Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán
học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng.
Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu
nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và
trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy
giáo – TS. Bùi Kiên Cường, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của
mình về đề tài : “Cơ sở trong không gian Banach”.
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm
hiểu sâu về cơ sở trong không gian Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những
tính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệ
giữa cơ sở với một số dãy dặc biệt, tính đối ngẫu của cơ sở. Từ đó, nghiên
cứu sâu các tính chất đặc trưng của một số cơ sở cụ thể: cơ sở hội tụ tuyệt
*

đối, cơ sở yếu và yếu trong không gian Banach. Qua đó, bổ sung thêm
những tính chất quan trọng và làm phong phú thêm nội dung của bộ môn
Giải tích hàm.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên
cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.

1


5. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm ba chương:
 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
 Chương 2: Cơ sở trong không gian Banach
*

 Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu trong không gian
Banach
Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo – TS. Bùi Kiên
Cường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần
nữa cho em được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy.
Em rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng
góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Tác giả

Vũ Thị Hương


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Một số kí hiệu
F : kí hiệu là trường vô hướng, F =  hoặc F =  .
A : lực lượng của tập A hữu hạn.


c

n

 :

cn

để chỉ chuỗi

 mn

1
nÕu

0

hội tụ.


m  : chỉ số Kronecker.
n, m
n

nÕu
Cho

X,Y là các tập hợp. Khi đó : f : X Y là một hàm
với miền xác


định X , miền giá trị Y.
Range( f ) f (X)  f (x) : x X : ảnh hoặc miền
giá trị của f .


x : là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X .






x, x x (x) : tác động của x lên x X .


x sup x, x .
x

X

1


§1. Không gian Banach
1. Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính
định chuẩn (không gian định chuẩn) nếu với mỗi x tồn tại số thực x ,
X
gọi là chuẩn của x , thoả mãn:
a) x 0,


 x 0 nếu và chỉ

x 0,

nếu
c) c c
x x,

với mọi vô hướng c, với mọi x X ,

d) x y x
y ,

x, y X .

Nếu chỉ có tính chất a), c) và d) thì  được gọi là một nửa chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn

 Một

dãy các vectơ

x n 

trong X
X

hội tụ tới x


nếu

lim x
 nghĩa là, nếu
n
n

0,
  x
0, N n
0, N,

xn

x

 .

Trong trường hợp này, ta viết xn
hoặc lim xn
x.
 n
x



Một dãy các vectơ

xn  trong


X

là dãy Cauchy nếu


lim x 
n
xm

m,n



0, nghĩa là, nếu

0, N
m,
0, n 0,



xn   .
xm

Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không định chuẩn đều là dãy

Cauchy. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Ta nói rằng X
là không gian đầy nếu nó thoả mãn mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Không
gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach.



Định nghĩa1.3. Dãy xntrong không gian Banach X là
a)

b)

c)

Bị chặn dưới nếu inf
xn

0,
 ,

Bị chặn trên nếu sup
xn

Chuẩn hoá nếu xn 1 với mọi n.

Định nghĩa 1.4. Cho không gian định chuẩn X và  , 
1

X. . Hai
chuẩn

2

là hai chuẩn trên

 và  gọi là tươmg đương nếu tồn tại hai số dương

1

2

,


sao cho

x x 

1

Định lí 1.1.
Nếu

 , 
1

2

2

x

x X .
1

là tương đương thì cùng xác định một sự hội tụ với


một dãy bất kì, nghĩa là
lim x 
xn

n


x
0
x
n
lim

2

0.

1

n

Ví dụ 1.1. Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E  . Khi đó
a) Với 1 p , đặt

f (x) p

p
L (E) 
dx .
:E

f

 
:
E

Đây là một không gian Banach với chuẩn

p


b) Trường hợp p =  , đặt

1/ p

f
L

p

( f (x) dx)

.


E



L (E)


:E
f là hàm bị chặn trên E .

:

f

Đây là không gian Banach với chuẩn_sup
f

x L



esssup f (x) = infM



Ví dụ 1.2. Đặt C(E)

x

E

0 :

f (x)  hầu khắp nơi
M


= f : E C : f liên tục trên E

.

.


