 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

CHƯƠNG I. DAO ĐỘNG CƠ
I. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1. Lý thuyết
+ Dao động cơ là chuyển động lặp đi lặp lại của một vật quanh một vị trí đặc
biệt gọi là vị trí cân bằng. Vị trí cân bằng thường là vị trí của vật khi đứng
yên.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được
lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau (gọi là chu kì dao động
T). Trạng thái chuyển động được xác định bởi vị trí và chiều chuyển động.
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin
(hay sin) của thời gian.
+ Phương trình dao động điều hoà: x = Acos(t + ), trong đó:
x là li độ hay độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng; đơn vị cm, m;
A là biên độ dao động, luôn dương; đơn vị cm, m;
 là tần số góc của dao động, luôn dương; đơn vị rad/s;
(t + ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad;
 là pha ban đầu của dao động, có thể dương, âm hoặc bằng 0; đơn vị rad.
+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn có thể được coi là
hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn
thẳng đó.
+ Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao
động toàn phần; đơn vị giây (s).
+ Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được
trong một giây; đơn vị héc (Hz).
2
+ Liên hệ giữa , T và f:  = T = 2f.
+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:

v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  + 2 ).

�

Véc tơ v luôn hướng theo chiều chuyển động; khi vật chuyển động theo
chiều dương thì v > 0; khi vật chuyển động ngược chiều dương thì v < 0.
Tốc độ của vật dao động điều hòa là độ lớn vận tốc của nó: |v|  = 0.
+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc hai của li độ) theo
thời gian: a = v' = x’’ = - 2Acos(t + ) = - 2x.
�

Véc tơ a luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li
độ.
1


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

+ Li độ x, vận tốc v, gia tốc a biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng v sớm


pha 2 so với x, a ngược pha so với x (sớm pha 2 so với v).
�

�

�

�

+ Khi đi từ vị trí cân bằng ra biên: |v| giảm; |a| tăng; v  a .
+ Khi đi từ biên về vị trí cân bằng: |v| tăng; |a| giảm; v  a .

+ Tại vị trí biên (x =  A): v = 0; |a| = amax = 2A.
+ Tại vị trí cân bằng (x = 0): |v| = vmax = A; a = 0.
+ Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ, vận tốc và gia tốc của vật dao
động điều hòa theo thời gian là một đường hình sin.
+ Quỹ đạo chuyển động của vật dao động điều hòa là một đoạn thẳng.
2. Công thức
+ Li độ: x = Acos(t + ).


+ Vận tốc: v = x’ = - Asin(t + ) = Acos(t +  + 2 ).
+ Gia tốc: a = v’ = x’’ = - 2Acos(t + ) = - 2x.
2 t

N ; N là số dao động thực hiện được trong thời gian t.
+ Chu kì: T = 

2
+ Tần số góc:  = t = T .
1 
N


+ Tần số: f = T 2 t .
2
+ Liên hệ giữa tần số góc, chu kì và tần số:  = T
v

2

a


2

v

= 2f.

2

2
4
2
+ Công thức độc lập: A = x +  =  +  .

+ Những cặp lệch pha nhau 2 (x và v hay v và a) sẽ thỏa mãn công thức
elip:
x2
v2
v2
a2



2
2
2
A2 vmax
vmax
amax
=1


2

2

+ Lực kéo về (hay lực hồi phục): F hp = - kx = - m2x = ma; luôn luôn hướng
về phía vị trí cân bằng.
2


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

Fhp max = kA khi vật đi qua các vị trí biên (x =  A);
Fhp min = 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
+ Trong một chu kì, vật dao động điều hòa đi được quãng đường 4A. Trong
nữa chu kì, vật đi được quãng đường 2A. Trong một phần tư chu kì, tính từ
biên hoặc vị trí cân bằng thì vật đi được quãng đường bằng A, nhưng tính từ
các vị trí khác thì vật đi được quãng đường  A.
+ Quãng đường lớn nhất; nhỏ nhất vật dao động điều hòa đi được trong thời
T


gian 0 < t < 2 : Smax = 2Asin 2 ; Smin = 2A(1 - cos 2 ); với  = t.
* Vận tốc và li độ của vật dao động điều hòa ở từng vị trí trên vòng tròn
lượng giác:

Ghi nhớ:
Chất điểm đi được một vòng trên đường tròn (góc quay 360 0 = 2π rad) trong
thời gian một chu kì T. Từ đó suy ra:
T


T
Góc quay 1800 = π; tương ứng 2 . Góc quay 900 = 2 ; tương ứng 4 .
3


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 


T

T
Góc quay 600 = 3 ; tương ứng 6 . Góc quay 300 = 6 ; tương ứng 12 .
+ Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2:

Dùng vòng tròn lượng giác: t =  .
x
x
| cos 1 ( 2 )  cos 1 ( 1 ) |
A
A

Bấm máy: t =
.
s
4 A 2vmax

 .
+ Tốc độ trung bình: vtb = t ; trong một chu kì vtb = T
+ Quãng đường đi từ t1 đến t2:

Tính: t2 – t1 = nT + t; dựa vào góc quét  = t. trên đường tròn lượng
giác để tính St; sau đó tính S = n.4A + St.
* Gia tốc và li độ của vật dao động điều hòa ở từng vị trí trên vòng tròn
lượng giác:

* Sự đổi chiều hay đổi dấu của x, v, a trong dao động điều hòa:
4


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 
�

�

+ Gia tốc a và lực kéo về F đổi chiều khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0).
+ Vật dao động đổi chiều chuyển động (hay vận tốc đổi chiều) khi vật đến vị
trí biên (x =  A).

