- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (414.84 KB, 62 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Trong thời gian học tập tại khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, được sự dạy dỗ, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu
được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp khoa học mới,
bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và
gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với công việc đó, em đã nhận được sự
giúp, động viên của các thầy cô và bạn bè trong khoa. Qua đây em xin gửi lời
cảm ơn tới toàn thể các thầy các cô và bạn bè trong khoa. Đặc biệt em xin gửi
lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người đã tận tình
giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này.
Qua đây em cũng xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị
Kiều Nga.
Hà Nội, tháng 05 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu
Nguyễn Thị Thu
1
K31G – SP Toán
Lời cam đoan
Khoá luận của em được hoàn thanh dưới sự hướng dẫn của cô giáo,
Thạc sĩ Hà Thi Thu Hiền cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khoá luận, em có tham khảo, kế thừa một số kết quả
của các tác giả trong một số tài liệu (có nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận này là thành quả
nghiên cứu nỗ lực của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu
Mục lục
Trang
Mở đầu
1
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
3
1.1. Nửa nhóm.
3
1.2. Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử không.
9
Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm.
11
2.1. Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn chiều.
11
2.2. Các đại số nửa nhóm.
22
2.3. Định nghĩa và ví dụ.
29
2.4. Các biểu diễn bất khả qui chính của một nửa nhóm.
31
2.5. Các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán.
39
Kết luận.
45
Tài liệu tham khảo.
46
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học Toán học.
Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay nhu cầu
học hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô dạy Toán và những người quan
tâm tới Toán học nói chung và môn Đại số nói riêng, ngày càng gia tăng. Với
mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư
phạm Toán và trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp
đỡ của cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin trình bày những hiểu biết
của mình về đề tài:” Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài đẵ giúp em bước đầu làm quen
với việc nghiên cứu khoa học và có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về đại số, đăc biệt
là về nửa nhóm thông qua biểu diễn của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc
trưng của một nửa nhóm giao hoán, các biểu diễn bất khả qui chính của một
nửa nhóm.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: Nghiên
cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá.
5. Cấu trúc khoá luận:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Lý thuyết biểu diễn.
Chương 3: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm.
Trong suốt quá trình nghiên cứu, được sự giúp đỡ tận tình của cô giáo,
Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần nữa cho
em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và
các bạn trong khoa, để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2009.
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu
Chương 1:
Những kiến thức chuẩn bị
1.1. Nửa nhóm
Định nghĩa1.1.1
Phép
ngôi
trên
tậpkí�,
một
ánh
�:hai
�
ì�là ⟶
�.
Ta
thường
các
kí
), (+),
… làđể�
chỉ�,
phép
ngôi
và
phần
(�,toán
�) hai
∈ hiệu:
�ì�(.
được
hiệu
�xạtoán
tương
ứng
�.ảnh
�,của
�
+ �.tử dung
+ Phép toán hai ngôi (. ) trên tập � được gọi là kết hợp nếu ∀ �, �,
� ∈
�
�. �. � = �. � . �
+ Phép toán hai ngôi (. ) trên tập � được gọi là giao hoán nếu ∀ �, �
∈ �
thì �. � = �. �
+ � ∈ � được gọi là đơn vị trái của phép toán hai ngôi (. ) nếu
�. � = � ∀� ∈ �.
+ Tương tự � ∈ � được gọi là đơn vị phải của phép toán hai ngôi (. )
nếu �. � = � ∀� ∈ �.
+ � ∈ � được gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị
phải.
Định nghĩa 1.1.2
Nửa
nhóm là một tập � ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi kết
hợp trên
�.nửa
Một
nhóm có phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm.
Một nửa nhóm gọi là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán.
VD: 1, Tập hợp các ánh xạ từ � đến � cùng với phép hợp thành các ánh
xạ là một nửa nhóm.
2, Tập hợp các ma trận vuông cấp � cùng với phép toán tích các ma
trận là một nửa nhóm.
Định nghĩa 1.1.3 Nửa nhóm con
Địnhcon
nghĩa
Phần
tử
Cho
(�,∙)
là
nửa
�∈
khi�.