Nếu E là một tập compact trong  thì mọi phiếm hàm liên tục trên
E đều bị chặn. Trong trường hợp này,
chuẩn_sup

C  E là một không gian Banach với



f

L

 f (x) .
sup
x

E

Ví dụ 1.3. Với 1 p , đặt

p
l  c (c


n
):
c





p



.




n

Đây là một không gian Banach với chuẩn
c l p  (c )
n

p



l

p


)1/ p .

(


c

n
n

Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Holder). Với 1 p
 và xác định
hệ thức

1

1


p

q

1.
a) Nế
u

p thoả mãn


1
Đặt   0.
1
và
0

,

p

f L
(E) và

g
th fg L1 (E) và
p
L ì
(E)
fg

1

f
L

L

p

g


L

p

,

.

Với 1 p bất đẳng thức này tương đương với mệnh đề


f (x)g(x) dx

p

f (x) )

 (
E

b)

Nếu
(an

1/ p

E


p

,

(g(x) )

1/ p

,

.

E

,

1

)
và (b )
 l p
p
l
n

thì (a b ) l và
n

(anbn ) l (
(an ) l


(bn )

1

lp

,

.

p

Với 1 p bất đẳng thức này tương đương với mệnh đề

a b
n

n

p



)

(


n


Đặc biệt,
nếu

,

an

p
1/ p

n

n

,

,

1/ p

)

.

(
b
n

p p =2 thì ta có bất đẳng thức Schwarz hoặc


Cauchy – Schwarz :


f (x)g(x) dx
 (
E

a b
n

n

f (x) )
2

2 1/ 2

)

)1/ 2



1/ 2

và

E




an

(g(x) )
2

E

(

n

1/ 2

.

(
2

b
n

n

n

2. Tôpô trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.5. Tập


X 0  gọi là không gian định chuẩn con của không



gian định chuẩn X nếu X 0 là không gian tuyến tính con của không gian
X và chuẩn xác định trên X 0 là chuẩn xác định trên X .

Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì X gọi là
0
không gian định chuẩn con đóng của không gian X .
Định nghĩa 1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian
tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X .
Ví dụ 1.4. Với 1p 
p
thì l
Định nghĩa 1.7. Cho

xn

là không gian tách được.
là một dãy tuỳ ý trong không gian tuyến tính

định chuẩn X .



Bao tuyến tính hữu hạn của là tập hợp tất cả các tổ hợp
dãy xn

tuyến tính các phần tử của dãy


xn. Kí hiệu



N
span xn  cn xn : N 0 vµ c1,...,cN
=
 F .


n1


của

Bao đóng tuyến tính


là bao đóng của bao tuyến tính hữu

xn

hạn và được kí hiệu là span xn.
là đầy trong X nếu span

xn xn
trong X .

= X hay span


xn

trù mật


3. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn
trường F . Một ánh
xạ
toán tử T : X
F

X vµY trên

T:X
được gọi là một toán tử. Nếu Y
F
Y

thi

là phiếm hàm trên X .

T là tuyến tính nếu

T(a x  = aT x bTy , a, bF ,
by)
x, yX .


T là đơn ánh hoặc 11 nếu Tx Ty khi và chỉ khi x y .
Ảnh hay miền giá trị của T là

Range(T) T(X)  Tx :
x X.

T là toàn ánh hoặc lên nếu Range(T) Y.
Chuẩn của toán tử tuyến tính hoặc đơn giản là chuẩn của toán tử T là
T sup Tx .
x 1

T được gọi là bị chặn nếu T  .
T là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Tx
xX.

x
Y
X
T:X
Định lí 1.3.
 là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định
Cho
Y
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Khi đó
T liên tục T bị chặn.
Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi
nói về các toán tử tuyến tính.
4. Không gian liên hợp, toán tử liên hợp



Định nghĩa 1.9. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên


trường F . Ta gọi không gian X các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của
không gian X .
Định lí 1.4. Nếu X là không gian định chuẩn, khi đó không gian đối ngẫu




X là không gian Banach với chuẩn
x

sup x, x .