5


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

* Đồ thị li độ - thời gian:
- Biên độ A: đó là giá trị cực đại của x theo trục Ox.
- Chu kì T: khoảng thời gian giữa hai thời điểm gần nhau nhất mà x = 0 hoặc
T
|x| = A là 2 từ đó suy ra T.
Cũng có thể dựa vào vòng tròn lượng giác và giá trị của x vào các thời điểm
t = 0 và thời điểm t đã cho trên độ thị để tính T.

2
1
- Tần số góc, tần số:  = T ; f = T .


- Pha ban đầu : x0 = 0 và x tăng khi t tăng thì  = - 2 ; x0 = 0 và x giảm khi

A
t tăng thì  = 2 ; x0 = A thì  = 0; x0 = - A thì  = ; x0 = 2 và x tăng khi t
A


A
tăng thì  = - 3 ; x0 = 2 và x giảm khi t tăng thì  = 3 ; x0 = - 2 và x
2
2
A
tăng khi t tăng thì  = - 3 ; x0 = - 2 và x giảm khi t tăng thì  = 3 ; x0 =


A 2
A 2
2 và x tăng khi t tăng thì  = - 4 ; x0 = 2 và x giảm khi t tăng thì 


A 3
= 4 ; x0 = 2 và x tăng khi t tăng thì  = - 6 ;
A 3

x0 = 2 và x giảm khi t tăng thì  = 6 .

Trên đồ thị như hình vẽ là đồ thị li độ - thời gian của 3 dao động điều hòa:

A1 = 3 cm; A2 = 2 cm; A3 = 4 cm;
T
2
T1 = T2 = T3 = T = 2. 2 = 2.0,5 = 1 (s);  = T = 2 rad/s;
6


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 



1 = - 2 ; 2 = - 3 ; 3 = 0.

* Đồ thị vận tốc – thời gian:
- Vận tốc cực đại vmax: đó là giá trị cực đại của v theo trục Ov.
- Chu kì T: khoảng thời gian giữa hai thời điểm gần nhau nhất mà v = 0 hoặc
T
|v| = vmax là 2 từ đó suy ra T.
Cũng có thể dựa vào vòng tròn lượng giác và giá trị của v vào các thời điểm
t = 0 và thời điểm t đã cho trên độ thị để tính T.
2
1
- Tần số góc, tần số:  = T ; f = T .
vmax
- Biên độ dao động: A =  . Gia tốc cực đại: amax = 2A.
Trên đồ thị như hình vẽ là đồ thị vận tốc – thời gian của hai dao động điều
hòa:


- Vận tốc cực đại vmax: vmax1 = 4π cm/s; vmax2 = 2π cm/s.
T1 T2

- Chu kì T: 2 2 = 0,2 s  T1 = T2 = 0,4 s.
2
- Tần số góc : 1 = 2 = 0, 4 = 5π (rad/s).

4
2
5

5
- Biên độ A: A1 =
= 0,8 cm; A2 =  = 0,4 cm.
- Gia tốc cực đại amax: amax1 = 2.A1 = (5π)2.0,8 = 200 (cm/s2) = 2 (m/s2);
amax2 = 2.A2 = (5π)2.0,4 = 100 (cm/s2) = 1 (m/s2).
7


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

* Đồ thị li độ x, vận tốc v và gia tốc a trong trường hợp pha ban đầu  = 0:

* Sử dụng chức năng SOLVE trong máy tính cầm tay fx-570ES để tìm đại
lượng chưa biết trong biểu thức:
Bấm MODE 1 . Nhập biểu thức chứa đại lượng chưa biết (gọi là X): Đưa
dấu = vào biểu thức bằng cách bấm ALPHA CALC; đưa đại lượng chưa biết
(gọi là X) vào biểu thức bằng cách bấm ALPHA ); nhập xong bấm SHIFT
CALC = và chờ … ra kết quả.
Nếu phương trình có nhiều nghiệm thì bấm tiếp SHIFT CALC máy hiện

Solve for X; nhập một con số nào đó chẳng hạn -1 hoặc 1 rồi bấm =; máy sẽ
hiện nghiệm khác (nếu có).
Lưu ý: Phương trình bậc 2 thường có 2 nghiệm; phương trình bậc 3 thường
có 3 nghiệm. Nếu sau khi bấm tiếp SHIFT CALC máy hiện Solve for X;
nhập từng con số khác nhau rồi bấm = máy sẽ hiện các nghiệm khác nhau.
Nếu nhập các con số khác nhau mà máy đều hiện ra một con số như nhau thì
phương trình chỉ có một nghiệm.
* Viết phương trình dao động điều hòa nhờ máy tính cầm tay fx-570ES khi
biết x0 và v0:
Bấm máy: MODE 2 (để diễn phức), SHIFT MODE 4 (để dùng đơn vị góc
v0
là rad), nhập x0 -  i (nhập đơn vị ảo i: bấm ENG) = SHIFT 2 3 =; hiển thị
A    x = Acos(t + ).
Lưu ý: tính  (nếu chưa có) và phải xác định đúng dấu của x0 và v0.
II. CON LẮC LÒ XO
1. Lý thuyết
+ Con lắc lò xo gồm một lò xo có khối
lượng không đáng kể, có độ cứng k
một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với
vật nặng kích thước không đáng kể, có
khối lượng m được đặt theo phương
ngang hoặc treo thẳng đứng.
+ Phương trình dao động: x = Acos(t + ); với  =

