Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn

Sau một thời gian say mê nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân đặc
biệt là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ
em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận.
Qua đây em xin bày lòng biết ơn tới Thầy cũng như sự chỉ bảo quan
tâm, đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo trong tổ Hình học, các Thấy, Cô
giáo trong khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của
mình.
Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các Thầy, Cô cùng
các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút đựơc kinh nghiệm và có hướng hoàn
thiện phát triển khoá luận sau này.
Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc và lời chúc
sức khoẻ đến các Thầy, Cô và toàn thể các bạn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Dương Trọng Luyện
Dương Trọng Luyện K29b toán

1


Lời cam đoan
Qua quá trình nghiên cứu khoá luận: “ứng dụng định hướng trong
hình học phẳng” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn bộ môn Hình học đặc biệt đó

là một trong những khái niệm quan trọng của hình học sơ cấp. Qua đó cũng
giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy
Nguyễn Văn Vạn cũng như các Thầy, Cô trong tổ Hình học của khoa Toán
trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô cùng các
bạn để khoá luận được hoàn thiện.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Dương Trọng Luyện


Mục lục

Trang

Mở đầu

4

Phần 1. Các hệ tiên đề của hình học Euclid

6

Phần 2. Vấn đề định hướng trong mặt phẳng

9


A. Định hướng trên đường thẳng

9

1. Định nghĩa

9

2. Độ dài đại số của đoạn thẳng

10

3. Hệ thức Sa- lơ

10

4. Các ví dụ minh hoạ

11

B. Định hướng trong mặt phẳng

16

B0. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch

16

B1. Góc định hướng


16

B2. Góc định hướng của hai đường thẳng

24

B3. Cung định hướng và đường tròn định hướng

31

B4. ứng dụng góc định hướng trong mặt phẳng

39

Phần 3. Một số khái niệm định hướng trong không gian

58

1. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch

58

2. Định hướng cho một nhị diện, một tam diện

58

3. Phân loại phép dời hình loại I và loại II

61


4. Ví dụ

62

Kết luận

64

Tài liệu tham khảo

65


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học là một môn có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic và
tình trừu tượng cao. Rất nhiều bài toán trong hình học phẳng mà việc tìm ra
lời giải đó là rất khó hoặc nếu có tìm đựơc lời giải thì lời giải của bài toán
thể hiện ngay trong phạm vi kiến thức đã học thì nhất thiết phải vẽ hình để
tìm ra hướng giải. Trong lời giải của bài toán nhiều khi chúng ta phải xét rất
nhiều trường hợp và thứ tự vị trí của các điểm trong bài toán… Với rất nhiều
bài toán như vậy khi vân dụng định hướng trong mặt phẳng đã có rất nhiều
thuận lợi. Mặt khác chúng ta đã thấy được sự tiện lợi của việc định hướng
trên đường thẳng và mặt phẳng.
Chính vì vậy mà em chọn đề tài: “ứng dụng định hướng trong hình
học phẳng” Để có thể làm rõ được một hướng trong việc sử dụng định hướng
trong mặt phẳng và làm rõ tình ưu việt của việc định hướng.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số ứng dụng và tính chất của định hướng trong mặt

phẳng vào giải các bài toán chứng minh và quỹ tích trong mặt phẳng
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm nổi bật tính ưu việt và ứng dụng của định hướng
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài toán chứng minh và quỹ tích trong hình học sơ cấp.
4. Phạm vi nghiên cứu


Nghiên cứu các sách giáo khoa, các sách chuyên khảo, các sách tham
khảo và các bài giảng có đề cập đến phép biến hình.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.
5.1. ý nghĩa khoa học
Tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định hướng trong giải toán
5.2. ý nghĩa thực tiễn.
Là tài liệu tham khảo hữu ích cho các Thầy, Cô giáo và các bạn yêu
thích toán

