1

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

BÁO CÁO CÂU 3 VÀ 4

Người hướng dẫn: ThS VÕ ĐỨC VĨNH
Người thực hiện: THÁI TRUNG TÍN - 51503315
Lớp : 15050301
Khóa : 19

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2017


2

TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

BÁO CÁO CÂU 3 VÀ 4

Người hướng dẫn: ThS VÕ ĐỨC VĨNH
Người thực hiện: THÁI TRUNG TÍN - 51503315
Lớp : 15050301

Khóa : 19

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2017


3

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình làm bài tập lớn, em đã gặp rất
nhiều khó khăn từ cách tiếp cận và trình bày ý tưởng nhưng
nhờ có ThS Võ Đức Vĩnh - Khoa Công nghệ thông tin - Trường
đại học Tôn Đức Thắng - đã tận tình hướng dẫn đã giúp em
nhìn nhận vấn đề cụ thể, tiếp cận đề tài dễ dàng.
Em xin chân thành cảm ơn thầy vì những lời chỉ bảo vô cùng
quý báu của thầy đã giúp em có những thu hoạch quý giá để
hoàn thành quá trình làm bài tập lớn này.
Bài thu hoạch này được thực hiện trong khoảng thời gian gần
2 tuần. Do vậy, không tránh khỏi những thiếu sót là điều chắc
chắn, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu
của quý Thầy Cô và các bạn học cùng lớp để kiến thức của em
trong lĩnh vực này được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
TP.Hồ Chí Minh,ngày 15 tháng 04 năm 2017
Tác giả
Thái Trung Tín


4

ĐỒ ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH

TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG
Tôi xin cam đoan đây là sản phẩm đồ án của riêng
tôi và được sự hướng dẫn của ThS Võ Đức Vĩnh. Các nội dung
nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa công
bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Những số liệu trong
các bảng biểu phục vụ cho việc phân tích, nhận xét, đánh giá
được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ
trong phần tài liệu tham khảo.
Ngoài ra, trong đồ án còn sử dụng một số nhận xét,
đánh giá cũng như số liệu của các tác giả khác, cơ quan tổ chức
khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.
Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung đồ án của
mình. Trường đại học Tôn Đức Thắng không liên quan đến
những vi phạm tác quyền, bản quyền do tôi gây ra trong quá
trình thực hiện (nếu có).
TP.Hồ Chí Minh,ngày 15 tháng 04 năm 2017
Tác giả
Thái Trung Tín


5

PHẦN XÁC NHẬN, ĐÁNH GIÁ CỦA
GIẢNG VIÊN
Phần xác nhận của giáo viên hướng dẫn

TP.Hồ Chí Minh,ngày 15 tháng 04 năm 2017
Thái Trung Tín
Phần đánh giá của giáo viên chấm bài


TP.Hồ Chí Minh,ngày 15 tháng 04 năm 2017
Thái Trung Tín


6

TÓM TẮT
Tìm hiểu về đạo hàm và tích phân, mô phỏng
chuyển động của 1 con lắc đôi bằng phương thức
Runge-Kutta. Tìm hiểu về phương trình vi phân thường
và một số cách giải, phương thức Euler lùi, sự ổn định
của phương thức này, có thêm kiến thức về tính hội
của phương thức Newton.


Mục lục
1 Câu 3
1.1 Phần a . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phần b . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
10

2 Câu 4
2.1 Phần
2.2 Phần
2.3 Phần
2.3.1

2.3.2
2.3.3
2.3.4

15
15
16
16
16
17
18
18

a .
b .
c. .
i .
ii .
iii
iv

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

3 Các hàm bổ trợ

21

4 Tài liệu tham khảo

23

7



8

MỤC LỤC


Chương 1

Câu 3
1.1

Phần a

1st order system becomes
ω1 = θ1
ω2 = θ2
θ1 =

−3sinθ1 −sin(θ1 −2θ2 )−2sin(θ1 −θ2 )(ω22 +ω12 cos(θ1 −θ2 ))
3−cos(2θ1 −2θ2 )
2
2
1 +2cos(θ1 )+ω2 cos(θ1 −θ2 ))
θ2 = 2sin(θ1−θ2)(ω3−cos(2θ
1 −2θ2 )

Hình 1.1: Hàm fpend.m

9



10

1.2

CHƯƠNG 1. CÂU 3

Phần b

Dùng hàm pendplot.m và bảng dữ liệu sau để
hình dung chuyển động của con lắc đôi:
Case

θ1 (0)

θ2 (0)

ω1 (0)

1

1

1

0

0


2

π

0

0

10−10

3

2

2

0

0

0

0

4

2

2 + 10


−3

ω2 (0)

Bảng 1.1: Bảng dữ liệu ban đầu

Hình 1.2: Question3b.m


1.2. PHẦN B

11

Hình 1.3: Question3b.m

Hình 1.4: Đồ thị biểu diễn câu 3b phần 1


12

CHƯƠNG 1. CÂU 3

Với độ bến thiên ∆h = 0.05/2k−1 với k =
1, 2, 3, 4 và ∆h = 0.001. Tìm giá trị của θ2(t = 100)
tương ứng mỗi độ biến thiên trên, vẽ đồ thị và tính
toán hệ số góc

