ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM

TR±NH KHAC BÌNH

BIEN ĐOI TÍCH PHÂN VÀ ÚNG
DUNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐAO HÀM RIÊNG

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

THÁI NGUN - 2013

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM

TR±NH KHAC BÌNH

BIEN ĐOI TÍCH PHÂN VÀ ÚNG
DUNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH
ĐAO HÀM RIÊNG

LU¼N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Chuyên ngành : TOÁN GIÁI
Mã so : 60 46 01 02

Giáo viên hưáng dan:
TS NGUYEN VĂN NGOC

THÁI NGUYÊN, 2013

TÍCH


LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n và hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư phamĐai hoc Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cám ơn các thay cô giáo
Khoa Tốn, Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao nhà trưịng đã trang b% kien
thúc cơ bán và tao đieu ki¾n tot nhat cho tơi trong q trình hoc t¾p và
nghiên cúu.
Tơi xin bày tó lịng biet ơn chân thành tói TS. Nguyen Văn Ngoc, ngưịi
đã t¾n tình chí báo, tao đieu ki¾n và giúp đõ tơi có thêm nhieu kien thúc,
khá năng nghiên cúu, tong hop tài li¾u đe hồn thành lu¾n văn.
Tơi cũng xin gúi lịi cám ơn đen gia ỡnh, ban bố v cỏc ong nghiắp ó
đng viờn, giúp đõ tơi q trình hoc t¾p cna mình.
Do thịi gian v trỡnh đ cũn han che nờn luắn vn khơng tránh khói
nhung thieu sót. Chúng tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna các thay cơ
và các ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.
Tơi xin chân thành cám ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013
Tác giá

Tr%nh Khac Bình

i



Mnc lnc
Má đau

1

1 Kien thNc chuan b%
1.1 Không gian Lp . . . . . .
1.2 Các đ%nh lý quan trong cna
1.3 Tích ch¾p . . . . . . . . .
1.4 Tích phân Dirichlet . . . .

3
3
6
7
8

. . . . . . . . . . . . . . . . . .
lý thuyet tích phân . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Chuoi Fourier
2.1 Chuoi Fourier thơng thưịng . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái ni¾m ve chuoi Fourier . . . . . . . . . . .
2.1.2 H®i tu cna chuoi Fourier . . . . . . . . . . . .
2.2 Chuoi Fourier - cosin và chuoi Fourier - sin . . . . . .
2.2.1 Khái ni¾m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sn h®i tu cna chuoi Fourier . . . . . . . . . . .

2.2.3 Các ví du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Sn h®i tu cna chuoi Fourier trong L2 . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Dãy trnc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bat đang thúc Bessel- Đ%nh lý Parseval . . . . . . .
2.4 Chuoi Fourier phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Khái ni¾m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Đang thúc Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Các bài tốn biên cho phương trình Laplace trong hình chu
nh¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



13
13
13
14
16
16
16
21
22
22
24
27
27
28
28
29

30
31


2.6 Phương trình dao đ®ng cna thanh . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Phương trình dao đ®ng tn do . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Phương trình dao đ®ng cưõng búc . . . . . . . . . .
3 Bien đoi Fourier
3.1 Khái ni¾m ve tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Các tính chat cna bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . .
3.4 Bien đoi Fourier trong Lp . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Phương trình Laplace trong mien núa dái . . . . . . . .
3.6 Bài tốn Dirichlet cho mien núa m¾t phang . . . . . . .
3.7 Phương trình Laplace trong góc phan tư cna m¾t phang
3.8 Bài tốn Cauchy cna phương trình truyen nhi¾t . . . . .
4 Bien đoi Laplace
4.1 Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Các tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bien đoi Laplace ngưoc . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Phương trình vi phân thưịng . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Phương trình đao hàm riêng . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Phương trình tích phân Volterra. Phương trình vi- tích

32
32
34

.
.

.
.
.
.
.
.

37
37
40
43
48
51
52
55
57

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
phân

59
59
61
66
70
73

77

.
.
.
.
.
.
.
.

