Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

1

Chương 4

CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ


Chương 4: CẤU TRÚC MÔ HÌNH THAM SỐ
4.1. Giới thiệu bài toán nhận dạng mô hình có tham số
4.2. Mô hình hệ tuyến tính bất biến
4.3. Mô hình hệ phi tuyến

4.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ

Mô hình ARX
Cho hệ thống có tín hiệu vào là u(t), tín hiệu ra là y(t).

Hình 4.1: Hệ thống

Giả sử ta thu thập được N mẫu dữ liệu:

{}

)(),(,),1(),1( NyNuyuZ
N
K=

(4.1)
Ta cần nhận dạng mô hình toán của hệ thống.


Giả sử quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc có thể
mô tả bởi phương trình sai phân:

)()()1()()1()(
11
kemkubkubnkyakyaky
mn
+−++−=−++−+ KK
(4.2)

⇒
)()()1()()1()(
11
kemkubkubnkyakyaky
mn
+−++−+−−−−−= KK (4.3)


Ký hiệu:
[]
T
mn

bbaa KK
11
=
θ
(4.4)

[]
T
mkukunkykyk )()1()()1()( −−−−−−= KK
ϕ
(4.5)

Hệ thống
u(t) y(t)
e(t)
u(k) y(k)



Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

2
Với ký hiệu như trên (4.3) có thể viết lại dưới dạng:


)()()( kekky

T
+=
θϕ
(4.6)

Biểu thức (4.6) cho thấy ta có thể tính được giá trị tín hiệu ra y(k) khi biết
tham số của hệ thống, tín hiệu vào, tín hiệu ra trong quá khứ và nhiễu tác động
vào hệ thống.
Tuy nhiên nhiễu e(k) không thể biết trước
nên ta chỉ có thể
dự báo
tín hiệu
ra của hệ thống khi biết tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. Để nhấn mạnh
giá trị dự báo phụ thuộc vào tham số
θ
, ta viết bộ dự báo dưới dạng:


θϕθ
)(),(
ˆ
kky
T
=
(4.7)

Các thuật ngữ:
- Biểu thức (4.2) gọi là
cấu trúc mô hình
.

- Vector
θ

gọi là
vector tham số
của hệ thống.
- Vector
ϕ
(k) gọi là
vector hồi qui
(do
ϕ
(k) gồm tín hiệu vào và tín hiệu ra
trong quá khứ); các thành phần của vector
ϕ
(k) gọi là các
phần tử hồi qui
.
- Mô hình (4.2) gọi là
mô hình ARX
(
A
uto-
R
egressive e
X
ternal input).
- Bộ dự báo có dạng (4.7) được gọi là bộ dự báo dạng
hồi qui tuyến tính


(Linear Regression)

Ước lượng tham số: Phương pháp bình phương tối thiểu
Cần xác định tham số
θ

sao cho giá trị dự báo
),(
ˆ
θ
ky
càng gần giá trị đo
y(k),
),1( Nk = càng tốt. Cách dễ thấy nhất là chọn
θ

sao cho bình phương sai
số giá trị dự báo là tối thiểu.

()
()
min)()(
1
),(
ˆ
)(
1
),(
1
2

1
2
→−=−=
∑∑
==
N
k
T
N
k
N
N
kky
N
kyky
N
ZV
θϕθθ
(4.8)


Ký hiệu giá trị
θ
làm tối thiểu biểu thức
Error! Reference source not
found.
là
N
θ
ˆ

:

),(minarg
ˆ
N
NN
ZV
θθ
θ
= (4.9)
(“arg min” = minimizing argument: đối số làm tối thiểu V
N
)

Do V
N
có dạng toàn phương nên chúng ta có thể tìm cực tiểu bằng cách cho
đạo hàm bậc 1 theo tham số bằng 0.

{}
0),( =
N
N
ZV
d
d
θ
θ





Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

3
⇒
() ()
0)()()(
2
)()(
1
11
2
=−−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
∑∑
==
N
k
T

N
k
T
kkyk
N
kky
Nd
d
θϕϕθϕ
θ

⇒
∑∑
==
=
N
t
T
N
t
kkkyk
11
)()()()(
θϕϕϕ

⇒
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑∑
=
−
=
N
k
N
k
T
N
kykkk
1
1
1
)()()()(
ˆ
ϕϕϕθ
(4.10)

4.2 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN


4.2.1 Mô hình tuyến tính tổng quát

Hệ tuyến tính với nhiễu cộng

Hệ tuyến tính với nhiễu cộng v(k) có thể mô tả bởi phương trình:
)()()()(
kvkuqGky += (4.11)
trong đó G(q) là hàm truyền của hệ thống