đó � được gọi là
nửa nhóm
của 1.1.4
�,một
nếu
�,nhóm,
�không
∈∅
�≠⇒�
�.⊂�
Cho
�
là một
nhóm,
tử =
��
∈ ,�
phần∈tử�,
không
bên trái,
bên
phải
nếu nửa
tương
ứng phần
�. �
�.được
� =gọi
�là∀�
z
được
phần
khônggọi
nếulànó
vừatửlà phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phải.
Định nghĩa 1.1.5
Nửa nhóm
��
với=phần
không
nhân không
nếu �.
0 ∀tử�,
�nếu
∈được
�.
�
S có gọi
đơnlàvị.nửa nhóm với phép
Đặt �1 =
,
�∪1
trong trường hợp trái lại.
�
nếu S có phần tử không và � > 1
�∘ =
.
�∪0
trong trường hợp trái lại
Định nghĩa 1.1.6
Cho � là một nửa nhóm, � ∈ � được gọi là một luỹ đẳng nếu �. �
= �.
VD: Các phần tử đơn vị một phía, các phần tử không là những luỹ đẳng.
∀� ∈ �, � đều là luỹ đẳng thì � được gọi là nửa nhóm luỹ đẳng hay
một
băng. Định nghĩa 1.1.7 Iđêan
+ Iđêan trái của nửa nhóm � được định nghĩa là một tập con �
khác
rỗng của � thoả mãn �� ⊆ �, trong đó �� = {�� ∖ � ∈ �, � ∈
�}.
+ Tương tự iđêan phải của � là một tập con � của � thoả mãn ��
⊆ �,
�� = {�� ∖ � ∈ �, � ∈ �}.
+ Iđêan của � là tập con của � vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của
�.
�
⊆��,
giao
tất sinh
cả các
tráihiệu
của<�,
một
trái
của
�+∪làchứa
và
được
trong
iđêan
trái
khác
có
tính
chất
đó.>
Ta
1 �
gọi
nó
iđêan
trái
bởiiđêan
�,mọi
kí
�chứa
>� .�
Dễlà
thấy
�
=�
��
=
�của
�. chứa
+ Tương tự ta cũng có iđêan phải của � sinh bởi �, kí hiệu < � >�
và
iđêan sinh bởi �, kí hiệu < � >. Ta cũng dễ thấy < � >� = � ∪ �� =
��1 và
< � > = � ∪ �� ∪ �� = � 1�� 1 .
+ Nếu � = �
thì ta gọi
� � = �1�; � � = ��1;
� � = �1��1
tương ứng là các iđêan chính trái, phải, hai phía của � sinh bởi �.
+ Một iđêan � hai phía, trái, phải, của nửa nhóm � được gọi là tối
tiểu
nếu tương ứng nó không chứa thực sự các iđêan hai phía, trái, phải, khác của
�.
+ Nếu � có một iđêan tối tiểu hai phía � thì � được gọi là hạt nhân
của
S.
Dễ thấy � là giao của mọi iđêan hai phía của �.
Định nghĩa 1.1.8
Cho � là một nửa nhóm, � là iđêan của �. Ta định nghĩa một quan
�=�
hệ ủ
trên � như sau: �ủ� ⇔
.
�, � ∈ �
Ta gọi ủ là tương đẳng Rixơ theo mod �, các lớp tương đương của nửa nhóm
� theo mod ủ chính là � và các tập một phần tử {�}, trong đó � ∈ �\�.
Ta viết �/� thay cho �/ủ. Ta gọi �/� là nửa nhóm thương Rixơ của nửa
nhóm
� theo mod �.
Định nghĩa 1.1.9
Nửa nhóm � được gọi là đơn phải, đơn trái nếu nó tương ứng không
chứa một iđêan phải, iđêan trái thực sự nào.
Nửa nhóm � được gọi là đơn nếu nó không chứa một iđêan thực sự nào.
Chú ý! Nửa nhóm � là đơn phải ⇔ �� = � , ∀� ∈ �
Vậy nửa nhóm là đơn trái, đơn phải khi và chỉ khi nó là nhóm.