Hình 1.5: question3b2.m



1.2. PHẦN B

13

Hình 1.6: question3b2.m
∆h

θ2 (t = 100)

0.05

-1.052068113668714

0.025

-1.052071573182922

0.0125

-1.052071785738407

0.00625

-1.052071798892810

0.0001

-1.052071799764450

Bảng 1.2: Kết quả câu 3b phần 2


hệ số góc = 4.0152 hoặc −0.4853


14

CHƯƠNG 1. CÂU 3

Hình 1.7: Đồ thị câu 3b phần 2


Chương 2

Câu 4
2.1

Phần a

Áp dụng phương thức Newton vào phương thức
Euler lùi

ωi+1 = ωi + hf (ti+1, ωi+1)
Định nghĩa lại hàm F

F (ωi+1) = ωi+1 − ωi − hf (ti+1, ωi+1) với
∂f
∂y

= fy (t, y)


Tính toán F (ωi+1 ) = 0 sử dụng:
(0)

ωi+1 = ωi
(k)
ωi+1

(k−1)

=

F (ω
)
(k−1)
ωi+1 − F (ωi+1
(k−1)
)

(k−1)

=

(k−1)

−ω −hf (t ,ωi+1 )
(k−1) ω
ωi+1 − i+11−hfi (t ,ωi+1
(k−1)
)
y


i+1

15

i+1

i+1


16

2.2

CHƯƠNG 2. CÂU 4

Phần b

Phương thức Euler lùi (Backward Euler Method)
trên Matlab

Hình 2.1: backeuler.m

2.3
2.3.1

Phần c
i

Khi y(t) ≈ 1 sự ổn định có thể được ước lượng

bằng cách kiểm tra phương trình y0 = λy với λ = ∂f
∂y
2
= 2y − 3y ≈ −1 , do hλ = −2.7853 trong RK4,
= 2.7853
từ đó suy ra: h ≤ −2.7853
−1
Từ 0 đến 2000, số bước nhảy sẽ được tính như sau:

N=

2000
h

≥ 718


2.3. PHẦN C

2.3.2

17

ii

Hình 2.2: question4cii.m

Hình 2.3: Xanh lá : 790 ; Xanh dương: 646

Đường màu xanh lá cho giá trị đúng với y tại 2000

xấp xỉ bằng 1


18

2.3.3

CHƯƠNG 2. CÂU 4

iii

Phương thức Euler lùi có sự ổn định (lõi hội tụ)
chỉ khi Re(hλ) < 0

Q(hλ) =

1
<1
1 − hλ

Điều đó nghĩa là với bất kì số N nào cũng sẽ cho ra
được 1 sự ổn định, bao gồm cả N = 1
2.3.4

iv

Giải y = y 2 (1 − y), 0 ≤ t ≤ 2000, y(0) = 0.9
sử dụng backeuler.m với N = 1, 5, 10.

Hình 2.4: question4ciii.m



2.3. PHẦN C

19

Hình 2.5: Đồ thị câu 4c phần iv

Tính hội tụ Newton được hiển thị như sau:
N=1
1 0.128469
2 0.0270214
3 0.00149354
4 4.46627e-6
5 3.98803e-11
6 7.88716e-18
N=5
1 0.128063
2 0.0268375
3 0.00147092
4 4.32538e-6
5 3.7348e-11
6 4.40305e-17


20

CHƯƠNG 2. CÂU 4

1 0.000249002

2 1.23664e-7
3 3.05022e-14
1 6.20646e-7
2 7.68531e-13
1 1.54774e-9
2 1.16283e-17
1 3.8597e-12
2 9.69023e-18
N = 10
1 0.127559
2 0.0266097
3 0.00144316
4 4.15576e-6
5 3.44115e-11
6 1.74336e-17
1 0.000496018
2 4.89378e-7
3 4.76576e-13
1 2.46534e-6
2 1.20952e-11
3 3.50426e-17
1 1.22653e-8
2 2.5906e-16
1
2
1
1
1
1
1


6.10214e-11
1.76752e-17
3.03571e-13
1.54658e-15
0
0
0


Chương 3

Các hàm bổ trợ
• pendplot.m: dùng để mô tả chuyển động con lắc
đôi trong trường hợp này

Hình 3.1: pendplot.m

21


22

CHƯƠNG 3. CÁC HÀM BỔ TRỢ

• rk4.m: phương thức Runge-Kutta

Hình 3.2: rk4.m



Chương 4

Tài liệu tham khảo
• Lab 6,7,8 Numerical Analysis , sakai.it.tdt.edu.vn
• https : //vi.wikipedia.org/wiki/EulerM ethod
• https : //en.wikipedia.org/wiki/N umericalStability

23