trƣờng đại học sƣ phạm hà nội
2 khoa toán
********

nguyễn thị hồng hạnh

phƣơng trình nghiệm
nguyên

khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa
học th.s dƣơng thị luyến

hà nội - 2010


Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài này em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ tận tình của các
thầy cô giáo, cùng các bạn sinh viên khoa toán trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà
Nội 2, đặc biệt là cô giáo Dương Thị Luyến, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn em
làm đề tài này.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo Dương Thị
Luyến, các thầy cô và các bạn sinh viên khoa toán trƣờng Đại Học Sƣ Phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.
Tuy đã rất cố gắng song chắc chắn đề tài vẫn không tránh khỏi còn có
những thiếu sót, chính vì vậy em rất mong đƣợc sự góp ý của các thầy cô, các
bạn sinh viên và các bạn đọc để đề tài này đƣợc hoàn thiện hơn nữa.

Hà Nội, tháng 5 năm

2010 Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Hồng Hạnh

2


Lời cam đoan

Em xin cam đoan : Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học
tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô , các bạn
sinh viên khoa toán trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hƣớng
dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Luyến. Trong quá trình làm khoá luận
em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã đƣợc hệ thống trong mục tài
liệu tham khảo.
Khoá luận tốt nghiệp " Phương trình nghiệm nguyên " không có sự trùng
lặp với các khoá luận khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên
Nguyễn Thị Hồng Hạnh


Mục lục

Trang

Phần I Mở đầu............................................................................................. 5
1. Lí do chọn đề tài........................................................................................5
2. Mục đích, yêu cầu của đề tài..................................................................... 5
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu................................................................ 5

4. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 6
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.......................................................................... 6
Phần II Nội dung..........................................................................................7
Chƣơng 1 các khái niệm cơ bản...................................................................7
1.1.

Tính chia hết trong tập số nguyên....................................................... 7

1.2.

Ƣớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất........................................7

1.3.

Đồng dƣ.............................................................................................. 8

1.4.

Vài định lí cơ bản của số học.............................................................. 9

1.5.

Thuật toán Ơclit.................................................................................10

1.6.

Phƣơng trình nghiệm nguyên............................................................10

1.7.


Liên phân số...................................................................................... 11

1.8.

Công thức tổng quát của dãy đặc biệt............................................... 14

Chƣơng 2 Phƣơng trình Điôphăng............................................................16
2.1.

Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn............................................................16

2.2.

Phƣơng trình bậc nhất nhiều ẩn........................................................ 24

Chƣơng 3 Phƣơng trình Pell..................................................................... 27
3.1.

Phƣơng trình Pell loại I.....................................................................27

3.2.

Phƣơng trình Pell loại II....................................................................33

Chƣơng 4 Phƣơng trình Pitago................................................................. 42
4.1.

Giải phƣơng trình Pitago..................................................................42

4.2.


Một vài tính chất của bộ ba Pitago nguyên thủy..............................45


4.3.

Ví dụ sử dụng bộ số Pitago...............................................................45

Chƣơng 5 Phƣơng trình Fermat...............................................................50
5.1. ..................................................................................................
ch
ứng minh định lí lớn Fermat với n = 4..............................................50
5.2. .................................................................................................. Lị
ch sử về chứng minh định lí lớn Fermat............................................54
Chƣơng 6 Phƣơng trình đồng dƣ một ẩn.................................................57
6.1.

Các khái niệm....................................................................................57

6.2.

Phƣơng trình bậc nhất ax ≡ b ( mod m)............................................57

6.3. Phƣơng trình đồng dƣ f(x) ≡ 0 ( mod m).............................................60
Kết luận.......................................................................................................66
Tài liệu tham khảo.......................................................................................67


