ở một số mặt
sau:
+ Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khuôn máy móc.
+ Có khả năng phân dạng các bài tập, phát hiện những dạng bài tập tương tự
nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh.

II. Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy:
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười
tư duy trong quá trình học tập.
- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Học không đi đôi với hành làm cho các em ít được củng cố, khắc sâu kiến
thức, rèn luyện kỷ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá
nhân không được phát huy hết.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập
phù hợp, chưa biết phân dạng bài tập để giải.
Qua kết quả điều tra bài kiểm tra chương II của học sinh một lớp 7 năm học
trước kết quả như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
4
10
10
8
0
Trước thực trạng trên tôi mạnh dạn phân ra một vài dạng toán tỉ lệ thức, dãy
tỷ số bằng nhau.
III. CÁC BIỆN PHÁP:
1. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số



Dạng tổng quát:

a c
= hoặc a:b=c:d
b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ
b) Tính chất.
Tính chất 1 (Tính chất cơ bản):

a c
= ⇒ ad = bc
b d

( b, d ≠ 0 )

Tính chất 2 (Tính chất hoán vị)
Từ tỉ lệ thức

a c
=
b d

( a, b, c, d ≠ 0 ) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau
- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau
Cụ thể: Từ


a c
=
b d

( a, b, c, d ≠ 0 ) ⇒

a b b d c d
= ; = ; =
c d a c a b

2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

a c
a c a+c a−c
=
=
suy ra = =
(b ≠ ±d)
b d
b d b+d b−d
a c e
a c e a+c+e a+c−d
c −e
= =
=
=
...
ta suy ra = = =
b d f
b d f b+d + f b+d − f d − f


a) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức
b) Tính chất 2:

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
* Nâng cao.
- Nếu
- Từ

k a + k 2 c + k3 e
a c e
=k
= = = k thì 1
k1b + k 2 d + k3 f
b d f
a c
a±b c±d
=
= ⇒
b
d
b d

(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
* Chú ý: - Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c ⇒

x y z
= =
a b c


Ta còn viết x:y:z = a:b:c
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ
2
2
a c
a
c
k1a k 2 c
a
c
thức a = c
=
( k1 , k2 )
 ÷ =  ÷ = . ; k . = k . (k ≠ 0);
suy
ra
b d
b
d
k1b k 2 d
b d
b
d 

3

3

3


2

a c e
c e
a  c   e  a c e a
Từ = = suy ra  ÷ =  ÷ =  ÷ = . . ;  ÷ = .
b d f
b d   f  b d f b d f

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau:


DẠNG1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ
SỐ BẰNG NHAU
1.Tìm một số hạng chưa biết:
a) Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức:
Nếu

a c
b.d
a.d
a.d
⇒ ad = bc (với b,d≠0) ⇒ a =
=
; b=
; c=
b d
d
c
b


Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn
tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau(bài 46 SGK)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 ⇒ x.(-9,36)=0,52.16,38
⇒ x=

−0,52.16,38
= 0,91
−9, 36

Học sinh cũng có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó
hơn như sau:
Tìm số hữu tỉ x trong tỉ lệ thức: (Bài 53 tr18 Nâng cao và phát triển Toán 7)
1
3

1
3

a) 13 :1 = 26 : ( 2 x − 1)

,

b)

1 2
0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
5 3


c,

1 2
0, 2 x :1 = : ( 6 x + 7 )
5 3

Đối với các bài tập này có thể đưa về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết( bài 69 SBT)
x
−60
=
−15
x

Cách giải như sau:
Từ

x
−60
⇒ x.x=(-15). (-60) ⇒ x2=900 ⇒ x2=302
=
−15
x

Suy ra x=30 hoặc x=-30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có hai số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về lũy thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức:
x −1 −60
=

;
−15 x −1

x −1
9
=
7
x +1

Bài tập 3: Tìm x biết:

a)

x−3 5
=
x+5 7

b)

x −1 x − 2
=
x+2 x+3

Giải

x−3 5
= ⇒ 7(x-3) = 5(x+5). Giải ra ta được x = 23
a) Cách 1: Từ
x+5 7



Cách 2: Từ

x−3 5
x−3 x+5
= ⇒
=
x+5 7
5
7

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Giải ra ta được x = 23
b) Cách 1. Từ

x −3 x + 5 x −3− x −5
=
=
=4
5
7
5−7

x −1 x − 2
⇒ (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)
=
x+ 2 x +3

(x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2
- x + 3x – 3 =


+ 2x – 2x – 4

Đưa về 2x = -1 ⇒ x =
Cách 2:

x −1
x−2
2x +1 2x +1
1
⇒ 2x+1=0 ⇒ x= +1=
+1 ⇒
=
(Do x+2 ≠ x+3)
x+2
x+3
x+2
x+3
2

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 sẽ bị triệt tiêu, có thể giải bài tập này bằng cách áp dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau.
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
a) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau :
x
a

