Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

ĐỀ SỐ 1

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm GTLN-GTNN của hàm số

Câu 3 (1,0 điểm).

f ( x) = −x +1−

2x +1
.
x −1

trên đoạn [ −1; 2]

4
x+2

a) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2 − i )(1 + i ) + z = 4 − 2i . Tính môđun của z .
b) Giải phương trình 25 x − 2.5 x − 15 = 0
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ (3 − 2 x) cos 2 xdx
π

4

0

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; −1; 2 ) , B ( 3;0; −4 ) và

mặt phẳng (P) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu 6 (1,0 điểm).

4  π





π



π

a)Cho cos α = ,  − < α < 0  . Tính giá trị biểu thức A = sin  α −  cos  α + 
5  2
4
4



b)Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ M,

tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ
số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a , tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng
d : x + y − 1 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng
d và nằm ngoài đường tròn (C). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B là các
tiếp điểm). Gọi (E) là đường tròn tâm E và tiếp xúc với đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm M sao
cho đường tròn (E) có chu vi lớn nhất.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình

x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 .

Câu 10 (1,0 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P =

a2
b2
3
+
− ( a + b) 2 .
2
2
(b + c ) + 5bc (c + a ) + 5ca 4

----------------HẾT----------------


GV: Nguyễn Trọng Minh

Trang 1


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
• Tập xác định: D = » \ {1}
• Sự biến thiên
y, =

−3

( x − 1)

2

Điểm

Nội dung
(1,0 điểm)

0,25

< 0, ∀x ≠ 1 .

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:

* lim y = 2;lim y = 2 ⇒ Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị
1

x →−∞

x →+∞

0,25

hàm số.
* lim y = −∞;lim y = +∞ ⇒ Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số.
• Bảng biến thiên:
x →1−

x →1+

x -∞

1

+∞

y'

0,25

+∞
y


2

2
-∞

1
• Đồ thị: Giao điểm của (H) với Ox là  − ; 0  , giao điểm của (H)

với Oy là ( 0; −1)
Đồ thị nhận I (1; 2 ) làm tâm đối xứng

 2



0,25

2

f / ( x ) = −1 +

GV: Nguyễn Trọng Minh

(1,0 điểm)
4

( x + 2)

0,25

2

Trang 2


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016

f

/

(x) = 0 ⇔

−1 +

4

(x + 2)

2

)
= 0 ⇔  xx == 0−∈4∉( −( 1;2
− 1;2 )

Tính : f ( − 1 ) = − 2; f ( 0 ) = − 1; f ( 2 ) = − 2
Vậy : max f ( x ) = −1 ; minf ( x ) = −2
[ −1;2 ]

[−1;2 ]


0,25

0,25
0,25

(1,0 điểm)

a) Đặt z = a + bi , ( a, b ∈ R ), khi đó z = a − bi . Theo bài ra ta có

3

( 2 − i )(1 + i ) + a − bi = 4 − 2i ⇔ a + 3 + (1 − b)i = 4 − 2i
a + 3 = 4
a = 1
. Do đó z = 1 + 3i , suy ra z = 12 + 32 = 10
⇔
⇔
1 − b = −2
b = 3

0,25
0,25

b) 25 x − 2.5 x − 15 = 0 ⇔ ( 5 x ) − 2.5 x − 15 = 0 (*)
Đặt t = 5 x > 0
2

t = 5
t = −3 (loai)


Phương trình (*) ⇔ t 2 − 2t − 15 = 0 ⇔ 

0,25

Với t = 5 ⇔ 5 x = 5 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1

0,25

(1,0 điểm)

I = ∫ (3 − 2 x) cos 2 xdx
π
4

0

Đặt:

0,25

u = 3 − 2 x ⇒ du = −2dx
dv = cos 2 x ⇒ v =

sin 2 x
2

sin 2 x 4 4
6 −π

cos 2 x 4
⇒ I = (3 − 2 x )
+ ∫ sin 2 xdx = (
)−
2 0 0
4
2 0
π

π

π

0,5

4
=(

6 −π
1
8 −π
π
) − (0 − 1) =
= 2−
4
2
4
4

0,25


(1,0 điểm)

AB = ( 2;1; −6 ) là vtcp của đường thẳng AB.

 x = 1 + 2t
Ptts AB:  y = −1 + t
 z = 2 − 6t


GV: Nguyễn Trọng Minh

(t ∈ R )

0.25

Trang 3


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Khi đó M (1 + 2t ; −1 + t ; 2 − 6t ) .
M ∈ (P) ⇒ (1 + 2t ) − 2 ( −1 + t ) + 2 ( 2 − 6t ) − 5 = 0
⇔t=

5

1
6

0.25


4 5 
⇒ M  ; − ;1
3 6 

Vtpt n(Q ) =  AB, n( P )  = ( −10; −10; −5 ) .

