Lời mở đầu

LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, nền công nghiệp nước ta đã và đang phát triển với tốc
độ cao. Song song với sự phát triển đó là hàng loạt các robot công nghiệp với nhiều tính
năng vượt trội được ra đời nhằm hỗ trợ, nâng cao năng suất lao động. Nhiều lý thuyết
điều khiển hiện đại cũng như kinh điển được nghiên cứu, áp dụng vào hệ thống như: PID,
LQR, ROOT - LOCUS, FUZZY...
“Con lắc ngược” là một trong những mô hình robot đơn giản được nghiên cứu
nhằm kiểm chứng lại các lý thuyết điều khiển kinh điển cũng như hiện đại đã được nêu
trên. Nhận biết được tầm quan trọng của vấn đề đó, em đã chọn đề tài : “Điều khiển cân
bằng và thiết kế bộ Swing – up cho con lắc ngược”. Đồ án của em bao gồm 5 chương:
-

Chương 1 : Tổng quan về hệ thống con lắc ngược.
Chương 2 : Xây dựng mô hình toán học hệ thống con lắc ngược.
Chương 3 : Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho con lắc ngược.
Chương 4 : Thiết kế bộ điều khiển Swing-up cho con lắc ngược.
Chương 5 : Kết luận và đánh giá.

Bằng sự cố gắng, nỗ lực nghiên cứu của bản thân, đặc biệt là sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo của thầy Ts. Dương Minh Đức, em đã hoàn thành đồ án đúng thời hạn. Do
thời gian thực hiện đề tài là có hạn, cũng như kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể
tránh khỏi những sai sót. Em mong được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô cũng như các
bạn để đồ án được hoàn thiện hơn nữa.
Sinh viên thực hiện
Lê Tuấn Minh

1

Mục lục

2


Chương 1: Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ HỆ THỐNG CON LẮC NGƯỢC
1.1 Đặt vấn đề
Trong cuộc sống hiện đại, các phương tiện di chuyển của con người ngày càng
được hoàn thiện hơn, không chỉ về kích cỡ, kiểu dáng, tiện ích mà con tiết kiệm năng
lượng và bảo vệ môi trường. Việc phát minh ra xe hai bánh tự cân bằng (SEGWAY) là
một bước tiến quan trọng của khoa học, phát minh này giúp cho việc di chuyển của con
người trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn bao giờ hết. Nó được đánh giá là một trong
những phương tiện di chuyển của tương lai.

Hình 1.1: Xe hai bánh tự cân bằng
Vấn đề đặt ra khi thiết kế Segway là làm thế nào để xe có thể tự cân bằng khi hoạt
động? Đây chính là bài toán điều khiển cân bằng con lắc ngược – một vấn đề rất được
quan tâm trong lĩnh vực điều khiển. Mô hình thực tế con lắc ngược có thể dùng để kiểm
chứng lại các lý thuyết điều khiển như PID, Root Locus, State Space, Fuzzy, Neural
Network… Tuy nhiên con lắc ngược cũng đặt ra nhiều thách thức đối với lý thuyết điều
khiển cũng như các thiết bị điều khiển chúng. Vì đây là hệ thống phi tuyến nên vấn đề
điều khiển ổn định con lắc gặp khá nhiều khó khăn.

3


Chương 1: Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược


1.2 Mô tả hoạt động của hệ thống con lắc ngược
Trong đó:

Hình 1.2: Mô hình con lắc ngược
Xét hệ thống con lắc ngược như ở hình 1.2. Một thanh có chiều dài 2l được gắn
với giá đỡ thông qua một khớp quay, giá đỡ này có thể dịch chuyển tự do dọc theo thanh
ray. Chúng ta chỉ xét bài toán trong không gian hai chiều, nghĩa là con lắc chỉ chuyển
động trong mặt phẳng. Hệ thống con lắc ngược không thể tự ổn định trừ khi có ngoại lực
tác động thích hợp. Yêu cầu thiết kế là giữ cho con lắc luôn thẳng đứng (vị trí cân bằng).