VD: 1, Các nhóm giao hoán là các nửa nhóm đơn.
2, Nửa nhóm các phần tử không bên phải là nửa nhóm đơn phải.
Và nửa nhóm các phần tử không bên trái là nửa nhóm đơn trái.
Định nghĩa 1.1.10
Nửa nhóm � với phần tử không 0 được gọi là nửa nhóm 0 −đơn nếu
2
� ≠0
0 là iđêan thực sự duy nhất của S
Định nghĩa 1.1.11
.
Định
nghĩa
1.1.12
�
là nửa
nhóm, tập � = � ∈ �: �2 = � được gọi là tập
các luỹCho
đẳng
của
�.
Cho � là nửa nhóm, �, � ∈ �, ta xét quan hệ " ≤ " như sau:
� ≤ � ⇔ �� = �� = �.
Nếu 0 ∈ �, � ∈ � đựơc gọi là luỹ đẳng nguyên thuỷ nếu thoả
mãn 2
điều kiện sau:
1, � ≠ 0 .
�=0
2, � ≤ � thì
�=�
Định nghĩa 1.1.13
Nửa nhóm đơn hoàn toàn là nửa nhóm đơn chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ.
Nửa nhóm 0 −đơn hoàn toàn là nửa nhóm 0 −đơn chứa luỹ
đẳng nguyên thuỷ.
VD: 1, Nửa nhóm đơn hữu hạn là nửa nhóm đơn hoàn toàn.
2, Nửa nhóm 0 −đơn hữu hạn là nửa nhóm 0 −đơn hoàn toàn.
Định nghĩa 1.1.14 Phần tử chính qui
Cho � là nửa nhóm, � ∈ � được gọi là phần tử chính qui nếu
∃� ∈ �: � = ���.
qui.
Nửa nhóm � được gọi là chính qui nếu ∀� ∈ �, thì � là phần tử
chính
Chú ý! 1, Nếu ��� = � thì các phần tử � = ��, � = �� là
các phần tử
luỹ đẳng.
Hơn nữa �� = �, �� = �.
2, Nếu � ∈ �, � là phần tử chính qui thì ��1 = �� và
� 1 � = ��.
1
1có ��
1 � ∪tự��
Thật
Tanghĩa
và =
��
=∪
��
∈và
��.
Định
1.1.15
Do đóvậy:
��
=Do
��.
Tương
�1�
��
�=
��
∈
��.
đó �=
� = ��.
Cho � là một nửa nhóm, �, � ∈ � được gọi là ngược
nhau nếu
��� = �
��� = �
Dễ thấy � ∈ �, a có phần tử ngược khi và chỉ khi � là chính qui.
Thật vậy:
Hiển nhiên theo định nghĩa.
⟹
Giả sử
a�
là chính
suy
∃�
∈ �:
��,
=
⟸ngược
���.
Đặt
=
ta ra
chứng
minh
rằng
�
nhau.
Ta���,
cóqui,
���
=
�����
=
���
=
�.
��� = ������� = ����� = ��� = � .
Định nghĩa 1.1.16
Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần tử
ngược duy nhất.
Định nghĩa 1.1.17 Các quan hệ Grin.
Cho nửa nhóm �, trên đó ta xét các quan hệ sau:
Nguyễn Thị Thu
10
K31G – SP Toán
1. Quan hệ ℒ:
Nguyễn Thị Thu
10
K31G – SP Toán
�ℒ�
⇔
� =ℒ�(�).
Tức �,
� cùng
sinh ra iđêan chính
trái
�.�
Dễ
một
hệ tương
đương.
Nếucủa
�ℒ�
thì thấy
ta nói �là và
�quan
ℒ −tương
đương.
�� = � ∈ � �ℒ� được gọi là ℒ −lớp chứa �.
2. Quan hệ ℛ:
1
1
�ℛ�
⇔
��
=tự��
; Tức hệ
�,tương
� cùng
sinh ra iđêan chính
phải
của
�.
Tương
ℛ
là
�� = � ∈ �: �ℛ� :quan
được gọi
là ℛđương.
−lớp chứa �.