0.25

( Q ) : 2 x + 2 y + z − 2 = 0.

0,25

(1,0 điểm)

sin α + cos α = 1 ⇔ sin α = 1 − cos α
2

2

2

2

9
4
= 1−   =
25
5
2


a)
⇔ sin α = ±

3
5

π
2
π
π


A = sin  α −  cos  α + 
4
4


1
 π 
= sin 2α + sin  −  
2
 2 

Vì − < α < 0 nên sin α = −

6

0,25


3
.
5

0,25

1
= ( 2sin α cos α − 1)
2
49
=−
50

b)Xét các số có 9 chữ số khác nhau:
- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.
- Có A98 cách chọn 8 chữ số tiếp theo
Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: 9. A98 = 3265920
Xét các số thỏa mãn đề bài:
- Có C54 cách chọn 4 chữ số lẻ.
- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu
và cuối nên có 7 cách xếp.
- Tiếp theo ta có A42 cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ
số 0.
- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.
Gọi A là biến cố đã cho, khi đó n( A) = C54 .7. A42 .6! = 302400.
Vậy xác suất cần tìm là P( A) =

0,25

0,25


302400
5
= .
3265920 54

(1,0 điểm)

GV: Nguyễn Trọng Minh

Trang 4


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
S

Gọi O = AC ∩ BD , H là trung
điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB .
Do AB = ( SAB) ∩ ABCD ) và
( SAB ) ⊥ ( ABCD ) nên

7

SH ⊥ ( ABCD )

A

K
H
B


AC 2a
+) Ta có OA =
=
=a,
2
2
D
BD 4a
OB =
=
= 2a .
2
2

O

E

0,25

AB = OA2 + OB 2 = a 2 + 4a 2 = a 5

C

AB 3 a 15
=
2
2
1

1
= AC .BD = 2a.4a = 4a 2 .
2
2

+) SH =
S ABCD
1
3

0,25

1 a 15
2a 3 15
.4 a 2 =
.
3 2
3

Thể tích khối chóp S ABCD là : V = SH .S ABCD = ⋅
Ta có BC // AD nên AD //(SBC)
⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) .

Do H là trung điểm của AB và B = AH ∩ (SBC ) nên
d ( A, (SBC)) = 2d ( H , (SBC)).
Kẻ HE ⊥ BC , H ∈ BC , do SH ⊥ BC nên BC ⊥ ( SHE ) .

0,25

Kẻ HK ⊥ SE , K ∈ SE , ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H , ( SBC )) .

HE =

2 S BCH S ABC S ABCD
4a 2
2a 5
=
=
=
=
.
2. AB 2a 5
5
BC
BC

1
1
1
5
4
91
2a 15 2a 1365
=
+
= 2+
=
⇒ HK =
=
2
2

2
2
2
HK
HE
SH
4a 15a
60a
91
91

Vậy d ( AD, SC ) = 2 HK =

8

4a 1365
.
91

(1,0 điểm)
Đường tròn (C) có tâm I (−2;1) , bán kính R = 3 . Do M ∈ d nên
M (a;1 − a ) .
Do M nằm ngoài (C) nên IM > R ⇔ IM 2 > 9 ⇔ (a + 2) 2 + (−a) 2 > 9
⇔ 2a 2 + 4a − 5 > 0 (*)
Ta có MA2 = MB 2 = IM 2 − IA2 = (a + 2) 2 + (−a) 2 − 9 = 2a 2 + 4a − 5
Do đó tọa độ của A, B thỏa mãn phương
trình: ( x − a) 2 + ( y + a − 1) 2 = 2a 2 + 4a − 5
⇔ x 2 + y 2 − 2ax + 2(a − 1) y − 6a + 6 = 0 (1)
Do A, B thuộc (C) nên tọa độ của A, B thỏa mãn phương trình
x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 (2).

Trừ theo vế của (1) cho (2) ta được (a + 2) x − ay + 3a − 5 = 0 (3)
Do tọa độ của A, B thỏa mãn (3) nên (3) chính là phương trình của
đường thẳng ∆ đi qua A, B.

