trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
----------o0o----------

NGUYỄN THỊ THU HÀ

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH
ĐIỂM POISSON

khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – 2008

Mục lục
Trang
Mở đầu……………………………………………………………….
-1-

1


Bảng kí hiệu…………………………………………………………

3

Chương 1: Quá trình điểm Poisson………………………………..

4

1.1. Các định nghĩa…………………………………………….

4

1.2. Một số tính chất cơ bản của quá trình điểm Poisson……...
11
1.3. Mômen và độ đo mômen của quá trình điểm
Poisson…….
15
1.4. Phân phối khoảng cách lân cận gần nhất đối với quá trình
điểm Poisson………………………………………………………….
18
1.5. Phân phối khoảng cách giữa các biến cố………………….
20
1.6. Phân phối khoảng cách từ điểm tới biến cố gần nhất……
20
Chương 2: Phân tích thống kê quá trình điểm Poisson…………..
21
2.1. ước lượng cường độ………………………………………
21
2.2. Kiểm định giả thuyết……………………………………...
23
2.2.1. Kiểm định giả thuyết về tính dừng của quá trình điểm
Poisson………………………………………………………………..
23
2.2.2. Kiểm định giả thuyết về quá trình Poisson……………...
24
Kết luận……………………………………………………………...
34

-2-


Tài liệu tham khảo………………………………………………...
35

-3-


mở đầu
Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện
tượng ngẫu nhiên. Nói một cách khác thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng
không thể nói trước được nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần
quan sát. Tuy nhiên nếu thực hiện quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu
nhiên trong những hoàn cảnh như nhau thì trong nhiều trường hợp ta có thể
rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Trong thời đại khoa học kĩ thuật ngày nay, Xác suất thống kê là lĩnh vực
toán học có cơ sở lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
hoạt động khác nhau của con người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống
kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế,
từ nông học tới y học.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn toán ứng dụng, dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Trung Dũng, em đã chọn đề tài: “Phân tích
thống kê quá trình điểm Poisson”.
Nội dung của khoá luận gồm 2 chương:
Chương 1: Quá trình điểm Poisson.
Trong chương này, trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của quá
trình điểm Poisson như mômen và độ đo mômen, các phân phối đối với quá
trình Poisson...
Chương 2: Phân tích thống kê quá trình điểm Poisson.

Trong chương này, trình bày tổng quan về thống kê quá trình điểm
Poisson như ước lượng cường độ, kiểm định giả thuyết…
Trước những khó khăn khi nghiên cứu đề tài, em đã nhận được sự giúp
đỡ, động viên của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên trong khoa. Đặc biệt,


em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng đã giúp đỡ
và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận này.
Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi
những thiếu xót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hà


Bảng kí hiệu
□d

: Không gian Ơclít d chiều

Ax
:

{y x y A}
d

b(a, r)
: x a


: {x 

d

: Thể tích hình cầu đơn vị trong d

r}

(, A, P) : Không gian xác suất cơ bản
B

d

:  - đại số Borel trên

d
d

d

: Độ đo Lebesgue trên 

1B

: Hàm chỉ tiêu của tập B


Chương 1. Quá trình điểm Poisson
1.1. các Định nghĩa


Định nghĩa 1.1. Một quá trình điểm trên 
d

là một ánh xạ đo được 
từ

không gian xác suất (, A, P) vào không gian đo được [N, N], trong
đó N là
họ tất cả các tập hợp con của
d


và N là - đại số trên N thoả mãn
các

điều kiện:
 là đơn giản nếu ( x i , x j xi x j , nếu i j ).
thì


là hữu hạn địa phương (mỗi tập con giới nội
d
của 

chỉ chứa một số

hữu hạn các điểm của )


N là - đại số nhỏ nhất trên N sao cho tất cả các

ánh xạ 


(B) là

đo được với mọi tập Borel B.
Định nghĩa 1.2. Phân phối P của quá trình điểm được xác định
bởi
P(B) P (B) P ( : ()
B), B
N
(1.1)
Định nghĩa 1.3. Quá trình điểm hoặc phân phối P của nó được
gọi là:


dừng (hay thuần nhất) nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép

dịch chuyển, tức là 
x 

d

.

 x n 
và

x  x n  x



có cùng phân phối
với


đẳng hướng nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép quay, tức là

và r có cùng phân phối với mọi phép quay r quanh gốc.

