UBND TỈNH LAI CHÂU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/04/2017

Câu 1. (2,0 điểm)
6
1  
10  x 2 
 x2


:
x

2

Cho biểu thức A   3
 
x  2 
 x  4 x 6  3x x  2  
a) Rút gọn A;
b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Phân tích các đa thức xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z  thành nhân tử.

b) Chứng minh rằng: B  n3  n 2  7   36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n.
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2x2  2xy  y2  9  6x  y  3
b) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  2017 .
2017a 2bc
ab2c
abc 2
P



Tính giá trị của biểu thức:
ab  2017a  2017 bc  b  2017 ac  c  1
Câu 4. (5,0 điểm)
x3 x4 1 x5

 
a) Giải phương trình sau:
4
9
2 36
1
1
2


b) Cho ab  1 . Chứng minh rằng:
1  a 2 1  b 2 1  ab
Câu 5. (5,0 điểm)

Cho hình vuông EFGH. Từ E, vẽ góc vuông xEy sao cho cạnh Ex cắt các đường
thẳng FG và GH theo thứ tự ở M và N, còn cạnh Ey cắt hai đường thẳng trên lần lượt ở
P và Q.
a) Chứng minh rằng các tam giác EMQ và ENP là các tam giác vuông cân.
b) Đường thẳng QM cắt NP tại R. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của PN và
QM. Tứ giác EKRI là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng.
---------------Hết-------------2

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu


Trang 1/1
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CẤP TỈNH LAI CHÂU
NĂM HỌC 2016-2017

Đáp án chỉ mang tính chất tham khảo
Đáp án
Câu 1
6
1  
10  x 2 
 x2
A 3


:
x


2

 
 ( x  0; x  2 )
x

4
x
6

3
x
x

2
x

2

 


a
(1,0)


 x 2  4  10  x 2
2x  x  2
x  x  2

x2



:
x
x

2
x

2
x
x

2
x

2
x
x

2
x

2
x2












x2  2x2  4x  x2  2x x  2
6 x
x2

.

.
x  x  2  x  2 
6
x  x  2  x  2  6


1
x2

A có giá trị nguyên 

Điểm
2,0
0,25

0,25


0,25

0,25
1
 Z  x  2 U 1  1
x2

b Ta có
(1,0) x  2  1  x  3 tm
x  2  1  x  1tm
Vậy x1;3 thì A có giá trị nguyên
Câu 2
xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z 

 xy  x  z  y  z   yz  y  z   xz  x  z 

a  xy  y  z   xy  x  z   yz  y  z   xz  x  z 
(2,0)
 y  y  z  x  z   x  x  z  y  z 
  y  z  x  z  x  y 

Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu

0,25
0,25
0,25
0,25
4,0
0,5

0,5
0,5
0,5


2
2
2
B  n3  n2  7   36n  n n2  n2  7   62   n n  n2  7   62


2
2
3
 n  n  n  7   6  n  n  7   6  n  n  7n  6  n3  7n  6 

0,25

 n  n3  n  6n  6  n3  n  6n  6 

0,25

 n  n  n  1 n  1  6  n  1   n  n  1 n  1  6  n  1

0,25

 n  n  1  n 2  n  6   n  1  n 2  n  6 

b
2

2



(2,0)  n  n  1  n  3n  2n  6   n  1  n  3n  2n  6 
 n  n  1 n  3 n  2  n  1 n  3 n  2 

0,25
0,25

  n  3 n  2  n  1 n  n  1 n  2  n  3

Là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, cho 5, cho 7
Mà (3,5,7) = 1 nên tích trên chia hết cho 3.5.7=105
Vậy B  n3  n 2  7   36n chia hết cho 105 với mọi số nguyên n.