Tìm các số x, y,z thỏa mãn : =


y z
=
b c

(1) và x+y + z=d

(2) (trong đó

a,b,c, a+b+c ≠ 0 và,b,c,d là các số cho trước)
Cách giải :
x
a

y z
=
=k thay vào (2) ⇒ x=k.a ; y=k.b ; z= k.c. Ta có :
b c
d
k.a+k.b+k.c=d ⇒ k.(a+b+c)=d ⇒ k =
a+b+c
a.d
b.d
c.d
; y=
z=
Từ đó ta tìm được: x =
a+b+c
a+b+c
a+b+c


Cách 1 : Đặt =

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z
x+ y+z
d
a.d
b.d
⇒ x=
= =
=
=
; y=
a b c
a+b+c a +b+c
a+b+c
a+b+c

b) Hướng khai thác bài toán trên như sau:
- Giữ nguyên điều kiện(1) thay đổi điều kiện (2)như sau:
* k1x+k2y+k3z=e * k1x2+k2y2+k3z2=f
*x.y.z =g
- Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện(1) như sau:
+

x
y y
z
= ;

=
;
a1 a2 a3 a4

+ a2x=a1y; a4y=a3z
+ b1x=b2y =b3z

z=

c.d
a+b+c


b1 x − b3 z b2 y − b1 x b3 z − b2 y
=
=
a
b
c
x − b1 y − b2 z − b3
=
=
+
a1
a2
a3

+

-Thay đổi cả hai điều kiện.

c) Bài tập
Bài 1: Tìm x, y, z biết:

x y z
= = và x – 3y + 4z = 62
4 3 9

Giải
Cách 1 (Đặt giá trị chung)
 x = 4k
x y z

Đặt = = = k ⇒  y = 3k .
4 3 9
 z = 9k


Mà x – 3y + 4z = 62 ⇒ 4k – 3.3k + 4.9k = 62

⇒ 4k – 9k + 36k = 62 ⇒ 31k = 62 ⇒ k = 2 .

 x = 4.2 = 8

Do đó  y = 3.2 = 6
 z = 9.2 = 18


Vậy x = 8; y= 6; z = 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z x − 3 y + 4 z 62
= = =
=
=2⇒
4 3 9 4 − 3.3 + 4.9 31

 x = 4.2 = 8

 y = 3.2 = 6
 z = 9.2 = 18


Cách 3 (Phương pháp thế)
x

z

4z

Từ 4 = 9 ⇒ x = 9

;

y z
3z
= ⇒y=
3 9
9

đưa về 31z = 558 ⇒ z = 18.


. Mà x – 3y + 4z = 62 ⇒

Do đó x =

4.18
=8 ;
9

Vậy x = 8; y = 6 v à z =18
Bài 2: Tìm x, y, z biết:
a)

x 3 y 5
= ; = và 2x + 3y – z = 186
y 4 z 7

b) 2x = 3y = 5z và

=95

y=

3.18
=6
9

4z
3z
− 3 − 4 z = 62

9
9


Giải
a) Cách 1: Từ

x 3
x y
x
y
y 5
y z
y
z
= ⇒ = ⇒ =
và = ⇒ = ⇒ =
y 4
3 4 15 20
z 7
5 7
20 28

x
y
z
=
=
(*)
15 20 28


⇒

 x = 15.3 = 45
x
y
z
2x + 3y − z
186

=
=
=
=
= 3 ⇒  y = 20.3 = 60
Ta có:
15 20 28 15.2 + 20.3 − 28 62
 z = 28.3 = 84


Vậy x=45; y=60 và z=84
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt

x
y
z
=
=
=k
15 20 28


(Sau đó giải như cách 1 của bài 2)
Cách 3: Sau khi làm đến (*) dùng phương pháp thế giải như cách 3 của bài 2.
b) Vì 2x = 3y = 5z ⇒
Mà