3. Quan hệ �:
��� ⇔ � 1�� 1 = � 1 �� 1 , tức �, � cùng sinh ra iđêan chính
của S
� cũng là quan hệ tương đương.
�−lớp
∈ �.
�: �� = � ∈ � ∶ � � = �(�) : được
� = �
gọi là �
chứa
Dễ thấy ℒ ⊆ �, ℛ ⊆ �.
Định nghĩa 1.1.18
Cho nửa nhóm �, và �, � ∈ �. Ta viết �� ≤ �� nếu �1��1
⊆ �1��1 tức
� ∈ �(�).
Nhận xét: " ≤ " là quan hệ thứ tự bộ phận trên tập các � −lớp của �.
Định nghĩa 1.1.19
Cho
� là1. nửa
∈ �, ��� =
�1��
Đặt nhóm,
���
= �(�)\�
Ta chứng minh được �(�) là một iđêan của � và do đó là một iđêan
�(�
của
Mỗi nửaQui
nhóm
� �(�)/�(�)
được gọi là một thương chính
ướcthương
=�
của �.
∅
+ Chuỗi các iđêan của �, � = �1 ⊃ �2 ⊃ ⋯ ⊃ �� ⊃ ��+1 =
).
∅ (1)
Nguyễn Thị Thu
14
K31G – SP Toán
gọi là chuỗi chính của � nếu giữa các �� , ��+1 không có iđêan nào của
� nữa.
+ Các thương của chuỗi (1) là các nửa nhóm thương Rixơ
��
�
�+1
(� = 1 , � ).
Định nghĩa 1.1.20 Nửa nhóm nửa đơn.
nhóm � được gọi là nửa đơn nếu mỗi thương chính của nó
là 1.2.
đơnMột
hoặcnửa
0 −đơn.
Nửa
nhóm
ma trận trên một nhóm với phần tử 0
Định nghĩa 1.2.1
Giả0.sửánh
�,xạ� là�:
các �ì�
tập nào⟶
đó,�
�00 là nhóm với phần
tử
�, � ⟼ � �, � ≔ (��� )
Với ��� là phần tử ∈ � nằm ở dòng � côt �.
+ � là �ì� ma trận trên � 0 , � = (��� )
� là �ì� ma trận trên �0 , � = (��� )
0 ��� ��� xác định thì
(�,
�)
∈tích
�ì�,
tổng ma
��� =
� ∈�
ta địnhNếu
ma�
trận
là �ì�
,�
=∀(�
). ∈ � thì
���
+nghĩa
Giả sử
là tập
�ì�
ma trậntrận
trêntrên
� 0�sao
cho
�,
�. � ∈
�. Vậy � là một nửa nhóm.
0
+ �của
là �
mộtchứa
trên nhiều
� được
gọi phần
là matửtrận
thức theo
mỗi dòng
nhất một
khácđơn
0 thuộc
� 0 .dòng, nếu
Tập tất cả các ma trận �ì� ma trận đơn thức theo dòng trên � 0 là
một
nửa nhóm.
+ ẫìậ ma trận Rixơ trên �0 là ma trận trên � 0 có không quá một
phần
tử khác không.
Kí hiệu (�)�ở là ẫìậ ma trận Rixơ trên
0
có � nằm ở dòng � cột ở,
�
còn
các chỗ khác toàn là 0. Với � ∈ �, � ∈ �, ở ∈
ậ.
+ Phép toán hai ngôi (.) trên �0
Giả sử � = (
) là ẫìậ ma trận tuỳ ý cố định trên � 0 .
��
�, � là các ẫìậ ma trận Rixơ trên � 0
�. � ≔ ��� cũng là ma trận Rixơ trên � 0 .
Thật vậy: Với
� = �) , �
=(
, � = (�)� ỡ , ta có
�.(�
=
�
�
ở
=
���ở�
ở� �)� ỡ.
Hơn nữa phép toán (.) có tính chất kết hợp.
TậpTatấtgọi
cảnó
cáclàẫìậ
trậnma
Rixơ
�0trên
là một
nhóm
phép
toán (∙).
nửama
nhóm
trậntrên
Rixơ
�0 nửa
với ma
trậnvới
đệm
�.
