Đại số tuyến tính - Trần Đức Anh danhsach02 bt dstt
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (110.65 KB, 2 trang )
Danh sách bài tập ĐSTT số 2 cho K65, khoa Toán-Tin
Giảng viên : Trần Đức Anh
Liên hệ qua hòm thư:
nếu bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập.
Tháng 9/2015
Đại cương về lý thuyết tập hợp (tiếp theo)
Quan hệ
Bài tập 1. Các quan hệ R trên tập số thực R có phải là quan hệ tương đương không? Nếu có thì
hãy chỉ ra các lớp tương đương một cách cụ thể.
(a) Với a, b ∈ R, aRb ⇐⇒ |a| = |b|.
(b) Với a, b ∈ R, aRb ⇐⇒ |a − b| < 1.
Bài tập 2. Trên mặt phẳng R2 ta định nghĩa quan hệ R như sau:
(x, y)R(x , y ) ⇐⇒ y = y .
(a) Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương.
(b) Xác định lớp tương đương của phần tử (x, y) ∈ R2 .
Bài tập 3. Trên tập số phức C ta định nghĩa quan hệ R như sau
zRz ⇐⇒ |z| = |z |.
Quan hệ R này có phải là quan hệ tương đương không? Nếu có thì hãy chỉ ra cụ thể các lớp tương
đương.
Cấu trúc đại số cơ bản (nhóm, vành, trường)
Ghi chú: Trong mục này ta chỉ bàn chi tiết tới khái niệm nhóm mà thôi, do không có nhiều thời gian.
Về khái niệm trường, nếu ai cảm thấy khó khăn thì cứ mặc định trường K được sử dụng trong giáo
trình là trường số thực R hoặc trường số phức C. Và vì lẽ đó mà tôi nhắc lại ở đây một số bài tập về
số phức để các bạn nhớ lại những kiến thức cần thiết cho việc học môn ĐSTT.
Số phức
Bài tập 4. Chứng minh rằng nếu z + z −1 = 2 cos ϕ với ϕ ∈ R thì z n + z −n = 2 cos nϕ, với mọi n ∈ N.
Bài tập 5. Chứng minh rằng tổng tất cả các căn bậc n của một số phức bất kỳ với 1 < n ∈ N đều
bằng 0.
Bài tập 6. Xét phương trình z 2 + pz + q = 0 với p, q là các số phức.
(a) Tìm một điều kiện của p và q để các nghiệm của phương trình có cùng argument (ác-gu-men).
(b) Câu hỏi tương tự với module (mô-đun).
1
Nhóm
Bài tập 7. Các tập sau đây cùng với luật hợp thành trong có lập thành một nhóm không? Nếu là
nhóm thì có phải là nhóm abel không?
(a) Tập hợp {0, 1} cùng với phép nhân thông thường.
(b) Tập các số hữu tỷ dương cùng với phép nhân thông thường.
(c) Tập các số nguyên chẵn cùng với phép cộng thông thường.
(d) Tập các số nguyên chẵn cùng với phép nhân thông thường.
(e) Tập các số nguyên Z cùng với phép toán ∗ trên Z định nghĩa bởi a ∗ b = a − b với mọi a, b ∈ Z.
(f) Tập Z cùng với phép toán ∗ trên Z định nghĩa bởi a ∗ b = ab + a với mọi a, b ∈ Z.
(g) Tập Z cùng với phép toán ∗ trên Z định nghĩa bởi a ∗ b = a + b + 1 với mọi a, b ∈ Z.
(h) Tập R\{−1} cùng với phép toán ∗ định nghĩa bởi a ∗ b = a + b + ab với mọi a, b ∈ R\{−1}.
Bài tập 8. Trên khoảng mở các số thực (−1, 1), ta định nghĩa một phép toán như sau: Với a, b ∈
a+b
(−1, 1), đặt a ∗ b =
. Chứng minh rằng phép toán này lập thành một luật hợp thành trong trên
1 + ab
khoảng mở (−1, 1). Xác định các tính chất có thể có của phép toán này. Khoảng mở này cùng với
luật hợp thành trong đã cho có lập thành một nhóm không?
Các khái niệm cơ bản của Đại số tuyến tính
Không gian vector
Bài tập 9. Xác định xem nếu R2 được trang bị các phép toán trong và ngoài sau có phải là R−không
gian vector không? Giải thích.
(a) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (a, λb) với mọi (a, b), (c, d) ∈ R2 và λ ∈ R.
(b) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (λ2 a, λ2 b) với mọi (a, b), (c, d) ∈ R2 và λ ∈ R.
Bài tập 10. Xét khoảng (0, 1) ⊂ R. Xét xem các tập hợp sau, tập hợp nào là một không gian vector
trên R với phép cộng và nhân với một số thông thường.
(a) Tập tất cả các ánh xạ từ (0, 1) vào R.
(b) Tập tất cả các hàm số thực khả vi trên (0, 1).
(c) Tập tất cả các hàm số thực bị chặn trên (0, 1).
(d) Tập tất cả các hàm số thực không bị chặn trên (0, 1).
(e) Tập tất cả các hàm số thực f trên (0, 1) thỏa mãn f
1
2
= 0.
(f) Tập tất cả các hàm số thực f trên (0, 1) thỏa mãn f
1
2
= 2013.
2