Ket lu¾n

80

Tài li¾u tham kháo

81

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Má đau
Phương pháp bien đoi tích phân là m®t trong nhung phương pháp giái
tích huu hi¾u giái các phương trình vi phân thưịng, phương trình đao hàm
riêng và các phương trình tích phân dang ch¾p tuyen tính. Các bien đoi tích
phân quan trong, như bien đoi Fourier, bien đoi Laplace, bien đoi Hankel,

v.v.. tù lâu đã đưoc sú dung trong giái các phương trình vi phân và phương
trình tích phân tuyen tính h¾ so hang.
Nhị các tính chat đ¾c thù cna các phép bien đoi tích phân ke trên, các
phương trình vi phân, phương trình tích phân có dang và mien kháo sát
thích hop có the đưoc chuyen ve các phương đai so tương úng. Tù đó, sú
dung các cơng thúc ngh%ch đáo, ta tìm đưoc an hàm mong muon.
Bán lu¾n văn này trình bày cơ só lý thuyet cna các bien đoi tích phân sau
đây: chuoi Fourier( bien đoi Fourier huu han), bien đoi tích phân Fourier,
Fourier-sin, Fourier-cosin và bien đoi Laplace cùng m®t so úng dung cna
chúng trong phương trình đao hàm riêng và m®t so loai phương trình tuyen
tính khác.
Lu¾n văn gom phan Mó đau, 4 chương, Ket lu¾n và các tài li¾u tham
kháo. Bán lu¾n văn đưoc hình thành chn yeu tù các tài li¾u [1-5].
Chương 1, trình bày m®t so kien thúc ve giái tích và giái tích hàm can
thiet đoi vói các chương sau. Các kien thúc cna chương này có the tìm thay
trong tài li¾u [1].
Chương 2, trình bày cơ só lý thuyet ve chuoi Fourier đoi vói các hàm
lưong giác và nhung úng dung giái các bài toán biên cna các phương trình
đao hàm riêng trong mien huu han. Các kien thúc cna chương này chn yeu
đưoc trích ra tù các tài li¾u [1, 4, 5].
Chương 3, trình bày cơ só lý thuyet cna bien đoi Fourier và m®t so úng
dung giái các bài tốn biên cna phương trình đao hàm riêng trong mien vơ
han. N®i dung cơ bán cna chương này đưoc hình thành tù các tài li¾u [1, 2,
3 , 4].

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





Chương 4, trình bày cơ só lý thuyet cna bien cna bien đoi Laplace và
m®t so úng dung giái các phương trình vi phân thưịng, phương trình đao
hàm riêng và phương trình tích phân dang ch¾p. Các kien thúc cna chương
này đưoc hình thành chn yeu tù các tài li¾u [1, 4].


Chương 1
Kien thNc chuan b%
Chương này trình bày m®t so kien thúc ve giái tích và giái tích hàm can
thiet đoi vói các chương sau. Các kien thúc cna chương này có the tìm thay
trong tài li¾u [1].
1.1

Khơng gian Lp

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho p ∈ R vói 1 ≤ p ≤ ∞; ta đ%nh nghĩa
p
Lp (Ω) = {f : Ω → R ho¾c C; f đo đưoc và |L| khá tích },
L∞ (Ω) = {f : Ω → ho¾c C; f đo đưoc và ∃C, |f (x)| ≤ C h.h trờn },
v kớ hiắu:

1/
á
p
p
|f (x)| dx
"f"p =
,



"f" = inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h} .
Nh¾n xét 1.1. Neu f ∈ L∞ (Ω) thì:
|f (x)| ≤ "f"∞ , h.h x ∈ Ω.
= 1.
Ta ký hi¾u p là so liên hop cúa p, 1 ≤ p ≤ ∞, i.e, 1 +
r

1

p

pr

Chu "nghĩa là" thưịng đưoc viet tat bói "i.e", chu "hau het" đưoc viet
tat bói "h.h".
Đ%nh lý 1.1. (Bat ang thỳc Hăolder).
Cho f Lp() v g Lpr (Ω) vói 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f.g ∈ L1 và
¸


Ω

|f.g| ≤ "f"p ."g"pr .