Phần I. mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Toán học là một trong những ngành khoa học ra đời sớm nhất, và số học
là một trong những nền tảng cho sự ra đời toán học. Mặt khác phƣơng trình
nghiệm nguyên là đề tài lí thú của số học, nó đã lôi cuốn nhiều độc giả nghiên
cứu, trong lịch sử toán học đã có rất nhiều nhà toán học lớn nghiên cứu về
vấn đề này nhƣ Điôphăng hay Fermat với Định lí lớn Fermat là bài toán để
các nhà toán học nghiên cứu, tìm tòi cách giải suốt hơn ba thế kỉ...
Tuy nhiên trong chƣơng trình phổ thông hiện nay phƣơng trình nghiệm
nguyên chƣa đƣợc dành nhiều thời gian cũng vì thế mà học sinh thƣờng rất
lúng túng khi giải các bài toán về phƣơng trình nghiệm nguyên, đặc biệt là
trong các kì thi học sinh giỏi.
Phần lớn phƣơng trình nghiệm nguyên không có cách giải tổng quát .
Mỗi bài toán, đòi hỏi có cách giải quyết vấn đề riêng, có một cách giải riêng
phù hợp. Do đó đòi hỏi các em học sinh phải tƣ duy, sáng tạo trong việc giải
phƣơng trình nghiệm nguyên. Song vẫn có một số phƣơng trình nghiệm
nguyên có các cách giải riêng : phƣơng trình bậc nhất một ẩn, phƣơng trình
Pitago, phƣơng trình Pell,... nhƣng chúng chƣa đƣợc hệ thống một cách đầy
đủ, rõ ràng.
Với những lí do trên em đã chọn đề tài phương trình nghiệm nguyên.
2. Mục đích, yêu cầu của đề tài.
Đề tài nhằm hệ thống đầy đủ và chính xác các cách giải của một số
phƣơng trình nghiệm nguyên: Phƣơng trình Điôphăng( bậc nhất hai ẩn và bậc
nhất nhiều ẩn), phƣơng trình Pell ( loại I và loại II), phƣơng trình Pitago,
phƣơng trình Fermat, phƣơng trình đồng dƣ một ẩn.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu


Đối tƣợng nghiên cứu: Phƣơng trình nghiệm nguyên.
Phạm vi nghiên cứu : Do hạn chế về mặt thời gian cũng nhƣ năng lực
bản thân nên đề tài chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu một số phƣơng trình
nghiệm nguyên đặc biệt.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu các vấn đề sau:
Chƣơng 1 Các khái niệm cơ bản
Chƣơng 2 Phƣơng trình Điôphăng
Chƣơng 3 Phƣơng trình Pell
Chƣơng 4 Phƣơng trình Pitago
Chƣơng 5 Phƣơng trình
Fermat
Chƣơng 6 Phƣơng trình đồng dƣ một ẩn
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu, phân tích các tài liệu
- Hệ thống, khái quát các vấn đề
- Sƣu tầm, giải quyết các bài toán
- Tổng kết kinh nghiệm


Phần II Nội dung.
Chƣơng 1 Các khái niệm cơ bản.
1.1 .Tính chia hết trong tập số nguyên.
Định nghĩa 1. Giả sử a và b là 2 số nguyên . Ta nói b chia hết a hay a
chia hết cho b nếu nhƣ có số nguyên q sao cho a = bq. Khi ấy ta còn nói b là
ƣớc của a hay a là bội của b và viết b│a hay a b.
Định nghĩa 2. Một số tự nhiên p > 1 đƣợc gọi là số nguyên tố nếu nó
chỉ có 2 ƣớc số là 1 và chính nó.
*) Các tính chất cơ bản của tính chia hết.
1) Nếu a, b nguyên dƣơng mà a b thì a ≥ b .
2) Nếu ai  b (i = 1..n) thì (a1+ a2 + ... + an)  b.
Định lí về phép chia với dƣ. Với mọi cặp số nguyên a, b, b ≠ 0 tồn tại
duy nhất cặp số nguyên q,r thoả mãn các hệ thức
a = bq + r ,

0

r b .