2x 3 y 5z
x
y z
⇒
=
=
=
=
30 30 30
15 10 6

 x + y − z = 95
⇒
 x + y − z = −95

 x = 75
x
y z x + y − z 95

=
= =
=
= 5 ⇒  y = 50
+) Nếu x+y-z= 95 : Ta có

15 10 6 10 + 5 − 6 5
 z = 30

 x = −75
x
y z x + y − z −95

=
= −5 ⇒  y = −50
+) Nếu x + y – z = - 95 : Ta có = = =
15 10 6 10 + 5 − 6
5
 z = −30


Vậy: x=75; y=50; z=30 hoặc x=-75; y=-50; z=-30
Bài 3: Tìm x, y, z biết: a)

6
9
18
x = y = z và – x + z = -196
11
2
5

Giải
6
9
18

6 x 9 y 18 z
6x
9y
18 z
⇒
x= y= z ⇒
=
=
=
=
11
2
5
11 2
5
11.18 2.18 5.18
 x = 231
x y z − x + z −196

= = =
=
= 7 ⇒  y = 28
Ta có
33 4 5 −33 + 5 −28
 z = 35


Vì

Vậy x = 231; y = 28 và z = 35

a)

x −1 y + 3 z − 5
=
=
và 5z – 3x – 4y = 50
2
4
6

⇒

x y z
= = .
33 4 5


Giải: Ta có:

x − 1 y + 3 z − 5 3 ( x + 1) 4 ( y + 3) 5 ( z − 5 )
=
=
=
=
=
2
4
6
6
16

30
5 ( z − 5 ) − 3 ( x − 1) − 4 ( y + 3 ) 50 − 43 16
=
=
=
=2
30 − 6 − 16
8
8
x −1 =4
x =5


⇒ y +3 =8 ⇒y =5
z −5 =12
z =17



Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
b)

4
3
2
=
=
và x + y – z = - 10
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z


Giải:

4
3
2
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
=
=
⇒
=
=
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
4
3
2
12 x − 8 y 6 z − 12 x 8 y − 6 z 12 x − 8 y + 6 z − 12 x + 8 y − 6 z
=
=
=
=
=0
16
9
4
16 + 9 + 4

Từ:

3 x −2 y =0
3 x =2 y



⇒ 2 z −4 x =0 ⇒2 z =4 x
4 y −3 z =0
4 y =3 z



Từ

y
x

3 x = 2 y
x y z x + y − z − 10
2 = 3
⇒ y
⇒ = = =
=
= −10

z
4
y
=
3
z
2
3
4

2
+
3
−
4
1
=


3 4

x =−20

⇒ y =−30
z =−40


Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40

Bài 4: Tìm x. y, z biết:
a) x: y: z = 2: 3: 5 và xyz = 810
x3 y 3 z 3
=
=
b)
và
8 27 64

+


= - 650
Giải

a) Vì x: y: z = 2: 3: 5 ⇒
Cách 1 (Đặt giá trị chung).

x y z
= =
2 3 5
x =2k
x y z

Đặt = = = k ⇒ y =3k
2 3 5
z =5k



Mà xyz = 810 ⇒ 2k.3k.5k = 810 ⇒ 30

=810 ⇒

=27 ⇒ k = 3

x =2.3 =6

⇒ y =3.3 =9 . Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
z =5.5 =15

3


x y z
x
x y z
xyz 810
 x
=
= 27 ⇒ = 3 ⇒ x = 6
Cách 2: Từ = = ⇒  ÷ = . . =
2 3 5
2
 2  2 3 5 2.3.5 30

Thay vào đề bài tìm ra y = 9 ; z = 15
Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 của bài 2
3

3

3

x3 y 3 z 3
x y z
 x  y z
b) Từ = = ⇒  ÷ =  ÷ =  ÷ ⇒ = =
8 27 64  2   3   4 
2 3 4

Cách 1: (Đặt giá trị chung).