PHần 1. Các hệ tiên đề của hình học Euclid


1. Một số yêu cầu cơ bản của việc xây dựng hình học bằng phương pháp
tiên đề
Khi xây dựng một số lý thuyết hình học người ta cần phải có các khái niệm
cơ bản (là những khái niệm đầu tiên không định nghĩa) và các tiên đề (là
những mệnh đề xuất phát được thừa nhận là đúng).Tuy nhiên hệ thống các
tiên đề cần phải đựơc đảm bảo các điều kiện sau:
1.1. Điều kiện phi mâu thuận: Điều kiện này có nghĩa là những điều nói ở
trong các tiên đề và những kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái
ngược nhau.
1.2. Điều kện độc lập: Mỗi tiên đề của hệ phải độc lập (đối với các tiên đề

khác), nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên đề còn lại.
1.3. Điều kiện đầy đủ: Hệ tiên đề phải đầy đủ để xây dựng môn học bằng
suy diễn lôgic.
2. Hệ tiên đề Hinbe của hình học Euclid
Hệ tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đề với 6 khái niệm cơ bản.
*Sáu khái niệm cơ bản gồm:
“Điểm”, “Đường thẳng”, “mặt phẳng” (gọi chung là các “đối tượng cơ
bản”)
“Thuộc”, “ở giữa”, “bằng” (gọi chung là các “tương quan cơ bản”).
*Các tiên đề của Hinbe chia làm 5 nhóm:
Nhóm I chứa tám tiên đề về “liên thuộc”
Nhóm II chứa bốn tiên đề về “thứ tự”
Nhóm III chứa năm tiên đề về “bằng nhau”
Nhóm IV chứa hai tiên đề về liên tục
Nhóm V chứa một tiên đề về song song
2.1. Nhóm I - các tiên đề về liên thuộc.


Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “thuộc” có khi còn
gọi là đi qua.
Các tiên đề trong nhóm này là:
 Với hai điểm bất kỳ tồn tại đường thẳng đi qua.
 Với hai điểm phân biệt có không quá một đường thẳng đi qua.
2.1.3. Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Có ít nhất ba điểm không cùng

thuộc một đường thẳng.
 Cho bất kỳ ba điểm A, B, C nào không thuộc một đường thẳng, không

bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
 Cho bất kỳ ba điểm A, B, C nào không cùng thuộc một đường thẳng,

không bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
 Nếu hai điểm A, B cùng thuộc một đường thẳng a, đồng thời cùng
thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm nào khác thuộc đường thẳng a
cũng sẽ thuộc mặt phẳng 
 Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ cùng thuộc ít
nhất một điểm thứ hai B.
 Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
2.2. Nhóm II- Các tiên đề về thứ tự.
ở đây có thêm khái niệm tương quan cơ bản “ở giữa”.
Các tiên đề trong nhóm này là:
2.2.1. Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì A, B, C là ba điểm khac nhau
cùng thuộc một đường thẳng và điểm B cũng ở giữa C và A
2.2.2. Cho bất kỳ hai điểm A, C nào bao giữa cũng có ít nhất một điểm B trên
đường thẳng AC sao cho C ở giữa A cà B.
2.2.3. Trong bất cứ ba điểm nào cùng thuộc một đường thẳng không bao giờ
có quá một điểm ở giữa hai điểm kia.
2.2.4. Tiên đề Pát.
Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng và một đường
thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) nhưng không thuộc bất cứ điểm nào trong ba
điểm A, B, C cả. Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn AB thì nó
còn một điểm chung nữa hoặc với AC hoặc với đoạn BC.
2.3. Nhóm III - Các tiên đề bằng nhau.
Tương quan cơ bản trong nhóm này là tương quan “bằng” của một
đoạn thẳng với một đoạn thẳng khác của một góc với một góc khác.
Các tiên đề trong nhóm này là:


2.3.1. Nếu cho một đoạn thẳng AB thì trên một nửa đường thẳng có gốc A‟
bao giờ cũng có một điểm B‟ sao cho đoạn thẳng A‟B‟ bằng đoạn thẳng
AB và được ký hiệu: A‟B‟ AB.

Đối với mọi đoạn thẳng AB ta đều có: AB BA.
2.3.2. Nếu A‟B‟ AB và A”B” AB thì A‟B‟ AB .
2.3.3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hằng với B ở giữa A và C và ba điểm
A‟, B‟, C‟ thẳng hàng với B‟ ở giữa A‟ và C‟. Nếu AB A‟B‟, BC
B‟C‟ thì AC A‟C‟.
2.3.4. Cho một góc (x, y) và một nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng
chứa tia x‟. Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên bao giờ cũng có một và chỉ
một tia y‟ cùng gốc với tia x‟ sao cho (x‟,y‟) bằng góc (x, y) và ký hiệu là:
(x, y) = (x‟,y‟)
Đối với mọi góc (x,y) ta đều có (x,y)=(y,x) và (x,y)=(x,y).
2.3.5. Cho tam giác ABC và tam giác A‟B‟C‟. Nếu AB A‟B‟, AC
A‟C‟
= B' A thì ta có
= A' B và
và
= A 'C ' B ' .
BAC