Một quá trình điểm vừa dừng vừa đẳng hướng được gọi là bất biến
chuyển động (motion – invarriance).


Định nghĩa 1.4. Cho không gian xác suất (, A, P) và X là không
gian tôpô Hausdorff compact địa phương. Một độ đo ngẫu nhiên trên X là
ánh xạ đo được : (, A, P) (M, M )
Trong đó: M = M( X ) là tập hợp tất cả các độ đo hữu hạn địa phương
trên ( X , B) và M

là - đại số nhỏ nhất trên M sao cho tất cả các

ánh xạ

(B)

đo được với mọi BB.

Chú ý 1.1. Quá trình điểm có thể được xem như tập ngẫu nhiên của các điểm
rời rạc hoặc như một độ đo ngẫu nhiên đếm số điểm rơi vào trong những miền
không gian. Tương ứng với đó ta có kí hiệu sau:



x khẳng định điểm x thuộc dãy ngẫu nhiên và trong
trường hợp

này ta kí hiệu

 x n  .

 (B) khẳng định tập B chứa n điểm của .
n


Từ Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.4 ta thấy rằng nếu là
một quá

trình điểm trên  thì là độ đo ngẫu nhiên
d
d
trên 

do đó các kết quả của

độ đo ngẫu nhiên cũng được áp dụng vào lý thuyết quá trình điểm.
Định nghĩa 1.5. Hệ thống xác suất
P ((B1) n1,(B2 ) 
n2,...,(Bk ) nk )
trong đó

B1,B2 ,...,Bk là các tập Borel giới nội

và

phân phối hữu hạn chiều của .

n1,n2,...,nk
0

(1.2)

được gọi là


Chú ý 1.2. Theo lý thuyết quá trình điểm thì phân phối của trên
[N, N] được xác định duy nhất bởi tập các phân phối hữu hạn chiều của
nó, k = 1, 2, 3, ...
Định nghĩa 1.6. Xác suất trống (void - probabilities) của quá trình điểm

được xác định bởi


B P(N : (B) 0) P ((B) 0) , B là tập
Borel.
Định lý sau của Olav Kallenberg cho thấy vai trò của tập xác suất trống.
Định lý 1.1. Cho S là không gian tôpô Hausdorff compact địa phương. S là
- đại số Borel trên S . Kí hiệu
*
S

là vành của các tập compact tương đối


trong S. Khi đó ta có:
1. Giả sử

 2 là hai quá trình điểm đơn giản trên S . Khi
đó 1
1 và

và
có cùng phân phối nếu và chỉ nếu P (1(B)

 0) P
2
BS

*

(2 (B)
 0) ,

.

2. Giả sử

 2 là hai quá trình điểm đơn giản hoặc là các
độ đo
1 và

ngẫu nhiên khuếch tán trên S và với c > 0 cố định bất kì. Khi đó

cùng phân phối nếu và chỉ nếu E e

(B)
E

c1


1 và 2 có
*

ec BS
2 (B)

.

,

3. Giả sử  là quá trình điểm đơn giản hoặc là độ đo ngẫu
1
nhiên
khuếch tán trên S và
2

là một độ đo ngẫu nhiên bất kì trên S . Khi đó
1

và 2 có cùng phân phối nếu và
1 (B) 
chỉ nếu
2 (B),


BS

*

.

Nhận xét 1.1. Từ định lý trên nếu là quá trình điểm đơn giản thì
phân phối
P của nó được xác định duy nhất bởi các giá trị của

k ,


K K - là họ tất cả

các tập compact trong □ d .
Định nghĩa 1.7. Quá trình điểm được gọi là quá trình điểm
Poisson với
cường độ ( 0 
d
) trên 


nhiên

nếu thoả mãn các điều kiện sau:

d

Nếu B ,B ,...,B

1 2
n
B

và Bi  Bj


  B1  ,  B2

là độc lập.

với i
j

thì các biến ngẫu

 ,..., Bn 


d

Với mọi BB giới
nội thì

.d  B  .