0
Kí hiệu là � (�; �, ậ; �).
Bổ đề 1.2.2
nhóm
trậnvàRixơ
�,chứa
ậ; �)
là nửatửnhóm
chính qui
khi vàNửa
chỉ khi
mỗima
dòng
mỗi �
cột0(�;
của �
một phần
khác không.
Chứng
minh:
Giả sử � =
(
) ; �, � ∈ � ; �, � ∈ � ; ở, ỡ ∈ ậ
ở�
Khi đó (�)�ở.(b)jỡ.(�)�ở=
(�
�
VP = (�) ⇔ � �.
�
�
ở
ở�
Với � ≠ 0 và �
ở�
ỡ�
ỡ�
ở
�
�)� ỡ. (�)�ở=
ở
�
�.
�
ỡ�
. �)�ở
(�
�
= �−1
≠ 0 với j ∈ �, ở ∈ ậ khi và chỉ khi dòng thứ ở và
cột
thứ � của � chứa một phần tử khác 0 của �. ∎
Định lí 1.2.3
Nửa nhóm ma trận Rixơ 0 −đơn khi và chỉ khi nó là chính qui.
Định lí 1.2.4
Một nửa nhóm là 0 −đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một
nửa nhóm ma trận Rixo chính qui trên một nhóm với phần không.
chương 2:
Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm
Đểthông
tìm hiểu
lý thuyết
biểucủa
diễn
tìm hiểu
qua đại
số ệ[�]
� của
trên nửa
ệ. nhóm � trên trường ệ ta
Nếu � là một nửa nhóm hữu hạn, thì rõ ràng có một tương ứng một –
một giữa các biểu diễn của � và biểu diễn của đại số ệ[�] của � trên ệ,
tương
ứng đó bảo tồn sự khả qui và sự phân tích. Do đó tính khả qui hoàn toàn đúng
đối với các biểu diễn của � khi và chỉ khi ệ[�] là nửa đơn. Trong muc
2.1.
chúng ta tóm tắt lý thuyết về các đại số nửa đơn. Sau đó ta đi tìm điều kiện
cần và đủ về một nửa nhóm hữu hạn � sao cho ệ[�] là nửa đơn, và điều
đó
được trình bày trong mục 2.2. Với nửa nhóm hữu hạn ta có thể xác định được
tất cả các biểu diễn của nó (hệ quả 2.4.4).
Với � nửa nhóm không nhất thiết là hữu hạn, ta xem xét các biểu diễn
bất khả qui chính của nó. Và kết quả là (định lí 2.4.3).
Phần cuối cùng mục 2.5. ta nghiên cứu các đặc trưng của một nửa
nhóm giao hoán �.
2.1. Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn chiều
Định nghĩa 2.1.1
Đại số toán:
� trên
trường
ệ là một tập � ≠ ∅ cùng với 3 phép
(+),
ì⟶
(�, �)
⟼�� + �
(.) ì ⟶ �
�, � ⟼ �. �
Phép nhân vô hướng trong ệ: ệì ⟶ � thoả mãn:
(ỏ, �) ⟼ ỏ�
i, �, +,∙ là một vành.
ii,
(, +,
) là�
một
gian=vectơ
iii,
∀ỏ
∈ ệphép
�, nhân
� ∈vô
� hướng
ỏ�
=không
� ỏ�
ỏ(��)
Số hiệu
chiều
� ệchính
là số chiều của không gian vectơ � trên ệ.
Kí
làcủa
dim
�
Chú ý! ở đây ta chỉ xét dimệ � < ∞.
Định nghĩa 2.1.2
Cho ệ là một trường, (ệ)� là đại số tất cả các ma trận vuông cấp �
với
phần tử thuộc ệ (hoặc là đại số tất cả các phép biến đổi tuyến tính của một
không gian vectơ � chiều vào chính nó).