Cân bằng

Bị nghiêng

Cách điều khiển

Hình 1.3: Nguyên lý hoạt động của hệ thống con lắc ngược
Nguyên tắc điều khiển cân bằng con lắc ngược: khi con lắc bị nghiêng sang một
phía, chúng ta sẽ tác động lực vào giá đỡ sao cho nó di chuyển theo hướng ngược lại. Khi
đó, góc nghiêng của con lắc sẽ quay trở lại vị trí cân bằng .

4


Chương 1: Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược

1.3 Tầm quan trọng và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
Hệ thống con lắc ngược là hệ thống phức tạp có tính phi tuyến cao và không ổn
định. Các vấn đề điều khiển liên quan đến hệ thống này bao gồm thiết kế bộ điều khiển
Swing – up, thiết kế bộ điều khiển giữ cân bằng cho con lắc…là những vấn đề rất thú vị

và là thách thức của lĩnh vực điều khiển tự động. Bên cạnh đó, nếu hệ thống được chế tạo
với độ chính xác và tin cậy cao thì đây là mô hình lý tưởng để thực hiện các thí nghiệm
thu thập dữ liệu, từ đó có thể sử dụng các thuật toán nhận dạng để nhận dạng mô hình của
hệ thống con lắc ngược.
Con lắc ngược là cơ sở để tạo nên những hệ thống tự cân bằng như: xe hai bánh tự
cân bằng, tháp vô tuyến, giàn khoan, robot hình người, công trình biển... Khi các lý
thuyết điều khiển hiện đại ngày càng hoàn thiện hơn thì con lắc ngược là một trong các
đối tượng được áp dụng để kiểm tra các lý thuyết đó.

Xe hai bánh tự cân bằng

Điều khiển góc phóng tên lửa

Giàn khoan biển

Người máy

Hình 1.4: Các ứng dụng điều khiển con lắc ngược

5


Chương 1: Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược

1.3 Mục tiêu và phương pháp thực hiện đề tài
Mục tiêu của đề tài là khảo sát các phương trình động lực học, xây dựng mô hình
toán học, mô phỏng đặc tính hoạt động của hệ thống con lắc ngược.
Đề tài đi sâu vào nghiên cứu, khảo sát một số phương pháp điều khiển có thể áp
dụng cho hệ con lắc ngược; tiến hành tổng hợp, thiết kế bộ điều khiển và xây dựng các
mô hình mô phỏng của giải thuật điều khiển ứng dụng vào hệ con lắc ngược; so sánh các

kết quả mô phỏng đạt được về đặc tuyến làm việc, thời gian xác lập, sự ổn định của hệ
thống. Từ đó, phân tích các ưu điểm và khuyết điểm của các phương pháp điều khiển và
lựa chọn ra phương pháp thích hợp nhất.
1.4 Nội dung của đề tài
Đề tài gồm có những nội dung chính sau:
Chương 1 : Giới thiệu về hệ thống con lắc ngược
Nội dung chính của chương này là nêu khái quát về hệ thống con lắc ngược: Mô
hình con lắc; tầm quan trọng và ý nghĩa thực tiễn của việc điều khiển con lắc ngược, mục
tiêu và phương pháp thực hiện đề tài.
Chương 2 : Xây dựng mô hình toán học của hệ thống con lắc ngược
Chương này trình bày cách thiết lập các phương trình toán học của con lắc dựa
trên những thông số vật lý cho trước, đó là cơ sở để phục vụ cho việc tuyến tính hóa và
xây dựng mô hình toán học cho hệ thống con lắc ngược.
Chương 3 : Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược
Từ mô hình toán học của con lắc đã xây dựng được ở Chương 2, đề xuất ra hai
giải thuật điều khiển cân bằng cho con lắc là PID và LQR. Dựa vào kết quả mô phỏng
trên Matlab để đánh giá về ưu, nhược điểm của từng phương pháp; so sánh và lựa chọn
phương pháp điều khiển thích hợp.
Chương 4 : Thiết kế bộ điều khiển Swing-up cho hệ thống con lắc ngược
Chương này trình bày cách xây dựng giải thuật Swing – up cho hệ con lắc ngược,
truyền cho con lắc một năng lượng đủ lớn để làm cho con lắc chuyển động đến vị trí
mong muốn. Sau đó nghiên cứu việc kết hợp hai giải thuật: điều khiển cân bằng và Swing
– up.
Chương 5 : Kết luận và đánh giá
Chương này tóm tắt lại các kết quả đã thực hiện được trong đề tài. Nhận xét và đề xuất
hướng phát triển tiếp theo để hoàn thiện và mở rộng đề tài.