X



x

X

1


Định lí 1.5. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó, xX
x




sup
x, x .
X


x 1

Định nghĩa 1.10


a) Không gian liên hợp của không gian X gọi là không gian liên


hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu là X .

thức

b) Mỗi phần tử xX xác định một
phần tử


(x)

X




cho bởi công





x ,(x) x, x với


x X . Ánh xạ

được gọi là

: X



X



phép nhúng chính tắc X vµo X , từ đó đồng nhất X với không gian
con

(x) X .
Nếu là song ánh thì ta viết X  và nói rằng X là không gian

X
phản xạ.
Ví dụ 1.5. Lp (E) vµ l là các không gian phản xạ nếu 1p ,

p
nhưng
không là không gian phản xạ với p 1hoÆc p .
1
1
Với 1p , q 0 thoả mãn  1 thì:
p q


p

q

(L (E)) L (E),


(l p ) l q.
Định nghĩa 1.11. Giả sử X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, S là
toán tử tuyến tính bị chặn từ X vµo Y. Toán
tử





S :Y

X



xác định bởi




S y y yY, nghĩa là

 S,






x,S y Sx, y ,
x X
gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S.


Dễ thấy S tuyến tính và với mọi y

Y



ta có

(1.1)







(S y )x

Sx, y

 y
Do đó,
 
Sy

S

y

S x ,x X .



. Vậy S là một toán tử tuyến tính bị chặn.



Định lí 1.6. Nếu S là toán tử tuyến tính liên hợp của toán tử tuyến tính
bị chặn S từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến
tính



định chuẩn Y thì S S .
5. Sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là một không gian Banach.

a)Dãy x  các
n

phần tử của

tụ tới điểm

X
xX

hội

nếu

lim x  0. Khi đó, ta cũng gọi sự hội tụ này là sự hội tụ mạnh hoặc
n

sự
 xn
hội tụ theo chuẩn.

b)

Dãy xn các phần tử của X hội tụ
yếu đến xX





x X , lim 
x n, x



nếu



x, x .

n

Khi đó, ta nói rằng x x
n
y xnDã yếu.

  

đến
x
X

hội tụ yếu

nếu


các phiếm hàm của
X


*




x X











, lim  xn, x






x , x .


n








Trong trường hợp này, ta nói rằng xn
yÕ hoặc trong tôpô yÕu .
u

x


Chú ý rằng, sự hội tụ yÕu chỉ áp dụng đối với sự hội tụ của




các phiếm hàm trong không gian đối ngẫu X . Tuy nhiên, do X là không
gian đối ngẫu của chính nó, ta có thể chỉ ra sự hội tụ mạnh hoặc yếu




của các phiếm hàm trong X cũng chính là sự hội tụ yÕu của các
phiếm hàm này.



Đặc biệt, nếu X là không gian phản xạ thì X X ,
do đó



x
yếu


x
n



trong X nếu và chỉ
nếu





x
yÕu trong X .


x
n



Bổ đề 1.1. Cho X là một không gian Banach.
a) Sự hội tụ mạnh trong X thì kéo theo sự hội tụ yếu trong X.






b) Sự hội tụ yếu trong X kéo theo sự hội tụ yÕu trong X .
Bổ đề 1.2. Mọi dãy hội tụ yếu thì đều có chuẩn bị chặn trên, nghĩa là, nếu

xn 
X và

xn
yếu thì sup
 xn
xX

 .

§2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường F . Ta gọi là
tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X vào
X
F , kí
hiệu

,thoả mãn tiên đề :
a)


(x, yX)y, x x, y ;

b) (x, y, zX) x y,z x,z y,z
,
c) (xX) x, x
x 0 nếu


(là kí hiệu phần tử không),



x, x
 0 nếu
Nếu x, y
0

x  .

thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó ta viết x y .
Nếu

xX , ta đặt
x 

x, x  ,

(1.2)



Định
nghĩa
gọimột
mộtchuẩn
tập H
thì
công
thức 1.15.
này xácTađịnh
trên Xgồm
. những phần tử x, y,z... nào

Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính trên trường F cùng với một tích
đấy là không gian Hilbert nếu H thoả man các điều kiện:
vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn (1.2).


1) H là không gian tuyến tính trên trường F ;
 H được trang bị một tích vô hướng

,;

 H là không gian Banach với chuẩn x


x, x  , x H .


Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H .
Ví dụ 1.6. a) Lp
(E)

là không gian Hilbert khi p 2 và tích vô hướng
được
p

xác định bởi f ,g  f (x)g(x) p
thì L

(E)
2
dx . Khi
E
gian Hilbert.
b)

p 2
p
thì l

không là không

là không gian Hilbert với tích vô hướng


(an ),(bn )   an bn .
n1


p 2 l p không là không gian Hilbert.
thì
Định lí 1.7. Cho H là một không gian Hilbert và lấy x, yH.
a) (Bất đẳng thức CauchySchwarz)

x, y x y .


b) x sup x, y .
y 1

c) (Đẳng thức hình bình
hành)

x

y

2

 x

y

d) (Định lí Pythagorean) Nếu x, y
 0 thì

2


2

x y
x

Định nghĩa 1.16. Cho

2

2 y ) .
( x

 xn 

2

2

 y .


là một dãy trong không gian
Hilbert H .
a)

xnlà dãy trực giao

b)

xnlà dãy trực chuẩn


xn, xm 0 khi mn.

nếu

nếu và x 1 với mọi n .

xm, xn  mn , nghĩa là,
trực giao

xn


c)

xnlà cơ sở của

H

x

H

nếu

đều cố thể viết

với




x

c

n

x

n
n1

cách chọn các vô hướng
cn
d) Dãy
là

là duy nhất.

xnlà cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa

cơ sở. Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của
xH
này là

theo cơ sở

x x, xn xn (xem định lí 1.10)

Ví dụ 1.7. Sau đây là một vài ví dụ về cơ sở trực chuẩn.

a) Lấy H  và xác định dãy
e
l2

(


n

)

(0,...,0,1,0,...) , trong đó
số 1 ỏ

mn m1

2

vị trí thứ n . Khi đó, en là một cơ sở trực chuẩn
của

l , thường gọi là cơ sở

chính tắc.
b) Lấy

 0,1 .

H L
trên


2

 0,1 , không gian các hàm có bình phương khả tích
với n . Khi đó

e (x) 

e n 

2 inx

Đặt
e
2 n
f 0,1
L


thì f 
n

n


f ,e
e




n

là một cơ sở của H . Nếu

được gọi là chuỗi Fourier của f và
n

(f ,en )n là dãy các hệ số Fourier của f . Các hệ số Fourier
thường được


^

kí hiệu bởi f (n)


f,
en

1

2inx

 f (x)e

dx .


0


Nếu en là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H bất kì thì
biểu
diễn

x  x,en en được gọi là chuỗi Fourier suy rộng
của xH và

(x,en ) được gọi là dãy các hệ số Fourier suy rộng.


Định lí 1.8 (Định lí Friesz). Nếu x là một phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian Hilbert H thì tồn tại duy nhất phần tử y của H sao
cho


x (x)
x, y
,

x và x y .

H




Nhờ định lí Friesz, mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục x trên
không gian Hilbert H tương ứng với một phần tử yH . Hiển
nhiên tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể
đồng nhất mỗi phiếm hàm





với phần tử yH , nghĩa là H H .

x


H

Định lí 1.9. Cho xnlà một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H .
2

a) Chuỗ
x cnxn hội tụ nếu (cn ) . Trong trường hợp
i
l
2
2
và chỉ nếu
này, ta có công thức Plancherel
b) Nế
x cnxn
u
hội tụ thì

x cn

.


cn x, xn . Đặc biệt, (cn )
( x, xn )

là các hệ số được xác định duy nhất sao
cho
c) (Bất đẳng thức Bessel) Nếu
xH

x cnxn .
2

th
ì

2

x, x

n



x .

Định lí 1.10. Cho xnlà một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert
H . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
a)

xnlà đầy trong H .


b)

xnlà cơ sở trực chuẩn trong

H.
2

c) (Công thức
Plancherel)

x,
xn 
x



2

xH .


d)

x 

xH .

x, xn xn
Định lí 1.11. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi

không gian đó là tách được.
Định nghĩa 1.17. Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian


Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tử S ánh xạ không gian Y
vào không gian X

gọi là toán tử liên

hợp của toán tử S

nếu
Sx,y

 x,S y


, xX,yY .