Dna vo bat ang thỳc Hăolder, ta chỳng minh oc
%nh lý 1.2. Lp(Ω) là không gian vector "·"p và là m®t chuan
vói 1 ≤ p ≤ ∞.
Đ%nh lý 1.3. (Fischer – Riesz )

(a) Lplà khơng gian Banach vói 1 ≤ p ≤ ∞.
(b) Giá sú (fn) là dãy h®i tn ve f trong không gian Lp, (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e, .
"fn − f"p → 0. The thì có dãy con (fnk)k=1,2,... sao cho:
fnk (x) → f (x) h.h,
∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) h.h,
vói h là m®t hàm trong Lp.
k
Vói Ω mó trong R, ta ký hi¾u
T C (Ω) là không gian các hàm so khá vi
∞
liên tuc đen cap k và C ∞ (Ω) = k=
Ck (Ω). Cịn Cc (Ω) là khơng gian các
1
hàm so f liên tuc trên Ω sao cho giá
(support) cna f , túc là t¾p hop

suppf = {x ∈ Ω; f (x) ƒ= 0},
là compact chúa trong Ω, ký hi¾u gach ngang ó trên là bao đóng cna t¾p
hop. Đ¾t
\
k (Ω) =
C
(Ω) \ Cc (Ω),
c
(Ω)
Cc (Ω).
Ck
c (Ω) = C
∞
C∞

Ta có ket quá sau đây ve tính trù m¾t.
Đ%nh lý 1.4. Vói 1 ≤ p < ∞ (lưu ý rang p ƒ= ∞), thì C ∞ (Ω) trù
c
m¾t
trong (Ω).
Lp
Đ%nh lý 1.5. (Riemann- Lesbesgue). Cho f ∈ L1 (a, b) vói (a, b) là
khống
huu han hoắc vụ han cỳa R, thỡ ta cú
b

lim
N

b

á

f (x) cos Nxdx = 0 và lim
a

N→∞

¸

f (x) sin N xdx = 0.

a

Chúng minh. Hai đieu khang đ%nh cna đ%nh lý oc chỳng minh theo mđt

cỏch giong nhau. Vỡ vắy ta chí chúng minh m®t.


Cho trưóc ε > 0. Tù đ%nh lý ve tính trự mắt ta cú mđt hm g (chớ phu
thuđc vo ε) trong C ∞ (a, b) sao cho
c

¸

b

a

ε
|f (x) − g (x)|dx < .
2

Vì g có giá tr% compact trong (a, b) nờn g triắt tiờu bờn ngoi mđt khoỏng
huu han (α, β) ⊂ (a, b). Do đó
..¸
.. .
.. ¸β
.. .
b
.. g (x) cos Nxdx.. = .. g (x) cos Nxdx..
.
.
.
.
a

..α
..
¸β
.
.
β
1
= . 1 g (x) sin N x
gr (x) sin Nxdx.
|α N
.N
.
.
.
−
..¸β
.. α
= 1 .. .gr (x) sin
.
Nxdx N .
.
.
.
¸αβ
1
1
≤

|gr (x)| dx


N

=

N

"gr"1.



Vắy vúi N n lún
thỡ

..á
..
b
. g (x) cos Nxdx. . < ,
.
.
2
.
.
a

kéo theo
.
.
..
. ¸b
.. f (x) cos N xdx.. =

.
.
a

.

.
..
g (x) cos Nxdx.
b
.
.. ¸
¸
.
.. (f (x) − g (x)) cos N xdx +
.
a
a
.
.
b
..
b
.. ¸
¸
g (x) cos Nxdx.
≤
|f (x) − g (x)| dx+ .
.
.

..
b

a

< Ket thúc chúng minh.

a


ε

+

ε

= ε.

2

2


1.2

Các đ%nh lý quan trong cúa lý thuyet tích phân

¸ dóy
%nh lý 1.6. (%nh lý hđi tn n iắu cỳa Beppo Levi).
Cho (fn) là

tăng các hàm khá tích (Lesbesgue ) trên t¾p Ω ⊂ RN sao cho supn fn <
∞.
Khi đó fn h®i tn h.h trên Ω ve m®t hàm f khá tích trên Ω và
¸
"fn − f"1 ≡ |fn (x) − f (x)| dx → 0 khi n → .