Định nghĩa 2.1.3 Iđêan của đại số
Định
nghĩa
Tập
⊆ là� 2.1.4
được gian
gọi làvectơ
iđêan
của
của vành
� ℬvừa
không
con
củađại
�. số � nếu nó vừa là iđêan
Luỹ
của
của
không gian con tuyến
tính
tập
tất cũng
cảmột
cáclàiđêan
tích
�ℬcủa
1 . �
� của � phần tử �� ∈
ℬ, �của
=sinh
1thừa
,bởi
��
. Nó
iđêan
�.2�…là�một
+ Iđêan của � được gọi là luỹ linh nếu một luỹ thừa � ≠ 0 nào đó của
nó bằng không.
+ Căn � của � là hợp tất cả các iđêan luỹ linh của �.
+ Đại số � được gọi là đơn nếu nó không chứa iđêan thực sự nào khác
không và không phải là một đại số một chiều với phép nhân không.
Ta thừa nhận định lí sau.
Định lí 2.1.5 (Định lí Vecđécbớc)
Một đại
số ��1⨁
hữu
hạn chiều là nửa
khicác
và iđêan
chỉ khi
trực
�=
(1) đơncủa
�ọnó
(ọ là
= một
1 ,tổng
�
2⨁. . . ⨁�
) vớitiếp
�ọ là các đại số đơn. Các �ọ được xác định duy nhất bởi �.
Ta gọi các �ọ là các thành phần đơn của �, � được gọi là số lớp của
�. kí hiêu là �ℓ ()
ℬ�⋯ ⊃ ℬ ⊃ ℬ
sử
�
ℬ�,
⊃
=ℬ0� , � (2)
chuỗi Giả
các đại
iđêan
của
ℬ�+1 là
= 1là ,một
�
1 mỗi
� một iđêan
� +1của
Các
số =
thương
gọi
là
các
thương
của
chuỗi
(2).
ℬ
�+1
Định lí 2.1.6
.
Giả sử (2) là một chuỗi các iđêan của một đại số � hữu hạn chiều trên
ℬ
trương. Thế thì � là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi thương �
ℬ là nửa đơn.
�+1
ℬ�
�ℓ(
).
�=
ℬ
Hơn nữa �ℓ � = 1
�+1
�
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Với � = 2. Nếu ℬℬlà một iđêan của � thì định lí được pháp
biểu lại như sau:
� là nửa đơn ⇔
� ℬ
đều là các nửa đơn và �ℓ � = �ℓ ℬ
+
�ℓ(�
).
ℬ
Với ℬ là một iđêan thực sự khác không của �.
⟹
Giả sử � là nửa đơn.
Định
các đạiTheo
số đơn
�ọ. lí thứ nhất của Vécđécbớc thì � là tổng trực tiếp của
ℬ = �1⨁ 2⨁ … ⨁� (1 ≤ � ≤ �),
� ℬ ≅ � �+1⨁ �+2⨁ ∙∙∙ ⨁� .
Vậy ℬ, � ℬ đều là các nửa đơn.
Ta có �ℓ ℬ + �ℓ � ℬ = � + � − � = � = (�ℓ().
⟸Ngược lại giả sử ℬ và � ℬ là các nửa đơn
� là một phần tử luỹ linh thật sự của �, suy ra � + ℬ là một phần tử
luỹ linh thật sự của � ℬ. Vì �
ℬ
là nửa đơn ⇒ � + ℬ = 0 + ℬ ⇒ �
mà ℬ cũng là nửa đơn nên � = 0.
∈ ℬ,
Vậy � có duy nhất một phần tử luỹ linh thật sự.
Nên � là nửa đơn.
Định
GiảĐiều
sửnghĩa
định
lí
với � ∎> 2, ta chứng minh nó đúng với � +
1.
này 2.1.7
là đúng
hiển nhiên.
Một đại số � trên ệ gọi là một đại số có phép chia nếu �\0 là
một nhóm với phép nhân.
Định nghĩa 2.1.8
∗
Một
đại�
sốvới
�một
hữu
hạn
chiều
trên
trường
đơnệ,khi
khi
nó
đẳng
cấu
với
(�)
�cách
là
một
đại
sốbởi
chia
�vàđịnh
∈chỉ
ℕduy
. Hơn
nữa
một
đẳng
cấu.