–3

x =2k
x y z

Đặt = = = k ⇒ y =3k
2 3 4
z =4k


Mà

+2

= - 650

⇒4

4k 2 + 2.9k 2 − 3.16 k 2 = −650 ⇒ −26k 2 = −650 ⇒ k 2 = 25 ⇒ k = ±5

x =10

* Nếu k = 5 ⇒ y =15
z =20


x =−10

* Nếu k = -5 ⇒ y =−15

z =−20


 x = 10; y = 15; z = 20

Vậy 
 x = −10; y = −15; z = −20
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
 x 2 = 100
 x = ±10
 2

x y z
x 2 y 2 z 2 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 −650
=
= 25 ⇒  y = 225 ⇒  y = ±15
Vì = = ⇒ = = =
2 3 4
4
9 16 4 + 2.9 + 3.16
−26
 z 2 = 400  z = ±20



Theo đề bài suy ra x,y,z cùng dấu
 x = 10; y = 15; z = 20

Vậy 
 x = −10; y = −15; z = −20

Cách 3 (Phương pháp thế)
Bài 5 (Bài 39c sách Bồi dưỡng học sinh lớp 7)


Tìm x, y, z biết:

x
y
z
=
=
= x+ y+ z
y + z +1 x + z + 2 y + x − 3

(1)

Giải:
* Nếu

≠ 0 , ta có:

x
y
z
x+ y+z
x+ y+z
1
=
=
=

=
= (2)
y + z + 1 x + z + 2 y + x − 3 ( y + z + 1) + ( x + z + 2 ) + ( y + x − 3) 2 ( x + y + z ) 2

Từ (1) và (2) ta có x + y + z =

1
2

y +z = 12 −x
x
y
z
=
=

1
⇒
1
1
x +z = 2 − y thay vào đề bài ta được: 1
− x +1
− y+2
− z −3
x +z = 1 −z
2
2
2
2


x
y
z
1
=
=
=
3
5
−5
Hay
−x
−y
−z 2
2
2
2
x
1
3
3
1
=
+) 3 − x 2 ⇒ 2 x = − x ⇒ 3 x = ⇒ x =
2
2
2
2
y
1

3
3
5
=
+) 5 − y 2 ⇒ 2 y = − y ⇒ 3 y = ⇒ y =
2
2
6
2
1
1
5
1 1 5
5
+) Có x + y + z = , mà x = và y = ⇒ z = − − = −
2
2
6
2 2 6
6
1
5
−5
Vậy : x = ; y = ; z =
2
6
6
x
y
z

=
=
=0
* Nếu x + y + z = 0 ta có: (1) ⇒
y + z +1 x + z + 2 y + x − 3
⇒ x=y=z=0
1
5
−5
Vậy x = ; y = ; z =
hoặc x = y = z = 0
2
6
6

Bài 6: (Bài 62 sách Nâng cao và phát triển Toán 7)
Tìm x, y biết:

1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
18
24
6x

Giải:

1+ 2 y 1+ 4 y
⇒ 24(1+2y) = 18(1+4y) ⇒ 24 +48y = 18 +72y
=

Vì
18
24
1
1
3
5
1
1 + 2.
1 + 6.
Đưa về 24y = 6 ⇒ y = thay vào đề bài ta có
4=
4⇒ 2 = 2
4
18
6x
18 6 x


⇒

3
5
⇒ 18x = 90 ⇒ x = 5
.6 x = 18.
2
2

DẠNG 2: CHỨNG MINH LIÊN QUAN ĐẾN DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU
1.Các phương pháp:

Để chứng minh tỉ lệ thức:

a c
= . Ta có các phương pháp sau:
b d

*Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng: ad=bc
*Phương pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề bài
b d

đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k
từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
*Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau,
tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái (của tỷ lệ thức cần chứng minh)
thành vế phải.
*Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau,
tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải
chứng minh.
* Một số kiến thức cần chú ý
•)

(n

⇒

•)


0)

=

(n

N*)

Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)
2.Bài tập:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức

a c
a+b c+d
= . Chứng minh rằng
=
b d
a −b c −d

Giải:
Cách 1: Ta có: (a+b).(c+d)=ac – ad + bc – bd ; (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
Mà a = c nên ad = bc, do đó (a+b).(c-d) = (a – b).(c+d) ⇒ a + b = c + d
b

d

a −b

c−d



Cách 2 : Đặt

a c
= = k ⇒ a = kb; c = kd
b d

a + b kb + b b ( k + 1) k + 1
=
=
=
a − b kb − b b ( k − 1) k − 1

Từ (1) và (2) ⇒

c + d kd + d d ( k + 1) k + 1
=
=
=
c − d kd − d d ( k − 1) k − 1

(1)

(2)

a+b c+d
=
a −b c −d

a c

a b
=
⇒
=
Cách 3: Từ b d
c d . Ta có:
a c
=
b d

Cách 4: Từ

⇒

a
c
a+b c+d
a+b b
+1 = +1 ⇒
=
⇒
=
b
d
b
d
c+d d

⇒


a
c
a −b c−d
a −b b
−1 = −1 ⇒
=
⇒
=
b
d
b
d
c−d d

Từ (1) và (2) ⇒

a +b a −b
=
c+d c−d

a c
=
Bài 2: Cho tỉ lệ thức
b d

=

⇒

.