1.2.Ƣớc chung lớn nhất (ƢCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN),
Định nghĩa 3. a) Một số nguyên d đƣợc gọi là ƣớc chung của các số
nguyên a1, a2, ... ,an nếu d là ƣớc của mỗi số nguyên đó.
b) Một ƣớc chung d của các số nguyên a1, a2, ... ,an sao cho mọi ƣớc chung
của a1, a2, ... ,an đều là ƣớc của d , đƣợc gọi là ƣớc chung lớn nhất của các số
đó. Kí hiệu d = (a1, a2, ... ,an).
c) Các số nguyên a1, a2,...,an đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƣớc chung
lớn nhất của chúng bằng một.
Định nghĩa 4. a) Giả sử a1, a2, ... ,an là những số nguyên khác 0 . Số
nguyên b đƣợc gọi là bội chung của a1, a2, ... ,an nếu b là bội của mỗi số
nguyên đó.


b) Một bội chung m của các số nguyên khác không a1, a2, ... ,an sao cho mọi
bội chung của a1, a2, ... ,an đều là bội của m, gọi là bội chung nhỏ nhất của
các số đó. Kí hiệu : m = [a1, a2, ... ,an].
*) Các tính chất cơ bản của ƢCLN và BCNN.
1) Với 2 số nguyên dƣơng a, b ta có : (a,b)[a,b] =
ab. 2) Cho m ≠ 0 ta có (ma1,ma2,...,man) =
m(a1,a2,...,an).
[ma1,ma2,...,man] = m[a1,a2,...,an]
3) Với mọi số nguyên a, b luôn tồn tại các số nguyên r, s sao cho
ar + bs = (a,b).
a b
4) d=(a,b) thì (


, ) = 1.
d d
5) Nếu (a,b) = 1 thì tồn tại các số nguyên r, s sao cho ar + bs = 1.
6) Nếu (a,b) = 1 , a│bc thì a│c.
1.3.Đồng dƣ.
Định nghĩa 5. Cho m là một số nguyên dƣơng. Ta nói hai số nguyên a và
b đồng dƣ với nhau theo môđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta
đƣợc cùng một số dƣ. Kí hiệu a ≡ b (mod m).
Nhận xét: a ≡ b (mod m) a = b + mt m │(a
– b).
*) Các tính chất cơ bản của đồng dƣ thức.
1) Quan hệ đồng dƣ là một quan hệ tƣơng đƣơng trong Z.
2) Nếu ai ≡ bi (mod m) ,i = 1..n thì ta cũng có
n

ka
i1

i

n





(mod m), k = ± 1.

kbi


i1

3) Nếu ai ≡ bi (mod m) ,i = 1…n thì ta cũng có
n

n


a

i

i 1



(mod m)


b

i
i 1

4) Giả sử a, b Z sao cho:


a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), ..., a ≡ b (mod mk) thì ta có
a ≡ b (mod m) với m = [m1, m2, ..., mk].
Định nghĩa 6. Tập thƣơng của tập hợp các số nguyên Z trên quan hệ đồng dƣ

theo môđun m đƣợc gọi là tập hợp các lớp thặng dƣ môđun m và kí hiệu là
Zm.Mỗi phần tử của Zm gọi là một lớp thặng dƣ môđun m .
Nếu A Zm và a là một số nguyên thuộc A thì ta còn kí hiệu :
A = a (mod m)
Định nghĩa 7. Cho m là một số nguyên dƣơng. Tập hợp H gồm những số
nguyên lấy ra ở mỗi lớp thặng dƣ của Zm một và chỉ một số đƣợc gọi là một
hệ thặng dƣ đầy đủ môđun m.
VD: Với m = 7 ta có {0,1,2,3,4,5,6} là một hệ thặng dƣ đầy đủ môđun 7
1.4.Vài định lí cơ bản của số học.
1.4.1Định lí cơ bản của số học.(Định lí cơ bản về số nguyên tố)
Cho n là số nguyên dƣơng (n>1) .Khi đó n luôn có thể biểu diễn đƣợc
một cách duy nhất ( không tính đến việc sắp xếp thứ tự các nhân tử ) dƣới
dạng sau:


p
1 p2 ... pk

n=

1

2

k

Trong đó k, ỏi, (i = 1, k ) là các số tự nhiên và pi (i = 1, k ) là các
số nguyên tố.
Khi đó dạng phân tích trên đƣợc gọi là dạng khai triển chính tắc của số
nguyên dƣơng n.