�
xác
định
duy
nhất
� được
và ệ�làtrên
được
xác
nhất
sai
khácđược
nhau
Chú ý! 1, � ∈ � là một phần tử đơn vị thì (�)� chứa ma trận
đơn vị
U� có � trên đường chéo chính và các chỗ khác bằng 0.
2, Một đại số đơn có một phần tử đơn vị duy nhất.
Định nghĩa 2.1.9
Giả
sửÃ(�)
�à là
một
đạisao
trên
ệ, �,
một
biểu
diễn
trên ệứng
là
một
đồng
từcấp
� vào
(ệsố
)�
. Như
vậy�
mỗi
�
bởi ma
trậncấu
�
cho:
∀
∈�
�∈
, ỏcủa
∈ được
ệ� bậcđặt�tương
1, Ã � + � = Ã � + Ã(�)
2, à �� = à � Ã(�)
3, Ã ỏ� = ỏÃ(�)
Ta coi
Ã(�)
một
tínhgian
củabiểu
mộtdiễn
không
gian
V�
chiều như
trên ệ.
Khiphép
đó Vbiến
đượcđổi
gọi tuyến
là không
cho
Ã. vectơ
Định
nghĩa
2.1.10
Ta
viết
��
thay
cho
�Ã(�),
�
∈
�,
�
∈
�.
Khi
đó
coi V
như một ệ − � − môđun.
′
′ giả sử �, �′ là các không gian
Cho
Ã,ÃÃ′
là 2không
biểu
�
biểu
cho
Ã,
tương
ứng. diễn
Tasuy
nóicủa
Ãbiến
, Ãvà
tương
tồn tại�
một
phép
biến
đổi
tuyến
từ �đương
vàonếu�′
⟼
�
′
sao
cho
′ tính
′
�à � = � à � ∀� ∈ �.
điều đó tương đương với tồn tại ma trận � ∈ (ệ)� không suy biến sao cho:
Định nghĩa 2.1.11
Ã′ � = �−1Ã � �.
Cho à là biểu diễn bậc � của � trên ệ, � là không gian biểu diễn
cho
Ã.
� ⊂ � được gọi là bất biến đối với à nếu �Ã(�) ∈ � với
∀� ∈
�, ∀� ∈ �.
Định nghĩa 2.1.12 Biểu diễn bất khả qui
�Ãkhông
chứakhông
một không
gian
congọi
bấtlàbiến
thì biểuNếu
diễn
và chính
gian �
được
bất nào
khả thực
qui. sự khác 0,
�diễn
là biểu
diễn
bậc0�
trên�
ệ,1 �
là⋯không
gian
biểu
Ã.
KhiVới
đó Ãchuỗi
hữu
hạnthực
=của
�
⊂
⊂
�
=
�
(3) cho
các
không
gian
con
bất
biến
�
của
�0�
sao
cho
,�
có
�
�
� sự
�.−1
� không
không
gian
con
bất
biến
nào
của
�,
∀ giữa
� gian
=�
1⊂
�
.là
Thế
thì
các
biểu
diễn
�
mà
không
biểu
diễn
là
Ã� của
�
�−1
bất khả qui.
Nếu ta chọn cơ sở của � cho chuỗi (3), thì ma trận của Ã(�):
Ã1(�) ⋯
⋮
⋱
0
⋮
(4)
Ã� 1(�) ⋯ Ã�
(�)
(4) là sự thu gọn tối đa của à bởi các bộ phận bất khả qui Ã
Đặc biệt khi �⨁�′ = �
�
của nó .
, �, �′ là các không gian con
bất biến của
�.
Khi đó Ã 21 � = 0 ,
∀� ∈ �.
Chứng minh:
Ã1(�) 0
Ta có Ã � =
.
Ã21 (�) Ã2(�)
∀� ∈ � thì �Ã(�)
∈ �,
Ã1(�)
�à � =
= �
0
Ã1(�)
w
Ã21 (�) 0
∈ �.
� Ã21 (�)
0
⇒ �Ã21 � = 0 ∀� ∈ �, ∀� ∈ �.
⇒ Ã21 a = 0 ∀� ∈ �.