6



Chương 2: Xây dựng mô hình toán học của hệ thống con lắc ngược

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
CON LẮC NGƯỢC
2.1 Thiết lập các phương trình vật lý của hệ con lắc ngược
Trong đó:

Ftt

Fht

Hình 2.1: Tổng hợp các lực tác dụng lên hệ thống con lắc ngược
Với : Lực tiếp tuyến
Và : Lực hướng tâm
Phân tích tổng các lực tác động lên giá đỡ theo phương ngang ta được phương
trình chuyển động:
(2.1)
Tổng hợp các lực tác động lên con lắc theo phương ngang:
(2.2)
Suy ra:
(2.3)
Từ (2.1), (2.3) :
(2.4)

7


Chương 2: Xây dựng mô hình toán học của hệ thống con lắc ngược

Lấy tổng các lực vuông góc với con lắc, ta có phương trình:

(2.5)
Nhân cả 2 vế với l ta có:
(2.6)
Tổng hợp Momen của con lắc với trọng tâm trùng với tâm con lắc, ta có:
(2.7)
Kết hợp (2.6) và (2.7) ta được:
(2.8)
Từ những phân tích và phương pháp thiết kế điều khiển trên, chúng ta sẽ tuyến
tính hóa các công thức quanh vị trí cân bằng, θ = π, và coi như hệ thống ở trong một lân
cận nhỏ quanh điểm cân bằng.
Gọi là độ lệch của con lắc so với vị trí cân bằng, suy ra θ = π + . Vì góc rất nhỏ
nên ta có thể xấp xỉ các công thức:
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Áp dụng vào các công thức (4), (8) và thay thế F bởi u ta được:
(2.12)
(2.13)

8


Chương 2: Xây dựng mô hình toán học của hệ thống con lắc ngược

2.2 Xây dựng hàm truyền
Để có hàm truyền, ta phải chuyển các công thức (2.12) và (2.13) sang miền ảnh
Laplace với điều kiện ban đầu bằng 0.
(2.14)
(2.15)
Từ công thức (2.14) suy ra:

(2.16)
Thay vào công thức (2.15) ta có:
(2.17)
Ta được hàm truyền:
(2.18)
Với:
Từ hàm truyền ta thấy có cả điểm cực và điểm không tại gốc tọa độ nên ta chia cả
tử và mẫu cho s ta được hàm truyền đối với vị trí con lắc:
(2.19)

Tương tự ,ta cũng có thể xây dựng hàm truyền đối với vị trí của giá đỡ như sau:
(2.20)

2.3 Xây dựng mô hình trạng thái của hệ thống con lắc ngược
Từ hai phương trình (2.12), (2.13) ở chương II, ta có:
(2.21)
(2.22)

9


Chương 2: Xây dựng mô hình toán học của hệ thống con lắc ngược

Rút từ phương trình (3.1) ta có:
(2.23)
Thế (3.3) vào (3.2) ta có:
(2.24)
Khử mẫu và rút gọn (2.24) ta được:
(2.25)
Bằng cách tương tự, ta cũng có phương trình:

(2.26)
Phương trình động học của hệ thống con lắc ngược trong không gian trạng thái:

2.4 Kết luận
Ở chương này, chúng ta đã thực hiện được các công việc như sau:
-

Từ các thông số vật lý, xây dựng phương trình động học mô tả hệ thống con lắc
ngược.
Tuyến tính hóa và xây dựng hàm truyền của vị trí giá đỡ và góc nghiêng của con
lắc.
Xây dựng mô hình con lắc ngược trong không gian trạng thái.