GV: Nguyễn Trọng Minh

0,25

0,25

0,25

Trang 5


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
+) Do (E) tiếp xúc với ∆ nên (E) có bán kính R1 = d ( E , ∆)
Chu vi của (E) lớn nhất ⇔ R1 lớn nhất ⇔ d ( E , ∆) lớn nhất
5 11
Nhận thấy đường thẳng ∆ luôn đi qua điểm K  ; 
2 2 

0,25

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên ∆ ⇒ d ( E, ∆) = EH ≤ EK =

10
2

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ K ⇔ ∆ ⊥ EK .


1 3
Ta có EK =  − ;  , ∆ có vectơ chỉ phương u = (a; a + 2)
 2 2

Do đó ∆ ⊥ EK ⇔ EK .u = 0 ⇔ − a + (a + 2) = 0 ⇔ a = −3 (thỏa mãn (*))
Vậy M (− 3;4) là điểm cần tìm

Điều

kiện:

1
2

3
2

0,25

(1,0 điểm)

x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1
−3 + 41


2
⇔  −3 − 41
.

1 − x ≥ 0
−3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤
8
≤
x
≤


2
8
8

2 − 3x − 4 x ≥ 0

(*)
Bất phương trình đã cho tương đương với

0,25

x + 1 − x 2 + 2 x(1 − x 2 ) ≥ 2 − 3x − 4 x 2 ⇔ 3( x 2 + x ) − (1 − x) + 2 ( x + x 2 )(1 − x ) ≥ 0


−5 + 34
x≥

x +x
x +x
x +x 1
9
0,5

⇔3
+2
−1 ≥ 0 ⇔
≥ ⇔ 9 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0 ⇔ 
1− x
1− x
1− x
3

−5 − 34
.
x ≤
9

Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
0,25
−5 + 34
−3 + 41
≤x≤
.
9
8
(1,0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
a2
a2
4a 2
≥
=
.

(b + c) 2 + 5bc (b + c) 2 + 5 (b + c) 2 9(b + c) 2
4
b2
4b 2
Tương tự, ta có
≥
.
2
(c + a ) + 5ca 9(c + a ) 2
2

9

2

2

a2
b2
4  a2
b2  2  a
b 
Suy ra
+
≥
+
≥ 
+



2
2
2
2 
(b + c) + 5bc (c + a) + 5ca 9  (b + c) (c + a)  9  b + c c + a 

2

 (a + b)2

2
+ c(a + b) 
2
2
2  a + b + c(a + b)  2 
2  2(a + b)2 + 4c(a + b) 
2
= 
 = 
 ≥ 
 .
9  ab + c(a + b) + c2  9  (a + b)2
9  (a + b)2 + 4c(a + b) + 4c2 
2 
+
c
(
a
+
b

)
+
c


 4

Vì a + b + c = 1 ⇔ a + b = 1 − c nên
2

2

2  2(1 − c)2 + 4c(1 − c)  3
8
2  3
2
2
P≥ 
 − (1 − c) = 1 −
 − (1 − c) .
9  (1 − c)2 + 4c(1 − c) + 4c2  4
9  c +1 4
2

10

GV: Nguyễn Trọng Minh

0,25


2

(1)

0,25

Trang 6


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016

8
2  3
2
1 −
 − (1 − c ) với c ∈ (0; 1).
9  c +1 4
16 
2 
2
3
Ta có f '(c) =  1 −
− (c − 1);
c
0
.
2
9  c + 1  (c + 1)
2
1 f '(c)

f '(c) = 0 ⇔ (c − 1) 64 − (3c + 3)3 = 0 ⇔ c = .
3
Bảng biến thiên:
f (c)
Xét hàm số f (c) =

2

(

)

Dựa vào bảng biến thiên ta có f (c ) ≥ −

1
3

–

1
với mọi c ∈ (0; 1).
9

0

1
+

0,25
−1

9

(2)

1
1
Từ (1) và (2) suy ra P ≥ − , dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = .
9
3
1
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là − , đạt khi a = b = c = .
9
3

0,25

----------------HẾT----------------

GV: Nguyễn Trọng Minh

Trang 7


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

ĐỀ SỐ 2


Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

CÂU 1 (1 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

2x +1
.
x −1

CÂU 2 (1 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = ( x 2 − 3) e x trên đoạn

[ −2; 2] .