k
m.
8


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 


+ Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng gọi là lực
kéo về hay lực phục hồi.
Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ và là lực gây ra gia tốc cho
vật dao động điều hòa, viết dưới dạng đại số: F = ma = - kx = - m2x.
Lực kéo về của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng của vật.
+ Lực đàn hồi có tác dụng đưa vật về vị trí lò xo không bị biến dạng. Với
con lắc lò xo nằm ngang thì lực đàn hồi chính là lực kéo về.
1
1
2
+ Động năng: Wđ = 2 mv = 2 m2A2sin2(t + ).
1
1
2
+ Thế năng (mốc ở vị trí cân bằng): Wt = 2 kx = 2 kA2cos2(t + ).
1
1
2
2
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ =
kA = 2 m2A2 = hằng số.
+ Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động.
+ Cơ năng của con lắc được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.
A 2
T
+ Wđ = Wt khi x =  2 ; thời gian giữa 2 lần liên tiếp để Wđ = Wt là 4 .
+ Li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về biến thiên điều hòa cùng tần số.
+ Thế năng, động năng của vật dao động điều hòa biến thiên tuần hoàn cùng
tần số và tần số đó lớn gấp đôi tần số của li độ, vận tốc, gia tốc.

+ Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên: Wđ ; Wt .
+ Khi vật đi từ biên về vị trí cân bằng: Wđ ; Wt .
+ Tại vị trí cân bằng (x = 0): Wt = 0; Wđ = Wđmax = W.
+ Tại vị trí biên (x =  A): Wđ = 0; Wt = Wtmax = W.
2. Công thức
+ Phương trình dao động: x = Acos(t + ).
k
m
1
m
k
2
+ Tần số góc, chu kỳ, tần số:  =
; T = 2π
;f= 
+ Khi k không đổi, m thay đổi:
k
k
m1
m2
m1
m2
1 =
; 2 =
; T1 = 2 k ; T2 = 2 k ;
f1 =

1
2


k
m1

; f2 =

1
2

k
m2

k
m.

.
9


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

1
1
1
1
1
1
 2 2
 2 2
2
2

2
2
2
f1
f2 .
Khi m = m1 + m2 thì: T 1 2 ; T T = T 1 + T 2 ; fT
1
1
1
 2 2
2
2
2
2
Khi m = m1 - m2 (m1 > m2) thì: H 1 2 ; T H = T 1 - T 2 ;
1
1
1


f H2 f12 f 22
1
1
2
2
+ Thế năng: Wt =
kx = 2 kA2cos2( + ).
1
1
1

+ Động năng: Wđ = 2 mv2 = 2 m2A2sin2( +) = 2 kA2sin2( + ).
+ Thế năng và động năng của vật dao động điều hòa biến thiên tuần hoàn với
T
tần số góc ’ = 2; tần số f’ = 2f; chu kì T’ = 2 .
* Thế năng và động năng của vật dao động điều hòa ở từng vị trí trên vòng
tròn lượng giác:

1
1
1
1
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = 2 kx2 + 2 mv2 = 2 kA2 = 2 m2A2.
10


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 
2

Wd �A �
 � � 1
W
�x � .
t
+ Tỉ số giữa động năng và thế năng:
2

Wt �x �
� �
+ Tỉ số giữa thế năng và cơ năng: W �A �.
2


Wd
�x �
1 � �
�A �.
+ Tỉ số giữa động năng và cơ năng: W
A

n
+ Vị trí có Wđ = nWt: x =  n  1 ; v =  A n  1 .
A
n
+ Vị trí có Wt = nWđ: x =  A n  1 ; v =  n  1 .
+ Lực đàn hồi của lò xo: F = k(l – l0) = kl.
mg
+ Con lắc lò xo treo thẳng đứng: l0 = k ;  =

g
l0

.

Chiều dài cực đại của lò xo: lmax = l0 + l0 + A.
Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin = l0 + l0 – A.
Chiều dài lò xo ở li độ x: l = l0 + l0 + x nếu chiều dương hướng xuống;
l = l0 + l0 - x nếu chiều dương hướng lên.
Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k(A + l0).
Lực đàn hồi cực tiểu: A  l0: Fmin = 0; A < l0: Fmin = k(l0 – A).
Độ lớn của lực đàn hồi tại vị trí có li độ x:
Fđh= k|l0 + x| nếu chiều dương hướng xuống.

Fđh = k|l0 - x| nếu chiều dương hướng lên.
Lực tác dụng lên điểm treo: F = k|lx – l0|.
11


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

Hướng lên (lực nén) khi lx < l0.
Hướng xuống (lực kéo) khi lx > l0.
Thời gian lò xo nén, giãn:
- Nếu A  l0 thì trong quá trình dao động lò xo luôn bị giãn.

l0
2
- Nếu A > l0 thì trong một chu kì thời gian bị nén là: tnén =  cos-1( A ).