∑
+∞
=
−
=
0
)(
l
l
l
qgqG (4.12)
Nhiễu v(k) thường được mô tả bằng phổ tần số. Để thuận lợi hơn có thể
xem v(k) là nhiễu trắng e(k) qua bộ lọc tuyến tính H(q):
)()()(
keqHkv = (4.13)
Mô tả nhiễu v(k) bằng biểu thức (4.13) tương đương với mô tả v(k) là nhiễu có
phổ là:

2
)()(
ω

λω
j
v
eH=Φ (4.14)
trong đó
λ
là phương sai của nhiễu trắng e(k). Giả sử H(q) được chuẩn hóa về
dạng:

∑
+∞
=
−
+=
1
1)(
l
l
l
qhqH (4.15)
Thay (4.13) vào (4.11) ta được:
)()()()()(
keqHkuqGky += (4.16)

Tham số hóa mô hình tuyến tính

Nếu ta chưa biết hàm truyền G và H, chúng ta đưa thêm vector tham số
θ

vào mô tả (4.16):


)(),()(),()(
keqHkuqGky
θθ
+=
(4.17)

Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính




Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

4
Cho hệ thống mô tả bởi biểu thức (4.17) và dữ liệu vào–ra đến thời điểm
Tk )1( − , ta cần dự báo giá trị tín hiệu ra ở thời điểm kT.

Chia hai vế biểu thức (4.17) cho ),(
θ
qH , ta được:
)()(),(),()(),(
11
kekuqGqHkyqH +=
−−
θθθ


⇒ )()(),(),()()],(1[)(
11
kekuqGqHkyqHky ++−=
−−
θθθ
(4.18)

Do (4.15) ta thấy rằng:

∑
+∞
=
−−
=
−
=−
1
1
),(
1
),(
1),(
),(1
l
l
l
qh
qHqH
qH

qH
θθ
θ
θ
(4.19)
nên )()],(1[
1
kyqH
θ
−
− chỉ chứa các giá trị trong quá khứ của tín hiệu ra. Vế
phải của (4.18) đã biết đến thời điểm
Tk )1( − , ngoại trừ nhiễu e(k). Do đó có
thể dự báo tín hiệu ra ở thời điểm kT bằng biểu thức:


)(),(),()()],(1[),(
ˆ
11
kuqGqHkyqHky
θθθθ
−−
+−=
(4.20)

4.2.2 Các cấu trúc mô hình tuyến tính thường gặp

Thông thường G và H trong biểu thức (4.17) là hàm truyền dạng phân thức
có tử số và mẫu số là hàm của toán tử trể q
−

1
.


nf
nf
nbnk
nb
nknk
qfqf
qbqbqb
qF
qB
qG
−−
+−−−−−
+++
+++
==
K
K
1
1
11
21
1)(
)(
),(
θ
(4.21)


nd
nd
nc
nc
qdqd
qcqc
qD
qC
qH
−−
−−
+++
+++
==
K
K
1
1
1
1
1
1
)(
)(
),(
θ
(4.22)

Thay (4.21) và (4.22) vào (4.17) ta được:



)(
)(
)(
)(
)(
)(
)( ke
qD
qC
ku
qF
qB
ky +=
(4.23)

Mô hình tuyến tính có dạng (4.23) gọi là
mô hình BJ
(
B
ox-
J
enkins Model).

Các trường hợp đặc biệt
• C(q) = D(q) = 1:
mô hình OE
(
O

utput
E
rror Model)


)()(
)(
)(
)( keku
qF
qB
ky +=
(4.24)



Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

5

• D(q) = F(q) = A(q):
mô hình ARMAX

(
A
uto-

R
egressive
M
oving
A
verage e
X
ternal Input Model)


)()()()()()(
keqCkuqBkyqA +=
(4.25)

• D(q) = F(q) = A(q), C(q) = 1:
mô hình ARX

(
A
uto-
R
egressive e
X
ternal Input Model)


)()()()()(
kekuqBkyqA +=
(4.26)


• D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0:
mô hình ARMA

(
A
uto-
R
egressive
M
oving
A
verage Model)


)()()()(
keqCkyqA =
(4.27)

• D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0, C(q) = 1:
mô hình AR

(
A
uto-
R
egressive Model)


)()()(
kekyqA =

(4.28)

• D(q) = F(q) = A(q) = 1, C(q) = 1:
mô hình FIR

(
F
inite
I
mpulse
R
esponse Model)


)()()()(
kekuqBky +=
(4.29)

Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính thường gặp
Bộ dự báo có dạng:

θϕθ
)(),(
ˆ
kky
T
= (4.30)
được gọi là bộ dự báo dạng
hồi qui tuyến tính
(vì bộ dự báo tuyến tính theo

tham số
θ
).