Nếu �
mỗithìkhông
bấtgian
biếncon
trong
mộtqui
phần
bù sao
bất
biến
tồn tạigian
các con
không
bất �
biếnnhận
bất khả
��
cho: trong
� = �1 ⨁�2 ⨁ ∙∙∙ ⨁��
Khi đó ta có
Ã1(�) ⋯
⋮
⋱
0
∎
0
⋮
(*)
⋯ Ã�
(�)
Thì à = Ã1⨁Ã2 ⨁ … ⨁ Ã� . Và à được gọi là hoàn toàn khả qui.
VD: bất
Chokhả
� qui
là đại
diễn
củasố�.đơn, khi đó mỗi đẳng cấu từ � vào (ệ)� là biểu
Bổ đề Sua
Giảtrận
sử Ã,
các
đại�
số Ä
�, �
nếu
hằng ma
�Ä∈là(∀�
:∈ �diễn bất khả qui
�.
Ãhoặc
�
=
. tồn
� tại
ệ)�biểu
thìtrên
=
0 hoặc
� không suy biến và Ã, Ä là tương đương.
Nếu à là bất khả qui tuyệt đối và �. à � = à � . �
∀�
∈ � thì
� = ỏ�� (ỏ ∈ ệ).
Định nghĩa 2.1.13 Biểu diễn qui của �
Với mỗi � ∈ �, ta định nghĩa ủ� : � ⟶ �
� ⟼ ��.
Khi đó ánh xạ ủ: � ⟶ (ệ)� là một biểu diễn của �.
Thật vậy: Ta chứng minh nó thoả mãn điều kiện là một đồng cấu đại số
từ � ⟶ (ệ)� .
i, ∀�, �, � ∈ �. Ta có
�ủ � + � = �ủ�+� � = � + � = �� + ��
=
�ủ� + �ủ� � = ủ � +
�ủ(�).
ii, ∀�, �, � ∈ � . Ta có
�ủ �� = �ủ�� = ���
= �� � = ��ủ� = (�)ủ� ủ� .
iii, ∀�, � ∈ �, ∀ỏ ∈ ệ �ủ ỏ� = �ủ� = � ỏ�
= ỏ �� = ỏ�ủ� = ỏ�ủ(�).
Nguyễn Thị Thu
20
K31G – SP Toán
Và ta gọi
Tương
tự ủtalàcóbiểu
biểudiễn
diễnchính
chínhqui
quibên
bênphải
trái của
của �.
�,
ó� = ��, ó: � → ó� .
Ta quy ước gọi biểu diễn chính qui bên phải là biểu diễn chính qui.
Định lí biểu diễn cơ bản về các đại số � nửa đơn
Giả sử � là một đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên ệ, thế thì � là tổng
trực tiếp của một tập hữu hạn các iđêan phải tối tiểu. Tức biểu diễn chính qui
bên ủ bên phải của � là hoàn toàn khả qui.
Mỗi biểu diễn chính qui của � là hoàn toàn khả qui và mỗi biểu diễn
bất khả qui khác không của � được chứa trong ủ (tức tương đương với biểu
diễn cảm sinh bởi ủ trong một iđêan phải tối tiểu nào đó của).
Mỗi biểu diễn phải của � được chứa trong một thành phần đơn �ọ của
�
và 2một
iđêan
phải
củađơn
� là�đẳng
cấu toán tử khi và chỉ khi chúng được chứa
trong
thành
phần
ọ.
Ã
ọọ.tương ứng với �ọ thì Ãọ biểu trung thành của � và Ã ọ �ụ
= 0 ∀Nếu
ụ
≠
� tương
= �ℓđương
() thì {Ã
… ,một
Ã� của
} là�.
tập hợp các biểu diễn bất khả
1, đôi
qui không
Đặc
biệt
khi
� biểu
là từng
đại
sốmột
đơnkhả
hữuqui
hạn
chiều
trên
ệ thì
có mỗi
duy nhất
một
biểu
bất
khả
qui
sai
khác
phép
tương
đương
của
�, và
biểu diễn
của �diễn
là
một
bội
của
diễn
bất
đó.
Định nghĩa 2.1.14
Nguyễn Thị Thu
25
K31G – SP Toán