1.4.2Định lí Fermat.
Cho p là một số nguyên tố và a là số nguyên tuỳ ý thì :
p

a ≡ a ( mod p).
p -1

Nếu (a,p) = 1 thì a
1.4.3Định lí Ơle.

≡ 1 ( mod p).


Cho m là số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên nguyên tố với m. Khi
ử(m)

đó ta có :

a

≡ 1 ( mod m).

ử(m) là số các số nguyên dƣơng nhỏ hơn m và nguyên tố với m.
1.5.Thuật toán Ơclit.
Chú ý: Từ hệ thức a = bq + r ta suy ra (a,b) = ( b,r).
• Cho a,b Z. Nếu một trong hai số là ƣớc của số kia , chẳng hạn
b│a thì ta có (a,b) = b.
• Nếu trƣờng hợp trên không xảy ra, ta có các hệ thức sau đây biểu thị
một dãy các phép chia có dƣ :
a = bqo + r1


0 < r1 < │b│

b = r1q1 + r2

0 < r2 < r1

...
rn -2 = rn -1 qn -1+ rn

0 < rn < rn – 1

rn – 1 = rnqn .
Dãy phép chia liên tiếp này gọi là thuật toán Ơclit thực hiện trên hai số a và b
. Dãy này là hữu hạn và thuật toán Ơclit phải kết thúc với một số dƣ rn+1 = 0
Theo chú ý trên ta có : (a,b) = (b,r1) = . . . = (rn – 1 , rn) = rn
Nhƣ vậy , ƢCLN của hai số a và b là số dƣ cuối cùng khác 0 trong
thuật toán Ơclit thực hiện trên a và b.
1.6. Phƣơng trình nghiệm nguyên.
Giải phƣơng tình chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất cả
các bộ số nguyên (x, y , z...) thoả mãn phƣơng trình đó.
Khi giải phƣơng trình nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập
hợp Z nên ngoài việc biến đổi tƣơng đƣơng , ta còn dùng đến các biến đổi mà
giá trị của ẩn chỉ thoả mãn điều kiện cần của nghiệm. Trong trƣờng hợp này
ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử trực tiếp vào phƣơng trình đã
cho.


Một phƣơng trình nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữƣ hạn nghiệm,
có vô số nghiệm. Trong trƣờng hợp có vô số nghiệm nguyên, các nghiệm

nguyên của phƣơng trình thƣờng đƣợc biểu thị bằng công thức có chứa tham
số là một số nguyên.
1.7. Liên phân số.
1.7.1Định nghĩa liên phân số hữu hạn.
Một liên phân số hữu hạn là một biểu thức có dạng

ao  a1
 a2


1
1

(1)

1

1
a3 ... 
1
an1 
an

Trong đó ao là số nguyên, a1, a2, . . ., an là các số nguyên dƣơng và an > 1. Số
n gọi là độ dài của liên phân số. Kí hiệu liên phân số (1) dƣới dạng
[ao;a1,a2,...,an]
1.7.2Định nghĩa liên phân số vô hạn.
Một liên phân số vô hạn là một biểu thức có dạng

ao  a1

 a2


1
1
1
a3 ... 
an1 

1
1
an ...

Trong đó ao, a1, a2, ... là dãy vô hạn các số nguyên với ai > 0 ,i >0,

i N .
1.7.3Định nghĩa giản phân.


Cho liên phân số [ao;a1,a2,...,an,…] hữu hạn hoặc vô hạn.
Xét biểu thức:

k 
ao 

1

a1



1
a2 
a3 ... 

1
1
ak 1

1
ak

Nếu thực hiện các phép tính trong biểu thức này theo thứ tự từ dƣới lên ta
đƣợc kết quả là một phân
số:

Pk
k 
Qk

Phân số này đƣợc gọi là giản phân cấp k của liên phân số đã cho.
*) Công thức tính giản phân.
Cho liên phân số [ao;a1,a2,...,an,…] hữu hạn hoặc vô hạn.
Giả sử hai dãy số nguyên dƣơng Po, P1, . . ., Pn và Qo, Q1, . . ., Qn đƣợc xác
định nhƣ sau :
Po = ao

Qo = 1

P1 = a1Po + 1


Q1 = a1

P2 = a2P1 + Po

Q2 = a2Q1 + Qo

...