%nh lý 1.7. (%nh lý hđi tn b% chắn cỳa Lesbesgue). Cho (fn) l mđt
dóy cỏc hm (thnc hoắc phỳc) khá tích trên Ω. Giá sú
(a) fn (x) → f (x) h.h trên Ω,
(b) ton tai hàm g khá tích sao cho vói moi n, |f (x) ≤ g (x)| h.h trên Ω. Khi
đó f khá tích và
¸
|fn (x) − f (x)| dx → 0 khi n → ∞.
"fn − f"1 ≡
Ω

Bo đe 1.1. (Bo đe Fatou). Giá sú (fn) là dãy các hàm khá tích sao cho
(a) fn ≥ 0 hau het trên Ω, ∀n.
¸
(b) sup fn < ∞. Vúiá moi x ,
á ta ắt f (x) = lim inf fn (x). Khi đó
f khá tích trên Ω và ≤
f lim inf fn.
n→∞
Giá sú Ω1 ⊂ R1, Ω2 ⊂ R2 là hai t¾p mó và F : Ω1 × Ω2 → R (ho¾c
C)
là hàm đo đưoc.
Đ%nh lý 1.8. (Tonelli). Giá sú
¸

|F (x, y)| dy < ∞,
Ω2

hau het x ∈ Ω1 và

¸
Ω1

¸
|F (x, y)| dy < ∞.

dx
Ω2

Khi đó, F khá tích trên Ω1 × Ω2 .
Đ%nh lý 1.9. ( Fubini). Cho F khá tích trên Ω1 × Ω2. Khi đó
Vói hau het x thu®c Ω1
F (x, ·) ≡ y → F (x, y) ,


khỏ tớch trờn 2
v

á
x

F (x, y)dy,
2

khỏ tớch trờn 1.

Ket luắn tương tn khi đoi vai trò x cho y, Ω1 cho Ω2.
Hơn nua, ta có:
¸
¸
¸
¸ F (x, y) dy =¸ dy F (x, y) dx =
F (x, y) dxdy.
dx
1

1ì2
2

2

1.3

1

Tớch chắp
Cho hai hàm so f và g xác đ%nh trên RN thì hàm so f ∗ g đ%nh bói
¸
(f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y) dy.
RN

Đưoc goi là tích ch¾p cna f và g.
.
.
.
.

Đ%nh lý 1.10. Giá sú f ∈ L1 RN và g ∈ Lp RN vói 1 ≤ p ≤
N
∞. Khi đó, vói moi
. x∈
. R , hàm so y → f (x − y) g (y) khá tích trên
RN và f ∗ g ∈ Lp RN . Hơn nua
"f ∗ g"p ≤ "f"1"g"p .
Chúng minh. Vói p = ∞ thì ket q rõ ràng. Trưóc tiên, ta xét trưịng hop
p = 1 và đ¾t :
F (x, y) = f (x − y) g (y) .
Vói moi y, ta có
:
¸
¸
|F (x, y)| dx = |g (y)| |f (x − y)| dx = |g (y)| ."f"1 < ∞
và

¸

¸
dy

|F (x, y)| dx = "f"1"g"1 < ∞.

Áp dung đ%nh lý Tonelli, ta thay rang F ∈ L1 .RN × RN .. Theo đ%nh lý
Fubini ta đưoc:
¸


|F (x, y)| dy < ∞ h. h. x ∈ RN

và

¸

¸
dx
"f"1

|F (x, y)| dy ≤

"g"1,


túc là ta đã chúng minh đ%nh lý trong trưòng hop p = 1.
Tiep theo, giá sú 1 < p < ∞. Theo
ket quá trên, ta biet rang vói moi x co
p
đ%nh, hàm y → |f (x − y)|.|g (y)| là khá tích, nghĩa là:
1

y → |f (x − y)| . |g (y)| ,
p

.
.
l hm thuđc LP RN .