CÂU 3 (1 điểm).
a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết (1 + 5i ) z − 23 − 11i = 0 .
b) Giải bất phương trình 31+ x + 31− x ≥ 10 .

CÂU 4 (1 điểm). Tính tích phân I = ∫ ( x − 1) cosxdx .
π
2

CÂU 5 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng
( P ) : x − 2 y + 2 z + 2 = 0 và điểm A (1; −2;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và
vuông góc mặt phẳng ( P ) . Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( P ) .
CÂU 6 (1 điểm).
0

a) Cho π < α <


3π
π
và tan α = 2. Tính P = sin 2α + 3cos  α +  .
2
2


b) Một tổ có 6 nam và 4 nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tìm xác suất
để 3 học sinh trực nhật có cả nam và nữ.
CÂU 7 (1 điểm). Cho hình chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB = AC = a , I là trung
điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC , mặt

phẳng ( SAB ) tạo với đáy một góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S .ABC và tính khoảng cách
từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB ) theo a .

CÂU 8 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 4 ) , tiếp tuyến tại

A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ADB có
phương trình x − y + 2 = 0 , điểm M ( −4;1) thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB .

CÂU 9 (1 điểm). Giải phương trình

(13 − 4 x )

2 x − 3 + ( 4 x − 3) 5 − 2 x = 2 + 8 16 x − 4 x 2 − 15, ( x ∈ » ) .

CÂU 10 (1 điểm). Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a ≤ c và
ab + bc = 2c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =


a
b
c
.
+
+
a−b b−c c−a

----------------HẾT----------------

GV: Nguyễn Trọng Minh

Trang 1


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
Câu
1
(1,0
đ)

Tập xác định: D = » \ {1} .
Sự biến thiên:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI (ĐỀ 1)
Đáp án

- Chiều biến thiên: y ' =

−3


( x − 1)

Điểm

< 0, ∀x ≠ 1.

2

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ )

0,25

- Giới hạn và tiệm cận: lim y = 2 , lim y = 2 , suy ra tiệm cận ngang là y = 2 .
x →+∞

x →−∞

lim y = +∞, lim− y = −∞ suy ra tiệm cận đứng x = 1.

x →1+

x →1

Bảng biến thiên
x
−∞
y'
y
2


0,25

+∞

1
-

+∞

−∞

2
0,25

Đồ thị

y

f(x)=(2x+1)/(x-1)
f(x)=2

5

0,25
x

-8

-6


-4

-2

2

4

6

8

-5

2
(1,0
đ)

3
(1,0
đ)

f ' ( x ) = e x ( x 2 + 2 x − 3)

f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1, x = −3.

Vì x ∈ [ −2; 2] nên f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1; f ( −2 ) = e−2 , f (1) = −2e, f ( 2 ) = e2 .
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng e 2 tại x = 2 , giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −2e
tại x = 1. ,

a) (0,5 điểm)
23 + 11i
z=
= 3 − 4i
1 + 5i
z = 3 + 4i . Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là 3,4
b) (0,5 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương 3.32 x − 10.3x + 3 ≥ 0

GV: Nguyễn Trọng Minh

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

Trang 2


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
0,25

1
⇔ 3x ≤ ,3x ≥ 3 ⇔ x ≤ −1, x ≥ 1.
3


4
(1,0
đ)

(1,0 điểm)
u = x − 1
 dv = dx
Đặt 
⇒
 dv = cosxdx v = si nx
I = ( x − 1) si nx

π
2
0

0,25

− ∫ si nxdx
π
2

0,25

π

I =  − 1 + cosx
2 
π

I = −2
2
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1; −2; 2 ) . Vì d vuông góc với mặt phẳng
0

π
2
0

5
(1,0
đ)

0,25
0,25

(P) nên vectơ chỉ phương của d là n = (1; −2; 2 ) .

x −1 y + 2 z −1
=
=
1
−2
2
Gọi H là toạ độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (P), H (1 + t; −2 − 2t ;1 + 2t )

Phương trình chính tắc của d:

Vì H thuộc mặt phẳng (P) nên t = −1 ⇒ H ( 0;0; −1) .