(1) và

(2)

a+b c+d
=
a−b c−d
ab a 2 − b 2
=
cd c 2 − d 2

Chứng minh rằng

(1)

Giải:
Cách 1: Từ

a c
= ⇒ ad=bc.
b d

Có ab(c2-d2)= abc2-abd2 =acbc – adbd và cd(a2 – b2) = cda2 – cdb2 =acad –bcbd nên
⇒

⇒

Cách 2: Đặt


 a = kb
a c
= =k ⇒
b d
c = kd

ab a 2 − b 2
=
cd c 2 − d 2

thay vào 2 vế của (1) chứng minh 2 vế có cùng

giá trị.
2

Cách 3: Vì

2

a c
a b
a b
a b
= ⇒ = ⇒ ÷ = ÷ = .
b d
c d
c d
c d 

Bài 3: Chứng minh rằng nếu


a c
= thì
b d

⇒

=

=

=


5a + 3b 5c + 3d
=
5a − 3b 5c − 3d

a)

7a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd
=
b)
11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2

Giải
a) Từ
b) Từ

a c

a b 5a + 3b 5a − 3b
5a + 3b 5c + 3d
= ⇒ = =
=
⇒
=
b d
c d 5c + 3d 5c − 3d
5a − 3b 5c − 3d

a c
a b
a 2 b 2 ab 7a 2 8b 2 3ab 11a 2
= ⇒ = ⇒ 2 = 2 =
=
=
=
=
b d
c d
c
d
cd 7c 2 8d 2 3cd 11c 2
7 a 2 + 3ab 11a 2 − 8b 2
7 a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd
= 2
=
⇒
=
7c + 3cd 11c 2 − 8d 2

11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 2

Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd. Chứng minh rằng:
3

a)

a 3 + b3 − c3  a + b − c 
=
÷
b3 + c 3 − d 3  b + c − d 

a a 3 + 8b 3 + 125c 3
b) = 3
d b + 8c3 + 125d 3

Giải:
2
a) Vì b = ac ⇒

a b
b c
= ; c 2 = bd ⇒ = nên
b c
c d

a 3 b3 c 3 ( a + b − c )
a 3 + b3 − c 3
⇒ 3 = 3 = 3=
= 3 3

3
3
b
c
d
(b+c−d) b +c −d
3

.

a b c a +b−c
= = =
b c d b+c−d
3

3
3
3
Vậy a + b − c =  a + b − c 

÷
b3 + c 3 − d 3  b + c − d 

a 3 b3 c 3 a 3 + 8b 3 + 125c 3
b) Ta có: 3 = 3 = 3 = 3
b
c
d
b + 8c3 + 125d 3


3

3
a b c a
a a
mà  ÷ = 3 = . . =
b c d d
b b

a a 3 + 8b 3 + 125c 3
=
d b3 + 8c 3 + 125d 3
a
b
c
=
=
.
2014 2015 2016

Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn

Chứng minh: 4(a-b)(b-c) =
Giải
Từ

2 ( a − b) 2 ( b − c)
a
b
c

a −b b−c c −a
⇒
=
=
=
=
=
=
=c−a
2014 2015 2016
−1
−1
2
−1
−1

⇒ 4 ( a − b) ( b − c) = ( c − a )

2

nên


Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
3x − y

3

x


Bài 1: Cho tỉ lệ thức x + y = 4 . Tính giá trị của tỉ số y
Giải:
3x − y

3

Cách 1 : Từ x + y = 4 ⇒ 4(3x – y) = 3(x+y) ⇔ 12x – 4y = 3x + 3y
⇔ 12x – 3y = 3(x+y) ⇔ 9x = 7y. Vậy

x
7
=
y
9

3x
−1
3x − y 3
3
y
= .
Cách 2: Từ x + y = 4 ⇒ x
+1 4
y

Đặt y = a ⇒
=
a +1
4


Bài 2: Cho

⇒

x y z
= = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k ≠ 0)
2 3 4

3k + 4k − 2k 5k 5
=
=
.
2k − 3k + 4k 3k 3

Cách 2 : Có

3

y+z−x
x y z
= = . Tính giá trị của biểu thức P =
x− y+z
2 3 4

Cách 1: Đặt
P=

3a − 1

x


Vậy P =

5
3

x y z
y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z
= = =
=
=
=
2 3 4 3+ 4− 2
5
2−3+ 4
3

y+z−x x− y+z
y+z−x 5
=
⇒
= .
5
3
x− y+z 3

Vậy P =

Bài 3 : Cho dãy tỉ số bằng nhau
giá trị của biểu thức:


M=

5
3

a
b
c
d
=
=
=
. Tính
b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a

a+b b+c c+d d +a
+
+
+
c+d a+d a+b b+c

Giải:
Từ

a
b
c
d
=

=
=
b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a

⇒

a
b
c
d
+1 =
+1 =
+1 =
+1
b+c+d
a+c+d
a+b+d
b+c+a

⇒

a +b+c +d a +b+c + d a +b +c +d a +b +c +d
=
=
=
(*)
b+c+d
a+c+d
a +b+d
b+c+a



+) Xét a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d )

⇒ M = −4

+) Xét a + b + c + d ≠ 0 Từ (*) ta có : b + c + d = a + c + d = a + b + d = b + c + a
⇒a=b=c=d ⇒ M =4

Bài 4: Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn

a+b b+c c+a
=
=
c
a
b





Tính giá trị của biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
b
c
a
a




b



c





Giải:
a+b b+c c+a
a+b
b+c
c+a
a+b+c a+b+c a+b+c
=
=
⇒
+1 =
+1 =
+1 ⇒
=
=
(*)
c
a
b
c
a

b
c
a
b

Từ

+) Xét a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a
P=

a + b b + c a + c −c − a −b −abc
×
×
=
× × =
= −1
b
c
a
b c a
abc

+) Xét a + b + c ≠ 0 . Từ (*) ta có : a = b = c ⇒ P = 8
Bài 5 : Cho các số a; b; c khác 0 thỏa mãn

ab
bc
ca
=
=

a+b b+c c+a

ab 2 + bc 2 + ca 2
Tính giá trị của biểu thức P = 3 3 3
a +b +c

Giải:
Với a, b, c ≠ 0 ta có :
⇒

ab
bc
ca
=
=
a+b b+c c+a

a+b b+c c+a
1 1 1 1 1 1
1 1 1
=
=
⇒ + = + = + ⇒ = = ⇒ a = b = c ⇒ P =1
ab
bc
ca
b a c b a c
a b c

Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG

NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ
1.Phương pháp giải
Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4: Kết luận.
c) Các ví dụ:


Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3.
Giải
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là
, ( ĐK : a, b, c ∈ N * ,1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9 )
⇒ 1 ≤ a + b + c ≤ 27

⋮ 18

+)

⇔

( do 18=2.9 và ƯCLN(2;9)=1 )

+) Các chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3
Mà
⋮ 2 ⇒ c ⋮ 2 ⇒ a, b, c tỉ lệ với 1;3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2
⇒

+) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; 2

Lại có
Mà
⇒

a b c a+b+c
⇒a + b + c ⋮ 6
= = =
1 3 2
6

⋮ 9⇔ a + b + c ⋮ 9

1 ≤ a + b + c ≤ 27

a b c
= = =3
1 3 2

nên a + b + c = 18

⇒

(Thỏa mãn điều kiện)

Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2

⇒

(Thỏa mãn điiều kiện)


Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 396; 936.
Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A đi
học sinh, rút ở lớp 7B đi

1
số
4

1
1
số học sinh, rút ở lớp 7C đi học sinh thì số học
7
3

sinh còn lại của cả 3 lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu.
Giải
Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A,7B.7C lần lượt là x,y, z (học sinh)
ĐK: x, y, z ∈ N * , x, y, z < 144
+) Ba lớp 7A,7B,7C có tất cả 144 học sinh ⇒ x + y + z = 144


+) Nếu rút ở lớp 7A đi

1
1
học sinh, rút ở lớp 7B đi học sinh, rút ở lớp 7C đi
4
7

1

học sinh thì số học sinh còn lại của 3 lớp bằng nhau, nên ta có:
3

3
6
2
3
6
2
x y z x + y + z 142
x= y= z⇒
x=
y= z⇒ = = =
=
=6
4
7
3
24
42
18
8 7 9 8 + 7 + 9 24
 x = 48

=>  y = 42 (Thỏa mãn điều kiện)
 z = 54


Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42
học sinh, 54 học sinh.

Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học
sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một,
hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2. Tìm số học sinh mỗi tổ.
Giải
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh)
ĐK: x, y , z ∈ N * , x, y , z < 52
+) Lớp 7A có 52 học sinh ⇒ x + y + z = 52
+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học
sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2 nên ta có:
3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)

3 ( x – 1) 4 ( y – 2 ) 2 ( z + 3)
=
=
12
12
12
x
–
1
y
–
2
z
(
)= (
) = ( + 3) => x − 1 = y-2 = z + 3 = x + y + z = 52 = 4
=>
4
3

6
13
13
4
3
6
 x − 1 = 16
 x = 17


⇒  y − 2 = 12 =>  y = 14 (Thỏa mãn điều kiện)
 z + 3 = 24
 z = 21


=>

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14
học sinh, 21 học sinh.
Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG
THỨC
Sử dụng tính chất 1:
Cho 2 số hữu tỷ

a
c
và với b> 0; d>0.
b
d



Chứng minh: a < c ⇔ ad < bc (Bài 3/33 SGK Đại 7)
b

d

Giải:
+ Ta có

a c
<
b d

( b > 0; d > 0 ) ⇒

+ Có ad < bc ( b > 0; d > 0 ) ⇒
Vậy:

ad cb
<
⇒ ad < bc
bd db
ad bc
a c
<
⇒ <
bd bd
b d

a c

< ⇔ ad < bc
b d

Sử dụng tính chất 2:
Nếu b > 0; d > 0 thì từ

a c
a a+c c
< ⇒ <
< (Bài 5/33 SGK Đ7)
b d
b b+d d

Giải:
Từ

a c
<
b d

( b > 0; d > 0 ) ⇒ ad < bc (1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:

⇒ ad + ab < bc + ab ⇒ a ( b + d ) < b ( c + a ) ⇒

a a+c
<
( 2)
b b+d

+ Thêm vào hai vế của (1) với dc ta có:


( 1) ⇒ ad + dc < bc + dc ⇒ d ( a + c ) < c ( b + d ) ⇒
+ Từ (2) và (3) ta có:

a+c c
< ( 3)
b+d d

a c
a a +c c
< ⇒ <
< (đpcm)
b d
b b+d d

Sử dụng tính chất 3: a; b; c là các số dương nên :
a. Nếu

thì

b. Nếu

thì


Bài 1. Cho a; b; c; d > 0. CMR: 1 <

a
b
c

d
+
+
+
<2
a+b+c b+c+ d c +d +a d +a +b

Giải: + Từ

a
a+d
a
< 1 theo tính chất (3) ta có:
>
( 1) (do d>0)
a+b+c
a+b+c+d a+b+c

Mặt khác:

a
a
>
( 2)
a+b+c a+b+c+d

+ Từ (1) và (2) ta có:
Tương tự ta có:

a

a
a+d
<
<
( 3)
a +b +c +d a +b +c a +b +c +d

b
b
b+a
<
<
( 4)
a+b+c +d b+c +d a +b +c +d

c
c
c+b
d
d
d +c
<
<
<
<
( 5)
( 6)
a +b+ c + d c + d + a c + d + a +b
d+a+b+c d + a + b a + b + c + d


Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
1<

a
b
c
d
+
+
+
<2
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b

Bài 2. Cho a < c
b

d

( b > 0; d > 0 ) . Chứng minh rằng:

a ab + cd c
<
<
b b2 + d 2 d

Giải:
Ta có

a c
a.b c.d

ab cd
< và b; d > 0 nên
<
⇒ 2 < 2
b d
b.b d.d
b
d

Theo tính chất (2) ta có:

ab ab + cd cd
a ab + cd c
< 2
< 2⇒ < 2
<
2
2
b
b +d
d
b b +d2 d

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các số x,y,z biết rằng:
a.

x−2 x+4
=
x −1 x + 7


b.

c. 4 x = 3 y ; 7 y = 5 z và 2 x − 3 y + z = 6
10

6

14

e. x − 5 = y − 9 = z − 21 và xyz = 6720
Bài 2.Tìm các số x,y,z biết rằng :

x y z
= =
10 6 21

và 5 x + y − 2 z = 28

d. x : y : z = 12 : 9 : 5 và xyz = 20
f.

x + 16 y − 25 z + 9
=
=
và 2 x 3 − 1 = 15
9
16
25



a. x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5 z 2 − 3 x 2 − 2 y 2 = 594
b. 3 ( x − 1) = 2 ( y − 2 ) ; 4 ( y − 2 ) = 3 ( z − 3) và 2 x + 3 y − z = 50
c.