1

Mắt khỏc, y → |f (x − y)| ∈ L Pr (R) (pr là so liên hop cna p), dna vào bat

đang thỳc Hăolder, ta suy ra hm
pr

1

1
pr

y |f (x, )| . |g (y)| = |f (x − y)| . |g (y)| .|f (x − y)| ,
p

là khá tích
¸ và

1

1

p

|f (x − y)| . |g (y)| dy ≤ (|f (x − y)| .|g (y)| dy)p "f" pr ,
nghĩa là:

p

p

p

p


|(f ∗ g) (x)| ≤ (|f| ∗ |g| ) (x) . "f"
1 r .
Áp dung ket quá trong trưòng hop p = 1, ta có:
p

p

"g" "f"p

f ∗ g ∈ L , "f ∗ g" ≤
nghĩa là:

p

p

p/pr

"f"1

,

p

"f ∗ g"p ≤ "f"1 "g"p .
Ket thúc chúng minh.
1.4

Tích phân Dirichlet


Đ%nh nghĩa 1.2. Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác đ%nh trên [a, b]
. Giá sú P = {x0,x1, ..., xn} là m®t phân hoach cúa [a, b] , nghĩa là a =
x0 < x1 < · · · < xn = b. Đ¾t
n

.

V (f ) = V (f : a, b) = sup
P

|∆fi|,

i=1

trong đó ∆fi = f (xi) − f (xi − 1), sup lay trên tat cá các phân hoach
cúa
[a, b]. Ta goi V (f ) là bien phân toàn phan cúa f trên [a, b]. Hàm f
đưoc goi là có bien phân b% ch¾n trên [a, b] neu V (f ) < +∞.
Ví dn 1.1.


(a) Neu f là hàm so thnc đơn đi¾u trên [a, b] thì f có bien phân b% ch¾n
trên [a, b] và V (f ) = |f (a) − f (b)| .
(b) Neu f là hàm so thnc vói f r ton tai và b% ch¾n trên [a, b], nghĩa là
|f r| ≤ M trên [a, b], thì f có bien phân b% ch¾n trên [a, b]. Th¾t v¾y, do đ%nh
lý Lagrange ve giá tr% trung bình cna phép tính vi phân, ta có:
n

.

i=1

n

|f (xi) − f (xi−1)| . M (xi − xi−1) = M (b − a).
≤
i=
1

Đang thúc đúng cho moi phân hoach.
Tính chat 1.1. Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác đ%nh trên [a, b] .
Khi đó:
(a) f có bien phân b% ch¾n neu và chs neu Re [f ] và Im |f |, túc phan
thnc
và phan áo cúa f, có bien phân b% ch¾n.
(b) Neu f có bien phân b% ch¾n thì f b% ch¾n, cn the:
|f (x)| ≤ |f (a)| + V (f ; a, b) , ∀x ∈ [a, b] .
(c) Neu f là hàm thnc có bien phân b% ch¾n thì ton tai hai hàm thnc p và
q
đơn đi¾u tăng trên [a, b] sao cho f (x) = p (x) − q (x) , ∀x ∈ [a, b] .
Hơn nua, neu f liên tnc thì p, q cũng liên tnc.
Nh¾n xét 1.2. Tù ví dn (a)và tính chat (c), ta thay rang có moi liên h¾
ch¾t che giua hàm đơn đi¾u và hàm có bien phân b% ch¾n. Tính chat
(c) cũng cho thay f khá tích trên [a, b] neu f có bien phân b% ch¾n trên
[a, b].
Bo đe 1.2. (Tích phân Dirichlet ). Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác
đ%nh trên (a, b) thóa mãn “m®t ” trong hai đieu ki¾n Dirichlet sau đây
(i) Ton tai f (a+) , f (b−) và f có bien phân b% ch¾n trên [a, b],do đó f
xác
đ%nh trên [a, b] vói giá tr% tai biên là f (a+) và f (b−).