12


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

Trong 1 chu kì nếu:
A
A
- Thời gian lò xo bị giãn bằng 2 lần lò xo bị nén thì l0 = A - 2 = 2 .
A 2
- Thời gian lò xo bị giãn bằng 3 lần lò xo bị nén thì l0 = A - 2 =
A(2  2)
2
A 3

- Thời gian lò xo bị giãn bằng 5 lần lò xo bị nén thì l0 = A - 2 =
A(2  3)
2
+ Lực tác dụng lên điểm treo lò xo là lực đàn hồi: F = k|l0 + x|.
Con lắc lò xo nằm ngang: l0 = 0;
mg g
 2
 ;
Con lắc lò xo treo thẳng đứng: l0 = k

mg sin 
k
Con lắc lò xo nằm trên mặt phẵng nghiêng góc : l0 =
.
k1k2
+ Hai lò xo ghép nối tiếp: k = k1  k2 ; ghép song song: k = k + k .
1

2

+ Lò xo cắt thành nhiều đoạn: kl = k1l1 = k2l2 = ... = knln.
* Đồ thị động năng, thế năng theo thời gian ứng với trường hợp pha ban
đầu  = 0:

III. CON LẮC ĐƠN
1. Lý thuyết
+ Con lắc đơn gồm một sợi dây có khối lượng không đáng kể, không dãn,
chiều dài l, một đầu được gắn cố định, đầu kia được gắn vật nặng có kích
thước không đáng kể và có khối lượng m.
13



 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

+ Phương trình dao động của con lắc đơn khi
sin   (rad):
s = S0cos(t + ) hoặc  = 0cos(t + ).
+ Chu kì, tần số, tần số góc:
l
g
g
1
g
T = 2
; f = 2 l ;  = l .
+ Chu kì dao động của con lắc đơn không phụ
thuộc vào khối lượng của vật nặng mà chỉ phụ
thuộc vào độ cao, độ sâu so với mặt đất, phụ
thuộc vào vĩ độ địa lí trên Trái Đất và phụ thuộc vào nhiệt độ của môi trường
đặt con lắc.
4 2 l
2
+ Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn: g = T .
+ Khi con lắc đơn dao động điều hòa có sự chuyển hóa qua lại giữa động
năng và thế năng nhưng tổng của chúng tức là cơ năng thì được bảo toàn nếu
bỏ qua ma sát.
+ Ở vị trí cân bằng vật nặng có tốc độ cực đại và có gia tốc bằng 0.
+ Khi vật chuyển động từ vị trí cân bằng ra biên: |v| ; |a| ; Wđ ; Wt .
+ Ở vị trí biên vật nặng có vận tốc bằng 0; gia tốc có độ lớn đạt cực đại.
+ Khi vật chuyển động từ biên về vị trí cân bằng: |v| ; |a| ; Wđ ; Wt .

+ Tại vị trí cân bằng (α = 0): Wt = 0; Wđ = Wđmax = W.
+ Tại vị trí biên (α =  α0): Wđ = 0; Wt = Wtmax = W.
2. Công thức
+ Phương trình dao động: s = S0cos(t + ) hay  = 0cos(t + );
với s = l; S0 = 0l; ( và 0 sử dụng đơn vị đo là rad).
l
g
g
1
g
l .
+ Tần số góc, chu kì, tần số:  = l ; T = 2
; f = 2
s
+ Lực kéo về: F = - mgsinα = - mgα = - mg l = - mω2s.
+ Tại cùng một nơi và trong cùng thời gian con lắc có chiều dài l1 thực hiện
được n1 dao động, con lắc l2 thực hiện được n2 dao động thì:
n1 T2
f
l
  1  2
n
T1 f 2
l1
n1T1 = n2T2 hay 2
.
+ Nếu con lắc chiều dài l1 dao động với chu kì T 1, con lắc chiều dài l2 dao
động với chu kì T2, con lắc có chiều dài (l1 + l2) dao động với chu kì T+, con
14



 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

lắc có chiều dài (l1 – l2) với l1 > l2 dao động với chu kì T- thì ta có mối liên
hệ:
T+ =

T12  T22

; T- =

T12  T22

T2  T2

; T1 =

+ Vận tốc khi đi qua vị trí có li độ góc : v =
Vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng: |v| = vmax =

T2  T2

; T2 =
.
2 gl (cos  cos 0 )
2 gl (1  cos 0 )

.

.


gl ( 02   2 )

gl
; vmax = 0
;  và 0 có đơn vị đo là rad.
mv 2
+ Sức căng của sợi dây: T = mgcos + l = mg(3cos - 2cos0).
TVTCB = Tmax = mg(3 - 2cos0); Tbiên = Tmin = mg cos0.
3
 02
2
2
Khi 0  100: T = 1 +  0 - 2 2; Tmax = mg(1 +  0 ); Tmin = mg(1 - 2 ).
+ Chu kỳ của con lắc đơn thay đổi theo độ cao, độ sâu so với mặt đất:
h
1d
- Ở độ cao h: Th = T(1 + R ); ở độ sâu d: Td = (1 + 2 R ).
+ Chu kỳ của con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ:
1
T2 = T1(1 + 2 (t2 – t1)); với  là hệ số nở dài.

Nếu 0  100: v =

T2
+ Khi đưa lên cao độ cao hmà nhiệt độ thay đổi: T1 = 1 +
T2
+ Khi đưa xuống độ sâu d mà nhiệt độ thay đổi: T1 = 1 +

1

h
2 (t2 – t1) + R .

1
d
2 (t2 – t1) + 2 R .
Với R = 6400 km là bán kính Trái Đất;  là hệ số nở dài của dây treo.
+ Đối với đồng hồ quả lắc dùng con lắc đơn: T = T’ – T > 0 thì đồng hồ
chạy chậm; T = T’ – T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh; thời gian nhanh, chậm
| T | .86400
T'
trong một ngày đêm (24 giờ): t =
.
�

�

�

+ Con lắc đơn chịu thêm các lực ngoài trọng lực: P ' = P + F .
�
l
F


Gia tốc rơi tự do biểu kiến: g ' = g + m ; khi đó: T’ = 2 g ' .
�

�


�

�

Thường gặp: lực điện trường F = q E ; lực quán tính: F = m a .
15


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 
2

�F �
g2  � �
�m � .