10


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN CÂN BẰNG CHO HỆ THỐNG
LẮC NGƯỢC

CON

Các thông số kĩ thuật của hệ thống con lắc ngược:
M
m
b
l
I
F

x
θ

Khối lượng của giá đỡ
Khối lượng của con lắc
Hệ số ma sát của bánh xe
Khoảng cách từ trục quay tới trọng tâm của lắc
Momen quán tính của con lắc
Lực tác động lên xe
Vị trí của giá đỡ theo phương ngang
Góc nghiêng của con lắc so với phương thẳng đứng

0.5 kg
0.2 kg
0.1 N/m/sec
0.3 m
0.006 kg.m2
N
m
rad

3.1 Bộ điều khiển PID
Bộ điều khiển PID là giải pháp thích hợp cho một hệ thống SISO được miêu tả bởi
hàm truyền. Ở đây, hệ thống con lắc ngược là hệ SIMO với một đầu vào là tín hiệu điều
khiển u; hai đầu ra là vị trí của giá đỡ và góc nghiêng của con lắc. Về lý thuyết, để áp
dụng được bộ điều khiển PID, chúng ta sẽ cố gắng điều khiển vị trí góc nghiêng của con
lắc mà không quan tâm đến vị trí của giá đỡ.
Yêu cầu thiết kế:
-


Thời gian xác lập nhỏ hơn 5s.
Góc nghiêng của con lắc nhỏ hơn 0.05 rad so với phương thẳng đứng.

11


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

3.1.1 Khái niệm về bộ điều khiển PID

uP
uI
uD

–

Hình 3.1: Điều khiển với bộ điều
e

w

PID là cách viết tắt của các từ Propotional (tỉ lệ), Integral (tích phân), Derivative
(vi phân) và là giải thuật điều khiển được dùng nhiều nhất trong các ứng dụng điều khiển
12


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

tự động với yêu cầu chính xác (accurate), đáp ứng nhanh (fast response), độ quá điều
chỉnh nhỏ (small overshot).

Bộ điều khiển PID được mô tả bởi mô hình vào – ra:
(3.1)
trong đó: e(t) là tín hiệu đầu vào, u(t) là tín hiệu đầu ra, K p là hệ số khuếch đại, TI là hằng
số tích phân và TD là hằng số vi phân.
Từ mô hình vào – ra trên, ta có được hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID:
(3.2)

Qua phương trình (3.1) ta thấy bộ điều khiển PID gồm có 3 khâu: khâu tỉ lệ, khâu
tích phân và khâu vi phân.
Khâu tỉ lệ :
1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5


6

7

8

9

10

Hình 3.2: Đáp ứng của hệ thống khi giữ KD, KI là hằng số, thay đổi Kp
Khâu tỉ lệ được mô tả bởi phương trình:
(3.3)

13


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Vai trò của khuếch đại Kp: Khi sai lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần , tín
hiệu điều chỉnh càng lớn (tác động điều khiển lớn). Bộ điều khiển tỉ lệ P giúp giảm thời
gian đáp ứng, giảm sai lệch tĩnh nhưng không triệt tiêu được sai lệch tĩnh. Tuy nhiên nếu
Kp lớn sẽ làm cho độ quá điều chỉnh lớn hoặc làm cho hệ mất ổn định.
Khâu tích phân:
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6

0.4
0.2
0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hình 3.3: Đáp ứng của hệ thống khi giữ KD, KP là hằng số, thay đổi KI
Khâu tích phân được mô tả bởi phương trình:
(3.4)
Vai trò của khâu tích phân: Khi sai lệch e(t) chưa bằng 0 thì thông qua thành phần

, bộ PID vẫn còn tạo ra tín hiệu điều chỉnh. Bộ điều khiển tích phân I có khả năng triệt
tiêu sai lệch tĩnh, nhưng nếu KI quá lớn sẽ làm cho hệ dao động.