'C '

ABC

'C '

ACB

2.4. Nhóm IV – tiên đề liên tục.
2.4.1. Tiên đề Đơ đơ kin hay tiên đề IV
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp
không rỗng sao cho:

- Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà thôi.
- Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.
Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai lớp có
thể coi điểm này là điểm cuồi cùng của lớp thứ nhất hoặc điểm đầu của lớp
thứ hai.
2.4.2. Tiên đề Acsimét
Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kỳ. Khi đó có một số hữu hạn các
điểm A1 , A2 ,..., thuộc đường thẳng AB sắp xếp sao cho A1 ở giữa A và A2 , A2
An
An2
ở giữa A1 ,
A3 ,
An1 ở
An , B ở giữa An1
và
và
….,
và
giữa
các đoạn AA1, A1 A2 ,..., An1 đều bằng đoạn CD.

An và sao cho

An

2.5. Nhóm V – các tiên đề về song song.
Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trên một mặt phẳng
và không có điểm chung gọi là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu a và
b là hai đường thẳng song song với nhau ký hiệu là: a // b.



Nội dung tiên đề: Cho một đường thẳng a bất kỳ và một điểm A không
thuộc đường thẳng a. Khi đó trong mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường
thẳng a có nhiều nhất một đường thẳng đi qua A và không cắt a.
2.6. Đo độ dài, diện tích, thể tích.
2.6.1. Độ dài


Định nghĩa 2.6.1. Với một đoạn thẳng AB cho trước tồn tại duy nhất
một hàm f (AB) thoả mãn các điều kiện sau:
1. Với mỗi đoạn thẳng AB ta có f(ab) > 0.
2. Nếu hai đoạn thẳng AB và A‟B‟ bằng nhau thì f(AB) = f(A‟B‟).
3. Nếu có điểm C ở giữa hai điểm A và B thì : f(AC) + f(CB) = f(AB).
4. Có một đoạn OE sao cho f(OE) = 1.
Hàm số f(AB) gọi là độ dài của đoạn thẳng AB. Đoạn OE gọi là đơn vị dài
hay là đoạn thẳng đơn vị.
2.6.2. Đo góc
Độ lớn của một góc cũng được xác định tương tự như độ dài của các đoạn
thẳng, nghĩa là ta có:
Định nghĩa2.6.4: Số đo của góc (x, y) là một hàm số
thoả mãn 4
(x, y)

điều kiện sau:
1. Với mỗi góc (x,y) ta có (x, y) >0
2. Nếu hai góc (x,y) và (x‟,y‟) bằng nhau thì (x, y) (x ', y ')
3. Nếu có một tia z ở giữa hai tia x,y của góc (x,y) thì
(x, z) (z, y) (x, y)
4. Có một góc (x0 , y0 sao cho (x 0 , y0 ) 1.
)


2.6.5. Diện tích của các đa giác đơn trong mặt phẳng
Định nghĩa 2.6.5: Giả sử có hàm số f xác định trên tập hợp tất cả các đa
giác đơn của mặt phẳng sao cho các điều kiện sau thoả mãn
1. Giá trị của hàm f luôn dương
2. Nếu hai đa giác bằng nhau thì giá trị của f ứng với chúng cũng bằng
nhau
3. Nếu P, P1 , là các đa giác mà P
thì
P2

P1 P2
f (P)  f (P1 ) f (P2 )

4. ứng với hình vuông có các cạnh bằng đơn vị đo độ dài đoạn thẳng thì
giá trị của hàm f bằng 1
Khi đó giá trị của hàm f ở mỗi đa giác (đơn) P, tức là số f(P) được gọi là
diện tích của P theo đơn vị diện tích là hình vuông nói trong điều kiện 4.
2.6.3. Thể tích của các hình đa diện đơn
Theo sơ đồ như xây dựng lí thuyết về diện tích của các đa giác đơn
trong mặt phẳng, người ta xây dựng lí thuyết về thể tích của các hình đa diện
đơn trong không gian.


Phần 2: Vấn đề định hướng trong mặt phẳng
A. Định hướng trên đường thẳng
1. Định nghĩa.
Trên đường thẳng , cho một điểm 0, gọi là gốc và một vectơ
đơn vị e







tưc là e 1 .Tia 0x cùng hướng với e .

được gọi là tia dương và do đó xác định hướng dương của trục tia 0x‟ là
tia


đối của tia 0x và do đó ngược hướng vớie , được gọi là tia âm và xác định
âm (hay hướng nghịch của trục ).