�

Các trường hợp đặc biệt: F có phương ngang: g’ =
F
F
�
F thẳng đứng hướng lên: g’ = g - m ; thẳng đứng hướng xuống: g’ = g + m .
+ Chu kì của con lắc đơn treo trong thang máy:
l
g
Thang máy đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều: T = 2
.
Thang máy chuyển động thẳng đướng với gia tốc có độ lớn a:
l
Lên nhanh dần đều, xuống chậm dần đều ( a hướng lên): T = 2 g  a .

l
�
Lên chậm dần đều, xuống nhanh dần đều ( a hướng xuống): T = 2 g  a .
�

IV. DAO ĐỘNG TẮT DẦN - DAO ĐỘNG CƯỞNG BỨC
1. Lý thuyết
+ Khi không có ma sát, con lắc dao động điều hòa với tần số riêng f 0; tần số
riêng của con lắc chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của con lắc.
+ Dao động tắt dần là dao động có
biên độ giảm dần theo thời gian.
+ Nguyên nhân: Do ma sát, do lực cản
của môi trường làm cơ năng giảm nên
biên độ giảm.
+ Biên độ của dao động giảm càng
nhanh khi lực cản của môi trường càng
lớn.
+ Trong quá trình vật dao động tắt dần
chu kỳ, tần số của dao động không
thay đổi.
Các thiết bị đóng cửa tự động hay bộ phận giảm xóc của ôtô, xe máy, … là
những ứng dụng của dao động tắt dần.
+ Dao động cưỡng bức là dao động chịu tác dụng của một ngoại lực tuần
hoàn
F = F0cos(t + ).
+ Đặc điểm: Dao động cưỡng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng
tần số f của lực cưỡng bức. Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào
biên độ của lực cưỡng bức, vào lực cản trong hệ dao động và vào sự chênh
lệch giữa tần số cưỡng bức f và tần số riêng f 0 của hệ. Biên độ của lực cưỡng
16



 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

bức càng lớn, lực cản càng nhỏ và sự chênh lệch giữa f và f 0 càng ít thì biên
độ của dao động cưỡng bức càng lớn.
+ Dao động duy trì là dao động có biên độ không đổi, có tần số bằng tần số
riêng (f0) của hệ dao động.
+ Đặc điểm: Dao động duy trì có biên độ không đổi và dao động với tần số
riêng của hệ; biên độ không đổi là do trong mỗi chu kỳ đã bổ sung năng
lượng đúng bằng phần năng lượng hệ tiêu hao do ma sát.
+ Hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng biên độ
dao động cưỡng bức tăng nhanh đến giá trị cực đại
khi tần số f của lực cưỡng bức tiến đến bằng tần số
riêng f0 của hệ dao động.
+ Điều kiện cộng hưởng: f = f0.
+ Đặc điểm: Khi lực cản nhỏ thì sự cộng hưởng rỏ
nét (cộng hưởng nhọn), khi lực cản lớn thì sự cộng
hưởng không rỏ nét (cộng hưởng tù).

17


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

2. Công thức
+ Con lắc lò xo nằm ngang dao động tắt dần (biên độ ban đầu là A, hệ số ma
sát là ):
W
kA2

 2 A2


Quảng đường vật đi được đến lúc dừng lại: S = Fms 2 mg 2  g .

 mg
1
Độ giảm biên độ sau 4 chu kì: A1 = k ; đó cũng là khoảng cách giữa
vị trí cân bằng mới so với vị trí cân bằng cũ.
4 g
4  mg
2
k
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: A =
=  .
2

W W  W '
�A ' �

1 � �
W
�A �.
Độ giảm cơ năng: W

A
kA
2 A



A 4  mg 4  g .
Số dao động thực hiện được: N =
Thời gian chuyển động: t = N.T.
+ Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi f = f0 hay  = 0 hoặc T = T0.
V. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
1. Lý thuyết
+ Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng
tần số với các phương trình x 1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2) thì
dao động tổng hợp của vật sẽ có phương trình: x = x1 + x2 = Acos(t + ).
+ Độ lệch pha trong dao động điều hòa: Δφ = φ2 - φ1.
- Khi Δφ = φ2 - φ1 > 0: dao động 2 nhanh pha (hay sớm pha) hơn dao động 1
hoặc dao động 1 chậm pha (hay trễ pha) so với dao động 2.
- Khi Δφ = φ2 - φ1 < 0: dao động 2 chậm pha (hay trễ pha) hơn dao động 1
hoặc ngược lại.
- Khi Δφ = 2kπ: 2 dao động cùng pha.
- Khi Δφ =(2k + 1)π: 2 dao động ngược pha.
- Δφ =(2k+1): 2 dao động vuông pha.
+ Mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằng một véc tơ
quay. Véc tơ này có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox, có độ
dài bằng biên độ dao động A và hợp với trục Ox một góc
bằng pha ban đầu .
+ Phương pháp giãn đồ Fre-nen: lần lượt vẽ hai véc tơ quay biểu diễn hai
dao động thành phần, sau đó vẽ véc tơ tổng của hai véc tơ trên. Véc tơ tổng
là véc tơ quay biểu diễn dao động tổng hợp.
18


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

+ Công thức tính biên độ và pha ban đầu của dao

động tổng hợp:
2

2

A2 = A 1 + A 2 + 2A1A2 cos(2 - 1).
A1 sin 1  A2 sin  2
tan = A1 cos 1  A2 cos  2 .
Khi x1 và x2 cùng pha (2 - 1 = 2kπ) thì A = A1 +
A2 (cực đại).
Khi x1 và x2 ngược pha (2 - 1 = (2k + 1)π) thì A = |A1 - A2| (cực tiểu).