B


có phân phối Poisson với trung bình


Tính chất 1.1. Quá trình điểm Poisson định nghĩa như trên là bất biến chuyển
động.
Thật vậy, với mọi BB

d

thì
trung bình

.d  B  . Mặt
khác,

Poisson với trung bình

giới nội  B có phân phối Poisson
với

x


có

d

.d Bx 
.d B


B Bx

thì x

phân phối

(vì
d

là độ đo Lebesgue bất

biến đối với phép dịch chuyển). Do đó là dừng. Hơn nữa, từ tính
bất biến của độ đo Lebesgue đối với phép quay quanh gốc nên là
đẳng hướng. Như vậy, là bất biến chuyển động.
Tính chất 1.2. Nếu
BB

d

d  đủ nhỏ thì ta có

và

B
P   B 0 =1 - d  B o  1  B  
P    B    B 
d
1 =

(1.3)


o  1  B  

P   B 1 = od  B
Chứng
minh
Với BB
thì

d B.

d

giới nội 

Theo khai

có phân phối Poisson với trung bình

B
triển

P   B  0 = e

Taylor ta

có





d

B

1-


d  B 

khi với d  đủ nhỏ.

o d  B  

B

P   B 1 =  d B
d  B  e

d

o  d  B  

= d  B 
o  d  B  

Suy
ra

 B   1d B


khi d  đủ nhỏ.
B

P   B 1 =1- P   B 0 - P   B 1
= 0  d  B  
khi

d  đủ nhỏ.
B

Nhận xét 1.2. Giả sử B là tập Borel với

d  B =1. Khi đó
E B  . Như

vậy chính là số điểm trung bình của trong tập có thể tích đơn
vị.
Định nghĩa 1.7. Độ đo cường độ của quá trình điểm được
xác định bởi
(B) E (B)  (B)P(d), BB

d

(1.4)
Tính chất 1.3. Nếu là quá trình điểm dừng thì độ đo cường độ
 thoả
mãn

(B) .d (B), 0 .


Chứng minh

Vì là dừng nên x


d


d

và BB ta có:
(B) E (B) E  x (B) E (Bx )
(Bx ) .
Suy ra là bất biến dịch chuyển. Do vậy, theo tính chất của độ đo
tồn tại
hằng số



0

sao cho (B) .d (B), BBd.



Hằng số được gọi là cường độ của . Nếu ta chọn B
sao cho
d (B)
thì được hiểu là số điểm trung bình của trên một đơn

1
vị thể
tích. Ta luôn giả thiết 0 
.

HB (đối với tập tiêu chuẩn B ) của

Định nghĩa 1.9. Hàm phân phối tiếp
xúc quá trình điểm được xác
định bởi
HB(r)
1 P  (rB) 

với r 0 ,

0,
d

trong đó BB với và
0B
d

(B) 0 .

Chú ý 1.3. Giả sử f là hàm đo được trên


d

d


( , B ).

Tổng của f(x) với x có thể được viết theo những cách
sau:

f (x1) f (x1)
...,


f (x)

x


hoặc

f

p(x) 
(x

y y)

trong
đó

(x)p(x)dx

với là hàm Dirac, hoặc





f
(x)(dx).
Giá trị trung bình của tổng ở trên được viết như sau:



E

f

f (x),

hoặc

(x)P(d)
x





 f

(x)(dx)P(d) .

x


Số điểm của rơi vào B được viết như sau:

(B) 

1B (x)

và trung bình của nó là

x


1B (x) = 1B (x)P(d)

E (B) 

 (B)P(d) E
x

x



1B(x)(dx)P(d
) .
Định nghĩa 1.10. Độ đo mômen cấp n của quá trình điểm kí
hiệu là


(n)


nd

xác định trên B

 f (x1, x2,..., xn
)

bởi

(n) (d(x , x ,..., x ))
1 2
n







f (x1, x2,..., xn )
x1,x2 ,..., Pd()
xn

=E


trong đó f là một hàm đo được không âm trên




f (x1, x2,..., x n ).

x1,x2 ,...,
xn

R ndn


Vớ
d
B
,B
,...,B

B
thì ta có
1
2
n
i
(n)

 (B1 B2 ...Bn )
E ((B1)...(Bn ))
th
(n)
n
n
B1 B2 ...