6
(1,0
đ)

0,25

0,25
0,25
0,25

a) (0,5 điểm)
2
1
sin α = −
, cos α = −
5
5
4 6
P = sin α ( 2 cos α − 3) = +
.
5
5
b) (0,5 điểm)

0,25

Số phần tử của không gian mẫu C103 = 120

0,25


C61C42 + C62C41 4
Xác suất cần tìm P =
= .
C103
5
(1,0 điểm)

0,25

7
(1,0
đ)

0,25

Sj

Gọi K là trung điểm của AB
⇒ HK ⊥ AB (1)

Vì SH ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra ⇒ AB ⊥ SK

Do đó góc giữa ( SAB ) với đáy bằng góc
M
B

H

C


0,25

giữa SK và HK và bằng SKH = 60
a 3
Ta có SH = HK tan SKH =
2

K

A

GV: Nguyễn Trọng Minh

Trang 3


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
1
1 1
a3 3
Vậy VS . ABC = S ABC .SH = . AB. AC.SH =
3
3 2
12

Vì IH / / SB nên IH / / ( SAB ) . Do đó d ( I , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) )

Từ H kẻ HM ⊥ SK tại M ⇒ HM ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HM
Ta có


1
1
1
16
a 3
a 3
. Vậy d ( I , ( SAB ) ) =
=
+
= 2 ⇒ HM =
.
2
2
2
HM
HK
SH
3a
4
4

0,25
0,25

0,25

(1,0 điểm)
8
(1,0

đ)

Gọi AI là phân giác trong của BAC

A

Ta có : AID = ABC + BAI

E
M'

IAD = CAD + CAI

K

Mà BAI = CAI , ABC = CAD nên

M
B

I

0,25

C

D

AID = IAD
⇒ ∆DAI cân tại D ⇒ DE ⊥ AI


PT đường thẳng AI là : x + y − 5 = 0
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI ⇒ PT đường thẳng MM’ : x − y + 5 = 0
Gọi K = AI ∩ MM ' ⇒ K(0;5) ⇒ M’(4;9)

VTCP của đường thẳng AB là AM ' = ( 3;5 ) ⇒ VTPT của đường thẳng AB là

n = ( 5; −3 )

0,25
0,25
0,25

Vậy PT đường thẳng AB là: 5 ( x − 1) − 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 5 x − 3 y + 7 = 0.

(1,0 điểm)
9
(1,0
đ)

Điều kiện

u = 2 x − 3 ≥ 0
3
5
≤ x ≤ . Đặt 
⇒ u 2 + v 2 = 2.
2
2
v = 5 − 2 x ≥ 0


0,25

Khi đó phương trình đã cho tương đương

u ( 7 − 2u 2 ) + v ( 7 − 2v 2 ) = 2 + 8uv ⇔ 7 ( u + v ) − 2 ( u 3 + v 3 ) − 8uv − 2 = 0
3
2
⇔ 7 ( u + v ) − 2 ( u + v ) − 3uv ( u + v ) − 4 ( u + v ) − 2  − 2 = 0




3
2
⇔ (u + v ) − 4 (u + v ) + (u + v ) + 6 = 0

u + v = 3
7

uv
=
u = 1

⇔ u + v = −1 ⇒ 
⇒
⇒ x = 2.
2



v =1

uv = 1
u + v = 2

0,25
0,25

0,25

(1,0 điểm)
10
(1,0
đ)

a 1
a b b
a 2c
≤ ; ab + bc = 2c 2 ⇔ . + = 2 ⇔ =
−1
c 2
c c c
c b
a 1
b 4
c
3
Vì ≤ nên ≥ . Đặt t = thì 0 < t ≤
c 2
c 3

b
4

Theo giả thiết: 2a ≤ c nên

GV: Nguyễn Trọng Minh

0,25

Trang 4


Đề thi thử THPT Quốc gia 2016
a
c

b
1
2t 2 − t
1
1
4t 2 − 8t − 3
P=
+ c +
= 2
+
+
= 2
a b b
a 2t − t − 1 1 − t 2(1 − t ) 4t − 2t − 2

−
−1 1 −
c c c
c
2
4t − 8t − 3
 3
Xét hàm số f (t ) = 2
, t ∈  0;  . Ta có:
4t − 2t − 2
 4
 3
 3
f '(t ) > 0, ∀t ∈  0;  , do đó f (t ) đồng biến trên  0;  .
 4
 4
3
27
Do đó GTLN của hàm số đạt tại t = , suy ra max P =
4
5
ab + bc = 2c 2
Đẳng thức xảy ra khi 
⇔ 8a = 3b = 4c , chẳng hạn chọn được
2a = c
(a,b,c)=(3,8,6).

0,25

0,25


0,25

----------------HẾT----------------

GV: Nguyễn Trọng Minh

Trang 5