A12  A22
Khi x1 và x2 vuông pha (2 - 1 = (2k + 1) 2 ) thì A =
.

Biên độ dao động tổng hợp nằm trong khoảng: |A1 – A2|  A  A1 + A2.
2. Công thức
+ Nếu: x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2) thì:
x = x1 + x2 = Acos(t + ); với A và  được xác định bởi:
A1 sin 1  A2 sin  2
2
2
A2 = A 1 + A 2 + 2A1A2 cos(2 - 1); tan = A1 cos 1  A2 cos  2 .
Hai dao động cùng pha (2 - 1 = 2k): A = A1 + A2.
Hai dao động ngược pha (2 - 1) = (2k + 1)): A = |A1 - A2|.

A12  A22
Hai dao động vuông pha (2 - 1) = (2k + 1) 2 ): A =
.

Với độ lệch pha bất kỳ: |A1 - A2 |  A  A1 + A2 .
* Dùng máy tính fx-570ES giải bài toán tổng hợp dao động:
+ Thao tác trên máy: bấm SHIFT MODE 4 (trên màn hình xuất hiện chữ R
để dùng đơn vị góc là rad); bấm MODE 2 (để diễn phức); nhập A1; bấm
SHIFT (-) (trên màn hình xuất hiện dấu  để nhập góc); nhập 1; bấm +;
nhập A2; SHIFT (-); nhập 2; bấm =; bấm SHIFT 2 3 =; màn hình hiễn thị
A  .
+ Tìm dao động thành phần thứ hai x 2 khi biết x và x1: x2 = x – x1. Thực hiện
phép trừ số phức: A   - A1  1  A2  2.
+ Trường hợp tổng hợp nhiều dao động: x = x 1 + x2 + ... + xn. Thực hiện phép
cộng nhiều số phức: A1  1 + A2  2 + ... + An  n  A  
+ Tìm khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dao động:
Thực hiện việc trừ các số phức: A2  2 - A1  1  A  
Nhập: A2  2 - A1  1 =; bấm tiếp SHIFT 2 3; hiển thị: A  ; khoảng
cách lớn nhất giữa hai vật dao động là A.
19


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

CHƯƠNG II. SÓNG CƠ VÀ SÓNG ÂM
I. SÓNG CƠ VÀ SỰ TRUYỀN SÓNG CƠ
1. Lý thuyết
+ Sóng cơ là dao động cơ lan truyền trong môi trường vật chất.
+ Sóng ngang là sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo
phương vuông góc với phương truyền sóng.
Sóng ngang chỉ truyền được trên mặt chất lỏng và trong chất rắn.
+ Sóng dọc là sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo
phương trùng với phương truyền sóng.
Sóng dọc truyền được cả trong chất khí, chất lỏng và chất rắn.

Sóng cơ (cả sóng dọc và sóng ngang) không truyền được trong chân không.
+ Tốc độ truyền sóng phụ thuộc vào môi trường: vrắn > vlỏng > vkhí.
+ Khi truyền từ môi trường này sang môi trường khác tốc độ truyền sóng
thay đổi, bước sóng thay đổi còn tần số (chu kì, tần số góc) của sóng thì
không thay đổi.
+ Trong sự truyền sóng, pha dao động truyền đi còn các phần tử của môi
trường không truyền đi mà chỉ dao động quanh vị trí cân bằng.
+ Bước sóng : là khoảng cách giữa hai phần tử sóng gần nhau nhất trên
phương truyền sóng dao động cùng pha. Bước sóng cũng là quãng đường mà
sóng truyền đi được trong một chu kỳ:  = vT.
+ Sóng có tính chất tuần hoàn theo thời gian với chu kì T và tuần hoàn theo
không gian với chu kì .
2. Công thức
v
+ Liên hệ giữa vận tốc, chu kì, tần số và bước sóng:  = vT = f .
+ Tại nguồn phát O phương trình sóng là u O = acos(t + ) thì phương trình
sóng tại điểm M (với OM = x) trên phương truyền sóng (coi năng lượng
sóng đươc bảo toàn khi truyền đi) là:
x
OM
uM = acos(t +  - 2  ) = acos(t +  - 2  ).
+ Nếu trong khoảng thời gian t thấy có n ngọn sóng thì số bước sóng là
t
(n – 1); chu kì sóng là: T = n  1 .
+ Độ lệch pha của hai dao động giữa hai điểm cách nhau một khoảng d trên
2 d
phương truyền sóng là:  =  .
20



 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

Khi d = k; (k  N) thì hai dao động cùng pha ( = 2kπ).
1
Khi d = (k + 2 ); (k  N) thì hai dao động ngược pha ( = (2k + 1)π.



Khi d = 4 hai dao động vuông pha ( = (2k + 1) 2 ).