14


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Khâu vi phân:
1.5

KD = 1
KD = 3
KD = 5

1

0.5

0

0

1

2

3

4


5

6

7

8

9

10

Hình 3.4: Đáp ứng của hệ thống khi giữ KP, KI là hằng số, thay đổi KD
 
Khâu vi phân được mô tả bởi phương trình:
(3.5)
Vai trò của khâu vi phân: Nếu sự thay đổi của sai lệch e(t) càng lớn thì thông qua
thành phần , phản ứng thích hợp của sẽ càng nhanh. Bộ điều khiển vi phân D giúp giảm
độ quá điều chỉnh; cải thiện đáp ứng quá quá độ của hệ thống, tuy nhiên đôi khi làm hệ
mất độ ổn định do khá nhạy cảm với nhiễu.
Các ảnh hưởng của bộ điều khiển P, I, D với hệ kín được tổng hợp trong bảng dưới
đây:
Thời gian đáp Độ quá điều Thời gian quá
Sai lệch tĩnh
ứng
chỉnh
độ
Kp
Giảm

Tăng
Ít thay đổi
Giảm
KI
Giảm
Tăng
Giảm
Triệt tiêu
KD
Ít thay đổi
Giảm
Tăng
Ít thay đổi
Bảng 3.1: Ảnh hưởng của các thành phần KP, KI, KD đến đáp ứng của hệ kín

15


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Chú ý: Những tương quan trên có thể không chính xác trong nhiều tình huống,
bởi KP, KI, KD phụ thuộc vào nhau. Trong thực tế việc thay đổi một trong những thông số
trên có thể làm thay đổi sự ảnh hưởng của hai thông số còn lại. Vì lí do này, bảng chỉ nên
sử dụng như một tài liệu tham khảo khi ta cần xác định các giá trị KP, KI, KD.
Chất lượng hệ thống phụ thuộc vào các tham số K P , KI , KD. Muốn hệ thống có
được chất lượng như mong muốn thì phải phân tích đối tượng, rồi trên cơ sở đó chọn các
tham số cho phù hợp.
Phương pháp chỉnh định bằng tay bộ điều khiển PID:
Khi thiết kế bộ điều khiển PID cho một hệ thống; làm theo các bước sau đây để
nhận được đáp ứng mong muốn:

1)
2)
3)
4)
5)

Mô phỏng đáp ứng của hệ kín với KP = 1 , KI = 1 , KD = 1.
Điều chỉnh KP để cải thiện thời gian đáp ứng.
Điều chỉnh KI để cải thiện thời gian đáp ứng và triệt tiêu sai lệch tĩnh.
Điều chỉnh KD để giảm độ quá điều chỉnh.
Nếu đáp ứng chưa đạt được các yêu cầu thiết kế thì tiếp tục điều chỉnh từng hệ số
KP, KI, KD cho đến khi nhận được đáp ứng mong muốn.

3.1.2 Cấu trúc của hệ thống
Ở bài toán thiết kế bộ điều khiển PID cho đối tượng con lắc ngược, các ngoại lực
tác dụng lên con lắc được coi như là nhiễu. Với yêu cầu đặt ra là con lắc phải quay trở lại
vị trí cân bằng sau khi bị tác động bởi nhiễu ban đầu nên tín hiệu đặt r được gán bằng 0.