(ii) Có huu han điem thu®c [a, b] sao cho khi bó đi các lân c¾n bé tùy ý
cúa nhung điem này thì f có bien phân b% ch¾n trên các phan cịn lai
cúa [a, b] ;
hơn nua f ∈ L1 (a, b).
Khi đó, ta có: Neu 0 < a < b thì:


b

lim

á

à
a

sin dx = 0.
f
(x)
àx
x

(1.1)


Neu 0 = a < b, ∃f (0+) và f cú bien phõn b% chắn trờn mđt lõn cắn [0, δ]
cúa 0 (δ > 0) thì:
b

lim


¸

π . +.
f 0 .
2

sin dx
f
(x)
µx =
x

µ→∞
0

(1.2)

Chúng minh. Ta có.
Bưóc 1. Trong bưóc này ta xét trưịng hop f thóa đieu ki¾n Dirichlet (i).
Khi đó, Re [f ] và Im [f ] cũng thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet (i). Hơn
nua chúng đưoc phân tích thành hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u tăng. Như
v¾y, ta chí can chúng minh bo đe này vói giá thiet f là hàm thnc đơn
đi¾u tăng trên [a, b] là đn.
Nhac lai rang
q
¸
π
sin
lim

dx = .
x
q→∞
2
0

x
Vói 0 < c < d, bang cỏch oi bien àx = t, ta cú:
d

lim

á

à
c
d

lim
à

á
c

àd

sinà dx = lim
x
à


á

àc
àd

x
sinàx dx = lim

á

à

x

0

sin dt = 0,
t

(1.3)

t
sin
t dt
=


2

.


(1.4)

t

Tự %nh lý thú hai ve giá tr% trung bình cna tích phân, ta cú:
áb
á
áb
sinàx
sinàx
sinàx
f (x)
. .
dx = f a+
dx + f ..b
dx,
x
x
x
a

a



trong đó ξ ∈ [a, b]. Neu 0 < a < b, tù (1.1), cho µ → ∞ thì ve phái ó trên
tien ve 0, ( lưu ý rang m¾c dù thay oi theo à, nhng b% chắn). Vắy là
ta chúng minh xong (1.1).



Neu 0 = a < b, đ¾t φ(x) = f (x) − f (0+), thì φ đơn đi¾u và φ (0+) =
0.
á
Ta cú
b
b
sinàx
sinàx
á
á
b sinàx
. +.
dx = f 0
dx +
dx.
x
x
x
(x)
0

0
0


Theo (1.2), khi µ → ∞ thì tích phân thú nhat cna ve phỏi hđi tu en 1 .
Nh vắy chí can chúng minh tích phân thú hai có giói han là 0 khi µ → 2∞
thì ta se suy ra đưoc (1.2). Đe làm đưoc đieu này, cho trưóc ε > 0, ta se
tìm υ > 0 sao cho: .á

.
.
.
sin
àx
b
.. (x)
.. < , à > .
dx
(1.5)
.
.
x
.
.
0

+

Vỡ (0 ) = 0 nên ta chon đưoc so α > 0 sao cho:
ε
|φ (α)| =
,
4π
trong đó φ (α) ton tai là do φ đơn đi¾u.
Bang đ%nh lý thú hai ve giá tr% trung bình cna tích phân, ta có:
α
α
¸
¸

φ (x) sin dx = φ (α) sin dx, ξ ∈ [0, α] .
µx
µx
0
ξ
x
x
sin , x ≥ 0.
Xét đo th% cna hàm so
x
y=
x
Các sóng liên tiep cách đeu nhau vói bưóc sóng l nhng biờn đ giỏm
dan. Diắn tớch giua 0 và π lón hơn di¾n tích giua π và 2π, cú the sóng sau
có di¾n tích nhó hơn sóng trưóc, lý do là |sinx| tuan hồn vói chu kỳ π v
1
giỏm dan khi x tng. Vỡ vắy:
x
q

á
0
kộo theo
.
.q

q

.
.

.
.
.
.

.

0

sin x
dx
x
.á

sin x

.

p

dx. ≤
. .
x
x
. .

¸
0

.


sin x
dx ≤π, ∀q ≥ 2π,
x
.¸
p

. .
.+
dx
.
. .
. .
0

0

sin x

.
dx. < 2π, ∀p, q > 0.
.
x
.