0,25
0,25

2

Câu 3

4,0
0,25

2 x  2 xy  y  9  6 x  y  3
2

2


 x 2  2 xy  y 2  x 2  6 x  9   y  3

0,25

  x  y    x  3   y  3
2

2

a Ta có VT   x  y 2   x  32  0 , với mọi x, y; VP   y  3  0 với mọi y
(2,0)
x  y  0 x   y
 x  y 2   x  32  0 

 x  3  0  x  3
Nên VT=VP  
 y  3  0

0,25

y 3  0


 y  3


Vậy nghiệm của phương trình là (3; -3)
Ta có ab  2017a  2017  ab  abca  abc  ab 1  ac  c 
bc  b  2017  bc  b  abc  b  c  1 ac 


Khi đó
2017 a 2bc
ab 2 c
abc 2
abcac
abc
abc 2
b
P





(2,0)
ab 1  c  ac  b 1  c  ac  ac  c  1 1  c  ac 1  c  ac ac  c  1

0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5

0,5

abcac  abc  abc 2 abc  ac  1  c 
0,25



 abc  2017
1  c  ac
1  c  ac
Vậy với a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  2017 thì giá trị của biểu thức 0,25
Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu


2017a 2bc
ab2c
abc 2
P


 2017
ab  2017a  2017 bc  b  2017 ac  c  1

Câu 4

5,0
x3 x4 1 x5

 
4
9
2 36
9 x  3 4 x  4 18 x  5


 

36
36
36 36
 9 x  3  4 x  4  18  x  5
 9 x  3  4 x  4  13  x 1
Lập bảng xét dấu
x
-3
x+3
0
+
x-4
+) Với x  3 , PT (1) trở thành
9   x  3  4  4  x   13  x

0,5

4
0

+
+
0,5

 9 x  27  16  4 x  13  x
 4 x  56

a
(2,5)  x  14  tm 
+) Với 3  x  4 , PT (1) trở thành

9  x  3  4  4  x   13  x
 9 x  27  16  4 x  13  x
 14 x  2
1
 x   tm 
7
+) Với x  4 , PT (1) trở thành
9  x  3  4  x  4   13  x

0,5

0,5

 9 x  27  4 x  16  13  x
 6 x  30
 x  5  kotm 
1

Vậy S  14; 
7


Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu

0,5


1
1
a 2  b2  2

VT 


1  a 2 1  b 2 a 2b 2  a 2  b 2  1
2
2 2
Theo BĐT Cô si ta có a2  b2  2ab và ab  1 (GT)   ab   a b  1
b Khi đó
(2,5)
1
1
a 2  b2  2
2ab  2
22
4
VT 

 2 2



2
2
2
2
1 a 1 b
a b  a  b  1 1  2ab  1 2  2ab 2 1  ab 
2
1
1

2
 VT 


hay
(đpcm)
1  ab
1  a 2 1  b 2 1  ab

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5,0

Câu 5
R

N

I
P

M

F

G


0,25

2
3

E

K

1

H

Q

a

b

Ta có EF = EH (GT); HNE  EPF (cùng phụ góc NMG)
 EFP=EHN (cạnh góc vuông–góc nhọn)
 EP  EN  ENP vuông cân tại E
Tương tự Ta có EF = EH (GT) E1  E2 (cùng tạo với góc E3 góc 900)
 EFM=EHQ (cạnh góc vuông–góc nhọn)
 EM  EQ  EQM vuông cân tại E
Tứ giác EKRI là hình chữ nhật vì

Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu

0,5

0,5
0,5
0,25
0,5


IE là trung tuyến trong tam giác vuông cân EPN tại E nên IE là phân giác, 0,5
đường cao  EIR  900
Tương tự EK là phân giác, đường cao trong tam giác vuông cân EMQ nên 0,25
EKR  900

1
1800
PEN  NEQ 
 900
2
2

0,25

Kẻ IG là trung tuyến trong tam giác vuông PGN

0,5
0,5

Mà IEK  IEN  MEK 

c






1
 IG  IE  PN  I nằm trên trung trực của EG
2
1
Tương tự kẻ KG ta được KG=KE= MQ  K nằm trên trung trực của EG
2
Mà FG=FE, HG = HE (GT)  F , H nằm trên trung trực của EG

Khi đó bốn điểm I, F, K, H cùng nằm trên đường trung trực của EG
Vậy bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng.

Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So – Phong Thổ - Lai Châu

0,25
0,25