Với vectơ u trên trục luôn tồn tại và duy nhất
m R

gọi là toạ độ của vectơ trên trục .
u



để 
m



u


thì m
.

Với X 0X
nếu . thì x gọi là hoành độ của điểm X trên trục


.
x
2. Độ dài đại số của đoạn thẳng
Độ dài đại số của một vectơ trên trục đó là số (số đại số) mà
nhân
với vectơ đơn vị



của trục thì cho ta một vectơ bằng vectơ đó




( AB AB.e ,AB gọi là độ dài đại số
trên trục ). Hay cho đoạn
của AB
thẳng
e


AB trên đường thẳng định hướng . Ta có độ dài đại số của đoạn thẳng
AB là

số có giá trị tuyệt đối là độ dài của đoạn thẳng AB, kí hiệu: AB


Nếu AB cùng hướng với
e

Nếu
AB





ngược hướng với
e

thì AB mang dấu dương



thì AB mang dấu âm


Nếu A, B có toạ độ lần lượt là a, b thì ta có:

= (b- a)

AB

e




và AB = b-a


3. Hệ thức Sa–lơ
*Hệ thức Sa-lơ cho ba điểm
Với ba điểm A, B, C bất kỳ trên đường thẳng định hướng ta
luôn có:
Ab BC AC

Chứng minh
Giả sử trên đường thẳng định hướng các điểm A, B, C có toạ
độ lần lượt là a, b, c. Với O là gốc thì ta có:
AB b BC c AC c a
a,
b,

Vậy AB BC (b a) (c b) c a AC
*Mở rộng hệ thức Sa-lơ cho n điểm
Trên đường thẳng định hướng cho các
điểm

A1 , A2 ,..., An , khi đó ta có

hệ thức Sa-lơ cho n điểm là: A1 A2 A2 A3 ... An1 An A1 An
4. Các ví dụ minh hoạ
*Phương pháp:
- Vận dụng các kiến thức về định hướng trên đường thẳng như:

Định nghĩa độ dài đại số và hệ thức Sa- Lơ để giải quyết bài toán.
*Một số bài toán áp dụng
Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng chứng minh
rằng
a)

AB CD ACDB ADBC 0

b)

AB CD AC DB AD BC CDDBBC 0

Bài làm

2

2

2


Ta định hướng trên đường thẳng và chọn A là điểm gốc trên đường
thẳng đó.
Giả sử B, C, D có toạ độ lần lượt là b, c, d. Khi đó ta có:


AB b, AC  AD d
c,
CD AD AC



c

d

DB

AB  AD b

Nên ta có:

d BC  AC

a)

AB c b

AB CD AC DB ADBC b(d c) c(b d ) d (c
b)
= bd-bc+bc-cd+cd-db
=0

Vậy

AB CD ACDB ADBC 0

b) Ta có:
2

2


2

AB CD AC DB AD BC CDDBBC
2

2

2

b (d c) c (b d ) d (c b) (d c)(b d )(c b)
2

2

2

2

2

2

2

2

2

b d b c c b c d d c d b dbc b d cd

2
bd
2

2

 bc b c c d bcd
0
2

2

2

Vậy ta có : AB CD AC DB AD BC CDDBBC 0
Ví dụ 2. (định lý Stioa)
Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên cạnh BC, Khi đó ta luôn có
2

2

2

AB CD AC DB AD BC CDDBBC 0

Bài làm:
Kẻ AH vuông góc với BC, chọn hệ trục Hxy với gốc toạ độ là điểm H như
hình vẽ ta có: A = (0; a) C=(c; 0) B= ( b; 0) D=( d; 0)
Khi đó ta có:



CD d c, DB b
d,
2
2

Do đó ta suy
ra

AB a
2
b ,

2

AC a
2
c ,

BC c b
2
2

2

AD a d

2



2

2

2

AB CD AC DB AD BC CD.DB.BC
2

2

2

2

2

2

(a b )(d c) (a c )(b d ) (a d )(c b)
(d c)(b  d )(c b)
2

2

2

2

2


2

2

2

2

a d a c b d b c a b a d bc c d a c
2
2
2
a b cd  bd bcd
2

2

2

2

2

2

b d cd bd bc b c c d bcd
0
2


2

2

Vậy AB CD AC DB AD BC CDDBBC 0
Ví dụ 3: Giả sử a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác
ABC và ma , mb , mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC
xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng xuống các cạnh BC, CA, AB ta có:
2