...

Pk = akPk – 1 + Pk – 2

Qk = akQk – 1 + Qk – 2

Khi đó giản phân thứ k, Ck = [ao;a1,a2,...,ak] đƣợc cho bởi công thức :

Pk
Ck = Q
k
1.7.4Định nghĩa liên phân số vô hạn tuần hoàn.


Liên phân số vô hạn [ao;a1,a2,...] đƣợc gọi là tuần hoàn, nếu dãy {an} là
tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó. Tức là : tồn tại các số nguyên dƣơng N và
k sao cho an = a n + k với mọi số nguyên dƣơng n ≥ N.
Kí hiệu là : [ao;a1,a2,...] = [ao; a1, a2, . . ., aN – 1, aN , aN1,..., aN k 1 ]
1.7.5Định nghĩa số vô tỉ bậc hai.
Số vô tỉ ỏ đƣợc gọi là số vô tỉ bậc hai nếu nó là nghiệm của một tam thức
bậc hai với hệ số nguyên.
VD:


2 là số vô tỉ bậc hai vì nó là nghiệm của tam thức bậc hai

2

x – 2 = 0 với hệ số nguyên.
1.7.6.Một vài tính chất quan trọng.
Tính chất 1. Với mọi k = 1, 2, . . ., n thì ta có :
PkQk – 1 – Pk – 1Qk = (- 1)

k+1

.

Pk
Hệ quả. Các giản phân
Qk đều là những phân số tối giản.
k

Tính chất 2. Với mọi k ≥ 2, ta có PkQk – 2 – Pk – 2Qk = (- 1) ak .
Tính chất 3. Mọi số vô tỉ ỏ đều biểu diễn đƣợc một cách duy nhất dƣới
dạng một liên phân số vô hạn.
Tính chất 4. Số vô tỉ ỏ có thể biểu diễn liên phân số tuần hoàn khi và
chỉ khi nó là số vô tỉ bậc hai.
Chú ý 1: Nếu ỏ là số vô tỉ bậc hai thì nó có thể biểu diễn dƣới dạng

P d
ỏ=

Q

2
Trong đó P, Q, d là các số nguyên sao cho (d – P )  Q.
Khi đó ta có biểu diễn ỏ = [ao;a1,a2,...] và {an} là dãy tuần hoàn đƣợc xác định
nhƣ sau :


Giả sử

ỏ = ỏo =

và (d – P o

Po 

2

)  Qo.

d Qo

Đặt ao = [ỏo]

d P 2

P d

1

P1 = aoQo – Po , Q1 =


, ỏ1 =

1

Qo

...

, a1 = [ỏ1]

Q1
2

Tới bƣớc thứ k ta có Pk, Qk , trong đó (d – P )  Q
k

ỏk =

k

, ak = [ỏk]

Pk 
d Qk

Chú ý 2 : Giả sử ỏ = [ao; a1, a2, . . ., aN – 1, aN , aN1,..., aN k 1 ]
Đặt õ = [ aN , aN1,..., aN k 1 ], khi đó õ = [aN, aN+1, ..., aN + k – 1, õ ] và
ỏ = [ao; a1, a2, . . ., aN – 1, õ ].
1.8. Công thức tổng quát của dãy đặc biệt.
2


Bài toán : Cho a,b,p,q thoả mãn p + 4q ≥ 0
Dãy số {un} xác định nhƣ sau : u1 = a, u2 = b, un + 2 = pun + 1 + qun , n = 1,2,...
Hãy tìm công thức tổng quát un.
Giải
+ Trƣớc hết ta chỉ ra nếu tồn tại dãy trên thì nó là duy nhất.
Thật vậy, giả sử có 2 dãy (un) và (u’n) thoả mãn đề bài . Khi đó u1 = u1’ = a, u2
= u2’ = b vì thế theo công thức trong bài suy ra u3 = u3’, u4 = u4’,...,un = un’.
Vậy dãy số trên tồn tại là duy nhất.
2