V¾y ta cúá bat ang thỳc:
.
.. sin àx .
.
.

.
.(x)

.

.

.
.
.

.
.



dx
0

x

.
.


.2 = | ()|.
4
.
..


=

()
.á

à

x

.
.
.à sin t t

|
.

|.


.

d. .
. x .. ε
.
dt
. <
.
.
,
. 2

.


đc lắp vúi à. Ngoi ra, theo trũng hop ó chỳng minh trờn thỡ
lim

áb

à



(x)

sin
àx dx = 0, 0 < < b.
x

Do đó vói có so ν > 0 sao cho:
áb
sin
(x) àx dx
<



2

, à > .


x
Hai bat ang thỳc sau cũng dan đen (1.5).
Bưóc 2. Tiep theo, ta xét trưịng hop f thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet (ii).
Vói 0 < a < b, cho ε > 0 tùy ý, do f ∈ L1 [a, b], ta chon đưoc ho V cỏc
lõn cắn n bộ cna.áhuu han iem oc
.. e cắp
á trong ieu kiắn (ii) sao cho:
.
sin àx
1

..
..
dx
. f (x)

x
. α |f (x)| dx < 2 .
.
.
V

V

Trên các đoan còn lai, [a, b] \V , f thóa mãn đieu ki¾n (i).
Áp dung bưóc 1 thì:
.
.
f
... ε

..
sin
dx
[ ∫ V (x)
,≤
µx
.
x
. a,b]\
. 2
khi µ đn lón. Tù đó suy ra (1.1).
Vói 0 = a < b, f (0+) ton tai và f có bien bien phân b% ch¾n trên [0,
δ] thì theo nhung đieu vùa mói l¾p lu¾n ó trên và theo trưịng hop ó bưóc
1, ta có:
b
δ
b
¸ f
¸ f
¸ f
sin
sin dx = lim
sin dx + lim
lim
(x)
(x)
(x)
µx
µ→∞
µ→∞

µ→∞
µx
µx
dx
0
0
δ
x
x
x
. +. π
= f 0
+ 0.
2
Túc là ta có (1.2). Ket thúc chúng minh.


Nh¾n xét 1.3. Hàm f ∈ L1 (a, b) trơn tùng khúc thì f thóa mãn đieu
ki¾n Dirichlet. Neu f b% ch¾n và đơn đi¾u tùng khúc trên (a, b) thì f
thóa mãn
đieu ki¾n Dirichlet (i). Neu có huu han iem thuđc [a, b] sao cho khi bú
i lõn cắn bé tùy ý cúa nhung điem này thì f đơn đi¾u tùng khúc trên
các đoan
cịn lai, thêm vào đó neu f ∈ L1 (a, b) thì f thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet
(ii).


Chương 2
Chuoi Fourier
Chương này trình bày cơ só lý thuyet ve chuoi Fourier đoi vói các hàm

lưong giác và nhung úng dung giái các bài toán biên cna các phương trình
đao hàm riêng trong mien huu han. Các kien thúc cna chương này chn yeu
đưoc trích ra tù các tài li¾u [1, 4, 5].

2.1
2.1.1

Chuoi Fourier thơng thưàng
Khái ni¾m ve chuoi Fourier

Vói hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khá tích Lesbesgue trên [−π, π],
ta đ%nh nghĩa chuoi Fourier cna f là chuoi hàm lưong giác như sau:

trong đó:

cos x +
bn

∞
.
+

a0

sin nx),

(2.1)

(an


2

n=1
π

¸

an = 1
π

f (xr) cos nxrdxr, n = 0, 1, 2, ...

−π
π

bn = 1
π

¸

f (xr) sin nxrdxr, n = 0, 1, 2, ...

(2.2)

−π

Moi liên h¾ giua (2.1)- (2.2) cũng đưoc ký hi¾u là:
∞

f (x) ∼ a0 . (an cos x + bn sin nx).

2
+ n=
1

Lưu ý rang ký hi¾u ” ∼ ” khơng mang ý nghĩa gì ve sn h®i tu cna chuoi