2
Khi d = n hai dao động lệch pha  = n .
* Dùng MODE 7 giải một số bài toán liên quan đến hàm số: Lập biểu thức
của đại lượng cần tìm theo dạng hàm số:
Bấm MODE 7 màn hình xuất hiện f(X) =
Nhập hàm số vào máy tính (nhập biến số X vào biểu thức: bấm ALPHA )), nhập
xong bấm =; màn hình xuất hiện Start (số đầu), nhập số đầu tiên của biến (thường
là 0 hoặc 1), bấm =; màn hình xuất hiện End (số cuối), nhập số cuối của biến, bấm
=; màn hình xuất hiện Step (bước nhảy) nếu k  Z thì nhập bước nhảy là 1, bấm
=; màn hình xuất hiện bảng các giá trị của f(X) theo X, dùng các phím ,  để
chọn giá trị thích hợp.
II. GIAO THOA SÓNG
1. Lý thuyết
+ Hai nguồn kết hợp là hai nguồn dao động cùng phương cùng tần số (cùng
chu kì, cùng tần số góc) và có hiệu số pha không thay đổi theo thời gian. Hai
nguồn kết hợp cùng pha là hai nguồn đồng bộ.
+ Hai sóng do hai nguồn kết hợp phát ra là hai sóng kết hợp.
+ Giao thoa sóng là sự tổng hợp của hai hay nhiều sóng kết hợp trong không
gian, trong đó có những vị trí biên độ sóng tổng hợp được tăng cường hoặc
bị giảm bớt.

+ Cực đại giao thoa nằm tại các điểm mà các dao động thành phân từ hai
nguồn truyền tới đó cùng pha.
+ Cực tiểu giao thoa nằm tại các điểm mà các dao động thành phần từ hai
nguồn truyền tới đó ngược pha.
2. Công thức
+ Nếu phương trình sóng tại hai nguồn S 1; S2 là: u1 = Acos(t + 1);
u2 = Acos(t + 2) thì phương trình sóng tại M (tổng hợp hai sóng từ S 1 và S2
truyền tới) là (với S1M = d1; S2M = d2;  = 2 - 1) là:
 ( d 2  d1 ) 
 (d 2  d1 ) 1  2



2 )cos(t 
2 ).
uM = 2Acos(

21


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

 (d 2  d1 ) 


2 )|
+ Biên độ dao động tổng hợp tại M: AM = 2A|cos(
 ( d 2  d1 ) 



2 = kπ; k  Z.
Tại M có cực đại khi:
 (d 2  d1 ) 
1


2 = (k + 2 )π; k  Z.
Tại M có cực tiểu khi:
Trường hợp sóng tại hai nguồn cùng pha ( = 2kπ) thì:
- Tại M có cực đại khi d2 – d1 = k.

- Tại M có cực tiểu khi d2 – d1 = (2k + 1) 2 .
Trường hợp sóng tại hai nguồn ngược pha ( = (2k + 1)π) thì:
1
- Tại M có cực đại khi d2 – d1 = (k + 2 ).
- Tại M có cực tiểu khi d2 – d1 = k.
+ Số cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai nguồn (S 1S2) là số các giá trị
của
k  Z; tính theo công thức:
S1S 2
S1 S2


Cực đại: -  + 2 < k <  + 2 ;
S1S 2
S1 S2 1
1




2
2


2
Cực tiểu: +
+ 2 .
+ Số cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng MN trong vùng giao thoa là số giá trị
của k  Z; tính theo công thức:
S 2 N  S1 N
S 2 M  S1M




Cực đại:
+ 2 < k <
+ 2 .
S 2 N  S1 N 1
S 2 M  S1M 1




Cực tiểu:
- 2 + 2 < k <
- 2 + 2 .
+ Số cực đại, cực tiểu trên đường thẳng  hợp với S1S2 một góc  trong vùng
giao thoa là số giá trị của k  Z; tính theo công thức:

S1S 2 cos
S1 S 2 cos 



Cực đại: + 2 < k <
+ 2 ;
S1S 2 cos
S1S 2 cos 1
1




Cực tiểu: - 2 + 2 < k <
- 2 + 2 .
+ Số điểm dao động cùng pha hay ngược pha với hai nguồn trên đoạn OM
thuộc trung trực của AB (O là trung điểm của AB) là số giá trị của k ( Z):
22


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

OA
Cùng pha:   k 

OA2  OM 2

.

OA2  OM 2
OA 1
1

Ngược pha:  - 2  k 
- 2 .
III. SÓNG DỪNG
1. Lý thuyết
+ Sóng phản xạ cùng tần số và cùng bước sóng với sóng tới.
+ Nếu vật cản cố định thì tại điểm phản xạ, sóng phản xạ ngược pha với sóng
tới và triệt tiêu lẫn nhau (ở đó có nút sóng).
+ Nếu vật cản tự do thì tại điểm phản xạ, sóng phản xạ cùng pha với sóng tới
và tăng cường lẫn nhau (ở đó có bụng sóng).
+ Sóng tới và sóng phản xạ nếu truyền theo cùng một phương, thì có thể giao
thoa với nhau, và tạo ra một hệ sóng dừng.
+ Trong sóng dừng có một số điểm luôn luôn đứng yên gọi là nút, và một số
điểm luôn luôn dao động với biên độ cực đại gọi là bụng.
+ Khoảng cách giữa 2 nút hoặc 2 bụng liền kề


của sóng dừng là 2 .
+ Khoảng cách giữa nút và bụng liền kề của

sóng dừng là 4 .
+ Hai điểm đối xứng qua bụng sóng luôn dao động cùng biên độ và cùng
pha. Hai điểm đối xứng qua nút sóng luôn dao động cùng biên độ và ngược
pha.
+ Các điểm nằm trên cùng một bó sóng thì dao động cùng pha. Các điểm
nằm trên hai bó sóng liền kề thì dao động ngược pha.
+ Các điểm nằm trên các bó cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì dao động cùng pha,

các điểm nằm trên các bó lẻ thì dao động ngược pha với các điểm nằm trên
bó chẵn.
2. Công thức


+ Khoảng cách giữa 2 nút hoặc 2 bụng liền kề trong sóng dừng là 2 .