ì  (B ) E (B) .
Như vậy,
 Bn B

Nế
u

mômen cấp n của biến ngẫu
nhiên



(

cho

n)

(B) .

Trường hợp đặc biệt:
+ Với n = 1:

+ Với n = 2:

(1)

d

(B) E (B) (B), BB .


(2)

d

 (B1 B2 ) E ((B1).(B2 )), B1,B2
B .
Var

((B)) 

(2)

2

(BB) ((B)) ,
d
BB .

Cov ((B1), (B2 )) E ((B1).(B2 )) 
E (B1).E (B2)
=

(2)

(B1 B2 ) (B1).(B 2 ),
d
B1, B2 B .



Nếu là quá trình điểm dừng
thì 

(n)

(n)

 (B1 B2
...Bn ) 

(n)

là bất biến dịch chuyển, tức là
d

(B1 x) ... (Bn x), x  .


Định nghĩa 1.11. Độ đo mômen giai thừa cấp n (factorial moment measure)
của quá trình điểm kí
hiệu là

nd

 xác định trên B bởi
(n)

 f (x1, x2,..., xn )

(n)




(d(x1,..., x n ))

f (x1, x2,..., x n )Pd().

#


x1,x2 ,...,
xn



#

trong đó f là một hàm đo được không âm bất kì trên □ nd . Kí
hiệu
trên tất cả các điểm (x1, x2,...,
x n ),
 Nếu


lấy

xi
khác nhau.
v
à xi

d

B1,B2 ,...,Bn B đôi một rời nhau thì


(n)

(n)

(B1 B2
...Bn )


 Với n = 2 thì 

(2)

(B1 B2 ... Bn )

(B1 B2 ) (B1  B2 ) 

(2)

(B1

d

B2 ), B1, B2 B .
Điều này được chỉ ra từ định nghĩa của 
, 


và quan hệ sau:

,

(2)

 1B1 (x1)1B2
(x 2 ) 
x1,x 2



 Nếu

(2)

#

1B1B 
2

(x1) 

x1

(x2).
x1,x 2

1B (x1)1B

1
2


B1 B2 B thì (n)(B n ) E (B)n ,
n
...
còn (n) (Bn ) =E (B)((B) 1)...((B) n 1).
Đại lượng trong ngoặc của kì vọng là giai thừa cấp n của biến ngẫu nhiên
(B) , vì vậy, người ta dùng thuật ngữ “độ đo mômen giai thừa”.
1.2. Một số tính chất cơ bản của quá trình điểm Poisson

Tính chất 1.4. Nếu B ,B ,...,B là các tập Borel giới nội rời nhau thì ta có
1 2
k
P   B n1,B2 n2,...,  Bk

nk 
k

i1ni

 1  B1  



n1,n2,...,nk
trong đó  0.




nk

n

...d  Bk


ex
n1 ! n2 !...nk
!



k


B 

i d
p 
 i
1

i







Chứng minh
Vì B1,B2,...,Bk là các tập Borel rời nhau cho nên từ điều kiện thứ nhất
của định nghĩa của quá trình Poisson ta có

  B1  ,...,
  Bk

là các biến ngẫu



nhiên độc lập do đó với n ,n ,...,n 0 thì
1 2
k
k

P    B1 n1,B2 n2,...,  Bk
 PBi ni .

nk

i1

Mặt khác, từ điều kiện thứ hai của Định nghĩa 1.7 ta có

 B i
1,k

 ,i



là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số

d Bi

.

Do đó ta có
P    B1 n1,B2 
n2,...,  Bk nk 
k

 B n
exp 

 B 

i



d

i

i

ni !


i1


i1ni
k

 1  B1  


d



n

...d  Bk


ex
n1 ! n2 !...nk !

nk



k


p  i
 i

1

B 

d



i




(1.5)

Tính chất 1.5. Xác suất trống (void - probabilities) của quá trình điểm
Poisson đối với tập tiêu chuẩn B là
(1.6)

B 
Chứng
minh

exp d

B

Dễ dàng suy ra từ định nghĩa của quá trình điểm Poisson.
Theo Định nghĩa 1.9, với B = b(0,1) ta có phân phối tiếp xúc cầu, kí hiệu là
HSr .