Hình 3.5: Cấu trúc bộ điều khiển PID cho hệ thống con lắc ngược

16


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Để cho đơn giản và thuận tiện cho quá trình tính toán và thiết kế bộ điều khiển,
mô hình hệ thống được sắp xếp lại như sau:

Hình 3.6: Sơ đồ khối hệ thống được sắp xếp lại
Hàm truyền hệ kín:

(3.6)
Trong đó, là hàm truyền đối với vị trí con lắc:
(3.7)
Với:

17


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

3.1.3 Thiết kế bộ điều khiển PID cho đối tượng con lắc ngược

Hình 3.7: Sơ đồ khối hệ thống với bộ điều khiển PID
Lựa chọn tham số lần 1: KP = 1, KI = 1, KD = 1:
DAP UNG CUA GOC NGHIENG CON LAC VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1
60

GOC NGHIENG CUA CON LAC (rad)

50

40

30

20

10

0


0

0.5

1

1.5

THOI GIAN (sec)

Hình 3.8: Đáp ứng của góc nghiêng con lắc với KP = 1, KI = 1, KD = 1
Nhận xét: Hệ chưa ổn định, ta sẽ điều chỉnh đáp ứng của hệ bằng cách tăng hệ số tỉ lệ K P.

18


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Lựa chọn tham số lần 2: KP = 100, KI = 1, KD = 1:
DAP UNG CUA GOC NGHIENG CON LAC VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1
0.2

GOC NGHIENG CUA CON LAC (rad)

0.15

0.1

0.05

System: G
Settling Time (sec): 1.64
0

-0.05

-0.1

-0.15

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5


5

THOI GIAN (sec)

Hình 3.9: Đáp ứng của góc nghiêng con lắc với KP = 100, KI = 1, KD = 1
Nhận xét: Ta thấy hệ ổn định với thời gian xác lập 1.64s < 5s (theo yêu cầu thiết
kế), sai lệch tĩnh bằng 0 nên ta không cần phải điều chỉnh K I. Tuy nhiên độ quá điều
chỉnh vẫn còn lớn nên ta cần tăng KD để giảm độ quá điều chỉnh.

19


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

Lựa chọn tham số lần 3: KP = 100, KI = 1, KD = 20:
DAP UNG CUA GOC NGHIENG CON LAC VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20
0.06

GOC NGHIENG CUA CON LAC (rad)

0.04

0.02
System: G
Settling Time (sec): 0.844
0

-0.02

-0.04


-0.06

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

THOI GIAN (sec)

Hình 3.10: Đáp ứng của góc nghiêng con lắc với KP = 100, KI = 1, KD = 20
Nhận xét: Độ quá điều chỉnh đã được giảm xuống, nghĩa là góc nghiêng của con
lắc nhỏ hơn 0.05 rad so với phương thẳng đứng, thời gian đáp ứng của góc nghiêng con
lắc là 0.844s < 5s. Tất cả các chỉ tiêu trên đều thỏa mãn yêu cầu thiết kế đã đặt ra nên bộ
điều khiển PID dùng để ổn định góc nghiêng con lắc mà ta đã thiết kế là hoàn toàn phù
hợp.

20


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược


3.1.4 Vấn đề của bộ điều khiển
Ở phần trên chúng ta chỉ quan tâm đến việc điều khiển góc nghiêng của con lắc
mà không quan tâm đến vị trí của giá đỡ. Bây giờ ta sẽ xem xét đến vấn đề trên sẽ ảnh
hưởng như thế nào đến vị trí của giá đỡ.
Sơ đồ khối hệ thống:

Hình 3.11: Sơ đồ khối hệ thống nếu xét đến cả vị trí giá đỡ
Sơ đồ khối hệ thống được sắp xếp lại:

Hình 3.12: Sơ đồ khối hệ thống được sắp xếp lại
Hàm truyền hệ kín:

Giữ nguyên Ppend(s) và C(s) như ở phần trước. Ta quan sát đáp ứng của hệ thống
với bộ điều khiển PID: KP = 100, KI = 1, KD = 20.
21


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

DAP UNG CUA VI TRI GIA DO VOI BO DIEU KHIEN PID: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20
0.1

0

VI TRI GIA DO (m)

-0.1

-0.2


-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


THOI GIAN (sec)

Hình 3.13: Vị trí giá đỡ khi sử dụng bộ điều khiển PID
Ta thấy giá đỡ chuyển động theo chiều âm với vận tốc không đổi. Vì thế tuy bộ
điều khiển PID ổn định được góc nghiêng của con lắc nhưng việc thiết kế bộ điều khiển
này không thể thực hiện với các hệ thống thực tế.