+ Khoảng cách giữa nút và bụng liền kề trong sóng dừng là 4 .

23


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

+ Biên độ dao động của điểm M trên dây cách nút sóng (hay đầu cố định)
một khoảng d (với A là biên độ sóng tại nguồn; 2A là biên độ dao động tại
d


bụng sóng): AM = 2A|cos(2π
+ 2 )|.
+ Biên độ dao động của điểm M trên dây cách bụng sóng (hay đầu tự do)
d
một khoảng d (với A là biên độ sóng tại nguồn): AM = 2A|cos2π  |.
+ Điều kiện để có bụng sóng tại điểm M cách vật cản cố định một khoảng d

là: d = (2k + 1) 4 ; k  Z.
+ Điều kiện để có nút sóng tại điểm M cách vật cản cố định một khoảng d là:

d = k 2 ; k  Z.

+ Điều kiện để có bụng sóng tại điểm M cách vật cản tự do một khoảng d là:

d = k 2 ; với k  Z.
+ Điều kiện để có nút sóng tại điểm M cách vật cản tự do một khoảng d là:

d = (2k + 1) 4 ; k  Z.
+ Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây có chiều dài l khi:

Hai đầu là hai nút: l = n 2 ; với n  N*.

Một đầu là nút, một đầu là bụng: l = (2n + 1) 4 ; với n  N*.
+ Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để tất cả các điểm trên sợi dây có
T
sóng dừng đi qua vị trí cân bằng (sợi dây duỗi thẳng) là 2 .
IV. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ÂM
1. Lý thuyết
+ Sóng âm là những sóng cơ truyền trong các môi trường rắn, lỏng khí.
+ Vật dao động phát ra âm gọi là nguồn âm.
+ Tần số của âm phát ra bằng tần số dao động của nguồn âm.
+ Sóng âm truyền được trong môi trường đàn hồi (rắn, lỏng, khí).
+ Âm không truyền được trong chân không.
+ Trong một môi trường, âm truyền với một tốc độ xác định.
+ Trong chất lỏng và chất khí thì sóng âm là sóng dọc.
24


 Lý thuyết – Công thức Lý 12 – Ôn thi THPT QG – Dương Văn Đổng – Bình Thuận 

+ Trong chất rắn thì sóng âm có thể là sóng dọc hoặc sóng ngang.
+ Âm nghe được (âm thanh) có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz.

+ Âm có tần số dưới 16 Hz gọi là hạ âm; trên 20000 Hz gọi là siêu âm. Tai
người không cảm nhận được hạ âm và siêu âm nhưng một số động vật như
voi, chim bồ câu, ... lại “nghe” được hạ âm, dơi, chó, cá heo, ... “nghe” được
siêu âm.
+ Về phương diện vật lí, âm được đặc trưng bằng tần số của âm, cường độ
âm (hoặc mức cường độ âm) và đồ thị dao động của âm.
+ Ba đặc trưng sinh lí của âm là: độ cao, độ to và âm sắc.
+ Độ cao của âm là đặc trưng liên quan đến tần số của âm.
+ Độ to của âm là đặc trưng liên quan đến cường độ âm, mức cường độ âm
và tần số của âm.
+ Âm sắc là đặc trưng của âm giúp ta phân biệt được các âm phát ra từ các
nguồn khác nhau (âm sắc liên quan đến đồ thị dao động âm).
2. Công thức

P
P
2
+ Cường độ âm tại điểm cách nguồn âm một khoảng d: I = S = 4 d .
I
I
+ Mức cường độ âm: L = lg 0 ; cường độ âm chuẩn: I0 = 10-12 W/m2.
+ Khi cho một nhạc cụ phát ra một âm có tần số f 0 thì bao giờ nhạc cụ đó
cũng đồng thời phát ra một loạt âm có tần số 2f0; 3f0; 4f0; ... . Âm có tần số f0
gọi là âm cơ bản hay họa âm thứ nhất. Các âm có tần số 2f 0; 3f0; 4f0; ... gọi là
các họa âm thứ hai, thứ ba, thứ tư, ... .
v
2
+ Tần số âm do dây đàn phát ra (hai đầu cố định): f = n l với n  N*.
+ Tần số âm do ống sáo phát ra (một đầu cố định một đầu tự do):
v

f = (2n + 1) 2l .
+ Trong một quãng tám gồm các nốt nhạc đồ, rê, mi, pha, sol, la, xi, đô thì
nốt mi và nốt pha, nốt xi và nốt đô cách nhau nữa cung còn các nốt liền kề
nhau khác cách nhau một cung. Hai nốt nhạc cách nhau nữa cung thì có:
2

2

2

2

f cao = 2f thap ; cách nhau một cung thì có: f cao = 4f thap .
+ Tính chất của hàm lôgaric (sử dụng để giải các bài toán liên quan đến mức
a
cường độ âm): lga = b  a = 10b; lg(a.b) = lga + lgb; lg b = lga – lgb.
25