Bộ dự báo của mô hình ARX, AR, FIR có dạng hồi qui tuyến tính.

Mô hình ARX:

[]
T
nbn
bbaa
KK
11
=
θ
(4.31)

[]
T
nbnkkunkkunakykyk )1()()()1()( +−−−−−−−= KK
ϕ
(4.32)


Mô hình AR:

[]
T
na

aa
K
1
=
θ
(4.33)



Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

6

[]
T
nakykyk )()1()( −−−−=
K
ϕ
(4.34)


Mô hình FIR:

[]
T
nb

bb K
1
=
θ
(4.35)

[]
T
nbnkkunkkuk )1()()( +−−−=
K
ϕ
(4.36)

Bộ dự báo hồi qui tuyến tính (4.30) có vector hồi qui không phụ thuộc vào
tham số. Nếu vector hồi qui phụ thuộc tham số ta viết (4.30) lại dưới dạng:

θθϕθ
),(),(
ˆ
kky
T
= (4.37)
(4.37) gọi là bộ dự báo
hồi qui tuyến tính giả
(Pseudo Linear Regression)

Bộ dự báo của mô hình ARMAX, OE, BJ có dạng hồi qui tuyến tính giả.


Mô hình ARMAX:


Áp dụng công thức (4.20) với
)(
)(
)(
qA
qB
qG =
,
)(
)(
)(
qA
qC
qH =
ta được:

)(
)(
)(
)(
)(
)(
1),(
ˆ
ku
qC
qB
ky
qC

qA
ky +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
θ


⇒
[ ]
)()()()()(),(
ˆ
)( kuqBkyqAqCkyqC +−=
θ

⇒
[] [ ]
),(
ˆ
)(1)()()()()(),(
ˆ
θ
kyqCkuqBkyqAqCky −++−=
θ

⇒

[ ] [ ][ ]
),(
ˆ
)(1)()()()()(1),(
ˆ
θ
kykyqCkuqBkyqAky −−++−=
θ
(4.38)

Đặt: Sai số dự báo:

),(
ˆ
)(),(
θθ
kykyk −=
ε
(4.39)
Vector tham số:

[]
T
ncnbna
ccbbaa KKK
111
=
θ
(4.40)
Vector hồi qui:


[
KK )()()1(),( nkkunakykyk −−−−−=
θϕ


]
T
nckknbnkku ),(),1()1(
θθ
−−+−−
εε
K
(4.41)
(4.38) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37).


Mô hình OE:

Áp dụng công thức (4.20) với
)(
)(
)(
qF
qB
qG =
, 1)(
=qH , ta được:

)(

)(
)(
),(
ˆ
ku
qF
qB
ty =
θ





Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ



© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

7
⇒
)()(),(
ˆ
)( kuqBkyqF =
θ

⇒
[ ]
),(

ˆ
)(1)()(),(
ˆ
θθ
kyqFkuqBky −+=
(4.42)
Đặt: Biến phụ:

)(
)(
)(
),(
ˆ
),( ku
qF
qB
kykw ==
θθ
(4.43)

Vector tham số:

[]
T
nfnb
ffbb
KK
11
=
θ

(4.44)
Vector hồi qui:

[]
),(),1()1()(),(
θθθϕ
nfkwkwnbnkkunkkuk −−+−−−=
KK

(4.45)
(4.42) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37).


Mô hình BJ:

Áp dụng công thức (4.20) với
)(
)(
)(
qF
qB
qG =
,
)(
)(
)(
qD
qC
qH =
ta được:


)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
1),(
ˆ
ku
qFqC
qBqD
ky
qC
qD
ky +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
θ

Đặt:
)(
)(
)(
),( ku

qF
qB
kw =
θ


[ ]
),(1)()()(),(
θθ
kwqFkuqBkw −−=

⇒
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1),(
ˆ
kw
qC
qD
ky
qC
qD
ky +
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
−=
θ

⇒
[]
),()(
)(
)(
)(),(
ˆ
θθ
kwky
qC
qD
kyky −−=

Đặt: ),()(),(
θθ
kwkykv −=
⇒
),(
)(
)(
)(),(
ˆ
θθ
kv

qC
qD
kyky −=

⇒ ),()()()(),(
ˆ
)(
θθ
kvqDkyqCkyqC −=

⇒
[]
),()()()(),(
ˆ
)(1),(
ˆ
θθθ
kvqDkyqCkyqCky −+−=


⇒
[] [ ]
),(),(1)()()(),(
ˆ
)(1),(
ˆ
θθθθ
kvkvqDkyqCkyqCky −−−+−=

⇒

[] [ ]
),()(),(1)()()(),(
ˆ
)(1),(
ˆ
θθθθ
kwkykvqDkyqCkyqCky +−−−+−=