12 x − 15 y 20 z − 12 y 15 y − 20 z
=
=
và x + y + z = 48
7
9
11

Bài 3. Tìm các số x,y,z biết :
x

3

y

5

a. y = 2 ; = và 2 x − 3 y + 5 z = 1
z 7
c.

b,

2 x + 1 y − 2 2x + 3 y −1
=

=
5
7
6x

Bài 4. Cho tỉ lệ thức

1+ 4 y 1+ 6 y 1+ 8y
=
=
13
19
5x

y + z +1 x + z + 2 y + x − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z

d,

a c
=
. Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết
b d


các tỉ số đều có nghĩa )
a.

2 a + 7b 2c + 7 d
=
3a − 4b 3c − 4d

b,

2015a − 2016b 2015c − 2016 d
=
2016c + 2017 d 2016a + 2017b

a c
Bài 5: Cho a + c = 2b và 2bd = c ( b + d ) ; b, d ≠ 0 Chứng minh rằng : =
b

a

a

a

a

d

3
2014

1
2
Bài 6. Cho dãy tỉ số bằng nhau : a = a = a = L = a . Chứng minh rằng ta có
2
3
4
2015
2014

 a + a + a + L + a2014 
a
đẳng thức 1 =  1 2 3
÷
a2015  a2 + a3 + a4 + L + a2015 

Bài 7. Cho

a c
= các số x, y, z, t thỏa mãn ax + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0
b d

Chứng minh rằng :

xa + yb xc + yd
=
za + tb
zc + td

Bài 8. Cho tỉ lệ thức
a


a

2a + 13b 2c + 13d
a c
=
. Chứng minh rằng : =
3a − 7b
3c − 7 d
b d
a

a

a

3
n −1
n
1
2
Bài 9 : Cho a = a = a = L = a = a
2
3
4
n
1

Tính : 1) A =


a12 + a22 + L + an2

( a1 + a2 + L

+ an )

2

2) B =

( a1 + a2 + L + an ≠ 0 )
a19 + a29 + L + an9

( a1 + a2 + L

+ an )

9


x

y

z

t

x+ y


y+z

z +t

t+x

Bài 10. Biết y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z . Tính P = z + t + t + x + x + y + y + z
Bài 11. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số
của nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ;2 ;3
Bài 12 : Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là

3
và các tử tương ứng tỉ
196

lệ với 3 và 5, các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7.
IV. HIỆU QỦA MANG LẠI
Trên đây là một số ví dụ tiêu biểu mà tôi đã nghiên cứu để “Phân dạng bài toán tỷ
lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau” và đã mang lại cho tôi khá nhiều thành
công trong công tác giảng dạy. Thông qua việc áp dụng đề tài này, đa số các em
trong nhóm học sinh khá, giỏi đã tự tin hơn, chủ động hơn khi gặp dạng toán tỷ lệ
thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Và sau khi áp dụng việc phân dạng toán này
vào cho học sinh lớp 7 năm học sau kết quả thu được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
12
15

5
0
0
V. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng
nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả,
học sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai
thác sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh được những sai lầm mà
mình hay mắc phải. Do đó đề tài này có thể triển khai giảng dạy dưới dạng một
chuyên đề trong chương I Đại số 7.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I.

KẾT LUẬN

Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấy mình hiểu sâu sắc
hơn về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối
tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì
thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dễ dàng, các em rất
hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán.
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm
bài kiểm tra và thấy kết quả khá cao.
Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng


một vấn đề nào đó trước hết người giáo viên phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì
vậy người giáo viên phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán,
không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân.
II.
KIẾN NGHỊ

Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, người giáo viên cần nghiên cứu kỹ để
vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý
cho học sinh.
Trên đây là môt số dạng toán về tỷ lệ thức mà tôi đã phân dạng trong quá
trình giảng dạy mà tôi mạnh dạn đưa ra. Tuy đã rất cố gắng song không tránh khỏi
những sai sót và vấn đề đưa ra có thể chưa trọn vẹn rất mong được sự góp ý của hội
đồng khoa học để bớt sai sót xảy ra và đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!