Tính chất 1.6. Hàm phân phối tiếp xúc cầu

HS  r của quá trình điểm

Poisson cho bởi


HS r 1exp

 .dr d , r 0

(1.7)
Đây chính là hàm phân phối của khoảng cách từ 0 đến điểm gần nhất của
.


Định nghĩa 1.12. Cho W là tập compact trong
gọi là có phân phối đều trong W nếu
P  A

 d
A 

(1.8)

d

với mọi tập con Borel A trong W.

 W


Định nghĩa 1.13. Quá trình điểm

 1,2,...,n được gọi
là quá trình

điểm nhị thức của n điểm trên tập compact


□ d . Điểm ngẫu nhiên 
được

W 

d

nếu thoả mãn:

là độc lập

1,2,..., có phân phối đều trong W, nghĩa là với mỗi i
1i n
n

thì


1,2,...,
n


P   i A



(1.9)

d

A 
d  W 
Ta kí hiệu quá trình điểm nhị thức của n điểm trong tập compact W là

 n . Với mỗi tập con Borel A của W ta đặt



n A



W

W




rơi vào A.




ta có
n

Nhận xét 1.3. Từ định nghĩa của



W

n



n

 

là số điểm của

n

W




 W n

W


0, W
và

n



W
 A2

A1



n

n

A   A
1



W

2

W


với A ,
1
A2

là các tập Borel rời nhau trong W.

n
Rõ ràng tính chất này đúng với phép toán đếm được. Vì vậy 


là một

W

độ đo ngẫu nhiên.
Từ định nghĩa của quá trình điểm nhị thức ta có tính chất sau
Tính chất 1.7


W

n
có phân phối nhị thức

1. Với mỗi tập con Borel A của W thì  A
 
với tham số n

và
p


n

 W


d  A 

.

d  W 

W

n
W   K 




2. Xác suất trống
n

(1.10)

  K

k  P 



0



d



d

 W


K là tập con compact của W.



n

 d  W  


3. Nếu A , A ,...,
1 2
Ak
W
và

n n1 n2
 ... nk


là các tập Borel rời nhau và A1  A2  ...  A k =
thì

n
 n

P





A

A
n

1
k
k
W
n1,...,W


 A n1 ...  nk
n!
A
d
k


=

1

d

 d  W  

n1!....nk !

(1.11)

n

Định lí 1.2. Giải sử là một quá trình điểm Poisson và W là tập
compact của
d

  W là một quá trình nhị
 n

□ . Khi đó quá trình trên W với
điều kiện thức của n điểm trên W.
Chứng minh

Từ Tính chất 1.7 và Nhận xét 1.1 để chứng minh định lý ta đã chỉ ra hệ
thống xác suất trống

với điều kiện


k , K là tập compact của W, của quá trình 
trên W

  W có dạng (1.10). Thật vậy, với mỗi tập con compact

K của W ta có  n






P   K 0  W n =
0,  W n
 
P

W 

P   K

n



P   K  0P .  W K  n

P    W n





d  W  d K
=

 d W
Định lí 1.3. Cho W là tập đo được giới nội trong

n



n

.

d

□ . Giả sử N là biến ngẫu

nhiên có phân phối Poisson có trung bình là .
d

W

với 0

và



X1, X 2,...là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong W. Khi
đó tập ngẫu nhiên
 X i ,1i N
là một quá trình Poisson với cường độ .
Chứng minh
Giả sử B ,B ,...,B
1 2
n
B

d là các tập con rời nhau của W. Ta đặt

Bn1 W \ n
 Bi .
i1

Chú ý rằng với N = k thì    B1  ,  B 2

trong đó  B i
là số

 B n  1  

,...,

điểm của rơi
vào Bi




có phân phối đa thức với các tham số (k, p1,p2,...,

d  B i 
, i 1,n 1, k=k1 + k2 + …+kn. Vì k ,k ,...,
pn1 pi 
1 2
vậy với

d
),
W
kn1  và k xác định như trên ta có

P    B1 k1,  B2

k 2,...,  Bn1 kn1
= P  N k . P    B1 k1,  B2

k 2,..., Bn1 

k n1 N k 

k

=
.  W .d


e


d

.

 W 

l

 d

k1

kn1

 B1   d  Bn1  
...