22


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

3.2 Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR
3.2.1 Các điểm cực vòng hở
Xét hệ thống con lắc ngược được mô tả bởi mô hình trạng thái:
(3.8)
Với các ma trận:

và 4 biến trạng thái lần lượt đại diện cho vị trí giá đỡ, vận tốc chuyển động của giá đỡ,
góc nghiêng của con lắc, vận tốc góc của con lắc. Tín hiệu vào là tín hiệu điều khiển và
hai đầu ra là vị trí của giá đỡ và góc nghiêng của con lắc.
Bước đầu tiên để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái là xác định các điểm
cực vòng hở của hệ thống (giá trị riêng của ma trận A). Hệ ổn định BIBO khi và chỉ khi
ma trận A có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo.
Qua tính toán ta thu được các điểm cực vòng hở là:

Ta thấy có một điểm cực nằm bên phải trục ảo.
Kết luận: hệ không ổn định.


23


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược

3.2.2 Kiểm tra tính điều khiển được
Theo tiêu chuẩn Kalman: Hệ tuyến tính điều khiển được khi và chi khi ma trận
điều khiển có hạng là n. Nghĩa là ma trận phải chứa n vector cột độc lập tuyến tính.
Qua tính toán ta có:
Ta có:
Kết luận: hệ là điều khiển được.
3.2.3 Phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu (Linear Quadratic Regulator –
LQR)

K

Hình 3.14: Sơ đồ khối bộ điều khiển LQR phản hồi âm
Xét đối tượng (3.8), ta giả sử tất cả các trạng thái đều đo được. Bài toán đặt ra ở
đây là tìm bộ điều khiển K tĩnh, phản hồi trạng thái của vector điều khiển tối ưu:
(3.9)
để ổn định đối tượng (3.8) theo các chỉ tiêu thiết kế mong muốn.
Phương trình trạng thái của hệ kín là:
(3.10)
với là giá trị đặt mong muốn của vị trí giá đỡ.

24


Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển cân bằng cho hệ thống con lắc ngược


Khi hệ thống bị nhiễu đánh bật ra khỏi điểm cân bằng (hoặc điểm làm việc) đến
một điểm trạng thái nào đó, bộ điều khiển sẽ kéo được hệ từ về gốc tọa độ 0 (hay điểm
làm việc cũ). Trong quá trình trở lại này, sự tổn hao năng lượng được đánh giá bởi hàm
mục tiêu:
(3.11)
Mục tiêu của phương pháp thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR
là tìm K sao cho tích phân (3.11) đạt giá trị nhỏ nhất. Hàm mục tiêu (3.11) được miêu tả
bởi
Để bài toán có nghiệm, ma trận được giả thiết là ma trận đối xứng xác định không
âm và ma trận là ma trận đối xứng xác định dương, tức là:
(3.12)
(3.13)
Chú ý: Chất lượng đáp ứng đầu ra của hệ kín phụ thuộc vào việc lựa chọn thông số
cho hai ma trận và :
Nếu chọn lớn, để tích phân J nhỏ thì trạng thái phải nhỏ. Điều này có nghĩa là
càng lớn sẽ làm cho các điểm cực của hệ kín (giá trị riêng của ma trận ) nằm càng xa trục
ảo về bên trái, tức là thời gian xác lập giảm.
Nếu chọn lớn, để tích phân J nhỏ thì tín hiệu điều khiển u phải nhỏ, dẫn đến trạng
thái x lớn, thời gian xác lập tăng. Thông thường R được chọn bằng 1.
Ma trận được tính như sau:
(3.14)
Với P là nghiệm của phương trình Riccati:
(3.15)

25