2

+ Bây giờ xét phƣơng trình bậc hai x – px – q = 0, Ä = p + 4q ≥ 0 nên
phƣơng trình có 2 nghiệm là x1, x2 .
n

n

n+2

Giả sử rằng vn = ỏx1 + õx2 , xét vn+2 = ỏx1
n+1

Mặt khác ta có pvn+1 + qvn = p(ỏx 1

n+2

+ õx2


(*)


+ õx

n+1

n

2
2

n

) + q(ỏx1 + õx2 )

x1, x2 là nghiệm của phƣơng trình x – px – q = 0 nên ta có :

(**)


2
n 2
n1
n


x
px
qx

pxx  q
0
1
 1
1
1 1
2


px
x  q
0
xn2 pxn1 qxn
 2 2
 2 2 2
n+2

n+2

Thay lại vào (**) suy ra pvn+1 + qvn = ỏx1

+ õx2

(***)

Từ (*) và (***) suy ra vn+2 = pvn+1 + qvn
Bây giờ ta đi tìm ỏ, õ:
x1 
x2 a
v1 


a


v 
b

x (ax2 b)


2

p(x1 x2 )



x2 x2

x (ax b)

b

 1


1
1


p(x1 x2 )



2
Phƣơng trình bậc hai x – px – q = 0 gọi là phƣơng trình đặc trƣng của dãy
2

(un) nói trên.

2


CHƢƠNG 2

PHƢƠNG TRình đIÔPHĂNG

Phƣơng trình Điôphăng là phƣơng trình có dạng f(x,y,z,...)= 0 .Trong
đó vế trái của nó là một đa thức với hệ số nguyên và các ẩn x,y,z,... nhận các
giá trị nguyên. ở đây ta chỉ xét phƣơng trình Điôphăng bậc nhất.
2.1.Phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.(phƣơng trình vô dịnh)
Là phƣơng trình có dạng ax + by = c (1) trong đó a,b,c là các số nguyên, a
và b đồng thời khác 0 ,x và y là các số nguyên cần tìm.
VD : 2x+3y=5; 5x+6y=12;...
2.1.1.Điều kiện có nghiệm.
Định lý. Phƣơng trình (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (a,b)│c.
Chứng minh
Điều kiện cần : Giả sử phƣơng trình (1) có nghiệm nguyên (xo,yo) khi đó ta
có
axo + byo = c
Gọi d = (a,b), tức là a = da1, b = db1,


(2)
a1,b1Z và (a1,b1)

= 1 Từ (2) ta có: da1xo + db1yo = c d(a1xo +b1yo) = c
Vì (a1xo + b1yo) thuộc Z nên từ (3) suy ra d(3)
│ c hay (a,b) │ c .
Điều kiện đủ: giả sử d = (a,b) │ c . Khi đó c = dc1 , c1
 Z
Do d =(a,b) nên tồn tại x1,y1 thuộc Z sao cho ax1+ by1 = d
Từ (4) và (5) ta có c = (ax1 + by1)c1 c = a(c1x1)
+ b(c1y1)
Suy ra (c1x1,c1y1) là nghiệm nguyên của (1).

(4)
(5)


Hệ quả: Nếu (a,b) = 1 thì phƣơng trình (1) luôn có nghiệm nguyên.
2.1.2.Cách giải phƣơng trình bậc nhất hai ẩn.
Cách 1: phương pháp tách riêng các giá trị nguyên.
-

Rút gọn phƣơng trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn.

-

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ ( chẳng hạn là x )
theo ẩn kia.

-


Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x.

-

Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1
ta đƣợc phƣơng trình bậc nhất hai ẩn theo y và t1.

-

Cứ tiếp tục làm nhƣ trên cho đến khi các ẩn đều đƣợc biểu thị dƣới
dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Thực chất của cách giải này là thay việc tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình
ax +by =c bởi giải các phƣơng trình a1x + b1y = c1, a2x+ b2y = c2,... trong đó
các hệ số a1,a2,...;b1,b2,... có giá trị tuyệt đối nhỏ dần cho đến khi có một hệ số
có giá trị tuyệt đối bằng 1.
Ví dụ 1. Giải phương trình sau
9x +20y = 546

(1)
Giải

Ta thấy (9,20) = 1 nên (1) có nghiệm.
Chú ý đến tính chia hết của ẩn, từ (1) ta thấy 9x:3, 546:3 =>20y:3 =>
y:3 Đặt y = 3k ,k Z . Thay vào (1) rút gọn ta đƣợc
3x + 20k = 182
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là x) theo k ta đƣợc

182 20k

x  3

.

Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức này:


6
k

x 
64
k
3

5

=-7k + 59 +

k 5

3

k
5
để x nguyên thì

= t ,t thuộcZ

cũng phải nguyên . Đặt


3
k = 3t – 5 => y = 3( 3t – 5 ) = 9t – 15

3

Thay biểu thức của k vào x ta đƣợc
x = -7 (3t – 5 ) +59 + t = - 20t +94
Thay các biểu thức của x và y vào (1) ta đƣợc nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm của (1) đƣợc biểu thị bởi công thức:
x 20t 94

(t Z)
 y
9t
15

Ví dụ 2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
11x + 8y = 73

(1)

Giải
Ta thấy (11,8) = 1 nên (1) có nghiệm
.

(1)

y =


73 11x

8

3
=8–x+3 
x
3 x

3 x

8
để y nguyên thì
8
đặt

phải nguyên ,

8

= t => x = 3 – 8t


Thay biểu thức của x vào y ta đƣợc
y = 8 – 3 + 8t + 3t = 5 + 11t
Thay các biểu thức của x và y vào (1) ta đƣợc nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm của (1) đƣợc biểu thị bởi công thức:


x 3

8t

 y 5
11t

(t Z)

Cách 2: Tìm một nghiệm riêng rồi suy ra nghiệm tổng quát.
Định lý. Nếu (xo,yo) là một nghiệm nguyên của phƣơng trình ax + by = c (1)
thì nó có vô số nghiệm và tập hợp tất cả các nghiệm (x,y) của nó đƣợc xác
định bởi



b
x
xo 


t
y 
d

a
yo 

(t Z và d = (a,b) ) (I)

t
d

Chứng minh

b

+ Trƣớc hết ta chứng minh mọi cặp số (xo + d t, yo
–
là nghiệm của (1).
Thật vậy , ta có

a(xo +

b
d

nghiệm của (1) ) .
t  b
Vậy Z ,
(xo + t, y
o
d
–

a
d

t) , với t thuộc Z đều

a
t) + b(yo –


d

t ) = axo + byo = c ( do (xo,yo) là

a
d

t) là nghiệm của (1).

+ Bây giờ ta chứng minh mọi nghiệm của (1) là (x,y) đều đƣợc biểu thị dƣới
dạng



x



y





xo 

td

yo 


td

b
a

(t Z và d = (a,b) )

trong đó (xo,yo) là 1 nghiệm của (1).
Theo giả thiết ta có axo + byo = c và ax + by = c
Các đẳng thức này cho ta a(x – xo) + b(y – yo) = 0


a
=>

d

+
b

Đẳng thức này chứng tỏ

d

b

b

|


(x – xo)

d

(y – yo) = 0

a

a b
 ,

d


(x- xo )

d
mà

b
số nguyên t : x – xo =

d

t => x = xo +
a

Thay giá trị đó vào (2) ta
đƣợc


b

d

(2)

b
= 1 =>

| (x – xo) nên có 1

d



t
b

. t + (y – yo) = 0
d d
d
a
=> y = yo –

t
d
Vậy mọi nghiệm (x,y) của phƣơng trình (1) đều có dạng (I)
Chú ý: (xo,yo) gọi là nghiệm riêng của (1).
Hệ (I) gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Nghiệm tổng quát của (1) còn đƣợc biểu thị dƣới dạng sau :


b
x

x
t
d

o



y



a
yo 

(t Z và d = (a,b) )

t
d

Cách tìm nghiệm riêng của phƣơng trình ax +by = c (1)
1) Nhẩm nghiệm: Đối với một số phƣơng trình đơn giản ta có thể thấy
ngay nghiệm riêng của nó.