2

2

b 
c
2
ma = 2
4
2

2

2

a 
c
m 
2
4


b

b 
a
2
mc 
2
4

c

2
b

2

2

2

Thật vậy: Nếu D là trung điểm của đoạn thẳng BC với hướng dương theo


hướng BC , Với D là gốc khi đó ta có :


CD 
a
 ,

2

BC  DB 
a
a,
 ,

2
AB

2
c ,

2

AC2 b

2


áp dụng hệ thức Stioa ta có:
2

2

2

AB CD AC DB AD BC CDDBBC 0
a
a

2
2
c ( ) b ( )
a
a
AD2a ( )( )a
0 2 2
2
2
2
2
2
b
a
2

 AD  0
c

2 2
4
2
2
2
b c
a
2
AD 

2

4
ha
y

2

2

2

b c
a
2

ma 
2
4

Chứng minh tương tự ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Qua điểm A của hình bình hành ABCD. Dựng cát tuyến đi qua A cắt
BD ở E, BC ở F và CD ở G. CMR:
1

1
1
 
AE AF AG

Bài làm: Do AB song song với DG nên ta có:
AE


BE AG
BD

(1)


Do BF song song với AD nên :
BE

FE BD
FA

(2)


Từ (1) và (2) suy ra

AE

AG

FE

FA

AE.FA (FA AE).AG
AE.( AG AF ) AG.AF
1
AG AF

1

 AF AG 
AE
AF.AG

Vậy ta có:


1
1

AE

1
 .
AF AG

1


B. Định hướng trong mặt phẳng
B0. Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch
2

Trong không gian E ,cho hệ toạ độ trực chuẩn

0,
độ trực chuẩn
',


 
e1, e2

 (I) và hệ toạ

 

0

e '1, e '2 (II). Nếu định thức của phép biển đổi từ (I) sang (II)



có giá trị dương ta nói hệ toạ độ (I) và hệ toạ độ (II) là cùng chiều. Nếu định
thức của phép biển đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm ta nói hệ toạ độ (I) và hệ
toạ độ (II) là ngược chiều.
Vì vậy ta quy ước hệ toạ độ (I) là thuận.
Khi đó nếu định thức của phép biến đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm thì
ta nói hệ toạ độ (II) là nghịch.
B1 - Góc định hướng
1. Khái niệm góc định hướng
1.1. Góc định hướng của hai vectơ chung gốc
1.1.1. Khái niệm: Để khảo sát việc quay tia 0m quanh điểm 0, ta cần chọn một

chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược
chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương (và chiều ngược lại của kim đồng
hồ là chiều âm) hình 1.



Hình 1.


Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì ta nói tia
Om quay góc

360 (hay
2
0

rad ) quay đúng hai vòng thì ta nói quay một góc

720 ( hay 4 rad), quay theo chiều âm nửa vòng thì ta nói nó quay
0

góc
( hay

180

rad),…



Cho hai tia Ou và Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ
theo chiều âm ) xuất phát từ tia 0u đến trùng với tia Ov thì ta nói: tia Om quét
một góc lượng giác tia đầu là Ou, tia cuối Ov.

 
Cho hai vectơ chung gốc 0A, 0B (đều khác vectơ không), trong mặt


phẳng (OAB). Cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia
 

0A đến tia 0B, ta nói tia 0x quét một góc định hướng, kí hiệu là ( 0A ,
) , với
0B
 là vectơ đầu(hoặc là vectơ gốc)
0 
là vectơ cuối (hoặc vectơ ngọn).
A

0
B

Như vậy góc định hướng của vectơ 0 và vectơ


0


chình là góc lượng

giác của tia 0A và tia 0B.
1.1.2. Quy ước: Thông thường, ta quy ước hướng quay của tia 0x nói trên

quanh điểm O là dương nếu hướng quay này là ngược chiều quay của kim
đồng hồ, và là âm nếu hướng quay này theo hướng kim đồng hồ
1.1.3. Cách xác định góc
Khi xác đinh góc định hướng ở trên ta không quan tâm đến độ dài vectơ

nên để thuận tiện, ta có thể xét các vectơ 0


A



0 A 0B
r






và 0 có độ dài bằng nhau:
B

(h.2) . Khi đó điểm X chuyển động trên đường tròn tâm 0, bán

0


kính 0 A 0B r , từ điểm A đến điểm B và quay k vòng theo hướng
xác


định thì điểm X vẽ nên một cung định hướng, kí hiệu: A
B